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2016年全国普通高等学校高考数学一模试卷(文科)(衡水金卷)(解析版)


2016 年全国普通高等学校高考数学一模试卷 (文科) (衡水金卷)
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题列出的四个选项中,只有 一项符合题目要求) 1.已知集合 A={x∈N|x(2﹣x)≥0},B={x|﹣1≤x≤1},则 A∩B=( ) A.{x|0≤x≤2} B.{x|0<x<2} C.{0,1,2} D.{0,1} 2.已知

复数 z= A.1 3.已知 B.2 (a∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则 a 的值为( C.﹣1 D.0 =2,则 tanα=( ) )

A.

B.﹣

C.

D.﹣5

4.A,B,C 三位抗战老兵应邀参加了在北京举行的“纪念抗战胜利 70 周年”大阅兵的老兵 方队,现安排这三位老兵分别坐在某辆检阅车的前三排(每两人均不坐同一排) ,则事件“A 或 B 坐第一排”的概率为( ) A. B. C. D. “是”直线 l 与圆

5.已知圆 O 的方程为 x2+y2=1,直线 l 的方程为 y=k(x﹣1)+3,则“k= O 相切”的. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.椭圆 C: +

=1(a>b>0)的两焦点为 F1,F2,P 为椭圆 C 上一点,且 PF2⊥x 轴, )

若△PF1F2 的内切圆半径 r= ,则椭圆 C 的离心率为( A. B. C. D.

7.已知某几何体的三视图如图所示,则几何体的体积为(



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A.

+

B.

+

C.

+

D.

+

8. 《张丘建算经》卷上第 22 题为“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三 丈.”其意思为:现有一善于织布的女子,从第 2 天开始,每天比前一天多织相同量的布, 第 1 天织了 5 尺布,现在一月(按 30 天计算)共织 390 尺布,记该女子一月中的第 n 天所 织布的尺数为 an,则 a14+a15+a16+a17 的值为( A.55 B.52 C.39 D.26 9.将函数 f(x)=2sin(2x+ )的图象向左平移 )

个单位,再把所有点的横坐标缩短到

原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,则下面对函数 y=g(x)的叙述正确 的是( ) )

A.函数 g(x)=2sin(x+ B.函数 g(x)的周期为 π

C.函数 g(x)的一个对称中心为点(﹣ D.函数 g(x)在区间[ ,

,0)

]上单调递增

10.执行如图所示的程序框图,其中输入的 ai(i=1,2,…10)依次是:﹣3,﹣4,5,3,4, ﹣5,6,8,0,2,则输出的 V 值为( )

A.16

B.

C.

D.

11.设关于 x,y 的不等式组

,表示的平面区域内存在点 M(x0,y0) ,满足

x0+2y0=5,则实数 t 的取值范围是(


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A. C. D.以上都不正确 (﹣∞,﹣1] B.[1,+∞) (﹣∞,1] 12.定义在 R 上的函数 f(x)满足:①f(﹣x)=﹣f(x) ;②f(x+2)=f(x) ;③x∈[0, 1]时,f(x)=log A.8 B.6 (x2﹣x+1) ,则函数 y=f(x)﹣log3|x|的零点个数为( C.4 D.2 )

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知正项数列{an}满足 =4 ,且 a3a5=64,则数列{an}的前 6 项和 S6=______.

14.已知向量 =(m,n﹣1) , =(1,1) ,且 ⊥ ,则 mn 的最大值为______. 2 15.已知 F 是抛物线 y =2x 的焦点,A,B 是抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,若直线 AB 的斜率为 3,则线段 AB 的中点 P 的坐标为______.

16.若函数 f(x)=

(a>0 且 a≠1)在区间[ ,+∞)内单调递

减,则 a 的取值范围是______. 三.解答题 (本大题共 5 小题, 共 70 分, 解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 b=c,sinA﹣sinB=( ﹣1) sinC. (1)求 B 的大小; (2)若△ABC 的面积为 4 ,求 a,b,c 的值. 18.到 2016 年,北京市高考英语总分将由 150 分降低到 100 分,语文分值将相应增加.某 校高三学生率先尝试 100 分制英语考试,从中随机抽出 50 人的英语成绩作为样本并进行统 计,将测试结果按如下方式分成五组:第一组[50,60],第二组[60,70],…第五组[90, 100],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (1)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计这次参加英语考 试的高三学生的英语平均成绩; (2)从这五组中抽取 14 人进行座谈,若抽取的这 14 人中,恰好有 2 人成绩为 50 分,7 人 成绩为 70 分,2 人成绩为 75 分,3 人成绩为 80 分,求这 14 人英语成绩的方差; (3)从 50 人的样本中,随机抽取测试成绩在[50,60]∪[90,100]内的两名学生,设其测 试成绩分别为 m,n (i)求事件“|m﹣n|>30”的概率; (ii)求事件“mn≤3600”的概率.

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19.如图,△ADM 是等腰直角三角形,AD⊥DM,四边形 ABCM 是直角梯形,AB⊥BC, MC⊥BC,且 AB=2BC=2CM=2,平面 ADM⊥平面 ABCM. (1)求证:AD⊥BD; (2)若点 E 是线段 DB 上的一动点,问点 E 在何位置时,三棱锥 M﹣ADE 的体积为 ?

20.已知圆 C 的圆心与双曲线 M:y2﹣x2= 的上焦点重合,直线 3x+4y+1=0 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=4. (1)求圆 C 的标准方程; O 为坐标原点, D(﹣2,0) (2) ,E (2,0)为 x 轴上的两点, 若圆 C 内的动点 P 使得|PD|, |PO|,|PE|成等比数列,求 ? 的取值范围. 21.已知函数 f(x)=lnx+ (a>1) . (1)若函数 f(x)的图象在 x=1 处的切线斜率为﹣1,求该切线与两坐标轴围成的三角形 的面积; (2)若函数 f(x)在区间[1,e]上的最小值是 2,求 a 的值. 请考生在 22.23.24 题三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分)[选修 4-1: 几何证明选讲] 22.如图,直线 PB 与⊙O 交于 A,B 两点,OD⊥AB 于点 D,PC 是⊙O 的切线,切点为 C. (1)求证:PC2+AD2=PD2 (2)若 BC 是⊙O 的直径,BC=3BD=3,试求线段 BP 的长.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.设点 A 是曲线 C: , (θ 为参数)上的动点,点 B 是直线 l: ,

(t 为参数)上的动点 (1)求曲线 C 与直线 l 的普通方程; (2)求 A,B 两点的最小距离. [选修 4-5:不等式选讲]
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24.已知函数 f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣4|. (1)求不等式 f(x)<0 的解集; (2)若函数 g(x)= 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围.

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2016 年全国普通高等学校高考数学一模试卷(文科) (衡 水金卷)
参考答案与试题解析

一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题列出的四个选项中,只有 一项符合题目要求) 1.已知集合 A={x∈N|x(2﹣x)≥0},B={x|﹣1≤x≤1},则 A∩B=( ) A.{x|0≤x≤2} B.{x|0<x<2} C.{0,1,2} D.{0,1} 【考点】交集及其运算. 【分析】求出两个集合,然后求解交集即可. 【解答】解:集合 A={x∈N|x(2﹣x)≥0}═{x∈N|0≤x≤2}={0,1,2}, B={x|﹣1≤x≤1}, 则集合 A∩B={0,1}. 故选:D.

2.已知复数 z= A.1 B.2

(a∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则 a 的值为( C.﹣1 D.0



【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】由复数的除法运算化复数为 a+bi(a,b∈R)的形式,由实部等于 0 且虚部不等于 0 列方程求出实数 a 的值. 【解答】解:根据复数 z= 得 解得 a=2; 所以使复数 故选:B. 是纯虚数的实数 a 的值为 2. , = = + i 是纯虚数,

3.已知

=2,则 tanα=(



A.

B.﹣

C.

D.﹣5

【考点】三角函数的化简求值. 【分析】利用诱导公式,同角三角函数基本关系式化简已知等式即可得解. 【解答】解:∵ ∴解得:tanα=﹣5.
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=

=

=2,

故选:D. 4.A,B,C 三位抗战老兵应邀参加了在北京举行的“纪念抗战胜利 70 周年”大阅兵的老兵 方队,现安排这三位老兵分别坐在某辆检阅车的前三排(每两人均不坐同一排) ,则事件“A 或 B 坐第一排”的概率为( ) A. B. C. D.

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】安排这 3 位老兵分别坐在某辆检阅车的前 3 排(每两人均不坐同一排) ,先求出基 A B 本事件总数,再求出 或 坐第一排的种数,根据概率公式计算即可. 【解答】解:安排这 3 位老兵分别坐在某辆检阅车的前 3 排(每两人均不坐同一排) ,基本 3 事件总数 A3 =6, A 或 B 坐第一排有 C21A22=4 种, 故“A 或 B 坐第一排”的概率为 = , 故选:A. 5.已知圆 O 的方程为 x2+y2=1,直线 l 的方程为 y=k(x﹣1)+3,则“k= O 相切”的. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离,求出 k 的值,再根据充分必 要条件的定义判断即可. 【解答】解:O 的方程为 x2+y2=1,表示以(0,0)为圆心、半径 r=1 的圆. 求出圆心到直线 l 的方程为 y=k(x﹣1)+3 的距离为 d= =1,

“是”直线 l 与圆

解得 k= , 故“k= “是”直线 l 与圆 O 相切”充要条件,

故选:C.

6.椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的两焦点为 F1,F2,P 为椭圆 C 上一点,且 PF2⊥x 轴, )

若△PF1F2 的内切圆半径 r= ,则椭圆 C 的离心率为( A. B. C. D.

【考点】椭圆的简单性质.

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【分析】 设出椭圆的焦点坐标, 令 x=c, 求得|PF2|=

, 由椭圆的定义可得, |PF1|=2a﹣



在直角△PF1F2 中,运用面积相等,可得内切圆的半径 r,由条件化简整理,结合离心率公 式,计算即可得到所求值. 【解答】解:由椭圆 C: + =1(a>b>0)的两焦点为 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,

P 为椭圆 C 上一点,且 PF2⊥x 轴, 可得|F1F2|=2c,由 x=c,可得 y=±b 即有|PF2|= , , =± ,

由椭圆的定义可得,|PF1|=2a﹣ 在直角△PF1F2 中,

|PF2|?|F1F2|= r(|F1F2|+|PF1|+|PF2|) , = c,

可得△PF1F2 的内切圆半径 r= 即有 2b2=2(a2﹣c2)=a(a+c) , 整理,得 a=2c, 椭圆 C 的离心率为 e= = . 故选:B.

7.已知某几何体的三视图如图所示,则几何体的体积为(



A.

+

B.

+

C.

+

D.

+

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图知该几何体是一个组合体:上面是三棱锥、下面是半球,由三视图求出几 何元素的长度,由球体、锥体的体积公式求出该几何体的体积. 【解答】解:根据三视图可知几何体是一个组合体:上面是三棱锥、下面是半球, 且三棱锥的底面是等腰直角三角形、直角边为 1,高为 1,
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由圆的直径所对的圆周角是直角得球的半径是



∴几何体的体积 V=

= 故选 D.



8. 《张丘建算经》卷上第 22 题为“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三 丈.”其意思为:现有一善于织布的女子,从第 2 天开始,每天比前一天多织相同量的布, 第 1 天织了 5 尺布,现在一月(按 30 天计算)共织 390 尺布,记该女子一月中的第 n 天所 织布的尺数为 an,则 a14+a15+a16+a17 的值为( A.55 B.52 C.39 D.26 【考点】等差数列的前 n 项和. )

【分析】 设从第 2 天开始, 每天比前一天多织 d 尺布, 由等差数列前 n 项和公式求出 d= 由此利用等差数列通项公式能求出 a14+a15+a16+a17. 【解答】解:设从第 2 天开始,每天比前一天多织 d 尺布, 则 解得 d= , =390,



∴a14+a15+a16+a17=a1+13d+a1+14d+a1+15d+a1+16d =4a1+58d =4×5+58× =52. 故选:B.

9.将函数 f(x)=2sin(2x+

)的图象向左平移

个单位,再把所有点的横坐标缩短到

原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,则下面对函数 y=g(x)的叙述正确 的是( ) )

A.函数 g(x)=2sin(x+ B.函数 g(x)的周期为 π

C.函数 g(x)的一个对称中心为点(﹣ D.函数 g(x)在区间[ ,

,0)

]上单调递增

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.

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【分析】利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,求得 g(x)的解析式,再利用正弦函 数的周期性、单调性以及它的图象的对称性,得出结论. 【解答】解:将函数 f(x)=2sin(2x+ (x+ )+ ]=2sin(2x+ )的图象向左平移 个单位,可得函数 y=2sin[2

)的图象; )

再把所有点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)=2sin(4x+ 的图象, 故 g(x)的周期为 令 x=﹣ 在区间[ 故选:C. = ,排除 A、B.

,求得 f(x)=0,可得 g(x)的一个对称中心为点(﹣ , ]上,4x+ ∈[π,

,0) ,故 C 满足条件.

],函数 g(x)没有单调性,故排除 D,

10.执行如图所示的程序框图,其中输入的 ai(i=1,2,…10)依次是:﹣3,﹣4,5,3,4, ﹣5,6,8,0,2,则输出的 V 值为( )

A.16

B.

C.

D.

【考点】程序框图. 【分析】模拟程序的运行,可得程序框图的功能是计算并输出 V= T 的值即可得解. 【解答】解:根据题意,本程序框图中循环体为“直到型”循环结构, 模拟程序的运行,可得程序框图的功能是计算并输出 V=
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的值,由题意计算 S,

的值.

由题意可得:S=3+4+5+6+8+2,T=(﹣3)+(﹣4)+(﹣5)+0, 所以:V= 故选:B. = = .

11.设关于 x,y 的不等式组

,表示的平面区域内存在点 M(x0,y0) ,满足

x0+2y0=5,则实数 t 的取值范围是( ) A. C. (﹣∞,﹣1] B.[1,+∞) (﹣∞,1]

D.以上都不正确

【考点】简单线性规划. 【分析】作出可行域,根据可行域满足的条件判断可行域边界 x﹣2y=t 的位置,列出不等式 解出. 【解答】解:作出可行域如图:

∵平面区域内存在点 M(x0,y0) ,满足 x0+2y0=5, ∴直线 x+2y=5 与可行域有交点, 解方程组 得 A(2, ) .

∴点 A 在直线 x﹣2y=t 上或在直线 x﹣2y=t 下方. 由 x﹣2y=t 得 y= ∴ 故选:A. 12.定义在 R 上的函数 f(x)满足:①f(﹣x)=﹣f(x) ;②f(x+2)=f(x) ;③x∈[0, 1]时,f(x)=log A.8 B.6 (x2﹣x+1) ,则函数 y=f(x)﹣log3|x|的零点个数为( C.4 D.2 ) .

,解得 t≤﹣1.

【考点】函数零点的判定定理.
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【分析】由已知画出两个函数 f(x)=log 答案.

(x2﹣x+1)与 y=log3|x|的简图,数形结合得

【解答】解:由①②可知,f(x)是周期为 2 的奇函数,又 x∈[0,1]时,f(x)=log ﹣x+1) , 可得函数 f(x)在 R 上的图象如图,

(x2

由图可知,函数 y=f(x)﹣log3|x|的零点个数为 6 个, 故选:B. 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知正项数列{an}满足 【考点】数列的求和. 【分析】 由正项数列{an}满足 =4 an+1=2an, , 两边开方可得: 可得公比 q=2. 又 a3a5=64, =4 ,且 a3a5=64,则数列{an}的前 6 项和 S6= 63 .

利用等比数列的通项公式可得 a1.再利用等比数列的求和公式即可得出. 【解答】解:∵正项数列{an}满足 ∴公比 q=2.∵a3a5=64,∴ 则数列{an}的前 6 项和 S6= 故答案为:63. =4 ,∴an+1=2an,

=64,解得 a1=1. =63.

14.已知向量 =(m,n﹣1) , =(1,1) ,且 ⊥ ,则 mn 的最大值为



【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】首先由向量的垂直得到关于 m,n 的等式,然后利用基本不等式求 mn 的最值. =m+n﹣1=0,即 【解答】解:因为向量 =(m,n﹣1) , =(1,1) ,且 ⊥ ,所以 m+n=1,所以 mn ,

当且仅当 m=n 时取等号,所以 mn 的最大值为 .

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故答案为: 15.已知 F 是抛物线 y2=2x 的焦点,A,B 是抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,若直线 AB 的斜率为 3,则线段 AB 的中点 P 的坐标为 (1, ) . 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,代入抛物线的方程,求得抛物线的焦点和准线方程, 运用抛物线的定义,以及中点坐标公式,结合直线的斜率公式,化简整理,即可得到所求中 点 P 的坐标. 【解答】解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 2 2 可得 y1 =2x1,y2 =2x2, 抛物线 y2=2x 的焦点为 F( ,0) ,准线为 x=﹣ , 由抛物线的定义,可得|AF|=x1+ ,|BF|=x2+ , 由 AF|+|BF|=3,可得 x1+x2+1=3, 即 x1+x2=2,即 =1,

AB 的中点的横坐标为 1,

又 kAB=

=

=

=3,

即为 y1+y2= ,则

= .

则 AB 的中点坐标为(1, ) . 故答案为: (1, ) .

16.若函数 f(x)=

(a>0 且 a≠1)在区间[ ,+∞)内单调递

减,则 a 的取值范围是 (0, ] . 【考点】函数单调性的性质.

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【分析】由题意利用 函数的单调性与导数的关系可得

,由此求得 a 的

范围.

【解答】解:∵函数 f(x)=

(a>0 且 a≠1)在区间[ ,+∞)

内单调递减, 当 ≤x≤1 时,f′(x)=﹣3x2+a≤0,且﹣1+a+ ≥2a﹣1,



,求得 0<a≤ ,

故答案为: (0, ].

三.解答题 (本大题共 5 小题, 共 70 分, 解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 b=c,sinA﹣sinB=( ﹣1) sinC. (1)求 B 的大小; (2)若△ABC 的面积为 4 ,求 a,b,c 的值. 【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】 (1)利用正弦定理化简已知可得 a﹣b=( )c,结合 b=c,可得 a= 余弦定理可求 cosB,结合范围 B∈(0,π) ,即可得解 B 的值. 2 c ( )利用已知及三角形面积公式可求 的值,结合(1)即可求得 b,a 的值. 【解答】解: (1)∵sinA﹣sinB=( ﹣1)sinC. ∴由正弦定理可得:a﹣b=( )c, 又∵b=c,可得 a= . ∴cosB= 又∵B∈(0,π) , ∴B= (2)∵△ABC 的面积为 4 ∴ ∴由(1)可得:b=4,a=4 , =4 ,解得:c=4, = = , ,由

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18.到 2016 年,北京市高考英语总分将由 150 分降低到 100 分,语文分值将相应增加.某 校高三学生率先尝试 100 分制英语考试,从中随机抽出 50 人的英语成绩作为样本并进行统 计,将测试结果按如下方式分成五组:第一组[50,60],第二组[60,70],…第五组[90, 100],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (1)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计这次参加英语考 试的高三学生的英语平均成绩; (2)从这五组中抽取 14 人进行座谈,若抽取的这 14 人中,恰好有 2 人成绩为 50 分,7 人 成绩为 70 分,2 人成绩为 75 分,3 人成绩为 80 分,求这 14 人英语成绩的方差; (3)从 50 人的样本中,随机抽取测试成绩在[50,60]∪[90,100]内的两名学生,设其测 试成绩分别为 m,n (i)求事件“|m﹣n|>30”的概率; (ii)求事件“mn≤3600”的概率.

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 【分析】 (1)由频率分布直方图能估计高三学生的英语平均成绩. (2)先求出这 14 人英语成绩的平均分,由此能求出这 14 人英语成绩的方差. (3) (i)由直方图知成绩在[50,60]内的人数为 2,设其成绩分别为 a,b,c,利用列举法 能求出事件“|m﹣n|>30”的概率. (ii)由事件 mn≤3600 的基本事件只有(x,y)这一种,能求出事件“mn≤3600”的概率. 【解答】解: (1)估计高三学生的英语平均成绩为: 55×0.004×10+65×0.018×10+75×0.040×10+85×0.032×10+95×0.006×10=76.8. (2)这 14 人英语成绩的平均分为: = ∴这 14 人英语成绩的方差: S2= [2(50﹣70)2+7(70﹣70)2+2(75﹣70)2+3(80﹣70)2]= . =70,

(3) (i)由直方图知成绩在[50,60]内的人数为:50×10×0.004=2, 设其成绩分别为 a,b,c, 若 m,n∈[50,60)时,只有(x,y)一种情况, 若 m,n∈[90,100]时,有(a,b) , (b,c) , (a,c)三种情况, 若 m,n 分别在[50,60)和[90,100]内时,有: a b c x (x,a) (x,b) (x,c) y (y,a) (y,b) (y,c) 共 6 种情况, ∴基本事件总数为 10 种,
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事件“|m﹣n|>30”所包含的基本事件有 6 种, ∴P(|m﹣n|>30)= .

(ii)事件 mn≤3600 的基本事件只有(x,y)这一种, ∴P(mn≤3600)= .

19.如图,△ADM 是等腰直角三角形,AD⊥DM,四边形 ABCM 是直角梯形,AB⊥BC, MC⊥BC,且 AB=2BC=2CM=2,平面 ADM⊥平面 ABCM. (1)求证:AD⊥BD; (2)若点 E 是线段 DB 上的一动点,问点 E 在何位置时,三棱锥 M﹣ADE 的体积为 ?

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系. 【分析】 (1)根据平面几何知识可证明 AM⊥BM,故而 BM⊥平面 ADM,于是 BM⊥AD, 结合 AD⊥DM 可得 AD⊥平面 BDM,于是 AD⊥BD; (2)令 ,则 E 到平面 ADM 的距离 d=λ?BM= ,代入棱锥的体积公式即可得出

λ,从而确定 E 的位置. 【解答】证明: (1)∵四边形 ABCM 是直角梯形,AB⊥BC,MC⊥BC,AB=2BC=2MC=2, ∴BM=AM= , ∴BM2+AM2=AB2,即 AM⊥BM. ∵平面 ADM⊥平面 ABCM,平面 ADM∩平面 ABCM=AM,BM? 平面 ABCM, ∴BM⊥平面 DAM,又 DA? 平面 DAM, ∴BM⊥AD,又 AD⊥DM,DM? 平面 BDM,BM? 平面 BDM,DM∩BM=M, ∴AD⊥平面 BDM,∵BD? 平面 BDM, ∴AD⊥BD. (2)由(1)可知 BM⊥平面 ADM,BM= , 设 ,则 E 到平面 ADM 的距离 d= . ,

∵△ADM 是等腰直角三角形,AD⊥DM,AM= ∴AD=DM=1, ∴VM﹣ADE=VE﹣ADM= 即 ∴ . = = . .

∴E 为 BD 的中点.
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20.已知圆 C 的圆心与双曲线 M:y2﹣x2= 的上焦点重合,直线 3x+4y+1=0 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=4. (1)求圆 C 的标准方程; O 为坐标原点, D(﹣2,0) (2) ,E (2,0)为 x 轴上的两点, 若圆 C 内的动点 P 使得|PD|, |PO|,|PE|成等比数列,求 ? 的取值范围. 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】 (1)求出双曲线的标准方程求出焦点坐标,利用直线和圆相交的弦长公式进行求解 即可. (2)根据|PD|,|PO|,|PE|成等比数列,建立方程关系,结合向量数量积的坐标进行化 简求解即可. 【解答】解: (1)双曲线的标准方程为 即双曲线的焦点 C(0,1) , 圆心 C 到直线 3x+4y+1=0 的距离 d= 则半径 r= , =1,则 c= =1,

.故圆 C 的标准方程为 x2+(y﹣1)2=5.

(2)设 P(x,y) ,∵|PD|,|PO|,|PE|成等比数列, ∴ ? =x2+y2,

整理得 x2﹣y2=2, 故 ? =(﹣2﹣x,﹣y)?(2﹣x,﹣y)=x2﹣4+y2=2(y2﹣1) , 由于 P 在圆 C 内,则 得 y2﹣y﹣1<0,得 则 0≤y2<( )2= ,

<y< ,



∴2(y2﹣1)∈[﹣2,1+ ) , 则 ? 的取值范围是[﹣2,1+

) .

21.已知函数 f(x)=lnx+ (a>1) . (1)若函数 f(x)的图象在 x=1 处的切线斜率为﹣1,求该切线与两坐标轴围成的三角形 的面积; (2)若函数 f(x)在区间[1,e]上的最小值是 2,求 a 的值. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)求出函数的导数,根据 f′(1)=﹣1,求出 a 的值,从而求出切线方程即可; (2)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,单调函数的单调区间,求出函数的最小值,从 而求出 a 的值即可.
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【解答】解: (1)由 f(x)=lnx+ ,

得:f′(x)=

,则 f′(1)=1﹣a,

由切线斜率为﹣1,得 1﹣a=﹣1, 解得:a=2,则 f(1)=2, ∴函数 f(x)在 x=1 处的切线方程是 y﹣2=﹣(x﹣1) , 即 x+y﹣3=0, 故与两坐标轴围成的三角形的面积为: ×3×3= ;

(2)由(1)知,f′(x)=

,x∈[1,e],

①1<a<e 时,在区间[1,a]上有 f′(x)<0,函数 f(x)在区间[1,a]上单调递减, 在区间(a,e]上有 f′(x)>0,函数 f(x)在区间(a,e]上单调递增, ∴f(x)的最小值是 f(a)=lna+1, 由 lna+1=2 得:a=e 与 1<a<e 矛盾, ②a=e 时,f′(x)≤0,f(x)在[1,e]上递减, ∴f(x)的最小值是 f(e)=2,符合题意; ③a>e 时,显然 f(x)在区间[1,e]上递减, 最小值是 f(e)=1+ >2,与最小值是 2 矛盾; 综上,a=e. 请考生在 22.23.24 题三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分)[选修 4-1: 几何证明选讲] 22.如图,直线 PB 与⊙O 交于 A,B 两点,OD⊥AB 于点 D,PC 是⊙O 的切线,切点为 C. (1)求证:PC2+AD2=PD2 (2)若 BC 是⊙O 的直径,BC=3BD=3,试求线段 BP 的长.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (1)由垂径定理和切割线定理得 AD=BD,PC2=PA?PB=(PD﹣AD) (PD+AD) , 2 2 2 由此能证明 PC +AD =PD . (2)求出 AB=2BD=2,在 Rt△BCP 中,由射影定理得 BC2=BA?BP,即可求出线段 BP 的 长. 【解答】证明: (1)∵直线 PB 与圆 O 交于 A,B 两点,OD⊥AB 于点 D,PC 是圆 O 的切 线,切点为 C. ∴AD=BD,PC2=PA?PB=(PD﹣AD) (PD+AD)=PD2﹣AD2,
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∴PC2+AD2=PD2. 解: (2)∵BC 是⊙O 的直径, ∴AC⊥AB, ∵D 是 AB 的中点, ∴AB=2BD=2, 在 Rt△BCP 中,由射影定理得 BC2=BA?BP, ∴BP= = .

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.设点 A 是曲线 C: , (θ 为参数)上的动点,点 B 是直线 l: ,

(t 为参数)上的动点 (1)求曲线 C 与直线 l 的普通方程; (2)求 A,B 两点的最小距离. 【考点】参数方程化成普通方程. 【分析】 (1)由曲线 C: , (θ 为参数) ,利用 cos2θ+sin2θ=1 可得普通方程.由

直线 l:

, (t 为参数) ,消去参数 t 化为普通方程.

sinθ) (2) 设A (2cosθ, , 点 A 到直线 l 的距离 d= 利用三角函数的单调性与值域即可得出最值. 【解答】解: (1)由曲线 C: 可得普通方程: =1. , (θ 为参数) ,

(其中 tanφ=4) ,

由直线 l:

, (t 为参数)化为普通方程:2x﹣y﹣5=0.

(2)设 A(2cosθ,sinθ) ,点 A 到直线 l 的距离 d= = (其中 tanφ=4) ,当 sin(θ﹣φ)=﹣1 时, d 取得最小值 = .

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣4|. (1)求不等式 f(x)<0 的解集;

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(2)若函数 g(x)=

的定义域为 R,求实数 m 的取值范围.

【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式. 【分析】 (1)通过讨论 x 的范围,求出不等式的解集即可; (2)问题等价于 m=f(x)在 R 无解,求出 f(x)的范围,从而求出 m 的范围即可. 【解答】解: (1)原不等式即为|x﹣2|﹣|x﹣4|<0, 若 x≤2,则 2﹣x+x﹣4<0,符合题意,∴x≤2, 若 2<x<4,则 x﹣2+x﹣4<0,解得:x<3,∴2<x<3, 若 x≥4,则 x﹣2﹣x+4<0,不合题意, 综上,原不等式的解集是{x|x<3}; (2)若函数 g(x)= 的定义域为 R,

则 m﹣f(x)=0 恒不成立, 即 m=f(x)在 R 无解, |f(x)|=||x﹣2|﹣|x﹣4||≤|x﹣2﹣(x﹣4)|=2, 当且仅当(x﹣2) (x﹣4)≤0 时取“=”, ∴﹣2≤f(x)≤2, 故 m 的范围是(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) .

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2016 年 9 月 18 日

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