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2013高中数学精讲精练 第八章 直线和圆的方程


2013 高中数学精讲精练 第八章 直线和圆的方程
【知识图解】 中点坐标 点 两点间距离 直线斜率与倾斜角 点斜式 直 线 与 圆 的 方 程 方 程 形 式 斜截式 两点式 截距式 一般式 平行 两条直线位置关系 相交 点与直线位置关系 标准方程 一般方程 圆 位置关系 空间直角坐标系 【方法点拨】 1.掌握直线的倾斜角,斜率以及直线方程的各种形式,能正确地判断两直

线位置关系,并能熟练地利 用距离公式解决有关问题.注意直线方程各种形式应用的条件.了解二元一次不等式表示的平面区域,能 解决一些简单的线性规划问题. 2.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法,并能够熟练运用对称性来解决问题. 3.熟练运用待定系数法求圆的方程. 4.处理解析几何问题时,主要表现在两个方面:(1)根据图形的性质,建立与之等价的代数结构;(2)根 据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质. 5.要重视坐标法,学会如何借助于坐标系,用代数方法研究几何问题,体会这种方法所体现的数形结 合思想. 6.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题;还要注意综合运用三角函数、平面向量 等与本章内容关系比较密切的知识.
第 1 页 【精讲精练】共 12 页

直 线

垂直

点到直线的距离

方程形式

点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系

第1课
【考点导读】

直线的方程

理解直线倾斜角、斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的几种形式,能根据条 件,求出直线的方程. 高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方程,属中、 低档题,多以填空题和选择题出现,每年必考. 【基础练习】 1. 直线 xcosα+ 3 y+2=0 的倾斜角范围是 ? 0,
? ?

? ?
6? ?

?

? 5? ? ,? ? ? 6 ? ?

2. 过点 P ( 2 , 3 ) ,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 x ? y ? 1 ? 0 或 3 x ? 2 y ? 0 3.直线 l 经过点 (3, , -1) 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形, 则直线 l 的方程为 y ? x ? 4 或 y ? ? x ? 2 4.无论 k 取任何实数,直线 ? 1 ? 4 k ? x ? ? 2 ? 3 k ? y ? ? 2 ? 1 4 k ? ? 0 必经过一定点 P,则 P 的坐标为(2,2) 【范例导析】 例 1.已知两点 A(-1,2) 、B(m,3) (1)求直线 AB 的斜率 k; (2)求直线 AB 的方程; (3)已知实数 m ? ? ?
? ? 3 3 ? 1, ? 3 ? 1 ? ,求直线 AB 的倾斜角 α 的取值范围. ?

分析:运用两点连线的子斜率公式解决,要注意斜率不存在的情况. 解:(1)当 m=-1 时,直线 AB 的斜率不存在. 当 m≠-1 时, k ?
1 m ?1



(2)当 m=-1 时,AB:x=-1, 当 m≠1 时,AB: y ? 2 ?
1 m ?1

? x ? 1? .

(3)①当 m=-1 时, ? ? ②当 m≠-1 时, ∵k ?

?
2



? 3 ? ?? , ? 3 ? ? ? , ?? ? m ?1 3 ? 1

?

? ? ? ?

? ? ? ? ? ? 2? ? ∴? ? ? , ? ? ? , ? ?6 2 ? ? 2 3 ? ? ? 2? ? 故综合①、②得,直线 AB 的倾斜角 ? ? ? , ? ?6 3 ?

点拨:本题容易忽视对分母等于 0 和斜率不存在情况的讨论.
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例 2.直线 l 过点 P(2,1),且分别交 x 轴、y 轴的正半轴于点 A、B、O 为坐标原点. (1)当△AOB 的面积最小时,求直线 l 的方程; (2)当|PA|?|PB|取最小值时,求直线 l 的方程. 分析: 引进合适的变量,建立相应的目标函数,通过寻找函数最值的取得条件来求 l 的方程.
1 k 1 ?k

解 (1)设直线 l 的方程为 y-1=k(x-2),则点 A(2△AOB 的面积 S=
1 2

,0),B(0,1-2k),且 2-

1 k

>0, 1-2k>0,即 k<0.
1 2

(1-2k)(2-

1 k

)=

1 2

[(-4k)+

1 ?k

+4]≥4,当-4k=

,即 k= ?

时, △AOB 的面积有最小值

4,则所求直线方程是 x+2y-4=0. (2)解法一:由题设,可令直线方程 l 为 y-1=k(x-2). 分别令 y=0 和 x=0,得 A(21 k

,0),B(0,1-2k),
1 k
2

∴|PA|?|PB|= ( 4 ? 4 k )(1 ?
2

) ?

8 ? 4(k ?
2

1 k
2

) ? 4 ,当且仅当 k =1,即 k=±1 时, |PA|?|PB|取得最

2

小值 4.又 k<0, ∴k=-1,这是直线 l 的方程是 x+y-3=0. 解法二:如下图,设∠BAO=θ,由题意得 θ∈(0, 当且仅当 θ=
?
4

?
2

),且|PA|?|PB|=

| PE | | PF | 4 ? ? ?4 sin ? cos ? sin 2?

时, |PA|?|PB|取得最小值 4,此时直线 l 的斜率为-1, 直线 l 的方程是 x+y-3=0. y B F O P E 例2图 A x

点评

①求直线方程的基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量.

②在研究最值问题时,可以从几何图形开始,找到取最值时的情形,也可以从代数角度出发,构建目标函 数,利用函数的单调性或基本不等式等知识来求最值. 例 3.直线 l 被两条直线 l1:4x+y+3=0 和 l2:3x-5y-5=0 截得的线段中点为 P(-1,2).求直线 l 的方 程. 分析 本题关键是如何使用好中点坐标,对问题进行适当转化. 解:解法一 设直线 l 交 l1 于 A(a,b) ,则点(-2-a,4-b)必在 l2,所以有
?4a ? b ? 3 ? 0 ?a ? ?2 ,解得 ? ? ? 3( ? 2 ? a ) ? 5( 4 ? b ) ? 5 ? 0 ?b ? 5

直线 l 过 A(-2,5),P(-1,2),它的方程是 3x+y+1=0. 解法二 由已知可设直线 l 与 l1 的交点为 A(-1+m,2+n) ,则直线 l 与 l2 的交点为 B(-1-m,2-n) ,

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且 l 的斜率 k= 所以 k=-3,

n m

,∵A,B 两点分别 l1 和 l2 上,∴ ?

? 4(?1 ? m ) ? (2 ? n) ? 3 ? 0 ? 3( ? 1 ? m ) ? 5( 2 ? n ) ? 5 ? 0

,消去常数项得-3m=n,

从而直线 l 的方程为 3x+y+1=0. 解法三 设 l1、l2 与 l 的交点分别为 A,B,则 l1 关于点 P(-1,2)对称的直线 m 过点 B,利用对称关系可

求得 m 的方程为 4x+y+1=0,因为直线 l 过点 B,故直线 l 的方程可设为 3x-5y-5+λ(4x+y+1)=0. 由于直线 l 点 P(-1,2) ,所以可求得 λ=-18,从而 l 的方程为 3x-5y-5-18(4x+y+1)=0,即 3x +y+1=0. 点评 本题主要复习有关线段中点的几种解法,本题也可以先设直线方程,然后求交点,再根据中点坐标

求出直线 l 的斜率,但这种解法思路清晰,计算量大,解法一和解法二灵活运用中点坐标公式,使计算简 化,对解法二还可以用来求已知中点坐标的圆锥曲线的弦所在直线方程,解法三是利用直线系方程求解, 对学生的思维层次要求较高。 【反馈练习】 1.已知下列四个命题①经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示;②经过任意两个不同点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示;③不经过原点的直线都可以用方程
x a

+

y b

=1 表示;④经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示,其中正确的是①③④

2.设直线 l 的方程为 2 x ? ? k ? 3 ? y ? 2 k ? 6 ? 0 ? k ? 3 ? ,当直线 l 的斜率为-1 时,k 值为__5__,当直线 l 在 x 轴、y 轴上截距之和等于 0 时,k 值为 1 或 3 3.设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 ? ,且 sin ? +cos ? =0,则 a,b 满足的关系式为 a ? b ? 0 4.若直线 l: y=kx ?

3 与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限, 则直线 l 的倾斜角的取值范围是 (

? ?
, 6 2

)

5.若直线 4x-3y-12=0 被两坐标轴截得的线段长为

1 c

,则 c 的值为

1 5
?1 ?2 ? ,? 1 ?

6.若直线(m ─1)x─y─2m+1=0 不经过第一象限,则实数 m 的取值范围是 ?

2

7.已知两直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 的交点为 P(2,3) ,求过两点 Q1(a1,b1) 2(a2,b2) 1 、Q (a ≠a2)的直线方程 分析:利用点斜式或直线与方程的概念进行解答 解:∵P(2,3)在已知直线上,∴ 2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=0 ∴2(a1-a2)+3(b1-b2)=0,即
b1 ? b 2 a1 ? a 2

=-

2 3

∴所求直线方程为 y-b1=-

2 3

(x-a1)

∴2x+3y-(2a1+3b1)=0,即 2x+3y+1=0 点拨:1.由已知求斜率; 2.运用了整体代入的思想,方法巧妙.
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8.一条直线经过点 P(3,2) ,并且分别满足下列条件,求直线方程: (1)倾斜角是直线 x-4y+3=0 的倾斜角的 2 倍; (2)与 x、y 轴的正半轴交于 A、B 两点,且△AOB 的面积最小(O 为坐标原点) 解: (1)设所求直线倾斜角为 θ,已知直线的倾斜角为 α,则 θ=2α,且 tanα= 从而方程为 8x-15y+6=0 (2)设直线方程为
x a
1 4

,tanθ=tan2α=

8 15





y b

=1,a>0,b>0,
6 ab

代入 P(3,2) ,得
1 2

3 a



2 b

=1≥2

,得 ab≥24,

从而 S△AOB= 此时
3 a

ab≥12,
b a



2 b

,∴k=-

=-

2 3

点拨:此题(2)也可以转化成关于 a 或 b 的一元函数后再求其最小值

第2课
【考点导读】

两条直线的位置关系

1.掌握两条直线平行与垂直的条件, 能根据直线方程判定两条直线的位置关系, 会求两条相交直线的交点, 掌握点到直线的距离公式及两平行线间距离公式. 2.高考数学卷重点考察两直线平行与垂直的判定和点到直线的距离公式的运用,有时考察单一知识点,有 时也和函数三角不等式等结合,题目难度中等偏易. 【基础练习】 1.已知过点 A(-2,m)和 B(m,4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行,则 m 的值为-8 2.过点(-1,3)且垂直于直线 x-2y+3=0 的直线方程为 2x+y-1=0 3.若三条直线 2 x ? 3 y ? 8 ? 0, x ? y ? 1 ? 0 和 x ? ky ? k ? 【范例导析】 例 1.已知两条直线 l1 :x+m2y+6=0, l 2 :(m-2)x+3my+2m=0,当 m 为何值时, l1 与 l 2 (1) 相交; (2)平行; (3)重合? 分析:利用垂直、平行的充要条件解决. 解:当m=0 时, l1 :x+6=0, l 2 :x=0,∴ l1 ∥ l 2 , 当m=2 时, l1 :x+4y+6=0, l 2 :3y+2=0 ∴ l1 与 l 2 相交;
1 2 ? 0 相交于一点,则 k 的值等于 ? 1 2 .

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当 m≠0且 m≠2时,由

1 m ?2

?

m

2

3m

得 m=-1或 m=3,由

1 m ?2

?

6 2m

得 m=3

故(1)当 m≠-1且 m≠3且 m≠0时 l1 与 l 2 相交。 (2)m=-1或 m=0时 l1 ∥ l 2 , (3)当 m=3时 l1 与 l 2 重合。 点拨:判断两条直线平行或垂直时,不要忘了考虑两条直线斜率是否存在. 例 2.已知直线 l 经过点 P(3,1) ,且被两平行直线 l1 :x+y+1=0 和 l 2 :x+y+6=0 截得的线段之长为 5。求直 线 l 的方程。 分析:可以求出直线 l 与两平行线的交点坐标,运用两点距离公式求出直线斜率 解法一::若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x=3,此时与 l1 、 l 2 的交点分别是 A1(3,-4)和 B1 (3, , -9) 截得的线段 AB 的长|AB|=|-4+9|=5, 符合题意。 若直线 l 的斜率存在, 则设 l 的方程为 y=k (x-3) +1, 解方程组 ?
?x ? y ?1 ? 0 ? ? y ? k ? x ? 3? ? 1 ?

得 A(

3k ? 2 k ?1

,-

4k ? 1 k ?1



解方程组 由|AB|=5 得

?x ? y ? 6 ? 0 3k ? 7 9k ? 1 ? 得 B( ,- ) ? k ?1 k ?1 ? y ? k ? x ? 3? ? 1 ?

? 3k ? 2 3k ? 7 ? ? 4 k ? 1 9 k ? 1 ? ? ? ? ? +? ? ? =25, k ?1 ? ? k ?1 k ?1 ? ? k ?1

2

2

解之,得 k=0,即所求的直线方程为 y=1。 综上可知,所求 l 的方程为 x=3 或 y=1。 解法二.设直线 l 与 l1 、 l 2 分别相交于 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,则 x1+y1+1=0, x2+y2+6=0。两式相减,得(x1-x2)+(y1-y2)=5 又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25 联立① ②,可得 ?
? x1 ? x 2 ? 5 ? y1 ? y 2 ? 0

① ②

或?

? x1 ? x 2 ? 0 ? y1 ? y 2 ? 5

由上可知,直线 l 的倾斜角为 0°或 90°,又由直线 l 过点 P(3,1) ,故所求 l 的方程为 x=3 或 y=1。 点拨:用待定系数法求直线方程时,要注意对斜率不存在的情况的讨论. 【反馈练习】 1.已知直线 l 在 x 轴上的截距为 1,且垂直于直线 y 2.若直线 ax
? (1 ? a ) y ? 3

?

1 2

x

,则 l 的方程是 y
a ? -3 或 1

? ?2 x ? 2

与 ( a ? 1) x ? ( 2 a ? 3 ) y

? 5 互相垂直,则
2

3.若直线 l1:ax+2y+6=0 与直线 l2:x+(a-1)y+(a -1)=0 平行,则 a 的值是___-1___.
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4.已知 0

?? ?

?
2

,且点 (1, cos ? ) 到直线 x sin ?
? 0

? y cos ? ? 1 的距离等于

1 4

,则 ? 等于
0

?
6

5. 经过直线 2 x ? 3 y ? 7

与 7 x ? 15 y ? 1 ? 0 的交点,且平行于直线 x ? 2 y ? 3 ?

的直线方程是 3x+6y-2=0

6.线 l1 过点 A ( 5 , 0 ) , l 2 过点 B ( 0 ,1) , l1 ∥ l 2 ,且 l1 与 l 2 之间的距离等于 5,求 l1 与 l 2 的方程。 解: l1 与 l 2 的方程分别为:12x-5y-60=0,12x-5y+5=0 或 x=5,x=0 7.已知?ABC 的三边方程分别为 AB: 4 x ? 3 y ? 10 ? 0 ,BC: y ? 2 ? 0 ,CA: 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 . 求: (1)AB 边上的高所在直线的方程; (2)∠BAC 的内角平分线所在直线的方程. 解: (1)AB 边上的高斜率为 ?
3 4

且过点 C,解方程组 ?

?y ?2 ? 0 ?3 x ? 4 y ? 5 ? 0

得点 C(

13 3

,2)所以 AB 边上的高

方程为 3 x ? 4 y ? 21 ? 0 . (2)设 P ? x , y ? 为∠BAC 的内角平分线上任意一点,则
4 x ? 3 y ? 10 4 ? ? ?3?
2 2

?

3x ? 4 y ? 5 3 ? ? ?4 ?
2 2

解得 7 x ? 7 y ? 5 ? 0

或 x ? y ? 15 ? 0 ,由图形知 7 x ? 7 y ? 5 ? 0 即为所求.

第3课
【考点导读】

圆的方程

1.掌握圆的标准方程与一般方程,能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程;理解圆的标准方程与一 般方程之间的关系,会进行互化。 2.本节内容主要考查利用待定系数法求圆的方程,利用三角换元或数形结合求最值问题,题型难度以容易 题和中档题为主. 【基础练习】 1.已知点 A(3,-2),B(-5,4),以线段 AB 为直径的圆的方程为(x + 1)2 + (y-1)2 = 25 2.过点 A(1,-1) 、B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=4 3.已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3 x ? 4 y ? 4 ? 0 与圆 C 相切,则圆 C 的方程为
x ? y ? 4x ? 0
2 2

4.圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? c ? 0 与 y 轴交于 A、B 两点,圆心为 P,若∠APB=120°,则实数 c 值为_-11__
2 2

5.如果方程 x 2 ? y 2 ? D x ? E y ? F ? 0 ? D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 ? 所表示的曲线关于直线 y ? x 对称,那么必有
__D=E__ 【范例导析】 【例1】 设方程 x ? y ? 2( m ? 3) x ? 2(1 ? 4 m ) y ? 16 m ? 9 ? 0 ,若该方程表示一个圆,求 m 的取值范
2 2 2 4

围及这时圆心的轨迹方程。
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分析:配成圆的标准方程再求解 解:配方得: ? x ? ( m ? 3) ? ? ? y ? (1 ? 4 m ) ? ? 1 ? 6 m ? 7 m ? ?
2 2 2 2

该方程表示圆,则有 1 ? 6 m ? 7 m ? 0 ,
2

得 m ? (?

?x ? m ? 3 1 2 ,1) ,此时圆心的轨迹方程为 ? ,消去 m,得 y ? 4 ( x ? 3) ? 1 ,由 m ? ( ? ,1) 得 2 7 7 ? y ? 4m ? 1

1

x=m+3 ? ?

? 20

? ? 20 ? 2 ,4? , 4 ? ? 所求的轨迹方程是 y ? 4 ( x ? 3) ? 1 , x ? ? ? 7 ? ? 7 ?
? 20 ? ,4? ? 7 ?

注意:方程表示圆的充要条件,求轨迹方程时,一定要讨论变量的取值范围,如题中 x ? ?
2 2

变式 1:方程 a x ? a y ? 4 ( a ? 1) x ? 4 y ? 0 表示圆,求实数 a 的取值范围,并求出其中半径最小的圆的方 程。
2 ( a ? 1) ? 2 2 4(a ? 2a ? 2) ? ? (y ? ) ? 解:原方程可化为 ? x ? 2 ? a a a ? ?
2 2

? a ? 2 a ? 2 ? 0,? 当 a ? 0 时,原方程表示圆。
2

又r ?

4(a ? 2a ? 2)
2

a

2

?

2a ? 2(a ? 4a ? 4)
2 2

a

2

?

2?
2

2?a ? 2? a
2

2

?

2

当 a ? 2, rm in ?

2 ,所以半径最小的圆方程为 ? x ? 1 ? ? ? y ? 1 ? ? 2
2

例 2 求半径为 4,与圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 相切,且和直线 y ? 0 相切的圆的方程.
2 2

分析:根据问题的特征,宜用圆的标准方程求解.
( 解:则题意,设所求圆的方程为圆 C :x ? a ) ? ( y ? b ) ? r .
2 2 2

圆 C 与直线 y ? 0 相切,且半径为 4,则圆心 C 的坐标为 C 1 ( a , 4 ) 或 C 2 ( a , ? 4 ) . 又已知圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 的圆心 A 的坐标为 ( 2 , 1) ,半径为 3.
2 2

若两圆相切,则 CA ? 4 ? 3 ? 7 或 CA ? 4 ? 3 ? 1 .
2 2 2 2 2 2 (1)当 C 1 ( a , 4 ) 时, ( a ? 2 ) ? ( 4 ? 1) ? 7 ,或 ( a ? 2 ) ? ( 4 ? 1) ? 1 (无解),故可得 a ? 2 ? 2 10 .

∴所求圆方程为 ( x ? 2 ? 2 10 ) ? ( y ? 4 ) ? 4 ,或 ( x ? 2 ? 2 10 ) ? ( y ? 4 ) ? 4 .
2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 (2)当 C 2 ( a , ? 4 ) 时, ( a ? 2 ) ? ( ? 4 ? 1) ? 7 ,或 ( a ? 2 ) ? ( ? 4 ? 1) ? 1 (无解),故 a ? 2 ? 2 6 .

∴所求圆的方程为 ( x ? 2 ? 2 6 ) ? ( y ? 4 ) ? 4 ,或 ( x ? 2 ? 2 6 ) ? ( y ? 4 ) ? 4 .
2 2 2 2 2 2

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【反馈练习】 1.关于 x,y 的方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示一个圆的充要条件是 B=0 且 A=C≠0,D2+E2-4AF>0 2.过点 P(-8,-1),Q(5,12),R(17,4)三点的圆的圆心坐标是(5,-1) 3.若两直线 y=x+2k 与 y=2x+k+1 的交点 P 在圆 x2+y2=4 的内部,则 k 的范围是 ?
1 5 ? k ?1

4. 已 知 圆 心 为 点 ( 2 , -3 ) 一 条 直 径 的 两 个 端 点 恰 好 落 在 两 个 坐 标 轴 上 , 则 这 个 圆 的 方 程 是 ,
x ? y ? 4x ? 6 y ? 0
2 2

5.直线 y=3x+1 与曲线 x2+y2=4 相交于 A、B 两点,则 AB 的中点坐标是 ? ?
?

?

1 ? ? 10 10 ? 3 ,

6.方程 x ? 1 ?
2

1 ? ( y ? 1) 表示的曲线是_两个半圆
2

7.圆 ( x ? 3 ) ? ( y ? 4 ) ? 2 关于直线 x ? y ? 0 的对称圆的方程是 ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 2
2
2 2

8.如果实数 x、y 满足等式 ? x ? 2 ? ? y ? 3 ,那么
2 2

y x

的最大值是 3

9.已知点 A (? 1,1) 和圆 C : ( x ? 5 ) ? ( y ? 7 ) ? 4 ,求一束光线从点 A 经 x 轴反射到圆周 C 的最短路程为
2 2

___8___ 10.求经过点 A(5,2),B(3,2),圆心在直线 2x─y─3=0 上的圆的方程; 解:设圆心 P(x0,y0),则有 ? 解得 x0=4, y0=5, ∴半径 r= 10 , ∴所求圆的方程为(x─4)2+(y─5)2=10
新疆 源头学子小屋
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?2 x0 ? y0 ? 3 ? 0 ?( x 0 ? 5) ? ( y 0 ? 2)
2 2

? ( x 0 ? 3) ? ( y 0 ? 2 )
2

2

,

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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11. 一圆与 y 轴相切,圆心在直线 x-3y=0 上,且直线 y=x 截圆所得弦长为 2 7 ,求此圆的方程 解:因圆与 y 轴相切,且圆心在直线 x-3y=0 上, 故设圆方程为 ( x ? 3 b ) ? ( y ? b ) ? 9 b
2 2 2
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又因为直线 y=x 截圆得弦长为 2 7 , 则有 (
| 3b ? b | 2 ) + ( 7 ) =9b ,
2
2

2

解得 b=±1 故所求圆方程为
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( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9 或 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9
2 2 2 2

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点拨:(1)确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程; (2)待定系数法;(3)尽量利用几何关系求 a、 b、r 或 D、E、F.
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第4课
【考点导读】

直线与圆的位置关系

能利用代数方法和几何方法判定直线与圆的位置关系;熟练运用圆的有关性质解决直线与圆、圆与 圆的综合问题,运用空间直角坐标系刻画点的位置,了解空间中两点间的距离公式及其简单应用. 【基础练习】 1.若直线 4x-3y-2=0 与圆 x2+y2-2ax+4y+a2-12=0 总有两个不同交点,则 a 的取值范围是-6<a<4 2.直线 x-y+4=0 被圆 x2+y2+4x-4y+6=0 截得的弦长等于 2 2 3.过点 P(2,1)且与圆 x2+y2-2x+2y+1=0 相切的直线的方程为 x=2 或 3x-4y-2=0 . 【范例导析】 例 1.已知圆 C: (x-1)2+(y-2)2=25,直线 l: (2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R). (1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆恒交于两点; (2)求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程. 分析:直线过定点,而该定点在圆内,此题便可解得. (1)证明:l 的方程(x+y-4)+m(2x+y-7)=0. 由?
?2 x ? y ? 7 ? 0 ?x ? y ? 4 ? 0

得?

?x ? 3 ?y ?1

即 l 恒过定点 A(3,1).

∵圆心 C(1,2) ,|AC|= 5 <5(半径) ∴点 A 在圆 C 内,从而直线 l 恒与圆 C 相交于两点. , (2)解:弦长最小时,l⊥AC,由 kAC=-
1 2

, ∴l 的方程为 2x-y-5=0.

点拨:直线与圆相交截得弦长的最小值时,可以从垂径定理角度考虑,充分利用圆的几何性质. 例 2.已知圆 O: x ? y ? 1 ,圆 C: ( x ? 2 ) ? ( y ? 4 ) ? 1 ,由两圆外一点 P ( a , b ) 引两圆切线 PA、PB,
2 2 2 2

切点分别为 A、B,满足|PA|=|PB|.求实数 a、b 间满足的等量关系. 解:连结 PO、PC,∵|PA|=|PB|,|OA|=|CB|=1 例2 ∴|PO|2=|PC|2,从而 a ? b ? ( a ? 2 ) ? ( b ? 4 )
2 2 2 2

化简得实数 a、b 间满足的等量关系为: a ? 2 b ? 5 ? 0 . 例 3.已知圆 C 与两坐标轴都相切,圆心 C 到直线 y ? ? x 的距离等于 2 . 求圆 C 的方程.
? ?a ? b ? ? 解:设圆 C 半径为 r ,由已知得: ? r ? a ? ? a?b ? ? 2 ?
2 2 2

∴?
2

?a ? b ? 1 ?r ? 1

,或 ?

?a ? b ? ?1 ?r ? 1

∴圆 C 方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1, 或 ( x+1) ? ( y+1) ? 1 .
2

第 10 页 【精讲精练】共 12 页

3 例 4.如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 平行于 x 轴且过点 A(3 3, 2)的入射光线 l1 被直线 l: 3 x 反射. y= 反 射光线 l2 交 y 轴于 B 点,圆 C 过点 A 且与 l1, l2 都相切. (1)求 l2 所在直线的方程和圆 C 的方程; (2)设 P,Q 分别是直线 l 和圆 C 上的动点,求 PB+PQ 的最 小值及此时点 P 的坐标.

y l A O B l2 x l1

( 2 解: (1)直线 l1 : y ? 2, 设 l1交 l 于 点 D , 则 D 2 3,). ? ? l 的倾斜角为 30 ,? l 2的 倾 斜 角 为 6 0 , k 2 ?
y?2? 3(x ? 2 3) .
?

例4

?

3 . ? 反射光线 l 2 所在的直线方程为

即 3x ? y ? 4 ? 0 .

已知圆 C 与 l1切 于 点 A, 设 C ( a , b ) ,
? 圆心 C 在过点 D 且与 l 垂直的直线上,? b ? ? 3 a ? 8 ,又圆心 C 在过点 A 且与 l1 垂直的直线上,

? a ? 3 3 ,? b ? ? 3 a ? 8 ? ? 1 ,圆 C 的半径 r=3,

故所求圆 C 的方程为 ( x ? 3 3 ) ? ( y ? 1) ? 9 .
2 2

? y0 ? 4 3 x0 ? ? ? ? 2 3 2 (2)设点 B ? 0, ? 4 ? 关于 l 的对称点 B ? ( x 0 , y 0 ) ,则 ? ,得 B ? ( ? 2 3 , 2 ) ,固定点 Q 可发现, y0 ? 4 ? ? ? 3 ? x0 ?

当 B ?、 P 、 Q 共线时, P B ? P Q 最小,
? y ?1 x?3 3 ? ? 3 1 ? 2 ? 1 ?2 3 ? 3 3 , ). 故 P B ? P Q 的最小值为 B ?C ? 3 ? 2 2 1 ? 3 .此时由 ? ,得 P ( 2 2 3 ? ?y ? 3 x ?

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【反馈练习】 1.圆 x2+y2-4x=0 在点 P(1, 3 )处的切线方程为 x ?
3y ? 2 ? 0

2 2 ( ( 0 , 2.已知直线 l 过点 ? 2,) 当直线 l 与圆 x ? y ? 2 x 有两个交点时, 其斜率 k 的取值范围是 ?

2 4



2 4



3.设 m>0,则直线 2 (x+y)+1+m=0 与圆 x2+y2=m 的位置关系为相切或相离 解析:圆心到直线的距离为 d= ∵d-r=
1? m 2
2 2

1? m 2

,圆半径为 m .
1 2

- m =

1 2

(m-2 m +1)=

( m -1)2≥0,∴直线与圆的位置关系是相切或相离.

4.圆(x-3) +(y-3) =9 上到直线 3x+4y-11=0 的距离等于 1 的点有个数为 3 5.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x ? y ? 1 逆时针方向运动
2 2

2? 3

弧长到达 Q 点,则 Q 的坐标为

(?

1 2

,

3 2

)

6.若圆 x ? y ? mx ?
2 2

1 4

? 0 与直线 y ? ? 1 相切,且其圆心在 y 轴的左侧,则 m 的值为

3 4

7.设 P 为圆 x ? y ? 1 上的动点,则点 P 到直线 3 x ? 4 y ? 10 ? 0 的距离的最小值为 1
2 2

.

?x ? 0 ? 2 2 2 8.已知平面区域 ? y ? 0 恰好被面积最小的圆 C : ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 及其内 ?x ? 2y ? 4 ? 0 ?

部所覆盖. (1)试求圆 C 的方程. (2)若斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于不同两点 A , B . 满足 C A ? C B ,求直线 l 的方程. 解:(1)由题意知此平面区域表示的是以 O (0, 0), P (4, 0), Q (0, 2) 构成的三角形及其内部,且△ O P Q 是直角 三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆 ,故圆心是(2,1),半径是 5 ,所以圆 C 的方程是
( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 5 .
2 2

(2)设直线 l 的方程是: y ? x ? b . 因为 C A ? C B , 所以圆心 C 到直线 l 的距离是 即
|2 ?1? b | 1 ?1
2 2

??? ?

??? ?

10 2

,

?

10 2

解得: b ? ? 1 ?

5 .所以直线 l 的方程是: y ? x ? 1 ?

5 .

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