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高中数学函数及其表示典型经典例题精讲精练


函数及其表示 考点一 求定义域的几种情况

①若 f(x)是整式,则函数的定义域是实数集 R; ②若 f(x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于 0 的实数集; ③若 f(x)是二次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实数集合; ④若 f(x)是对数函数,真数应大于零。 ⑤.因为零的零次幂没有意义,所以底数和指数不能同时为零。 ⑥若 f(x

)是由几个部分的数学式子构成的,则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合; ⑦若 f(x)是由实际问题抽象出来的函数,则函数的定义域应符合实际问题 考点二 映射个数公式

Card(A)=m,card(B)=n, m,n ? 方法技巧清单 方法一 函数定义域的求法

N

?

,则从 A 到 B 的映射个数为 n

m

。简单说成“前指后底” 。

2. (2009 江西卷理)函数 y ?

ln ( x ? 1) ? x ? 3x ? 4
2

的定义域为

(

)

A. ( ? 4 , ? 1)

B. ( ? 4 , 1)

C. ( ? 1, 1)

D. ( ? 1,1]

解析

?x ?1 ? 0 ? x ? ?1 ? ? ? ? 1 ? x ? 1 .故选 C 由? 2 ??4 ? x ? 1 ?? x ? 3x ? 4 ? 0

5.求下列函数的定义域。①y=

x?2 ?

? x ?1 ? x ? 2 .②y=
x ? x

2

.③y=

x ?1 ?

1? x

6.已知函数 f(x)的定义域为 ?1,5 ? ,求函数 F(x)=f(3x-1)-f(3x+1)的定义域。 方法二 1. 函数概念的考察 )A.y= 5

下列各组函数中表示同一函数的是(

x

5

和y ?
0

x

2

B.y=ln e 和 y ?

x

e

ln x

C. y ?

? x ? 1 ?? x ? 3 ? 和y ? x ? 1?
0 个 B. 1 个
2

? ?x ? 3?

D. y ?

x

和y ?

1

x

0

2.函数 y=f(x)的图像与直线 x=2 的公共点个数为 A. C. 0 个或 1 个 D. 不能确定

3.已知函数 y= x ? 2 定义域为 ?? 1, 0 . 1, 2 ? ,则其值域为 方法三 分段函数的考察 ⅰ 求分段函数的定义域和值域 2x+2 1 求函数 f(x)= x ? ?? 1, 0 ?

?
3

1 2

x

x? ?0 , 2 ? x ? ?2 , ??

的定义域和值域

?
2

2(2010 天津文数)设函数 g ( x ) ? x ? 2 ( x ? R ) ,

f ( x ) ? { g ( x ) ? x , x ? g ( x ).

g ( x ) ? x ? 4 , x ? g ( x ),

则 f ( x ) 的值域是 1

9 ? 9 ? ? 9 ? (A) ? , 0 ? (1, ? ? ) (B) [0, ? ? ) (C) [ ? , ? ? ) (D) ? , 0 ? ( 2 , ? ? ) ? 4 ? ? 4 ? 4 ? ? ? ?
? x ? 2 ? ( x ? 4 ), x ? x ? 2 ? x ? 2 , x ? ? 1或 x ? 2 ? ? 【解析】依题意知 f ( x ) ? , f (x) ? 2 2 2 ? x ? 2 ? x, x ? x ? 2 ? x ? 2 ? x, ?1 ? x ? 2 ? ?
2 2 2

ⅱ求分段函数函数值

? lo g 3 x , x ? 0 1 3. (2010 湖北文数)3.已知函数 f ( x ) ? ? ,则 f ( f ( )) ? x 9 ?2 , x ? 0
A.4 B.

1 4

C.-4
1 1

D-

1 4

【解析】根据分段函数可得 f ( ) ? lo g 3
9

1 1 ?2 ,所以 B 正确. ? ? 2 ,则 f ( f ( )) ? f ( ? 2 ) ? 2 ? 9 9 4

ⅲ解分段函数不等式

? x ? 4 x ? 6, x ? 0 4.(2009 天津卷文)设函数 f ( x ) ? ? 则不等式 f ( x ) ? f (1) 的解集是( ? x ? 6, x ? 0
2



A. ( ? 3 ,1) ? ( 3 , ?? ) 答案 A 解析

B. ( ? 3 ,1) ? ( 2 , ?? )

C. ( ? 1,1) ? ( 3 , ?? )

D. ( ?? , ? 3 ) ? (1, 3 )

由已知,函数先增后减再增当 x ? 0 , f ( x ) ? 2 f (1) ? 3 令 f ( x ) ? 3 ,

解得 x ? 1, x ? 3 。当 x ? 0 , x ? 6 ? 3 , x ? ? 3 故 f ( x ) ? f (1) ? 3 ,解得 ? 3 ? x ? 1或 x ? 3

? x ? 4 x, 5. (2009 天津卷理)已知函数 f ( x ) ? ? 2 ?4 x ? x ,
2

x ? 0 x ? 0
B ( ? 1, 2 )
2

若 f ( 2 ? a ) ? f ( a ), 则实数 a
2

的取值范围是

A ( ? ? , ? 1) ? ( 2, ? ? )

C ( ? 2,1)

D ( ? ? , ? 2 ) ? (1, ? ? )

解析:由题知 f ( x ) 在 R 上是增函数,由题得 2 ? a

? a ,解得 ? 2 ? a ? 1 ,故选择 C。

?1 , x ? 0 ?x ? 6.(2009 北京理)若函数 f ( x ) ? ? ?(1 )x , x ? 0 ? 3 ?

则不等式 | f ( x ) |?

1 3

的解集为____________.

?x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 0 ? 1 ? ? x x ? ? 1 解析 (1)由 | f ( x) | ? 1 ? ?3 ? x ? 0 .(2)由 | f ( x) | ? ? ? ? 1 ? 1 ? ?? 1 ? 1 ? 0 ? x ?1 . ? ? 3 3 ?? ? ?? ? ? ? 3 3 3 3 ? x ?? 3 ? ?? ?

1

∴不等式 | f ( x ) |?

1 3

的解集为 ? x | ? 3 ? x ? 1? ,∴应填 ? ? 3,1 ? .

? lo g 2 x , x ? 0 , ? 7。 (2010 天津理数)若函数 f(x)= ? lo g ( ? x ), x ? 0 ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是 1 ? ? 2
(A) (-1,0)∪(0,1) (B) (-∞,-1)∪(1,+∞) (C) (-1,0)∪(1,+∞) (D) (-∞,-1)∪(0,1)

【答案】C 由分段函数的表达式知,需要对 a 的正负进行分类讨论。 2

?a ? 0 ? f ( a ) ? f ( ? a ) ? ? lo g a ? lo g a 或 2 1 ? ? 2

?a ? 0 ?a ? 0 ? a< 0 ? ? ? ? a ? 1或 -1 ? a ? 0 ? lo g ( ? a ) ? lo g ( ? a ) ? ? 1 或 ?1 1 2 ? ?a ? ? ? a ? 2 ? 2 ?a

【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解,解对数不等式既要注意真数大于 0,同事要注意底数在(0,1)上 时,不等号的方向不要写错。 ⅳ解分段函数方程

?3 , 8. (2009 北京文)已知函数 f ( x ) ? ? ?? x,
x

x ? 1, x ? 1,

若 f ( x ) ? 2 ,则 x ?

.

.w

解析

5.u.c 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 x 的值. 属于基础知识、基本运算的考查.

?x ? 1 ?x ? 1 ? x ? lo g 3 2 , ? 由? x 无解,故应填 lo g 3 2 . ?? x ? 2 ? x ? ?2 ?3 ? 2
方法四 求函数的解析式 1. 求下列函数的解析式 ①

1? ? 已知 f ? x ? ? ? x? ?

x

3

?

1

x

3

, 求 f ( x ).

?2 ? ② 已知 f ? ? 1 ? ? lg x ,求 f ( x ). x ? ?
③ ④ 已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1,求 f(x).

?1? 已知 f(x)满足 2 f ? x ? ? f ? ? ? 3 x . 求 f(x). ? x?

方法五 函数图像的考察 1. (2009 山东卷理)函数 y ?

e ?e
x

?x ?x

e ?e
x

的图像大致为

(

).

y y 1 O 1 x

y

y

1 O1 x

1 O 1 x O

1 1 D x

A

B

C
e ?e
x ?x ?x

解析 函数有意义,需使 e ? e
x

?x

? 0 ,其定义域为 ? x | x ? 0 ? ,排除 C,D,又因为 y ?

e ?e
x

?

e e

2x 2x

?1 ?1

? 1? e

2
2x

?1

,所以当

x ? 0 时函数为减函数,故选 A.
2.( 2 0 0 9 广 东 卷 理 ) 已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为

v甲 和 v乙 (如图 2 所示) .那么对于图中给定的 t 0 和 t1 ,下列判断中一定正确的是 (

) 3

A. 在 t 1 时刻,甲车在乙车前面 C. 在 t 0 时刻,两车的位置相同 解析

B. t 1 时刻后,甲车在乙车后面 D. t 0 时刻后,乙车在甲车前面

由图像可知,曲线 v 甲 比 v 乙 在 0~ t 0 、0~ t 1 与 x 轴所围成图形面积大,
y

则在 t 0 、 t 1 时刻,甲车均在乙车前面,选 A. 3.(2009 江西卷文)如图所示,一质点 P ( x , y ) 在 x O y 平面上沿曲线运动, 速度大小不变,其在 x 轴上的投影点 Q ( x , 0 ) 的运动速度 V ? V ( t ) 的图象 大致为 ( )

P ( x, y )

O

Q ( x , 0)

x

V (t ) V (t )
A B

V (t )
C D

V (t )

O O
解析

t

O

t

O

t

t
由图可知,当质点 P ( x , y ) 在两个封闭曲线上运动时,投影点 Q ( x , 0 ) 的速度先由正到 0、到负数,再到 0,到正,故 A

错误;质点 P ( x , y ) 在终点的速度是由大到小接近 0,故 D 错误;质点 P ( x , y ) 在开始时沿直线运动,故投影点 Q ( x , 0 ) 的速 度为常数,因此 C 是错误的,故选 B . 4(2010 山东理数)(11)函数 y=2x - x 的图像大致是
2

【解析】因为当 x=2 或 4 时,2x - x =0,所以排除 B、C;当 x=-2 时,2x - x =
2 2

1 4

? 4 < 0 ,故排除 D,所以选 A。

5(2010 安徽文数)设 a b c ? 0 ,二次函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c 的图像可能是
2

【解析】当 a ? 0 时, b 、 c 同号, (C) (D)两图中 c ? 0 ,故 b ? 0 , ?

b 2a

? 0 ,选项(D)符合

【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下,分 a ? 0 或 a ? 0 两种情况分类考虑.另外还要注意 c 值是抛物线与 y 轴交点的 纵坐标,还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等. 4

方法六 映射概念的考察 1. 设 f : x ? A. ?

x

2

是集合 A 到集合 B 的映射,如果 B= ?1, 2 ? ,则 A∩B=( ) C. ? 或 ?2 ? D. ? 或 ?1?

B. ?1?

2 集合 M= ?a , b , c ? ,N= ?? 1, 0 . 1? 映射 f: M ? N 满足 f(a)+(b)+f(c)=0,那么映射 f: M ? N 的个数是( ) A.4 B.5 C. 6 D. 7 个不同的映射。

3 集合 M= ?a , b , c ? 到集合 N= ?? 1, 0 . 1? 一共有 方法七函数值域和最值的求法 1.利用二次函数在有限区间上的范围求值域 2.分离常数法 3.换元法 4.数形结合法 求函数 y=

求函数 y=

x

2

? 6 x ? 5 的值域

3x ? 1 x? 2

的值域

求函数 y= x ? 4 1 ? x 的值域 求函数 y= x ? 1 ? x ? 4 的值域

5.判别式法 方法八

求函数 y=

2

x x

2

? x? 2 ? x ?1

2

的值域

函数奇偶性和周期性的考察 )

1.(2009 全国卷Ⅰ理)函数 f ( x ) 的定义域为 R,若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则( A. f ( x ) 是偶函数 C. f ( x ) ? f ( x ? 2 ) 答案
?

B. f ( x ) 是奇函数 D. f ( x ? 3) 是奇函数

D 解析 ? f ( x ? 1 )与 f ( x ? 1) 都是奇函数,? f ( ? x ? 1) ? ? f ( x ? 1), f ( ? x ? 1) ? ? f ( x ? 1) ,

) ) 函 数 f ( x ) 关 于 点 ( 1 , 0 , 及 点 ( ? 1 , 0 对 称 , 函 数 f ( x ) 是 周 期 T ? 2 [ 1?

( 1 )?] 的 周 期 函 ? 4

数.? f ( ? x ? 1 ? 4 ) ? ? f ( x ? 1 ? 4 ) , f ( ? x ? 3) ? ? f ( x ? 3) ,即 f ( x ? 3) 是奇函数。故选 D

? log 2 (1 ? x ), x ? 0 2.(2009 山东卷理)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? , ? f ( x ? 1 ) ? f ( x ? 2 ), x ? 0
则 f(2009)的值为 A.-1 答 案 B. 0 C.1 C D. 2 解 析 , , 由 已 知 得 , , ( )

f (?

12 ?

)

,

? l f (0 ) ? 0 o ,
,

1 fg(1) ? f (02 ? f ( ? 1) ? ? 1 )

f ( 2 ) ? f (1) ? f (0 ) ? ? 1
f (5) ? f ( 4 ) ? f (3) ? 1

f (3) ? f ( 2 ) ? f (1) ? ? 1 ? ( ? 1) ? 0

f ( 4 ) ? f (3) ? f ( 2 ) ? 0 ? ( ? 1) ? 1

f (6 ) ? f (5) ? f ( 4 ) ? 0 ,所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f(2009)= f(5)=1,故选 C.
3.(2009 江西卷文)已知函数 f ( x ) 是 ( ? ? , ? ? ) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2)? f ( x ) ,且当 x ? [0 , 2 ) 时, 5

f ( x ) ? lo g 2 ( x ? 1),则 f ( ? 2 0 0 8) ? f ( 2 0 0 9 ) 的值为
A. ? 2 答案 方法九 C 解析 B. ? 1 C. 1 D. 2
1 2

f ( ? 2 0 0 8) ? f ( 2 0 0 9 ) ? f (0 ) ? f (1) ? lo g 2 ? lo g 2 ? 1 ,故选 C.

函数奇偶性和对称性考察

1.(2009 全国卷Ⅱ文)函数 y ? lo g 2 (A) 关于原点对称 答案

2? x 2? x

的图像



) (D)关于直线 y ? x 对称

(B)关于主线 y ? ? x 对称(C) 关于 y 轴对称

A 解析 由于定义域为(-2,2)关于原点对称,又 f(-x)=-f(x),故函数为奇函数,图像关于原点对称,选 A。

2. (2010 重庆理数)(5) 函数 f A. 关于原点对称 解析: f ( ? x ) ? 方法十

?x? ?

4 ?1
x

2

x

的图象 D. 关于 y 轴对称

B. 关于直线 y=x 对称

C. 关于 x 轴对称

4

?x

?1
?x

?

1? 4 2
x

x

? f (x)

? f ( x ) 是偶函数,图像关于 y 轴对称

2

函数奇偶性和单调性的考察

1.(2009 山东卷文)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,满足 f ( x ? 4 ) ? ? f ( x ) ,且在区间[0,2]上是增函数,则 A. f ( ? 2 5) ? f (1 1) ? f (8 0 ) C. f (1 1) ? f (8 0 ) ? f ( ? 2 5) 答案 D 解析 B. f (8 0 ) ? f (1 1) ? f ( ? 2 5) D. f ( ? 2 5) ? f (8 0 ) ? f (1 1)

因为 f ( x ) 满足 f ( x ? 4 ) ? ? f ( x ),所以 f ( x ? 8 ) ? f ( x ) ,所以函数是以 8 为周期的周期函数, 则

f ( ? 25 ) ? f ( ? 1) , f ( 80 ) ? f ( 0 ) , f (11 ) ? f ( 3 ) , 又 因 为 f ( x ) 在 R 上 是 奇 函 数 , f ( 80 ) ? f ( 0 ) ? 0
,

f (0 ) ? 0 , 得 4 ? ) ?得 f (x

f ( ? 25 ) ? f ( ? 1) ? ? f (1)

,





f( ?

x

f (11 ) ? f ( 3 ) ? ? f ( ? 3 ) ? ? f (1 ? 4 ) ? f (1) , 又 因 为 f ( x ) 在 区 间 [0,2] 上 是 增 函 数 , 所 以 f (1) ? f ( 0 ) ? 0 , 所 以 ? f (1) ? 0 ,即 f ( ? 2 5) ? f (8 0 ) ? f (1 1) ,故选 D.
2.(2009 全国卷Ⅱ文)设 a ? lg e , b ? (lg e ) , c ? lg
2

y

P ( x, y )
e, 则
(D) c ? b ? a ( )
O

(A) a ? b ? c 答案

(B) a ? c ? b

(C) c ? a ? b

Q ( x, 0)

x

B 解析 本题考查对数函数的增减性,由 1>lge>0,知 a>b,又 c=

1 2

lge, 作商比较知 c>b,选 B。

1 3.(2009 辽宁卷文)已知偶函数 f ( x ) 在区间 ? 0 , ? ? ) 单调增加,则满足 f ( 2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是 3
( (A) ( )

1 3



2 3



B.[

1 3



2 3



C.(

1 2



2 3



D.[

1 2



2 3



答 A 解:由于 f(x)是偶函数,故 f(x)=f(|x|)∴得 f(|2x-1|)<f(

1 3

),再根据 f(x)的单调性得|2x-1|<

1 3

解得

1 3

<x<

2 3
6

4.(2009 陕西卷文)定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足:对任意的 x1 , x 2 ? [0 , ? ? )( x1 ? x 2 ) ,有

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1

? 0 .则 ( )

(A) f (3) ? f ( ? 2 ) ? f (1) C. f ( ? 2 ) ? f (1) ? f (3)

B. f (1) ? f ( ? 2 ) ? f (3) D. f (3) ? f (1) ? f ( ? 2 )

答案

A 解析

由 ( x 2 ? x1 )( f ( x 2 ) ? f ( x1 )) ? 0 等价,于

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1

? 0 则 f ( x ) 在 x1 , x 2 ? ( ? ? , 0 ]( x1 ? x 2 )

上 单 调 递 增 , 又 f ( x ) 是 偶 函 数 , 故 f ( x ) 在 x1 , x 2 ? (0 , ? ? ]( x1 ? x 2 ) 单 调 递 减 . 且 满 足 n ? N

*

时,

f (?2) ? f (2) ,

3 > 2 ? 1 ? 0 ,得 f (3) ? f ( ? 2 ) ? f (1) ,故选 A.
5.(2009 陕西卷理)定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足:对任意的 x1 , x 2 ? ( ? ? , 0 ]( x1 ? x 2 ) ,有 ( x 2 ? x1 )( f ( x 2 ) ? f ( x1 )) ? 0 . 则当 n ? N 时,有
*

( B. f ( n ? 1) ? f ( ? n ) ? f ( n ? 1) D. f ( n ? 1) ? f ( n ? 1) ? f ( ? n )

)

(A) f ( ? n ) ? f ( n ? 1) ? f ( n ? 1) C. C. f ( n ? 1) ? f ( ? n ) ? f ( n ? 1) 答案 C

解 析 : x1 , x 2 ? ( ? ? , 0 ]( x1 ? x 2 ) ? ( x 2 ? x 1 )( f ( x 2 ) ? f ( x 1 )) ? 0 ? x 2 ? x1时 , f ( x 2 ) ? f ( x 1 ) ? f ( x )为 偶 函 数 ? f ( x ) 在 ( ? ? , 0 ]为 增 函 数

f ( x ) 在 ( 0, ? ]为 减 函 数 ? f ( n ? 1) ? f ( ? n ) ? f ( n ? 1)

而 n + 1 > n > n - 1 > 0 ,? f ( n ? 1) ? f ( n ) ? f ( n ? 1) ?

6.(2009 江苏卷)已知 a ?

5 ?1 2

,函数 f ( x ) ? a ,若实数 m 、 n 满足 f ( m ) ? f ( n ) ,则 m 、 n 的大小关系为
x

.

解析

a ?

5 ?1 2

? ( 0 ,1) ,函数 f ( x ) ? a 在 R 上递减。由 f ( m ) ? f ( n ) 得:m<n
x

7. (2010 安徽文数) (7)设 a ? ( (A)a>c>b
2

3 5

2

) ,b ? (
5

2 5

3

), c ? (
5

2 5

2

) ,则 a,b,c 的大小关系是
5

(B)a>b>c

(C)c>a>b

(D)b>c>a

7.A【解析】 y ? x 5 在 x ? 0 时是增函数,所以 a ? c , y ? ( 方法十一抽象函数的解法

2 5

) 在 x ? 0 时是减函数,所以 c ? b 。
x

1. 2009 四川卷理) ( 已知函数 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数, 且对任意实数 x 都有 xf ( x ? 1) ? (1 ? x ) f ( x ) , 则 f (f ( A.0 答 A 解: x 令
? ? 1 2

5 2

)) 的值是
B.

(

) D.

1 2

C.1

5 2

, ? 1 f ( 1 ) ? 1 f ( ? 1 ) ? 1 f ( 1 ) ? f ( 1 ) ? 0 ; x ? 0 , f ( 0 ) ? 0 由 xf ( x ? 1) ? (1 ? x ) f ( x ) 则 令 则
2 2 2 2 2 2 2

7

得 f ( x ? 1) ?

x ?1 x

f ( x ) ,所以

5 5

3

3 5 3 5 2 1 5 2 f( ) ? f( ) ? f( ) ? ? f ( ) ? 0 ? f ( f ( )) ? f ( 0 ) ? 0 3 2 2 3 2 3 1 2 2 2 2

,故选择 A。

2.(2009 山东卷理)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,满足 f ( x ? 4 ) ? ? f ( x ) ,且在区间[0,2]上是增函数,若方程 f(x)=m(m>0)在区 间 ?? 8 ,8 ? 上有四个不同的根 x1 , x 2 , x 3 , x 4 ,则 x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 答案 -8 解析 因为定义在 R 上的奇函数,满足 f ( x ? 4 ) ? ? f ( x ) ,所以 f ( x ? 4 ) ? f ( ? x ) ,所以, 由 f ( x ) 为奇函数,所

以函数图象关于直线 x ? 2 对称且 f (0 ) ? 0 ,由 f ( x ? 4 ) ? ? f ( x ) 知 f ( x ? 8 ) ? f ( x ) ,所以函数是以 8 为周期的周期函数, 又因为 f ( x ) 在区间[0,2]上是增函数,所以 f ( x ) 在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程 f(x)=m(m>0)在区间 ?? 8 ,8 ? 上有四 个 不 同 的 根 x1 , x 2 , x 3 , ,x 4不 妨 设 x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 由 对 称 性 知 x1 ? x 2 ? ? 1 2

x3 ? x4 ? 4 所 以

x1 ?

x2 ?

x3 ?

x 4 1 2? ?

4 ?

8 ?

?

y f(x)=m (m>0) -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x

方法十二 对数函数的考察 3(2010 全国卷 1 文数)(7)已知函数 f ( x ) ? | lg x | .若 a ? b 且, f ( a ) ? f ( b ) ,则 a ? b 的取值范围是 (A) (1, ? ? ) (B) [1, ? ? ) (C) ( 2 , ? ? ) (D) [ 2, ? ? )

C【命题意图】做本小题时极易忽视 a 的取值范围,而利用均值不等式求得 a+b= a ?

1 a

? 2 ,从而错选 D,【解析 1】因为 f(a)=f(b), 1 2 a

所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去),或 b ?

1 a

,所以 a+b= a ?

1 a

又 0<a<b,所以 0<a<1<b,令 f ( a ) ? a ?

由“对勾”函数的性

质知函数 f ( a ) 在 a ? (0,1)上为减函数,所以 f(a)>f(1)=1+1=2,即 a+b 的取值范围是(2,+∞).

?0 ? a ? 1 ?0 ? x ? 1 ? ? 【解析 2】由 0<a<b,且 f(a)=f(b)得: ? 1 ? b ,利用线性规划得: ? 1 ? y ,化为求 z ? x ? y 的取值范围问题, ?ab ? 1 ? xy ? 1 ? ?
z ? x ? y ? y ? ? x ? z, y ?

1 x

? y? ? ?

1 x
2

? ? 1 ? 过点 ? 1,1 ? 时 z 最小为 2,∴(C) ( 2 , ? ? )

4(2010 全国卷 1 理数) (10)已知函数 f(x)=|lgx|.若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是 (A) ( 2

2 , ?? )

(B) [ 2

2 , ?? )

(C) (3, ? ? )

(D) [3, ? ? )

8

方法十三函数创新题的解法 1.(2009 浙 江 理 ) 对 于 正 实 数 ? , 记 M
?

为 满 足 下 述 条 件 的 函 数 f ( x ) 构 成 的 集 合 : ? x1 , x 2 ? R 且 x 2 ? x 1 , 有

? ? ( x 2 ? x1 ) ?

f ( x2 ) ?

f(x?? ) 1

( x? 2

x.下列结论中正确的是 ) 1

(

)

A.若 f ( x ) ? M ? 1 , g ( x ) ? M ? 2 ,则 f ( x ) ? g ( x ) ? M ? 1?? 2 B.若 f ( x ) ? M ? 1 , g ( x ) ? M ? 2 ,且 g ( x ) ? 0 ,则

f (x) g (x)

?M

?1 ?2

C.若 f ( x ) ? M ? 1 , g ( x ) ? M ? 2 ,则 f ( x ) ? g ( x ) ? M ? 1 ? ? 2 D.若 f ( x ) ? M ? 1 , g ( x ) ? M ? 2 ,且 ? 1 ? ? 2 ,则 f ( x ) ? g ( x ) ? M ? 1 ? ? 2 答案 C 解析 对 于 ? ? ( x 2 ? x 1 )?

f ( x ?) 2

f ( 1? ? x )

? 2x (

x ) , 即 有 ?? ? 1

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1

?? ,令

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1

? k ,有 ? ? ? k ? ? ,不妨设 f ( x ) ? M ? 1 , g ( x ) ? M ? 2 ,即有 ? ? 1 ? k f ? ? 1 , ? ? 2 ? k g ? ? 2 ,因

此有 ? ? 1 ? ? 2 ? k f ? k g ? ? 1 ? ? 2 ,因此有 f ( x ) ? g ( x ) ? M ? 1 ? ? 2 . 2.(2009 福建卷理)函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) 的图象关于直线 x ? ?
2

b 2a

对称。据此可推测,对任意的非零实数 a,b,

c,m,n,p,关于 x 的方程 m ? f ( x ) ? ? n f ( x ) ? p ? 0 的解集都不可能是 ( A. 答案 ) B

?1, 2 ?
D 解析

?1, 4 ?
2

C

?1, 2, 3, 4 ?

D

?1, 4,1 6, 6 4 ?

对方程 m [ f ( x )] ? n f ( x ) ? P ? 0 中 m , n , p 分别赋值求出 f ( x ) 代入 f ( x ) ? 0 求出检验即得.

9


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