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天津一中09-10学年高二下学期期中考试(数学理)


天津一中 09-10 学年高二下学期期中考试 数学试卷(理科)
审核人:张浩 一、选择题(每题 3 分,共 30 分) 1. 命题“对任意的 x ? R,x3 ? x 2 ? 1 ? 0 ”的否定是(
3 2 3

校对:陈亮

) .

A.丌存在 x ? R,x ? x ? 1 ? 0 C.存在

x ? R,x3 ? x2 ? 1 ? 0 2.

B.存在 x ? R,x ? x2 ? 1 ? 0 D.对任意的 x ? R,x3 ? x2 ? 1 ? 0 ). D. (0,3) ) .

函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是( B. (2,??)
x

A. (??,2) 3.

C.(1,4)

曲线 y ? e 2 在点 4,e 2 处的切线不坐标轴所围三角形的面积为(

?

?

A. e2 4.

9 2

B. 4e 2

C. 2e 2

D. e 2

已知对任意实数 x ,有 f ? ? x ? ? ? f ? x ?,g ? ? x ? ? g ? x ? ,且 x ? 0 时 ) . B. f ? ? x ? ? 0,g ? ? x ? ? 0 D. f ? ? x ? ? 0,g ? ? x ? ? 0 ).

f ? ? x ? ? 0,g ? ? x ? ? 0 ,则 x ? 0 时(
A. f ? ? x ? ? 0,g ? ? x ? ? 0 C. f ? ? x ? ? 0,g ? ? x ? ? 0 5.

设 a ? b ,函数 y ? ( x ? a)2 ( x ? b) 的图象可能是(

6.

已知函数 f (x) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x 2 ? 8x ? 8 ,则曲线 y ? f (x) 在点 ).
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

(1, f (1)) 处的切线方程是 (
A. y ? 2 x ? 1 7. B. y ? x

C. y ? 3x ? 2

D. y ? ?2 x ? 3 ).

若 a,b ? R ,则复数 (a2 ? 4a ? 5) ? (?b2 ? 2b ? 6)i 表示的点在( B.第二象限 C.第三象限

A.第一象限

D.第四象限 ).

? x ? 1, (?1 ? x ? 0) ? 8. 函数 f ( x) ? ? ? 的图象不 x 轴所围成的封闭图形的面积为( ?cos x, (0 ? x ? 2 ) ? 3 1 A. B. 1 C. 2 D. 2 2

9.

用数学归纳法证明 (n ? 1)(n ? 2)?(n ? n) ? 2n ?1? 3 ??? (2n ?1) (n ? N * ) ,从“ n ? k ). D.

到 n ? k ? 1 ”,左端需 增乘的代数式为 ( A.
2k ? 3 k ?1

B. 2 k ? 1
k ?1

C. 2k ? 1

2(2k ? 1)

10. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如:

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形 数;类似的,称图 2 中的 1,4,9,16,…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数 又是正方形数的是( A.289 ). B.1024 C.1225 D.1378

二、填空题(每题 4 分,共 24 分)

[来源:学#科#网]

2 11. 已知命题 p : “ m ? 1 ” ;命题 q : “ 2m ? 9m ? 10 ? 0 ” ,若 p 且 q 为假, p 或 q 为真,

则实数 m 的取值范围是 __________________. 12. 已知函数 f ? x ? ? x3 ? 12 x ? 8 在区间 ? ?3 3? 上的最大值不最小值分别为 M,m ,则 ,
M ? m ? _______________________.

13. 若关于x的方程x ? (2i ?1) x ? 3m ? i ? 0有实根,则实数m = _______________.
2

· · 14. 已知: △ ABC 中, AD ? BC 于 D ,三边分别是 a,b,c ,则有 a ? c cos B ? b cos C ;类

△ △ 比上述结论,写出下列条件下的结论:四面体 P ? ABC 中, △ ABC , △PAB, PBC, PCA

的 面 积 分 别 是 S,S1,S2,S3 , 二 面 角 P ? AB ? C,P ? BC ? A,P ? AC ? B 的 度 数 分 别 是

?,?,? ,则 S ?
3 2


2

15. 已知 f ( x) ? x ? 3ax ? bx ? a 在 x ? ?1 时有极值 0,则 a ? b 的值为



x 16. 设 a ? R , 若函数 y ? e x ? ax , ? R , 有大于零的极值点, a 的取值范 围是 则



三、解答题(共 5 题,46 分) 17. 设命题 p : | 4 x ? 3 |? 1 ,命题 q : x2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 ,若 ? p 是 ? q 的必要 丌充分条件,求实数 a 的取值范围.

18. 设复数 z ?

(1 ? i ) 2 ? 3(1 ? i) 2 ,若 z ? mz ? n ? 1 ? i ,求实数 m,n 的值. 2?i

[来源:高考试题库]

19. 统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 y (升)关于行驶速度 x (千米 /小时)的函数解析式可以表示为: y ?

1 3 x3 ? x ? 8 (0 ? x ? 120) .已知甲、乙两 128000 80

地相距 100 千米, 当汽车以多大的速度匀速行驶时, 从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

[来源:学*科*网]

[来源:Z+xx+k.Com]

20. 在数列 {an },{bn } 中,a1=2, b1=4,且 an , bn , an?1 成等差数 列, bn , an?1, bn?1 成等比数列 (n? N *) (Ⅰ)求 a2, a3, a4 及 b2, b3, b4,由此猜测{an}, { bn}的通项公式,并证明你的结论; (Ⅱ)证明:
[来源:高考试题库 GKSTK]

1 1 1 5 ? ??? ? . a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn 12

[来源:Z。xx。k.Com]

21. 已知 a 是实数,函数 f ? x ? ? x2 ? x ? a ? . (Ⅱ)求 f ? x ? 在区间 ? 0, ? 上的最大值. 2

(Ⅰ)若 f ? ?1? ? 3 ,求 a 的值及曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1 f ?1? ? 处的切线方程; ,

天津一中 2009-201 0 学年第二学期期中数学试卷答案(理科)
审核人:张浩 一、选择题 1.C 2.B 3. D 4.B 5.C 6.A 7.D 8.A 9.D 10.C 校对:陈亮

二、填空题(每题 4 分,共 24 分)

11.m≥ 13.

5 or1≤m≤2 2

12.3 2 14.s1cos ? +s2co s ? +s3cos ? 16.a<-1

1 12

15.-7 三、17.0≤a≤ 1 8. m+n=1 m+2=-1 19.11.25 升 20.1) 2bn=an+an+ 1 a 2?1 =bnbn+1 n ① ②
[来源:Gkstk.Com]

1 2
m=-3
[来源:Gkstk.Com]

?

n=4

a1=2 b1=4 由 ①a2=6 a2=6 b1=4 由 ② ? b2=9 a3=12 a4=20 a1=2 a2=6 a3 =12 a4=20 b1=4 b2=9
[ 来源:高考试题库 GKSTK]

b3=16 b4=25

猜想 an=n(n+1)

猜想 bn b3=16 b4=25

=(n+1)2

证明:1 n=1 时 猜想成立

2

设 n=k 时 ak=k(k+1) bk=(k+1)2

则 n=k+1 时 ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1) =(k+1) (2k+2-k)=(k+1) (k+2) bk+1=
2 ak ?1 (k ? 1) 2 (k ? 2) 2 ? ? (k ? 2) 2 2 bk (k ? 1)

猜想成立

∴? n? N 2)证明:

an ? n(n ? 1) bn ? (n ? 1) 2

1 1 1 ? ? 2 an ? bn n(n ? 1) ? (n ? 1) (n ? 1)(2n ? 1)


1 1 1 ? ??? a1 ? b1 a 2 ? b2 a n ? bn

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ? ? ??? ? ) 6 2 2 3 3 4 n n ?1 1 1 1 1 1 1 5 )? ? ? = ? ( ? 6 2 2 n ? 1 6 4 12
= 21. (I)y=3x-2 (II)综上 a≥2 时 ymax=f(0)=0 a<2 时 ymax=f(2)=8-4a


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