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杨辉三角的规律以及推导公式


杨辉三角的规律以及定理
李博洋 摘要 杨辉三角中的一些规律 关键词 杨辉三角 幂 二项式

引言
杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他所著的《详解九章算法》一书中,画 了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形,称做“开方做法本源” ,现在简称为“杨 辉三角” 它是世界的一大重要研究成果。 , 我们则来对 “杨辉三角” 的规律进行探讨和研究。

内容
1 二项式定理与杨辉三角
与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律,即 二项式定理。
杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b) 的展开式来探讨。 由上式得出:
3 2

(a+b)2=a2+2ab+b2

此代数式的系数为: 1 2 1
3

则(a+b) 的展开式是什么呢?答案为:a

+3a2b+3ab2+b3

由此可发现,此代数式的系
4

数为: 1 3 3 1 但似乎没有什么规律,所以让我们再来看看(a+b) 的展开式。 展开式为:a 1 4 6 4
4

+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
1 1 1 1 1 1 1 4 3 6 2 3 4 1 1 1 1

由此又可发现,代数式的系数为:

1 似乎发现了一些规律,就可以发现以下呈三角形的数列: (11 ) (11 ) (11 ) (11 ) (11 ) (11 ) 1 (11 )
6 5 4 3 2 1 0

5 10 10

5 1

6 15 20 15 6

因此可得出二项式定理的公式为: (a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+ C(n,n)a^0*b^n
因此,二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇,它把 数形结合带进了 计算数学。求二项式展开式系数的问题,实际上是一种组合数的计算问题。用系数 通 项公式来计算,称为“式算”;用杨辉三角形来计算,称作“图算” 。

2 杨辉三角的幂的关系
首先我们把杨辉三角的每一行分别相加,如下: 1 1 1 1 1 1 1 ?? 相加得到的数是 1,2,4,8,16,32,64,?刚好是 2 的 0,1,2,3,4,5,6,?次 幂,即杨辉三角第 n 行中 n 个数之和等于 2 的 n-1 次幂 4 3 6 2 3 4 1 1 1 1 5 1 1 ( 1 ) ( 1+1=2 ) (1+2+1=4 ) (1+3+3+1=8 ) (1+4+6+4+1=16 ) (1+5+10+10+5+1=32 ) (1+6+15+20+15+6+1=64 )

5 10 10

6 15 20 15 6

3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系
(1) 1 1 1 1 1 1 1 4 3 6 2 3 4 1 (2) (3) 1 (4) 1 (5) 1 (6) 5 1 6 1 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6

5 10 10 6 15 20 15

把斜行(1)中第 7 行之前的数字相加得 1+1+1+1+1+1+1=6 把斜行(2)中第 7 行之前的数字相加得 1+2+3+4+5=15 把斜行(3)中第 7 行之前的数字相加得 1+3+6+10=20 把斜行(4)中第 7 行之前的数字相加得 1+4+10=15 把斜行(5)中第 7 行之前的数字相加得 1+5=6 把斜行(6)中第 7 行之前的数字相加得 1 将上面得到的数字与杨辉三角中的第 7 行中的数字对比,我们发现它们是完全相同的。 1 1 1 1 1 1 1 6 5 15 4 3 6 10 10 2 3 4 1 1 1 1 5 1 1

20 15 6

由上面可得: 杨辉三角中 n 行中的第 i 个数是 i-1 中前 n-1 个数之和, 即第 n 行的数分 别为 1、(1)中第 n 行之前的数字之和、(2)中第 n 行之前的数字之和、(3)中第 n 行之前的 数字之和、(4)中第 n 行之前的数字之和、?、(n-3)中第 n 行之前的数字之和、1。 总结杨辉三角对于我们好理解的规律,如下六点:

1、 每个数等于它上方两数之和。 2、 每行数字左右对称,由 1 开始逐渐变大。 3、 第 n 行的数字有 n+1 项。 4、 第 n 行数字和为 2^(n-1)。(2 的(n-1)次方) 5 (a+b)^n 的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每 一项。 [1] 6、 第 n 行的第 m 个数和第 n-m 个数相等,即 C(n,m)=C(n,n-m),这是组合 数性质

上面的式子是什么意思?首先 c 个物体有多少种选法。

i n+1 中的

n+1,i 的意思是从 n+1 个相同物体中选出 i

杨辉,字谦光,南宋时期杭州人。在他 1261 年所著的《详解九章算法》一书中, 辑录了如上所示的三角形数表,称之为“开方作法本源”图,并说明此表引自 11 世 纪前半贾宪的《释锁算术》,并绘画了“古法七乘方图”。故此,杨辉三角又被称为 “贾宪三角”。在我国古老的文明中,人们发现了很多有趣的规律,而杨辉三角就是 其中一个。


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