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高三数学一轮复习函数专题-函数性质、抽象函数、分段函数


函数专题一

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函数的基本性质及其应用
一、利用函数的性质求函数的值域 1、 一次函数 y=kx+b(k≠0)的值域为 R; 2、 二次函数的值域:当 a>0 时,y≥-△/4a ,当 a<0 时,y≤-△/4a ; 3、 反比例函数的值域:y≠0 ; 4、 指数函数的值域为(0,+≦);对数函数的值域为 R; 5、 正弦、余弦函数的值域为[-1,1](即有界性);正切余切函数的值域为 R; 6、 值域的相关求法:配方法;零点讨论法;函数图象法;利用求反函数的定义域法;换元 法;利用函数的单调性和有界性法;分离变量法. [例题]::求下列函数的值域

1、[利用求反函数的定义域求值域](或者分离变为反比例函数) 先求其反函数:f-1(x)=(3x+1)/(x-2) ,其中 x≠2, 由其反函数的定义域,可得原函数的值域是 y∈{y∈R|y≠2} 2、[利用反比例函数的值域不等于 0](或者反函数法)

函数专题一

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因此,原函数的值域为[1/2,+≦) 4、[利用分离变量法和换元法(然后用反函数法)](或者换元后分离) 设法 2x=t,其中 t>0, 则原函数可化为 y=(t+1)/(t-1) t=(y+1)/(y-1) >0 ?y>1 或 y<-1 5、[利用零点讨论法]

由题意可知函数有 3 个零点-3,1,2, ①当 x<-3 时,y=-(x-1)-(x+3)-(x-2)=-3x ②当-3≤x<1 时,y=-(x-1)+(x+3)-(x-2)=-x+6 ③当 1≤x<2 时,y=(x-1)+(x+3)-(x-2)=x+4 ④当 x ≥2 时,y=(x-1)+(x+3)+(x-2)=3x ?y>9 ?5<y≤9 ?5≤y<6 ?y≥6

函数专题一 综合前面四种情况可得,原函数的值域是[5,+≦) 6、[利用函数的有界性]

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二、函数的单调性及应用 1、 A 为函数 f(x)定义域内某一区间,

2、 单调性的判定:作差 f(x1)-f(x2)判定;根据函数图象判定; 3、 复合函数的单调性的判定:f(x),g(x) 同增、同减,f(g(x)) 为增函数,f(x),g(x)一增、一减, f(g(x)) 为减函数. 例 1、设 a>0 且 a≠1,试求函数 y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间. [解析]:由题意可得原函数的定义域是(-1,4),

函数专题一 设 u=4+3x-x2 ,其对称轴是 x=3/2 ,

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所以函数 u=4+3x-x2 ,在区间(-1,3/2 ]上单调递增;在区间[3/2 ,4)上单调递减. ①a>1时,y=logau 在其定义域内为增函数, 由 x↑→u↑→y↑ ,得函数 u=4+3x-x2 的单调递增区间(-1,3/2 ], 即为函数 y=loga(4+3x-x2) 的单调递增区间. ②0<a<1时,y=logau 在其定义域内为减函数, 由 x↑→u↓→y↑ ,得函数 u=4+3x-x2 的单调递减区间[3/2 ,4), 即为函数 y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间. 例 2、已知 y=loga(2-ax) 在[0,1]上是 x 的减函数,求 a 的取值范围。 [解析]:由题意可知,a>0.设 u=g(x)=2-ax, 则 g(x)在[0,1]上是减函数,且 x=1时,g(x)有最小值 umin=2-a . 又因为 u=g(x)=2-ax>0,所以, 只要 umin=2-a>0则可,得 a<2. 又 y=loga(2-ax) 在[0,1]上是 x 减函数,u=g(x)在[0,1]上是减函数, 即 x↑→u↓→y↓ ,所以 y=logau 是增函数,故 a>1. 综上所述,得1<a<2. 例 3、已知 f(x)的定义域为(0,+≦),且在其上为增函数,满足 f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1 , 试解不等式 f(x)+f(x-2)<3 . [解析]:[此题的关键是求函数值3所对应的自变量的值] 由题意可得,f(4)=f(2)+f(2)=2 ,3=2+1=f(4)+f(2)=f(4〓2)=f(8) 又 f(x)+f(x-2)=f(x2-2x) 所以原不等式可化成 f(x2-2x)<f(8)

函数专题一

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所以原不等式的解集为{x|2<x<4} 三、函数的奇偶性及应用 1、 函数 f(x)的定义域为 D,x∈D ,f(-x)=f(x) → f(x)是偶函数;f(-x)=-f(x)→是奇函数 2、 奇偶性的判定:作和差 f(-x)〒 f(x)=0 判定;作商 f(x)/f(-x)= 〒1,f(x)≠0 判定 3、 奇、偶函数的必要条件是:函数的定义域关于原点对称; 4、 函数的图象关于原点对称 函数的图象关 y 轴对称 奇函数;

偶函数 f(x)=0,且定义域关于原点对称;

5、 函数既为奇函数又为偶函数

6、 复合函数的奇偶性:奇〒奇=奇,偶〒偶=偶,奇〓奇=偶,偶〓偶=偶,奇〓偶=奇.
?1 2 x ? 1 ( x ? 0) ? ?2 例 1.判断函数的奇偶性: g ( x) ? ? ? ? 1 x 2 ? 1 ( x ? 0) ? ? 2
1 1 解:当 x >0 时,- x <0,于是 g (? x) ? ? (? x) 2 ? 1 ? ?( x 2 ? 1) ? ? g ( x) 2 2 1 1 1 当 x <0 时,- x >0,于是 g (? x) ? (? x) 2 ? 1 ? x 2 ? 1 ? ?(? x 2 ? 1) ? ? g ( x) 2 2 2

综上可知, g ( x) 是奇函数.
? x 2 ? 2x ? 3 ? 0 练习:1.证明 f ( x) ? ? ?? x 2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 0)

,是奇函数.
( x ? 0)

例 2. f ( x) 为 R 上的偶函数, 且当 x ? (??,0) 时,f ( x) ? x( x ? 1) , 则当 x ? (0,??) 时,f ( x) ? x(x+1) 若 f(x)是奇函数呢? 例 3、 已知函数 f ( x) ? (m ? 2) x2 ? (m ?1) x ? 3 是偶函数, 求实数 m 的值. 答案 m ? 1 .

函数专题一 练习:已知函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数,且其定义域为[a-1,2a] , 则 a=
1 b= 3

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0 答案: f (2) ? ?26

例 4、已知函数 f ( x) ? x5 ? ax3 ? bx ? 8 ,若 f (?2) ? 10 ,求 f (2) 的值。 四、函数的周期性及应用 1、设函数 y=f(x)的定义域为 D,x∈D,存在非 0 常数 T,有 f(x+T)=f(x) f(x)为周期函数,T 为 f(x)的一个周期;



2、 正弦、余弦函数的最小正周期为 2π,函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期 是 T = 2π/|ω| ; 3、 正切、余切函数的最小正周期为π,函数 y=Atan(ωx+φ)和 y=Acot(ωx+φ)的周期是 T=π/|ω| ; 4、 周期的求法:定义域法;公式法;最小公倍数法;利用函数的图象法; 5、 一般地,sinωx 和 cosωx 类函数加绝对值或平方后周期减半,tanωx 和 cotωx 类函数 加绝对值或平方后周期不变(如:y=|cos2x| 的周期是π/2 ,y=|cotx|的周期是π. 例 1、设 f(x)是(-≦,+≦)上周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=x,求 f(7.5) [解析] :由题意可知,f(2+x) = f(x) ? f(7.5) =f(8-0.5) =f(-0.5) =-f(0.5) =-0.5

例 2.设 f ( x) 是定义在区间 (??,??) 上且以 2 为周期的函数,对 k ? Z ,用 I k 表示区间
(2k ? 1,2k ? 1), 已知当 x ? I 0 时, f ( x) ? x 2 . 求 f ( x) 在 I k 上的解析式.

解:设 x ? (2k ? 1,2k ? 1),? 2k ? 1 ? x ? 2k ? 1 ? ?1 ? x ? 2k ? 1

? x ? I 0 时,有 f ( x) ? x 2 ,?由 ? 1 ? x ? 2k ? 1得f ( x ? 2k ) ? ( x ? 2k ) 2
? f ( x) 是以 2 为周期的函数,? f ( x ? 2k ) ? f ( x),? f ( x) ? ( x ? 2k ) 2 .

例 3.设 f ( x) 是定义在 (??,??) 上以 2 为周期的周期函数,且 f ( x) 是偶函数,在区间 ?2,3? 上,

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f ( x) ? ?2( x ? 3) 2 ? 4. 求 x ? ?1,2? 时, f ( x) 的解析式.
解:当 x ? ?? 3,?2? ,即 ? x ? ?2,3? , f ( x) ? f (? x) ? ?2(? x ? 3) 2 ? 4 ? ?2( x ? 3) 2 ? 4 又 f ( x) 是以 2 为周期的周期函数,于是当 x ? ?1,2? ,即 ? 3 ? x ? 4 ? ?2 时,
有f ( x) ? f ( x ? 4) ? f ( x) ? ?2?( x ? 4) ? 3? ? 4 ? ?2( x ? 1) 2 ? 4(1 ? x ? 2).
2

? f ( x) ? ?2( x ? 1) 2 ? 4(1 ? x ? 2).
例 4.已知 f ( x) 的周期为 4,且等式 f (2 ? x) ? f (2 ? x) 对任意 x ? R 均成立,判断函数 f ( x) 的 奇偶性. 解:由 f ( x) 的周期为 4,得 f ( x) ? f (4 ? x) ,由 f (2 ? x) ? f (2 ? x) 得
f (? x) ? f (4 ? x) ,? f (? x) ? f ( x), 故 f ( x) 为偶函数.

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分段函数
? 4 x ? 3 ( x ? 0) ? 例 1.求函数 f ( x) ? ? x ? 3 (0 ? x ? 1) 的最大值. ? ? x ? 5 ( x ? 1) ?

【解析】当 x ? 0 时,
? x ? 5 ? ?1 ? 5 ? 4 ,

f max ( x) ? f (0) ? 3 , 当 0 ? x ? 1 时,
综上有 fmax ( x) ? 4 .

f max ( x) ? f (1) ? 4 , 当 x ? 1 时,

例 2.在同一平面直角坐标系中,

函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称, 再沿 y 轴向上平移 1 个单位, )

现将

y ? g ( x) 的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位,

所得的图象是由两 答案 A.

条线段组成的折线(如图所示),

则函数 f ( x) 的表达式为(

?2 x ? 2 (?1 ? x ? 0) A. f ( x) ? ? x ? 2 ? 2 (0 ? x ? 2) ?2 x ? 2 (?1 ? x ? 0) B. f ( x) ? ? x ? 2 ? 2 (0 ? x ? 2) ?2 x ? 2 (1 ? x ? 2) C. f ( x ) ? ? x ? 2 ? 1 (2 ? x ? 4) ?2 x ? 6 (1 ? x ? 2) D. f ( x) ? ? x ? 2 ? 3 (2 ? x ? 4)
2 ? ? x ( x ? 1) ( x ? 0) 例 3.判断函数 f ( x) ? ? 2 的奇偶性. ? x ( x ? 1) ( x ? 0) ? ?

y 3
2

1 -2
-1

o

1

x

【解析】 当 x ? 0 时,
?x ? 0 ,

f (? x) ? ?(? x)2 (? x ? 1) ? x2 ( x ?1) ? f ( x) , 当 x ? 0 时,
?x ? 0 ,
y

f (?0) ? f (0) ? 0 ,

当x?0,

f (? x) ? (? x)2 (? x ?1) ? ? x2 ( x ?1) ? f ( x) 因此, 对于任意 x ? R 都有
f ( ? x) ? f ( x) ,

所以 f ( x) 为偶函数.

5

? x3 ? x ( x ? 0) ? 例 4.判断函数 f ( x) ? ? 2 的单调性. ( x ? 0) ? ?? x
1 2

5 2

o

2

x

函数专题一 【解析】 显然 f ( x) 连续. 当 x ? 0 时, 时,

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f ' ( x) ? 3x2 ? 1 ? 1恒成立, 所以 f ( x) 是单调递增函数, 当 x ? 0
f ( x) 也是单调递增函数,

f ' ( x) ? ?2 x ? 0 恒成立,

所以 f ( x) 在 R 上是单调递增函数;

或画图易知 f ( x) 在 R 上是单调递增函数. 例 5.写出函数 f ( x) ?|1 ? 2 x | ? | 2 ? x | 的单调减区间.
??3x ? 1 ( x ? ? 1 2) ? 【解析】 f ( x) ? ?3 ? x (? 1 2 ? x ? 2) , ?3x ? 1 ( x ? 2) ?
? 2? x ? 1 ( x ? 0) ? 例 6.设函数 f ( x) ? ? 1 , 2 ? x ( x ? 0) ?
A. (?1,1)

画图易知单调减区间为 (??, ? 1 . 2]

若 f ( x0 ) ? 1 ,

则 x0 得取值范围是(

)答案 D.

B. (? 1, ? ? ) C. (? ? , ? 2 )? ( 0? , ? )D. (? ? , ? 1)? (1, ?? )

y

?( x ? 1) 2 ( x ? 1) ? 例 7. 设函数 f ( x) ? ? , 4 ? x ? 1 ( x ? 1) ? ?

则使得 f ( x) ? 1 的自变量 x
1 x -1 1

的取值范围为(

) B. (??, ?2] ? [0,1] D. [?2, 0] ? [1,10]

A. (??, ?2] ? [0,10] C. (??, ?2] ? [1,10] 【解析】

当 x ? 1 时 , f ( x) ? 1 ? ( x ? 1)2 ? 1 ? x ? ?2或x ? 0 ,

所以 x ? ?2或0 ? x ? 1 , 综上所述,

当 x ? 1 时,
x ? ?2 或

f ( x) ? 1 ? 4 ? x ?1 ? 1 ? x ?1 ? 3 ? x ? 10 ,
0 ? x ? 10 ,

所 以 1 ? x ? 1 0,

故选 A 项.

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抽象函数--“ f ( x) ”有关问题
一、利用函数性质,解 f ( x) 的有关问题 1.判断函数的奇偶性 例 1 已知 f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? 2 f ( x) f ( y) ,对一切实数 x 、 y 都成立,且 f (0) ? 0 , 求证 f ( x) 为偶函数。 证明:令 x =0, 则已知等式变为 f ( y) ? f (? y) ? 2 f (0) f ( y) ……① 在①中令 y =0 则 2 f (0) =2 f (0) ≧ f (0) ≠0? f (0) =1? f ( y) ? f (? y) ? 2 f ( y) ? f (? y) ? f ( y) ? f ( x) 为偶函数。 2.求参数的取值范围 例 2:奇函数 f ( x) 在定义域(-1,1)内递减,求满足 f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0 的实数 m 的取值 范围。 解:由 f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0 得 f (1 ? m) ? ? f (1 ? m2 ) ,≧ f ( x) 为函数,? f (1 ? m) ? f (m2 ?1)
??1 ? 1 ? m ? 1 ? 又≧ f ( x) 在(-1,1)内递减,? ??1 ? m 2 ? 1 ? 1 ? 0 ? m ? 1 ?1 ? m ? m 2 ? 1 ?

3.解不定式 例 3:如果 f ( x) = ax 2 ? bx ? c 对任意的 t 有 f (2 ? t ) ? f 2 ? t ) ,比较 f (1)、f (2)、f (4) 的大小 解:对任意 t 有 f (2 ? t ) ? f 2 ? t ) ? x =2 为抛物线 y = ax 2 ? bx ? c 的对称轴 又≧其开口向上? f (2)最小, f (1)= f (3)≧在[2,+≦)上, f ( x) 为增函数 ? f (3)< f (4),? f (2)< f (1)< f (4) ◆方法总结:抽象函数常见考点解法综述 1、定义域问题

函数专题一 例 1. 已知函数 解: 的定义域是[1,2],求 f(x)的定义域。 ,所以 中的 满足

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的定义域是[1,2],是指

从而函数 f(x)的定义域是[1,4]

例 2. 已知函数 解:

的定义域是

,求函数

的定义域。 中,由此可得

的定义域是

,意思是凡被 f 作用的对象都在

所以函数 2、求值问题

的定义域是

例 3. 已知定义域为

的函数 f(x),同时满足下列条件:① ,求 f(3),f(9)的值。

;②

解:取

, 得

因为

,所以

又取 3、值域问题





例 4. 设函数 f(x)定义于实数集上,对于任意实数 x、y, ,使得 解:令 若 使得 由于 ,则 成立矛盾,故 对任意 ,得 ,求函数 ,即有 的值域。 或 ,对任意 ,必有 。 ,有 。

总成立,且存在

均成立,这与存在实数



均成立,因此,对任意

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下面来证明,对任意 设存在 ,使得 ,则 矛盾,因此,对任意

这与上面已证的 所以 4、解析式问题

例 5. 设对满足 式。

的所有实数 x,函数

满足

,求 f(x)的解析

解:在

中以

代换其中 x,得:

再在(1)中以

代换 x,得

化简得: 5、单调性问题 例 6. 设 f(x)定义于实数集上,当 ,求证: 证明:在 若 当 ,令 时, 中取 ,则 ;当 时, 时, ,且对于任意实数 x、y,有

在 R 上为增函数。 ,得 ,与 矛盾所以 ,即有

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而 又当 设 所以 所以 时,

所以 所以对任意 ,则 ,恒有

在 R 上为增函数。

6、奇偶性问题 例 7. 已知函数 对任意不等于零的实数 ,试判断函数 f(x)的奇偶性。 解:取 又取 再取 因为 得: 则 为非零函数,所以 得: ,所以 ,所以 ,即 为偶函数。 都有

7、对称性问题 例 8. 已知函数 满足 ,求 中取 的值。 ,所以函数 的

解:已知式即在对称关系式

图象关于点(0,2002)对称。根据原函数与其反函数的关系,知函数 点(2002,0)对称。 所以 将上式中的 x 用 代换,得

的图象关于

评析:这是同一个函数图象关于点成中心对称问题,在解题中使用了下述命题:设 a、b 均为 常数,函数 对一切实数 x 都满足 ,则函数 的图象关于

点(a,b)成中心对称图形。

函数专题一 8、网络综合问题 例 9. 定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意实数 m,n,总有 时,0<f(x)<1。 (1)判断 f(x)的单调性; (2)设 , ,若 解:(1)在 所以 在 因为当 时, 。 中,令 所以当 时 中,令 ,试确定 a 的取值范围。 ,得 ,因为

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,且当 x>0



而 又当 x=0 时, 设 所以 所以 ,则

所以 ,所以,综上可知,对于任意 ,均有 。

在 R 上为减函数。

(2)由于函数 y=f(x)在 R 上为减函数,所以 即有 又 ,根据函数的单调性,有

由 。

,所以直线

与圆面

无公共点。因此有

,解得

三、五类题型及解法(当练习使用) 1、线性函数型抽象函数

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例 1、已知函数 f(x)对任意实数 x,y,均有 f(x+y)=f(x)+f(y),且当 x>0 时,f (x)>0,f(-1)=-2,求 f(x)在区间[-2,1]上的值域。 分析:由题设可知,函数 f(x)是 键在于研究它的单调性。 解:设 ≧ ? 在条件中,令 y=-x,则 ,即 ,≧当 , ,?f(x)为增函数。 ,再令 x=y=0,则 f(0)=2 f(0),? f ,? , 的抽象函数,因此求函数 f(x)的值域,关

(0)=0,故 f(-x)=f(x),f(x)为奇函数, ? f(1)=-f(-1)=2,又 f(-2)=2 f(-1)=-4,

? f(x)的值域为[-4,2]。 例 2、已知函数 f(x)对任意 ,满足条件 f(x)+f(y)=2 + f(x+y),且当 x> 的解。

0 时,f(x)>2,f(3)=5,求不等式

分析:由题设条件可猜测:f(x)是 y=x+2 的抽象函数,且 f(x)为单调增函数,如果这 一猜想正确,也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解。 解:设 ,≧当 ,? ,则 , 即 ,?f(x)为单调增函数。 ≧ , 又≧f(3)=5,?f (1)=3。? -1 < a < 3。 2、指数函数型抽象函数 ,? , 即 ,解得不等式的解为

函数专题一 例 3、设函数 f(x)的定义域是(-≦,+≦),满足条件:存在 对任何 x 和 y, 成立。求: ,使得

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(1)f(0); (2)对任意值 x,判断 f(x)值的正负。 分析:由题设可猜测 f(x)是指数函数 解:(1)令 y=0 代入 。若 f(x)=0,则对任意 f(x)≠0,?f(0)=1。 (2)令 y=x≠0,则 ,又由(1)知 f(x)≠0,?f(2x) 的抽象函数,从而猜想 f(0)=1 且 f(x)>0。 ,则 ,有 ,? ,这与题设矛盾,?

>0,即 f(x)>0,故对任意 x,f(x)>0 恒成立。 例 4、是否存在函数 f(x),使下列三个条件:①f(x)>0,x ∈N;② ;③f(2)=4。同时成立?若存在,求出 f(x)的解析式, 如不存在,说明理由。 分析:由题设可猜想存在 用数学归纳法证明如下: (1)x=1 时,≧ ,结论正确。 (2)假设 时有 ,则 x=k+1 时, ,又≧x ∈N 时,f(x)>0,? ,又由 f(2)=4 可得 a=2.故猜测存在函数 ,

,?x=k+1 时,结论正确。 综上所述,x 为一切自然数时 3、对数函数型抽象函数 对数函数型抽象函数,即由对数函数抽象而得到的函数。 例 5、设 f(x)是定义在(0,+≦)上的单调增函数,满足 , 。

函数专题一 求:(1)f(1); (2)若 f(x)+f(x-8)≤2,求 x 的取值范围。 分析:由题设可猜测 f(x)是对数函数 解:(1)≧ ( 2) 即

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的抽象函数,f(1)=0,f(9)=2。 ,?f(1)=0。

,从而有 f(x)+f(x-8)≤f(9), ,≧f(x)是(0,+≦)上的增函数,故

,解之得:8<x≤9。 例 6、设函数 y=f(x)的反函数是 y=g(x)。如果 f(ab)=f(a)+f(b),那么 g(a +b)=g(a)〃g(b)是否正确,试说明理由。 分析: 由题设条件可猜测 y=f(x)是对数函数的抽象函数,又≧y=f(x)的反函数是 y=g (x),?y=g(x)必为指数函数的抽象函数,于是猜想 g(a+b)=g(a)〃g(b)正确。 解:设 f(a)=m,f(b)=n,由于 g(x)是 f(x)的反函数,?g(m)=a,g(n)=b, 从而 ,?g(m)〃g(n)=g(m+n),以 a、b

分别代替上式中的 m、n 即得 g(a+b)=g(a)〃g(b)。 4、三角函数型抽象函数 三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。 例 7、己知函数 f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三条件:

①当

是定义域中的数时,有



②f(a)=-1(a>0,a 是定义域中的一个数); ③当 0<x<2a 时,f(x)<0。 试问:(1)f(x)的奇偶性如何?说明理由。

函数专题一 (2)在(0,4a)上,f(x)的单调性如何?说明理由。 分析: 由题设知 f(x)是 的抽象函数,从而由

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及题设条件猜想:f(x)是奇

函数且在(0,4a)上是增函数(这里把 a 看成 解:(1)≧f(x)的定义域关于原点对称,且

进行猜想)。 是定义域中的数时有

,?

在定义域中。≧

, ?f(x)是奇函数。 (2)设 0<x1<x2<2a,则 0<x2-x1<2a,≧在(0,2a)上 f(x)<0,

?f(x1),f(x2),f(x2-x1)均小于零,进而知 于是 f(x1)< f(x2),?在(0,2a)上 f(x)是增函数。

中的





,≧f(a)=-1,?

,?f(2a)=0,

设 2a<x<4a,则 0<x-2a<2a,

,于是 f(x)>0,即在(2a,4a)上 f(x)>0。设 2a<x1<x2<4a,则 0<x2-x1<2a,从而知 f(x1),f(x2)均大于零。f(x2-x1)<0,



,?

,即

f(x1)<f(x2),即 f(x)在(2a,4a)上也是增函数。 综上所述,f(x)在(0,4a)上是增函数。 5、幂函数型抽象函数 幂函数型抽象函数,即由幂函数抽象而得到的函数。

函数专题一

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例 8、已知函数 f(x)对任意实数 x、y 都有 f(xy)=f(x)〃f(y),且 f(-1)=1,f (27)=9,当 时, 。

(1)判断 f(x)的奇偶性; (2)判断 f(x)在[0,+≦)上的单调性,并给出证明; (3)若 ,求 a 的取值范围。 的抽象函数,从而可猜想 f(x)是偶函数,且在[0,

分析:由题设可知 f(x)是幂函数 +≦)上是增函数。

解:(1)令 y=-1,则 f(-x)=f(x)〃f(-1),≧f(-1)=1,? f(-x)=f(x),f(x)为偶函数。

(2)设

,?





≧ 增函数。

时,

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,?f(x1)<f(x2),故 f(x)在 0,+≦)上是

(3)≧f(27)=9,又 ? ≧ ,? ,≧ ,? ,? ,又 ,故 , 。




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