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2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》


2.1.2空间中直线与直线 之间的位置关系

b

a

复习回顾: 1.同一平面内不重合的两条直线有几种位 置关系? (1) 平行:在同一平面内没有公共点. (2) 相交:有且仅有一个公共点. 2.在同一平面内,同平行于一条直线的两条 直线有什么位置关系? 互相平行

观察: 观察教室内的日光灯

管所在直线与黑 板的左右两侧所在的直线,想一想:它 们相交吗?平行吗?共面吗?
' AA 观察长方体的棱 与BC

所在直线,回答类似的 问题. 异面直线:把不同在任何一个平面内的两 条直线叫做异面直线。

1.空间中两条直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有且只有三种
共面直线
异面直线 位置关系 相交
公共点个数

平行直线 相交直线 是否共面

只有一个 没有 没有

共面 共面 不共面

平行
异面

例1: (1)在如图所示的正方体中,指出哪些 棱所在的直线与直线BA1是异面直线?

D1

C1

A1

B1

D
A

C

B

练习1: 已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1 上的点,那么MN与AB所在的直线相交吗?

D1

M

C1

A1

B1
N

D
A

C

B

异面直线直观图的画法
两条直线异面:

m

?

l

异面直线直观图的画法
分别在两个相交平面内的两条异面直线:

?

m

?

l

想一想,做一做: 2. 下图是一个正方体的展开图,如果将它 还原成正方体,那么AB,CD,EF,GH这 四条线段所在直线是异面直线的有几对?

C G H E F
三对

A
E

C ?G ?

A H D

D B
B?F ?
EF与GH

AB与CD AB与GH

2. 空间两平行直线 提出问题:在同一平面内,如果两条直线 都与第三条直线平行,那么这两条直线互 相平行。在空间中,是否有类似的规律?
' ' ' ' ABCD ? A B C D 中, BB'∥ AA' 观察:如图2.1.2-5,长方体

DD'∥ AA'

那么 BB ' 与 DD' 平行吗?
D' C'

A' D A

B' C

B

公理4:平行于同一条直线的两条直线互相 平行。
公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间 这个性质都适用。
符号表示:设空间中的三条直线分别为a, b, c,若

a∥ b
c∥ b

a∥ c

公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。

例题示范
例2: 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA的中点。 求证:四边形EFGH是平行四边形。
分析: 欲证EFGH是一个平行四边形 只需证EH∥FG且EH=FG E A H D G

连结BD,只需证: 1 EH ∥BD且EH = BD

2 1 FG ∥BD且FG = BD 2

B

F

C

E,F,G,H分别是各边中点

例题示范
例2: 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA的中点。 求证:四边形EFGH是平行四边形。
证明: 连结BD
∵ EH是△ABD的中位线 1 ∴EH ∥BD且EH = BD 2 1 同理,FG ∥BD且FG = BD E D G A H

2

∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形

B

F

C

变式一:
在例2中,如果再加上条件AC=BD,那 么四边形EFGH是什么图形? A

菱形
分析: 在例题2的基础上 我们只需要证明平行四 边形的两条邻边相等。
B

E

H
D F G C

思考:平面内,如果一个角的两边与另一个角 的两边分别平行,则这两个角相等或互补,空 间是否也有类似结论?

定理: 空间中如果两个角的两边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补。

定义 经过空间任一点分别作两条异面直线的平
行线,这两条平行线所成的锐角(或直角) 叫做两条异面直线所成的角或夹角。
b
b'

? ?

O

a'

?

O'

a

注意:两条异面直线a和b所成的角的大小,只与 它们的位置有关,而与点 o位置无关。

a?b
a

b a'

?

O

?
如果两条异面直线所成的角为直角,那么 就称这两条异面直线垂直。

异面直线角的取值范围是 (0°,90°]

例1: (2)求直线BA1和CC1所成角的度数。

D1

C1

A1

B1

45
C

o

D
A

B

例1: (3)哪些棱所在直线与直线AA1垂直?

D1

C1

A1

B1

D
A

C

B

练习1: 在如图所示的长方体中,AB= 3 , AA1=1,求直线BA1和CD所成角的度数。

D1

C1

A1

B1

30
C

O

D
A

B

思考:
在空间中,垂直于同一条直线的两条 直线一定平行吗?与同一条直线异面的两 条直线一定平行吗?

小结
1、空间中两直线三种位置关系; 2、异面直线直观图画法;
3、异面直线所成角定义。


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