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2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第十三节导数在研究函数中的应用(一) 理


第十三节 导数在研究函数中的应用(一) 1. 了解函数单调性和导数的关系; 能利用导数研究函数的单调性, 会求函数的单调区间,对多项式函数一般不超过三次. 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求 函数的极大值、极小值,对多项式函数一般不超过三次;会求闭区间 上函数的最大值、最小值,对多项式函数一般不超过三次. 知识梳理 一、函数的导数与函数的单调性的关系

1.函数单调性的充分条件. 设函数 y=f(x)在某个区间内有导数,如果在这个区间内 y′>0,那么函数 y=f(x)在 这个区间内为 ________ ;如果在这个区间内 y′<0,那么函数 y = f(x) 在这个区间内为 ________. 2.函数单调性的必要条件. 设函数 y=f(x)在某个区间内有导数,如果函数 y=f(x)在这个区间内为增函数,那么 在这个区间内______; 如果函数 y=f(x)在这个区间内为______, 那么在这个区间内______. 3.求可导函数的单调区间的一般步骤和方法. (1)确定函数 f(x)的定义域. (2)计算导数________,令________,解此方程,求出它们在定义域区间内的一切实根. (3)把函数 f(x)的间断点[即(fx)的无定义的点]的横坐标和上面的各实根按由小到 大的顺序排列起来,然后用这些点把 f(x)的定义域分成若干个小区间. (4)确定 f′(x)在各个开区间内的符号,根据 f′(x)的符号判定函数 f(x)在每个相应 小区间的增减性[若 f′(x)>0,则 f(x)在相应区间内为增函数;若 f′(x)<0,则 f(x)在相 应区间内为减函数]. 二、函数的极值 1.函数极值的定义. 一般地, 设函数 f(x)在点 x0 附近有定义, 如果对 x0 附近的所有的点, 都有 f(x)<f(x0), 就说 f(x0)是_______,记作_________,x0 是________. 如果对 x0 附近的所有的点, 都有 f(x)>f(x0). 就说 f(x0)是________, 记作_________, x0 是极小值点.极大值与极小值统称为________. 2.判别 f(x0)是极大值、极小值的方法. 若 x0 满足 f′(x0)=0,且在 x0 的两侧 f(x)的导数异号,则 x0 是 f(x)的极值点,f(x0) 是极值,并且如果 f′(x)在 x0 两侧满足“左正右负”,那么 x0 是 f(x)的________,f(x0) 是________;如果 f′(x)在 x0 两侧满足“________”,那么 x0 是 f(x)的极小值点,f(x0) 是极小值. 3.求可导函数 f(x)的极值的步骤. (1)确定函数的定义区间,求导数________. (2)求方程________的根. 第 1 页 共 6 页 (3)用函数的导数为 0 的点和函数定义域的边界点,顺次将函数的定义域分成 ________,并列成表格.检查 f′(x)在______,如果________,那么 f(x)在这个根处取得 极大值;如果________,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右________,那么 f(x) 在这个根处________. 三、函数的最大值与最小值 1.函数的最大值与最小值. 在闭区间[a,b]上图象连续不断的函数 f(x)在[a,b]上________最大值与最小值. 2.利用导数求函数的最值的步骤. 设函数 f(x)在(a, b)内可导, 在闭区间[a,b]上图象连续不

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