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人教版高中数学选修1-2 数系的扩充和复数的概念 课件7


创设情景,探究问题
计数的需要

——数的发展过程(经历):

—————?自然数 (正整数和零) —————————?分数 ———————?负数
解方程3 x=5 解方程x+3=1 测量、分配中的等分 表示相反意义的量

—————?无理数
解方程x2=2

度量 (分数集? 有理数集 ?循环小数集 ) 循环小数 _ ? __________ ——————? ? 不循环小数 ? __________ 2_ 解方程x =-1

实数集

R ?

Q

Z

N

关于无理数的发现

古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数都 可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条. 有一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长 为1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究, 终于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕 达哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外 传.但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯 大怒,要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住 了,被扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命. 希伯斯发现的这类数,被称为无理数.无理数的发现, 导致了第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡 献.

古老的问题:“正方形的对角线是个‘奇怪’的数”
D D C 1 1 F

x

1 A

x
1 B 1

C

A

1

B

x

E

S ?BEFD ? 2S ? ABCD
BD2= 2

BD 2 ? 2AB 2
BD = ?

合情推理,类比扩充

一元二次方程 范围内的解是 ?

x ? ?1
2

在实数集

思考?
我们能否将实数集进行扩充,使得在新的数集 中,该问题能得到圆满解决呢?
引入新数,完善数系

引入一个新数:

i

规定

i ? ?1
2

复数有关概念

1、定义:形如a+bi(a∈R,b∈R)的数叫复数, 其中i叫虚数单位。
注意:①复数通常用字母z表示,即复数a+bi (a∈R,b∈R)可记作:z =a+bi (a∈R, b∈R), 把这一表示形式叫做复数的代数形式。 ②复数z=a+bi (a∈R, b∈R )把实数a,b叫做 复数的实部和虚部。 ③全体复数所组成的集合叫复数集,记作C。

即时训练,巩固新知
对于复数z= a+bi(a∈R,b∈R) 1、请指出下列复数的实部与虚部。

1? 3
? 3i

2 0.63i 5 2 0.63 i 5

0

当b= 0 时,z为实数

i

当a= 0 且b ≠0时, z为纯虚数
非纯虚数的虚数: a ≠ 0,b ≠ 0

5i+4

3 ? 2i

当b ≠0 时,z为虚数
特别的,当a= 0 且b= 0 时,z=0

复数的分类

?实数(b ? 0) ? ?纯虚数(a ? 0,b ? 0) 2、复数z=a+bi ? ?虚数(b ? 0) ?非纯虚数(a ? 0,b ? 0) 做一 ? ? 个练
习吧 3. 复数集、虚数集、实数集、 纯虚数集之间的关系 虚数集 复数集

R? C ?

纯虚数集

实数集

典例讲解,变式拓展 例1:当m为何实数时,复数

z ? m ? m ? 2 ? (m ? 1)i
2 2

是 (1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数

变式练习

m ?m?2 2 -2 复数 z ? ? (m ? 1)i 当实数m=___ m ?1
2

时z为纯虚数;当实数m= 1 时z为零。

复数相等的定义 规定: 如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这 两个复数相等.
根据两个复数相等的定义,设a, b, c, d∈R,两个复数

a+bi和 c+di 相等规定为 : a+bi = c+di ? ? a ? c ?

?b ? d

例2 已知 (2 x ? 1) ? i ? y ? (3 ? y )i ,其中 x, y ? R

求x与y? 复数相等

解题思考:
转化

求方程组的解的问题

一种重要的数学思想:转化思想

思考?
同样的转化思想我们在哪里还遇见过?

向量相等

转化

求方程组的解的问题

1、已知两个复数x2-1+(y+1)i大于

2x+2+(y2-1)i试求实数x,y的取值范围
2、已知实数x与纯虚数y满足2x-1+2i=y, 求x,y。

课堂小结

1、虚数单位i的引入,数系的扩充; 2. 复数有关概念: 复数的代数形式: z ? a ? bi (a ? R, b ? R)
复数的实部 、虚部

复数的分类
复数相等

a ? bi ?

?a ? c c ? di ? ? ?b ? d

作业

课本 P106

A组 1、2


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