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陕西省商南县高级中学2012-2013学年高二上学期第二次月考数学(文)试题


陕西省商南县高级中学 2012-2013 学年高二上学期第二次月考数学 (文)试题
第一卷
一.选择题(10*5=50 分)
2 2,11?, 1. 数列 2,5, 的一个通项公式是(

选择题
) D. an ? 3n ? 3 ) A.

A. an ? 3n ? 3

B. an ? 3n ? 1

C. an ? 3n ? 1

2. 已知 a, b, c 是 ?ABC 三边之长,若满足等式 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab ,则 ?C 等于(
120 ?

B. 150 ? B.12

C. 60 ? C.16

D. 90 ? ) D.17 ) D.10 ) D.
32 3

3. 在等差数列 ?a n ?中,若 S 4 ? 1, S 8 ? 4 ,则 a17 ? a18 ? a19 ? a20 的值为( A.9
8 1 4. 已知正数 x、y 满足 ? ? 1 ,则 x ? 2 y 的最小值是( x y

A.18

B.16

C.8

5. 在△ABC 中,BC=8,B=60°,C=75°,则 AC 等于( A. 4 2 B. 4 3
1 n ? n ?1

C. 4 6

6. 数列 ?an ? 的通项公式是 an ? A.11 B.99

,若前 n 项的和为 10,则项数 n 为( ) D.121

C.120

7. 已 知 不 等 式 ax2 ? 5x ? b ? 0 的 解 集 为 {x | ? 3? x ? 2} , 则 不 等 式 bx2 ? 5x ? a ? 0 的 解 集 为 ( )
1 1 A、 {x | ? ? x ? } 3 2 1 1 B、 {x | x ? ? 或x ? } 3 2

C、 {x | ?3 ? x ? 2}

D、 {x | x ? ?3或x ? 2}
Sn 2n = , Tn 3n ? 1

8. 等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn 与Tn,对一切自然数 n,都有
a5 等于( b5



)? A.

2 9 20 11 B. C. D. 3 31 14 17

9. 在 ?ABC 中,若 a cos B ? b cos A ,则 ?ABC 的形状一定是( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形



D.等腰三角形 ) A. (??,2)

10. 不等式 (a ? 2) x2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ?R 恒成立, 则实数 a 的取值范围是(
页 1第

B. ?? 2,2?

C. (?2, 2?

D. (??,?2)

第二卷
二.填空题(5*5=25 分)
2

非选择题
.

11.数列{an}的前 n 项和为 Sn=n +3n+1,则它的通项公式为 12.不等式 2 x
2

?2 x?4

?

1 的解集为 2

_______.

13.在等比数列 ?a n ?中, 若 a1 , a10 是方程 3x 2 ? 2x ? 6 ? 0 的两根,则 a 4 ? a7 =______ 14.在△ABC 中,若 3a ? 2b sin A ,则 B 等于______
1 ? x ( x ? 3) 的最小值为______ x?3 三.解答题(12+12+12+12+13+14=75 分)

15.函数 y ?

16.(本小题满分 12 分)当 a<0 时,解关于 x 的不等式 ax2+(a-1)x-1>0.

17. (本小题满分 12 分)已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的 前 n 项和为 Sn. 1 (n∈N+),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an-1
2

(1)求 an 及 Sn;(2)令 bn=

18. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c.已知 2c-a = b . sinC 1 (1)求 sinA的值;(2)若 cosB=4,△ABC 的周长为 5,求 b 的长.

cosA-2cosC cosB

19.(本小题满分 12 分)已知锐角△ABC 的三内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,边 a、b 是方程 x -2 3 x+2=0 的两根,角 A、B 满足关系 2sin(A+B)- 3 =0,求角 C 的度数,边 c 的 长度及△ABC 的面积. 20.(本小题满分 13 分)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD,公园 由长方形的休闲区 A1B1C1D1(阴影部分)和环公园人行道组成。已知休闲区 A1B1C1D1 的面积为
页 2第
2

4000 平方米,人行道的宽分别为 4 米和 10 米。 (1)若设休闲区的长 A1 B1 ? x 米,求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S ( x) 的解析式; (2)要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设计?
D D1 C1 C
4米

A1 A 10 米

B1

4米

10 米 B

21. (本题满分 14 分) 已知数列 {an} 中, Sn 是它的前 n 项和, 并且 Sn+1=4an+2(n=1, 2, …),

a1=1.
(1)设 bn=an+1-2an(n=1,2,…)求证{bn}是等比数列; (2)设 cn=
an (n=1,2…)求证{cn}是等差数列; 2n

(3)求数列{an}的通项公式及前 n 项和公式.?

2012~2013 学年度第一学期高二年级第二次月考 数学(文)试题参考答案(仅供参考)
页 3第

一.选择题 1. B 2 .A 二.填空题

3 .A

4.A

5 .C

6. C

7. B

8. B

9 .D

10 .C

n ?1 ? 5 11 a n ? ? n?2 ?2 n ? 2

12 14

{x|-3≤x≤1}

13 . -2 三.解答题

? 2?
3 ; 3

15 .5

? 1? 16.当 a<0 时,不等式化为?x-a?(x+1)<0. ? ? 1 1 若a<-1,即-1<a<0 时,则a<x<-1; 1 若a=-1,即 a=-1,则 x∈?; 1 1 若 >-1,即 a<-1,则-1<x< .

……2 分

……4 分

……8 分

a

a

……12 分

17.(1)设等差数列{an}的公差为 d,因为 a3=7,a5+a7=26, ?a1+2d=7 所以有? ,解得 a1=3,d=2, ?2a1+10d=26 所以 an=3+2(n-1)=2n+1; n?n-1? Sn=3n+ 2 ×2=n2+2n. (2) 由 (1) 知 an = 2n + 1 , 所 以 bn = 1 ? 1 ?1 ?n-n+1?, · 4? ? 1 1 1 1 1 ? 1? ?1-2+2-3+…+n-n+1? 所以 Tn=4· ? ? 1 ? 1? n ?1-n+1?= =4· , ? ? 4?n+1? 即数列{bn}的前 n 项和 Tn= 1 a2 n-1

……2 分 ……4 分 ……6 分 1 1 1 = 4 · = 2 ?2n+1? -1 n?n+1?



……9 分

n
4?n+1?

.

……12 分



4第

a b c 18.解:(1)由正弦定理设sinA=sinB=sinC=k, 2c-a 2ksinC-ksinA 2sinC-sinA 则 b = = , ksinB sinB cosA-2cosC 2sinC-sinA 所以 = , cosB sinB 即(cosA-2cosC)sinB=(2sinC-sinA)cosB, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C), 又∠A+∠B+∠C=π, sinC 所以 sinC=2sinA.因此sinA=2. sinC (2)由 sinA=2,得 c=2a. 1 由余弦定理及 cosB=4, 1 得 b2=a2+c2-2accosB=a2+4a2-4a2×4=4a2, 所以 b=2a,又 a+b+c=5,从而 a=1,因此 b=2.

19.解:由 2sin(A+B)- 3 =0,得 sin(A+B)=

3 , 2

∵△ABC 为锐角三角形,∴A+B=120°, C=60° 又∵a、b 是方程 x2-2 3 x+2=0 的两根, ∴a+b=2 3 ,a·b=2, ∴c2=a2+b2-2a·bcosC=(a+b)2-3ab=12-6=6, ∴c= 6 ,
S? ABC ?

……3 分

……8 分 ……12 分 ……2 分

3 3 1 1 = . ab sin C = ×2× 2 2 2 2

20.⑴由 A1 B1 ? x ,知 B1C1 ?
S ? ( x ? 20)(

4000 x

4000 ? 8) x 80000 ? 4160 ? 8 x ? ( x ? 0) x

……6 分

⑵ S ? 4160 ? 8 x ?

80000 80000 ? 4160 ? 2 8 x? ? 5760 ……9 分 x x



5第

80000 即x ? 100 时取等号 x ∴ 要 使 公 园 所 占 面 积 最 小 , 休 A1B1C1D1 的 长 为 米. ……12 分

当且仅当 8 x ?

100

米 、 宽 为

40

21 解析:(1)∵Sn+1=4an+2 ①? ∴Sn+2=4an+1+2 ②? ②-①得 Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,…)?即 an+2=4an+1-4an,? 变形,得 an+2-2an+1=2(an+1-2an)?∵bn=an+1-2an(n=1,2,…)?∴bn+1=2bn. 由此可知,数列{bn}是公比为 2 的等比数列; 由 S2=a1+a2=4a1+2,又 a1=1,得 a2=5 故 b1=a2-2a1=3 ∴bn=3·2n-1.?
(2) ? cn ? an a ?1 an an?1 ? 2an b (n ? 1,2,?),? cn ?1 ? cn ? n ? n ? ? nn , n n ?1 n ?1 2 2 2 2 2 ?1

将 bn=3·2n-1 代入,得 cn+1-cn= 由此可知,数列{cn}是公差为
故cn ?

3 (n=1,2,…)? 4

a 3 1 的等差数列,它的首项 c1= 1 ? , ? 2 2 4

1 3 3 1 ? (n ? 1) ? n ? . 2 4 4 4 3 1 1 n n-2 (3) ? cn ? n ? ? (3n ? 1) ∴an=2 ·cn=(3n-1)·2 (n=1,2,…); 4 4 4

当 n≥2 时,Sn=4an-1+2=(3n-4)·2n-1+2,?由于 S1=a1=1 也适合于此公式, 所以所求{an}的前 n 项和公式是:Sn=(3n-4)·2n-1+2.



6第


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