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高三数学二轮复习课堂教学——注重一题多解,发散学生思维


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 高三数学二轮复习课堂教学——注重一题多 解,发散学生思维 作者:齐元峰 来源:《课程教育研究· 中》2013 年第 07 期 【摘要】通过对一道题难度不是很大的题的讲解过程的整理,引导学生明白并不是要为做 题,为获得一个最小值为 16 的答案来做题,要不断回忆我们所学,用储备的知识来尽可能多 地想出不同的方法,这不仅有利于知识的再现,还有利于查漏补缺。所以在这一轮之后的高三 复习中,我们都应该充分打开思维,跳跃性地构想多种解法来解决同一问题,这样我们复习的 效率才能更高,效果也会更好。 【关键词】教学 思维 探索 交流 【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2013)07-0129-02 二轮复习时要注重课堂实效,讲题不要多,不要多题一法,而是要一题多法这不仅有利于 知识的再现,还有利于查漏补缺。所以在这一轮之后的高三复习中,教师应引领学生充分打开 思维,跳跃性地构想多种解法来解决同一问题,在备考的紧张时期,充分提高课堂效率。这样 我们复习的效率才能更高,效果也会更好。 题目:已知经 x,y∈R+,且■+■=1,求 x+y 的最小值。 初看该题,由题目得 x,y∈R+,一正;■+■=1,二定;首先想到均值定理,即有 1=■+■≥■?圯■≥6 ① 要求的最小值,再用均值定理得 x+y≥2■ ② ∴x+y≥12 ③ 即 x+y 的最小值为 12。 那该题除了此种想法外还有没有其他做法?我们可以注意到,题中的定值很特殊,为 1, 而 x+y 即(x+y)× 1,故有 (x+y)(■+■)=1+■+■+9=10+■+■ 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 而此式中■+■又可以使用均值定理。 但该答案与我们一开始求出的不同,这是为什么呢? 均值定理在使用时,除了要注意“一正”(两个因式均为正)、“二定”(两个因式的和或积 为定值),还要注意“三相等”,即取得等号的条件。如果一旦忽视,则会对我们解题的准确率 进行干扰。 正如第一种想法中,式①中等号成立的条件为■=■即 y=9x,而式②中等号成立的条件为 x=y,而式③成立是建立在式①,式②同时取等的条件上的,而式①和式②不能同时取等,所 以式③不能成立。这正是由于我们疏忽了平时学习当中最容易被忽略的“边角知识”,才造成解 题上的失误。 那关于该题还有没有别的想法?能否不通过将 x+y 用一个式子表示,而是让其直接出现在 一个不等式中呢?这需要我们利用题中的等式,构造出一个含 x+y 的不等式。 在学习均值不等式时我们还学过一些均值不等式的推导公式,其中有一个被称为重要不等 式:ab≤(■)2 此式不用考虑正负,可任意使用。 从该式中我们似乎可以发现什么:左边是两个因式乘积,右边出现了和的形式,要“制造” 出 x+y 来,则左边必须是有 x 和 y 的一次式的,那怎样创造出含 x 与 y 的一次因式的乘积呢? 因式分解: 由■+■=1 可得 xy-y-9x=0。 这个式子因式分解略有难度,但由于是等式,故可在两边添项,从而分组分解,等式两边 同加 9 得 xy-y-9+9=9,提公因式得 y(x-1)-9(x-1)=9?圯(x-1)(y-9)=9 由重要不等式得 9=(x-1)(y-9)≤(■)2 即(■)2≥9,将 x+y 作为整体解得 x+y≤4 或 x+y≥16 ∵■+■=1,且 x,y∈R+,故 y>9,故 x+y 不能小于等于 4,舍去。故 x+y≥16,即 x+y 的

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