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球的表面积和体积


1.3.2《球的体积和表面积》

例题讲解

例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
4 4 5 3 125 3 V ? ?R ? ? ? ( ) ? ?cm 3 3 3 2 6

例题讲解 (变式)钢球直径是5cm,把钢球放入一个正方 体的有盖纸盒中,至少要用多少纸?
用料最省时,球与正方体有什么位置关系?

球内切于正方体

侧棱长为5cm

S 侧 ? 6 ? 5 ? 150cm
2

2

例题讲解
例2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各 个顶点都在球O的球面上,问球O的表面积。
分析:正方体内接于球,则由球和正方 体都是中心对称图形可知,它们中心重 合,则正方体对角线与球的直径相等。
略解: Rt?B1 D1 D中 : ( 2 R ) ? a ? ( 2a ) , 得
2 2 2

D A D1 A1 B

C

O
C1 B1

3 R? a 2 ? S ? 4?R 2 ? 3?a 2

D
A D1 A1 B1 O B

C

C1

例题讲解
例3已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距 离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2cm,求球的 体积,表面积. 解:如图,设球O半径为R, 截面⊙O′的半径为r,

O A
O?

? O ?O ?

R , ?ABC是正三角形, 2
2 3 2 3 ? AB ? ?r 3 2 3

C

O ?A ?

B

例题讲解

例3.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2cm,求球的体积, 表面积.
解:在Rt?OO?A中,? OA2 ? O?O 2 ? O?A2 ,
? R2 ? ( R 2 2 3 2 ) ?( ) , 2 3

4 ?R ? . 3

O A
O?

4 4 4 3 256 3 V ? ?R ? ? ( ) ? ?; 3 3 3 81

C

16 64 S ? 4?R ? 4? ? ? ?. 9 9
2

B

课堂练习

练习一
8 . 1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的_倍
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 32 3? cm3. 这个球的体积为___

课堂练习

练习二
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___ 2 倍.

4 倍. 2.若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的___
1: 2 2 3.若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是______.
3 1 : 4. 4.若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是______

课堂练习

练习二
5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 则它的外接球的表面积为_____ 9? .
3 , 5 , 15,

6.若两球表面积之差为48π ,它们大圆周长之和为12π , 则两球的直径之差为______ 4 . 7.将半径为1和2的两个铅球,熔成一个大铅球,那么 这个大铅球的表面积是______. 123 3?

课堂小结
?了解球的体积、表面积推导的基本思路: 分割→求近似和→化为标准和的方法,是 一种重要的数学思想方法—极限思想,它 是今后要学习的微积分部分“定积分”内 容的一个应用; ?熟练掌握球的体积、表面积公式: 4 3 ①V ? ?R 3 2 ②S ? 4?R


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