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高中数学人教A版必修四同步课堂第一章 1.2 1.2.1 第二课时 公式一与三角函数线


第 一 章
三 角 函 数

1.2 任 意 角 的 三 角 函 数

1.2.1 第 二 课 时 公式 一与 三角 函数 线

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[读教材·填要点]

1.公式一

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2.有向线段与三角函数线
(1)有向线段:带有 方向 的线段. (2)三角函数线:

图示

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正弦线

角α的终边与单位圆交于点P,过点P作PM垂直于x

轴,有向线段 MP 即为正弦线

余弦线 有向线段 OM 即为余弦线 正切线 过点A(1,0)作单位圆的切线,交α的终边或α的终边 的反向延长线于点T,有向线段 AT 即为正切线

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[小问题·大思维] 1.终边相同的角的同一三角函数值之间有什么关系? 提示:相等. 2.三角函数线的长度就是角的相应三角函数值吗? 提示:不是,还要考虑有向线段与x轴或y轴是同向还 是反 向,以判断值的正负.
π 5π 3. 和 的余弦线相等,对吗? 4 4 π 5π 提示:不对. 和 的余弦线长度相等方向不同. 4 4
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4.公式一的作用是什么? 提示:公式一的作用就是将所给任意角α的三角函数值转 化为求0到2π范围内与角α终边相同的角α+2kπ(这里的k是一 个具体的整数)的三角函数值.

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[研一题]
[例 1] 求下列各式的值:

? 15π? 25π (1)cos +tan ?- 4 ?; 3 ? ?

(2)sin 810° +tan 765° -cos 360° .

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[自主解答]

? ? π? π? (1)原式=cos?8π+3 ?+tan ?-4π+4 ? ? ? ? ?

π π =cos +tan 3 4 1 3 = +1= . 2 2 (2)原式=sin(90° +2×360° )+tan(45° +2×360° )-cos 360° =sin 90° +tan 45° -1=1+1-1=1.

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[悟一法]
利用公式一,可以把求任意角的三角函数值问题转 化为求0~2π间的角的三角函数值问题,同时要注意记住 特殊角的三角函数值.

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[通一类]
1.求下列三角函数值.
? 47π? (1)sin?- 6 ?; ? ?

17π (2)cos ; 4 (3)tan
? 17π? ?- ? 3 ?. ?

? 47π? ? π? π 1 ?- ?=sin?-8π+ ?=sin = ; 解:(1)sin 6 ? 6? 6 2 ? ? ? π? 17π π 2 ?4π+ ?=cos = (2)cos =cos ; 4? 4 4 2 ? ? 17π? ? π? ?- ?=tan ?-6π+ ?=tan 3 ? 3? ? ?

(3)tan

π = 3. 3

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[研一题]
[例 2] 3π 作出 的正弦线、余弦线和正切线. 4

[自主解答]

3π 的正弦线为 MP,余弦线为 OM,正切线为 AT. 4

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3π 作出- 的正切线. 4

3π 解:如图所示,有向线段 AT 即为- 的正切线. 4

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[悟一法] 1.作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆 的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得正 弦线和余弦线. 2.作正切线时,应从A(1,0)点引单位圆的切线交角的

终边或终边的反向延长线于一点T,即可得到正切线AT.

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[通一类] 2.在单位圆中画出满足tan α=-1的角α的终边,并写出

角α的集合.
解:如图所示,在直线 x=1 时 取 AT=-1,则 T 的坐标为(1,-1), 过点 T 和原点作直线,交单位圆于 点 P 和 P′,则 OP 和 OP′就是 角 α 的终边, ∴满足条件的所有角 α 的集合是 π {α|α=- +kπ,k∈Z}. 4
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[研一题] [例3] 利用三角函数线,求满足下列条件的角α的集合.
1 (1)sin α<- ; 2 3 (2)cos α≥ . 2

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[自主解答]

1 (1)如图(1)所示,过点(0,- )作 x 2

轴的平行线,交单位圆于点 P 和 P′,则 OP 和 OP′ 11π 7π 分别是角 和 的终边. 6 6 ∴满足条件的所有角 α 的集合是 7π 11π {α| +2kπ<α< +2kπ,k∈Z}. 6 6

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3 (2)如图(2)所示,过点( ,0)作 x 轴的垂 2 线与单位圆交于点 P、P′,则 OP 和 OP′ π π 分别是角 和- 的终边. 6 6 ∴满足条件的所有角 α 的集合是 π π {α|- +2kπ≤α≤ +2kπ,k∈Z}. 6 6

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[悟一法]
解答此类题目的关键在于借助于单位圆,作出等号成立 时角α的三角函数线,然后运用运动的观点,找出符合条件 的角的范围.在这个解题过程中实现了一个转化,即把代数 问题几何化,体现了数形结合的思想.

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[通一类]
3.求下列函数的定义域: (1)y= 2sin x- 3; (2)y=lg(1- 2cos x)+ 1+ 2cos x.
解:(1)如图所示, 3 ∵2sin x- 3≥0,∴sin x≥ . 2 ∴函数的定义域为 π 2π [2kπ+ ,2kπ+ ](k∈Z). 3 3

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(2)如图所示,
?1- ? ∵? ?1+ ?

2cos x>0, 2cos x≥0,

2 2 ∴- ≤cos x< , 2 2 ∴函数的定义域为 π 3π 5π 7π (2kπ+ ,2kπ+ ]∪[2kπ+ ,2kπ+ )(k∈Z). 4 4 4 4

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若α为锐角,求证:sin α<α<tan α.
[巧思] 先在单位圆中作出α的正弦线、正切线,再

利用相关图形建立不等关系,即可证得结论. [妙解] 如图,设角α的终边交单位圆

于P点,过点P作PM⊥Ox,垂足为M,

过点A(1,0)作单位圆的切线,交OP的延
长线于点T,

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则|MP|=MP=sin α, |AT|=AT=tan α, ∵S△OAP<S 扇形 OAP<S△OAT, 1 1 2 1 ∴ |OA||MP|< · |OA| < |OA|· α· |AT|, 2 2 2 即|MP|<α<|AT|, ∴MP<α<AT. ∴sin α<α<tan α.

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