当前位置:首页 >> 数学 >>

函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数的简单应用


第 三 章 三 角 函 数、 解 三 角 形

第四 节

抓 基 础
明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练

函数 y= Asin (ω x +φ ) 的图 像及 三角 函数 的简 单应 用

提 能 力

返回

[备考方向要明了] 考 什 么 1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义,能画出函数 y=Asin(ωx+φ)的图像,了解参数A、ω、φ对函

数图像变化的影响.
2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型, 会用三角函数解决一些简单的实际问题.

返回

怎 么 考 函数y=Asin(ωx+φ)的图像的平移和伸缩变换以及 根据图像确定A、ω、φ问题是高考的热点.题型既有小

题,又有解答题,难度中、低档,主要考查识图、用图
能力,同时又考查了利用三角公式进行三角恒等变换的 能力.

返回

返回

一、y=Asin(ωx+φ)的有关概念 y=Asin(ωx +φ)(A>0, ω>0), A
2π T= ω
ω 1 f= T = 2π ωx+φ

振幅

周期

频率

相位

初相

φ

x∈[0,+∞) 表示一个振 动量时

返回

二、用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图 用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找 五个关键点,如下表所示.

x

φ -ω

x+ φ
y=sin(x + φ)

0 0

φ π -ω+ 2ω π 2

π-φ ω

3π φ - 2ω ω 3π 2

2π-φ ω

π

2π 0

A

0

-A

返回

三、函数y=sinx的图像变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像 的步骤

法一

法二

返回

返回

x 1.函数 y=sin2的图象的一条对称轴的方程是 A.x=0 π B.x=2

(

)

C.x=π D.x=2π x π x 解析:由2=2+kπ 得 x=π+2kπ.故 x=π 是函数 y=sin2的

一条对称轴.

答案: C

返回

2.(教材习题改编)已知简谐运动f(x)=2sin

?π ? π ? x+φ?(|φ|< )的图像经 2 ?3 ?

过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( π A.T=6,φ=6 π C.T=6π,φ=6 π B.T=6,φ=3 π D.T=6π,φ=3

)

返回

2π 解析:最小正周期为T= π =6; 3 1 π 由2sin φ=1,得sin φ=2,φ=6.

答案: A

返回

3.将函数y=sin x的图像向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后,得到函 ? π? 数y=sin ?x-6?的图像,则φ等于 ( ) ? ? π 11π A.6 B. 6 7π 5π C. 6 D. 6

返回

? ? π? 11π? π ?x- ? =sin(x- +2π)=sin ?x+ ? ,故 解析:依题意得y=sin 6? 6 ? 6 ? ? ? 11π? 11π 将y=sin x图像向左平移 6 个单位后得到y=sin ?x+ 6 ? =sin ? ? ? π? ?x- ?的图像. 6? ?

答案: B

返回

4.(教材习题改编)y=2sin

? π? ?2x- ?的振幅为________,频率和初相分 4? ?

别为________、________.

答案:2

1 π

π -4

返回

5.函数y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)在
闭区间[-π,0]上的图像如图所示,则ω=________.

返回

2π 解析:观察函数图像可得周期T= 3 ,又由函数, 2π y=Asin(ωx+φ)得T= ω , 2π 2π 则T= 3 = ω ,所以ω=3.

答案:3

返回

返回

1.确定y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,|φ|<π)中的参数的方法 在由图像求解析式时,若最大值为M,最小值为m,则A= M-m M+m 2π ,k= 2 ,ω由周期T确定,即由 ω =T求出,φ由特 2 殊点确定.

返回

2.平移变换中的平移量 |φ| 从y=sin ωx(ω>0)到y=sin(ωx+φ)(ω>0)的变换中平移量为 ω (φ>0时,向左;φ<0时,向右)而不是|φ|.平移的距离是针对x的 变化量而言的.

返回

返回

[精析考题] [例1] (2010· 四川高考)将函数y=sin x的图像上所有的点向 π 右平行移动10个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原 来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是 ( ) ? ? π? π? ?2x- ? ?2x- ? A.y=sin B.y=sin 10? 5? ? ? ?1 ?1 π? π? ? x- ? ? x- ? C.y=sin 2 D.y=sin 2 10? 20? ? ?

返回

[自主解答]

π 将函数y=sin x的图像向右平移10个单位长度得到函

? π? ?x- ?的图像,然后将所得各点的横坐标伸长到原来 数y=sin 10? ? ?1 π? 的2倍(纵坐标不变)得到y=sin ?2x-10?的图像,选C. ? ?

[答案] C

返回

[巧练模拟]——————(课堂突破保分题,分分必保!)
1.(2011· 三明模拟)要得到函数 y=cos y=cos 2x 的图像 π A.向右平移 个单位 6 π C.向左平移 个单位 6
解析:y=cos
? π? ?2x+ ?=cos 6? ?

? π? ?2x+ ?的图像,只需将函数 6? ?

( π B.向右平移 个单位 12 π D.向左平移 个单位 12
? π? 2?x+12?. ? ?

)

答案: D

返回

? π? 2.(2012· 徐州模拟)已知函数f(x)=sin?2x+3 ?. ? ?

(1)求函数y=f(x)的单调递增区间; (2)画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图像.

返回

π π π 解析:(1)由2kπ-2≤2x+3≤2kπ+2(k∈Z)得 5π π kπ-12≤x≤kπ+12(k∈Z)
? 5π π? ∴所求单调增区间为?kπ-12,kπ+12?(k∈Z). ? ?

返回

π π 7π (2)∵0≤x≤π,∴3≤2x+3≤ 3 .列表如下:

x π 2x+3 y

0 π 3 3 2

π 12 π 2 1

π 3 π 0

7π 12 3π 2 -1

5π 6 2π 0

π 7π 3 3 2

返回

画出图像如图所示.

返回

[冲关锦囊]
1.用“五点法”作图应抓住四条:①将原函数化为y=Asin(ωx +φ)(A>0,ω>0)或y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的形式; 2π ②求出周期T= ω ;③求出振幅A;④列出一个周期内的五个 特殊点,当画出某指定区间上的图像时,应列出该区间内的 特殊点.

返回

2.图像变换法
(1)平移变换

①沿x轴平移,按“左加右减”法则;
②沿y轴平移,按“上加下减”法则.

返回

(2)伸缩变换 ①沿 x 轴伸缩时,横坐标 x 伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原 1 来的ω倍(纵坐标 y 不变); ②沿 y 轴伸缩时,纵坐标 y 伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原 来的 A 倍(横坐标 x 不变).

返回

[例2]

π (2010· 福建高考)已知函数f(x)=3sin(ωx- )(ω>0)和g(x) 6

π =2cos(2x+φ)+1的图像的对称轴完全相同.若x∈[0, ],则f(x) 2 的取值范围是________________.

返回

[自主解答] ∵f(x)与g(x)的图像的对称轴完全相同, ∴f(x)与g(x)的最小正周期相等, π ∵ω>0,∴ω=2. ∴f(x)=3sin(2x- ). 6 π π π 5π ∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ . 2 6 6 6 1 π 3 π ∴- ≤sin(2x- )≤1. ∴- ≤3sin(2x- )≤3, 2 6 2 6 3 即f(x)的取值范围为[- ,3]. 2
3 [答案] [- ,3] 2

返回

[巧练模拟]———————(课堂突破保分题,分分必保!)
3.(2011· 北京西城区期末)函数f(x)=sin
? π? sin?x-4 ?的图像 ? ? ? ?π ? π? xcos?x-4 ?+sin?2 +x? ? ? ? ?

( B.关于y轴对称 D.关于直线x= 3π 对称 8

)

A.关于原点对称 π C.关于点(- ,0)对称 8

返回

解析:f(x)=sin xcos
? π? sin ?2x-4? ,f(0)=- ? ?

? π? ?x- ? 4? ?

+cos xsin

? π? ?x- ? 4? ?

=sin

? π? ?x+x- ? 4? ?



? π? 2 ?-2x- ? ≠f(x),故A、B 4? 2 ≠0,f(-x)=sin ?

? π? ? π? ?3π? 均错误;f ?-8? =sin ?-2? =-1≠0,C错误;f ? 8 ? =sin ? ? ? ? ? ?

π 2 =1,D

正确.

答案:D

返回

4.(2011· 江南十校联考)已知函数f(x)=sin x+acos x 5π 的图像的一条对称轴是x= ,则函数g(x)=asin x+cos x 3 的最大值是 A. C. 2 2 3 4 3 B. 2 3 3 ( )

2 6 D. 3

返回

10π 3 a 解析:由题意得 f(0)=f( ),∴a=- - . 3 2 2 3 3 2 3 2π ∴a=- 。g(x)=- sin x+cos x= sin(x+ ), 3 3 3 3 ∴g(x)max= 2 3 . 3

答案: B

返回

[冲关锦囊]
(1)y=Asin(ωx+φ)的图像有无穷多条对称轴,可由方程ωx+φ π =kπ+2(k∈Z)解出;它还有无穷多个对称中心,它们是图像 kπ-φ 与x轴的交点,可由ωx+φ=kπ(k∈Z),解得x= ω (k∈ kπ-φ Z),即其对称中心为( ω ,0)(k∈Z). T T (2)相邻两对称轴间的距离为 2 ,相邻两对称中心间的距离也为 2 .

返回

[精析考题] [例3] (2011· 江苏高考)函数f(x)=Asin (ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,

ω>0)的部分图像如图所示,则f(0)的值是________.

返回

[自主解答]

T 7π π π 2π 由图可知:A= 2, 4 =12-3=4,所以T=π,ω= T

?π ? π =2,又函数图像经过点?3,0?,所以2×3+φ=π, ? ? ? π? π 则φ=3,故函数的解析式为f(x)= 2sin ?2x+3?, ? ?

π 6 所以f(0)= 2sin3= 2 .
[答案] 6 2

返回

若本例函数图像变为如图所示,试求f(0).

返回

解:由图知 A=5, T 5π 3π 由 2 = 2 -π= 2 ,得 T=3π, 2π 2 ∴ω= T =3. 此时 y=5sin
?2 ? ? x+φ?. ?3 ?

返回

?π ? ?2 ? 将最高点坐标?4 ,5?代入y=5sin ?3x+φ?, ? ? ? ?

得5sin

?π ? ? +φ?=5, ?6 ?

π π π ∴ +φ=2kπ+ ,∴φ=2kπ+ (k∈Z). 6 2 3 π π 5 3 又|φ|<π,∴φ= .∴f(0)=5sin = . 3 3 2

返回

[巧练模拟]—————(课堂突破保分题,分分必保!)
5.(2012· 南京模拟)已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)
? π? ?ω>0,|φ|< ?,y=f(x)的部分图像如图,则 2? ? ?π? f?24?=________. ? ?

返回

3 1 2 1 解析:由题中图像可知,此正切函数的半周期等于 8 π- 8 π= 8 π= 4
?3 ? 1 π,即周期为 2 π,所以,ω=2.由题意可知,图像过定点 ?8π,0? ,所 ? ?

以0=Atan

? ? 3 3 3 ?2× π+φ?,即 π+φ=kπ(k∈Z),所以,φ=kπ- π(k∈ 8 4 4 ? ?

1 1 Z),又|φ|< 2 π,所以,φ= 4 π.再由图像过定点(0,1),所以,A=1.综
?1 ? ? 1 1 ? 1 1 ? π? =tan ?2× π+ π? =tan π 上可知,f(x)=tan(2x+ 4 π).故有f 24 24 4 ? 3 ? ? ?

= 3.
答案: 3

返回

6.(2011· 北京东城区期末)函数f(x)=Asin(ωx+φ)
? π? ?A>0,ω>0,|φ|< ?的部分图像如图所示. 2? ?

(1)求f(x)的最小正周期及解析式; (2)设g(x)=f(x)-cos 最小值.
? π? 2x,求函数g(x)在区间?0,2?上的最大值和 ? ?

返回

T 2π π π 解:(1)由图可得 A=1, 2 = 3 -6=2,所以 T=π. 所以 ω=2.
? ? π π 当 x=6时,f(x)=1,可得 sin ?2×6+φ?=1, ? ?

π π 因为|φ|<2,所以 φ=6. 所以 f(x)的解析式为 f(x)=sin
? π? ?2x+ ?. 6? ?

返回

(2)g(x)=f(x)-cos 2x=sin

? π? ?2x+ ?-cos 6? ?

2x

π π =sin 2xcos6+cos 2xsin6-cos 2x
? π? 3 1 ?2x- ?. = 2 sin 2x-2cos 2x=sin 6? ?

π π π 5π 因为 0≤x≤2,所以-6≤2x-6≤ 6 . π π π 当 2x-6=2,即 x=3时,g(x)的最大值为 1; π π 1 当 2x-6=-6,即 x=0 时,g(x)的最小值为-2.

返回

[冲关锦囊]
根据y=Asin(ωx+φ)+k的图像求其解析式的问题,主要从以 下四个方面来考虑: ①A的确定:根据图像的最高点和最低点,即A= ②k的确定:根据图像的最高点和最低点,即k= 最高点-最低点 ; 2

最高点+最低点 ; 2

返回

2π ③ω的确定:结合图像,先求出周期T,然后由T= ω (ω>0)来确定ω; ④φ的确定:由函数y=Asin(ωx+φ)+k的图像上升时与x轴的交点的横 φ φ 坐标为- ω (即令ωx+φ=0,x=- ω )确定,或利用图像上的最高点、 最低点等特殊点的坐标来确定.

返回

[精析考题] [例4] (2011· 重庆高考改编)设函数f(x)=sin xcos x- 3cos

(x+π)cosx(x∈R). (1)求f(x)的最小正周期; π 3 (2)若函数y=f(x)的图像向右平移4个单位,再向上平移 2 个单位, π 平移后得到函数y=g(x)的图像,求y=g(x)在[0,4]上的最大值.

返回

[自主解答]

1 (1)f(x)=2sin 2x+ 3cos2x

1 3 =2sin 2x+ 2 (1+cos 2x)
? π? 1 3 3 3 =2sin 2x+ 2 cos 2x+ 2 =sin?2x+3?+ 2 . ? ?

2π 故f(x)的最小正周期为T= 2 =π.

返回

? π? (2)依题意g(x)=f?x-4 ?+ ? ? ? ? π? π ? ? ? =sin?2 x-4 ?+3 ?+ ? ? ? ? ?

3 2

? π? 3 3 + =sin?2x-6 ?+ 3. 2 2 ? ?

? π? π ? π π? ?0, ?时,2x- ∈?- , ?,g(x)为增函数, 当x∈ 4? 6 ? 6 3? ? ?π? 3 3 π 所以g(x)在[0, ]上的最大值为g?4 ?= . 4 2 ? ?

返回

[巧练模拟]—————(课堂突破保分题,分分必保!)
7.(2012· 济南模拟)已知函数f(x)=Asin
?π ? ? x+φ?, ?3 ?

π x∈R,A>0,0<φ<2.y=f(x)的部分图像 如图所示,P,Q分别为该图像的最高点和 最低点,点P的坐标为(1,A). (1)求f(x)的最小正周期及φ的值; 2π (2)若点R的坐标为(1,0),∠PRQ= 3 ,求A的值.

返回

2π 解:(1)由题意得,T= π =6. 3 因为P(1,A)在y=Asin 所以sin
?π ? ? +φ?=1. ?3 ? ?π ? ? x+φ?的图像上, ?3 ?

π π 又因为0<φ<2,所以φ=6.

返回

(2)设点 Q 的坐标为(x0,-A),

π π 3π 由题意可知3x0+6= 2 , 得 x0=4, 所以 Q(4,-A).

返回

2π 如图,连接 PQ,在△PRQ 中,∠PRQ= 3 , RP2+RQ2-PQ2 由余弦定理得 cos ∠PRQ= 2RP· RQ A2+9+A2-?9+4A2? 1 = =-2, 2A· 9+A2 解得 A2=3. 又 A>0,所以 A= 3.

返回

[冲关锦囊] 认识并理解三角函数的图像与性质是解决此类问题 的关键.此类问题往往先用三角恒等变换化简函数解析 式,再来研究其性质,因此对三角恒等变换的公式应熟

练掌握.

返回

返回

答题模板

三角函数图像与性质综

合问题答题模板

返回

[考题范例] (12分)(2012· 南京模拟)设函数f(x)=sin (1)求f(x)的最小正周期; (2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图像关于直线x=1对称,求当x∈ ? 4? ?0, ?时,求y=g(x)的最大值. 3? ?
?π π? π ? x- ?-2cos2 x+1. 6? 8 ?4

返回

[规范解题] π π π π π 3 π 3 π (1)f(x)=sin4xcos6-cos4xsin6-cos4x= 2 sin4x-2cos4x = 3sin
?π π? ? x- ?, 3? ?4

(3 分) (4 分)

2π 故 f(x)的最小正周期为 T= π =8. 4

返回

(2)在y=g(x)的图像上任取一点(x,g(x)),它关于x=1的对称点为(2 -x,g(x)).由题设条件,点(2-x,g(x))在y=f(x)的图像上, 可知g(x)=f(2-x) = = =
?π π? ? ?2-x?- ? 3sin 4 3? ? ?π π π? ? - x- ? 3sin 2 4 3? ? ?π π? 3cos?4x+3?.(8分) ? ?

返回

4 π π π 2π 当0≤x≤3时,3≤4x+3≤ 3 ,
?π π? 1 1 ∴-2≤cos?4x+3?≤2, ? ? ? 4? 因此y=g(x)在区间?0,3?上的最大值为g(x)max= ? ?

π 3 3cos 3= 2 .(12分)

返回

[模板建构] 第一步:化成统一形式 将函数 f(x)化为 Asin(ωx+φ)的形式; 第二步:求 f(x)的最小正周期 2π 利用公式 T= 求 f(x)的最小正周期; |ω| 第三步:求 g(x)的解析式 利用代入法求 g(x)的解析式并化为 Acos(ωx+φ)的形式; 第四步:求 g(x)的最值 利用三角函数的单调性求 g(x)的最大值.

返回

特别提醒:在具体问题中,我们面对的往往不是简单的 正弦函数、余弦函数而是需要变形处理的三角函数,这 些三角函数式大都可以转化成形如y=Asin(ωx+φ)+k的 函数加以解决;化简时,主要应用三角恒等变换知识进 行等价变形,然后根据函数y=Asin(ωx+φ)+k的有关性

质解题.

返回

点击此图进入

返回


赞助商链接
相关文章:
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第四节 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象及三角函数模型的简单 应用 [...
...(二十) 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的...
课时跟踪检测 (二十) 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用_数学_高中教育_教育专区。课时跟踪检测 函数模型的简单应用 ? (二十) 函数 y=Asin...
...第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简...
2016届(新课标)高考数学:第3章 第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用 - 2010~2014 年高考真题备选题库 第 3 章 三角函数、解三角形...
第3章 第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型...
第3章 第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 - 课时规范练 A组 基础对点练 π? 1 ? 1.(2016· 高考全国Ⅰ卷)将函数 y=2sin?2x...
第三章第6讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的...
第6 讲 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 , [学生用书 P74]) 1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念 y=Asin(ωx+φ)(A>0, 振幅 周期 ...
20 函数y=20Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用
(二十) 函数 y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用 第Ⅰ卷:夯基保分卷 [来源:学科网 ] π 1.把函数 y=sin x 的图像上所有点的横坐标缩小到...
3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 50份文档 2014年注册会计师考试 2014年注册会计师考试攻略 2013年注会...
 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 隐藏>> 温新堂个性化 VIP 一对一教学一、选择题 ππ 1.将函数 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位,...
函数y=Asin(ωx φ)的图象及三角函数模型的简单应用学案
学案20 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及 三角函数模型的简单应用导学目标: 1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出 y=Asin(ωx+φ)的图象,了 解...
3.4函数y=Asin(wx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用
3.4函数y=Asin(wx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用_数学_高中教育_教育专区。第四节 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 [备考方向要明...
更多相关标签: