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参数方程与普通方程的互化及应用(含答案)


参数方程与普通方程的互化及应用
典题探究

例 1:椭圆 ?

?x ? 3 ? cos? (?是参数)的两个焦点坐标是() ? y ? ?1 ? 5 sin ?
B.(3,3),(3,-5)? D.(7,-1),(-1,-1)?

A.(-3,5),(-3,-3) C.(1,1),(-7,1)

/>
例 2:参数方程

? ? ? x ? cos ? sin ? ? 2 2 (0 ? ? ? 2? )表示 ? ? y ? 1 (1 ? sin ? ) ? 2 ?
A.双曲线的一支,这支过点(1, C.双曲线的一支,这支过(-1,

1 ) 2

1 ) 2

1 ) 2 1 D.抛物线的一部分,这部分过(-1, ) 2
B.抛物线的一部分,这部分过(1,

例 3:在方程 ? A.(2,-7)

? x ? sin ? (θ 为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( ? y ? cos?
B.(

)?

1 2 , )? 3 3

C.(

1 1 , ) 2 2

D.(1,0)?

例 4:下列参数方程(t 为参数)与普通方程 x2-y=0 表示同一曲线的方程是(

)

?x ? t A. ? ?y ? t

? x ? cos t B. ? 2 ? y ? cos t

? x ? tgt ? x ? tgt ? ? C. ? 1 ? cos2t D. ? 1 ? cos2t y? y? ? ? 1 ? cos2t ? 1 ? cos2t ?

演练方阵
A 档(巩固专练)

1.曲线的极坐标方程 ? ? 4sin ? 化成直角坐标方程为(
2 A. x ? ? y ? 2 ? ? 4 2 2 C. ? x ? 2 ? ? y ? 4 2 2

)?

2 B. x ? ? y ? 2 ? ? 4 2 D. ? x ? 2 ? ? y ? 4 ? 2

2.极坐标 ? ? cos( A.双曲线

?
4

? ? ) 表示的曲线是(
B.椭圆

)? C.抛物线 )? D. ? cos ? ? ?4 D.圆

3.在极坐标系中,与圆 ? ? 4sin ? 相切的条直线的方程是( A. ? sin ? ? 2 B. ? cos? ? 2 C. ? cos ? ? ?2

4. 4 p sin A.圆

2

?
2

? 5 表示的曲线是(

) C.双曲线的一支 D.抛物线

B.椭圆

5.极坐标方程 4sin ? ? 3 表示曲线是(
2

) C.圆 D.抛物线

A.两条射线

B.两条相交直线

?x 6.求曲线 ? ?y

?

t2
2

? ?t

( 为参数)与曲线 ?

? x ? 2cos ? ( 为参数)的交点. ? y ? 2sin ?

7.化直线的普通方程 y ? y0 ? tan ? (x ? x0 ) 为参数方程(倾斜角

满足 ? ? 0 且 ? ?

?
2



x2 y 2 8.求椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程. a b
9. 用圆上任一点的半径与 x 轴正方向的夹角 为参数, 把圆 x ? y ? 2 x ? 0 化为参数方程。
2 2

10.设 y ? 4sin ? ( ? 为参数)把普通方程 x ? y ? 8x ? 0 化为以 ? 为参数的参数方程。
2 2

B 档(提升精练)

1.若直线的参数方程为 ? A.

? x ? 1 ? 2t (t为参数) ,则直线的斜率为() ? y ? 2 ? 3t

2 2 3 3 B. ? C. D. ? 3 3 2 2

2.下列在曲线 ?

? x ? sin 2? (? 为参数) 上的点是() ? y ? cos ? ? sin ?
3 1 , ) C. (2, 3) D. (1, 3) 4 2

A. ( , ? 2) B. ( ? 3.将参数方程 ?

1 2

? x ? 2 ? sin 2 ? ? (? 为参数) 化为普通方程为() 2 ? ? y ? sin ?
B. y ? x ? 2 C. y ? x ? 2(2 ? x ? 3) D. y ? x ? 2(0 ? y ? 1)

A. y ? x ? 2

4.化极坐标方程 ? 2 cos ? ? ? ? 0 为直角坐标方程为() A. x2 ? y 2 ? 0或y ? 1 B. x ? 1 C. x2 ? y 2 ? 0或x ? 1D. y ? 1 5.点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为() A. (2,

?

? 2? ? ) B. (2, ? ) C. (2, ) D. (2, 2k? ? ), (k ? Z ) 3 3 3 3

6.极坐标方程 ? cos ? ? 2sin 2? 表示的曲线为() A.一条射线和一个圆 B.两条直线 C.一条直线和一个圆 D.一个圆 7.直线 ?

? x ? 3 ? 4t (t为参数) 的斜率为______________________。 ? y ? 4 ? 5t
? x ? et ? e ? t ? (t为参数) 的普通方程为__________________。 t ?t ? ? y ? 2(e ? e )

8.参数方程 ?

9.已知直线 l1 : ?

? x ? 1 ? 3t (t为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y ? 5 相交于点 B ,又点 A(1, 2) , ? y ? 2 ? 4t

则 AB ? _______________。

1 ? x ? 2? t ? ? 2 (t为参数) 被圆 x2 ? y2 ? 4 截得的弦长为______________。 10.直线 ? ? y ? ?1 ? 1 t ? ? 2

C 档(跨越导练)

1.把方程 xy ? 1 化为以 t 参数的参数方程是()
1 ? ?x ? t 2 A. ? 1 ? y ? t?2 ?

? x ? sin t ? B. ? 1 y? ? sin t ?

? x ? cos t ? C. ? 1 y? ? cos t ?

? x ? tan t ? D. ? 1 y? ? tan t ?

2.曲线 ?

? x ? ?2 ? 5t (t为参数) 与坐标轴的交点是() ? y ? 1 ? 2t
2 5 1 2 1 5 1 2
C. (0, ?4)、 (8, 0)

( , 0) B. (0, )、 ( , 0) A. (0, )、

(8, 0) D. (0, )、

5 9

3.直线 ? A.

? x ? 1 ? 2t (t为参数) 被圆 x2 ? y 2 ? 9 截得的弦长为() ?y ? 2 ? t
12 12 9 9 5 D. 10 5 C. B. 5 5 5 5

4.若点 P(3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线 ? 则 PF 等于() A. 2 B . 3 C . 4 D . 5

? x ? 4t 2 ? y ? 4t

(t为参数) 上,

5.极坐标方程 ? cos 2? ? 0 表示的曲线为() A.极点 B.极轴 C.一条直线 D.两条相交直线

? x ? 2 pt 2 (t为参数,p为正常数) 上的两点 M , N 对应的参数分别为 t1和t2, , 6.已知曲线 ? ? y ? 2 pt

且t1 ? t2 ? 0 ,那么 MN =_______________。

7.直线 ?

? ? x ? ?2 ? 2t ? ? y ? 3 ? 2t

(t为参数) 上与点 A(?2,3) 的距离等于 2 的点的坐标是_______。

8.圆的参数方程为 ?

? x ? 3sin ? ? 4cos ? (? 为参数) ,则此圆的半径为_______________。 ? y ? 4sin ? ? 3cos ?

1 ? x ? (et ? e ? t ) cos ? ? ? 2 9.分别在下列两种情况下,把参数方程 ? 化为普通方程: ? y ? 1 (et ? e ? t ) sin ? ? ? 2
(1) ? 为参数, t 为常数; (2) t 为参数, ? 为常数;

10.过点 P (

10 , 0) 作倾斜角为 ? 的直线与曲线 x2 ? 12 y2 ? 1 交于点 M , N , 2

求 PM ? PN 的值及相应的 ? 的值

典题探究
例 1:答案:B 解析:化为普通方程得

( x ? 3) 2 ( y ? 1) 2 ? ? 1 ∴a2=25,b2=9,得 c2=16,c=4. 9 25

∴F(x-3,y+1)=F(0,± 4)∴在 xOy 坐标系中,两焦点坐标是(3,3)和(3,-5),应选 B 例 2:答案:B 解析:由参数式得 x2=1+sinθ=2y(x>0)即 y= 例 3:答案:C 解析:y=cos2 ? =1-2sin2 ? =1-2x2 将 x=

1 2 x (x>0).∴应选 B. 2

1 1 代入,得 y= ∴应选 C. 2 2

例 4:答案:D 解析:普通方程 x2-y 中的 x∈R,y≥0,A.中 x=|t|≥0,B.中 x=cost∈〔-1,1〕 ,故排除 A. 和 B。C.中 y=

2 cos2 t 1 1 =ctg2t= 2 ? 2 ,即 x 2 y ? 1 ,故排除 C.∴应选 D. 2 2 sin t tg t x

演练方阵
A 档(巩固专练)

1:答案:B 解析:将 ρ= x2+(y-2)2=4. ∴应选B. 2:答案:D 解析:原极坐标方程化为 ρ=

x 2 ? y 2 ,sinθ=

y x ?y
2 2

代入 ? ? 4 sin? ,得 x 2 ? y 2 ? 4 y ,即

1 2

(cosθ+sinθ) ? 2 ? 2 =ρcosθ+ρsinθ, ∴普通方程为 2

(x2+y2)=x+y,表示圆,应选 D. 3:答案:B 解析:如图.⊙C 的极坐标方程为 ρ=4sinθ,CO⊥OX,OA 为直径,|OA|=4,l 和圆相

切,l 交极轴于 B(2,0)点 P(ρ,θ)为 l 上任意一点,则有 cosθ= ∴应选 B. 4:答案:D

OB OP

?

2

?

,得 ρcosθ=2,

cos ? ? 1 ? 2 ? ? 2 ? cos ? ? 5. 把 ρ= x 2 ? y 2 2 25 2 2 . 表示抛物线. ρcosθ=x,代入上式,得 2 x ? y =2x-5,整理得 y2=-5x+ 4
解析:解:4ρsin2 2 =5 ? 4ρ· ∴应选 D 5:答案:B 解析:由 4sin2θ=3,得 4·? ∴应选 B.

?

? ?x ?

2

? ?y ? ? 2

=3,即 y2=3 x2,y=± 3x ,它表示两相交直线.

?x ? t2 ? x ? 2cos ? 6:解:把 ? 代入 ? 2 ? y ? ?t ? y ? 2sin ?
得: ?

? t2 ? ?t
2

? 2 cos ? ?


2sin ?

两式平方相加可得 t ? 2
4



舍去)

于是 ?

? ?x ?

2

? ?y ? ? 2

即所求二曲线的交点是(

,-

).

7:解:因 ? ? 0 , ? ?
y ? y0 x ? x0 ? sin ? cos ?

?
2

,故 sin ? ? 0 , cos ? ? 0





y ? y0 x ? x0 ? ? t 。取 t 为参数,则得所求参数方程 sin ? cos ?

?x ? ? ?y ?

x0 y0

? t cos ? ? t sin ?

a 2 cos 2 ? y 2 ? 2 ?1 8:解:设 x ? a cos ? ( ? 为参数),则 a2 b

∴ y 2 ? b2 sin 2 ? 故 y ? ?b sin ? .因此,所得参数方程是

(Ⅰ) ?

? x ? a cos ? ? x ? a cos ? 或 (Ⅱ) ? ? y ? ?b sin ? ? y ? b sin ?

由于曲线 (Ⅱ) 上的点 (a cos ? , ?b sin ? ) , 就是曲线 (Ⅰ) 上的点 (a cos(?? ), b sin(?? )) , 所以曲线(Ⅱ)上的点都是曲线(Ⅰ)上的点.

椭圆

? x ? a cos ? x2 y 2 ? 2 ? 1 的参数方程是 ? 2 a b ? y ? b sin ?

9: 解:如图所示,圆方程化为 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ,设圆与 x 轴正半轴交于 A,P( x, y) 为
圆上任一点,过 P 作 PB ? x 轴于 B,OP 与 x 轴正半轴所成角为 ? , ? ? ? ? 则:

? ? ?? , , ? 2 2? ?

x ? OP cos? , y ? OP sin ? ,
又 Rt ?AOP 中 OP ? OA cos? ? 2cos? , ∴ x ? 2cos2 ? , y ? 2cos ? sin ?

? x ? 2 cos 2 ? ? ? ?? ,? ? ? ? , ? ∴此圆的参数方程为 ? ? 2 2? ? y ? 2 cos ? sin ?

10:解:把 y ? 4sin ? 代入原方程,得 x2 ? 8x ? 16sin 2 ? ? 0 ,
解得 x ?

8 ? 64 ? 64sin 2 ? ? 4 ? 4cos ? 2

∴参数方程为 ?

? x ? 4(1 ? cos ? ) ( ? 为参数) 4sin ? ?y ?

∵?

? x ? 4(1 ? cos ? ) ? x ? 4(1 ? cos ? ) 与? 表示的是同一曲线, 所以它们是等价的, 4sin ? 4sin ? ?y ? ?y ? ? x ? 4(1 ? cos ? ) 4sin ? ?y ?
B 档(提升精练)

可以省略一个。

∴所求参数方程 ?

1.答案:D

解析: k ? 2.答案:B

y ? 2 ?3t 3 ? ?? x ? 1 2t 2 1 3 时, y ? 2 4

解析:转化为普通方程: y 2 ? 1 ? x ,当 x ? ? 3.答案:C

解析:转化为普通方程: y ? x ? 2 ,但是 x ? [2,3], y ?[0,1] 4.答案:C 解析: ? ( ? cos ? ? 1) ? 0, ? ? 5.答案:C 解析: (2, 2k? ? 6.答案:C 解析: ? cos? ? 4sin ? cos? ,cos? ? 0, 或? ? 4sin ? ,即? 2 ? 4? sin ? 则 ? ? k? ?

x 2 ? y 2 ? 0, 或? cos ? ? x ? 1

2? ), (k ? Z ) 都是极坐标 3

?

2 5 7.答案: ? 4
解析: k ?

, 或 x2 ? y 2 ? 4 y

y ? 4 ?5t 5 ? ?? x ? 3 4t 4
2

y ? ? x ? et ? e ? t x ? ? 2et ? y y x y ? ? 2 ?? ? ( x ? )( x ? ) ? 4 ? ? 1, ( x ? 2) ? y 8.解: t ?t 2 2 4 16 ? ? e ?e ? x ? y ? 2e? t ?2 ? ? 2
2

9.答案:

5 2

解析:将 ?

? x ? 1 ? 3t 1 5 5 代入 2 x ? 4 y ? 5 得 t ? ,则 B ( , 0) ,而 A(1, 2) ,得 AB ? 2 2 2 ? y ? 2 ? 4t

10.答案: 14 解 析 : 直 线 为 x ? y ?1 ? 0 , 圆 心 到 直 线 的 距 离 d ?

1 2 ,弦长的一半为 ? 2 2

22 ? (

2 2 14 ,得弦长为 14 ) ? 2 2

C 档(跨越导练)

1. 答案:D

解析: xy ? 1 , x 取非零实数,而 A,B,C 中的 x 的范围有各自的限制 2. 答案:B

1 2 1 ,而 y ? 1 ? 2t ,即 y ? ,得与 y 轴的交点为 (0, ) ; 5 5 5 1 1 1 当 y ? 0 时, t ? ,而 x ? ?2 ? 5t ,即 x ? ,得与 x 轴的交点为 ( , 0) 2 2 2
解析:当 x ? 0 时, t ? 3. 答案:B

? x ? 1 ? 5t ? ? x ? 1 ? 2t ? ? 解析: ? ?? ?y ? 2 ? t ? y ? 1 ? 5t ? ? ?

2 ? x ? 1 ? 2t 5 ,把直线 ? 代入 1 ?y ? 2 ?t 5

x2 ? y 2 ? 9 得 (1 ? 2t )2 ? (2 ? t )2 ? 9,5t 2 ? 8t ? 4 ? 0
12 8 16 12 5 t1 ? t2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? (? )2 ? ? ,弦长为 5 t1 ? t2 ? 5 5 5 5
4. 答案:C 解析:抛物线为 y 2 ? 4 x ,准线为 x ? ?1 , PF 为 P(3, m) 到准线 x ? ?1 的距离,即 为4 5. 答案:D 解析: ? cos 2? ? 0, cos 2? ? 0, ? ? k? ? 6. 答案: 4 p t1 解析:显然线段 MN 垂直于抛物线的对称轴。即 x 轴, MN ? 2 p t1 ? t2 ? 2 p 2t1 7. 答案: (?3, 4) ,或 (?1, 2) 解析: (? 2t ) ? ( 2t ) ? ( 2) , t ?
2 2 2 2

?
4

,为两条相交直线

1 2 ,t ? ? 2 2

8.答案: 5 解析:由 ?

? x ? 3sin ? ? 4cos ? 2 2 得 x ? y ? 25 ? y ? 4sin ? ? 3cos ?

9.解: (1)当 t ? 0 时, y ? 0, x ? cos ? ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; 当 t ? 0 时, cos ? ?

x 1 t ?t (e ? e ) 2

,sin ? ?

y 1 t ?t (e ? e ) 2

而 x ? y ? 1,即
2 2

x2 1 t (e ? e ? t ) 2 4

?

y2 1 t (e ? e ? t ) 2 4

?1

(2)当 ? ? k? , k ? Z 时, y ? 0 , x ? ?

1 t (e ? e?t ) ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; 2 ? 1 t ?t 当 ? ? k? ? , k ? Z 时, x ? 0 , y ? ? (e ? e ) ,即 x ? 0 ; 2 2

2x 2x 2y ? t ?t ? t e ? e ? 2 e ? ? ? ? k? ? ? cos ? cos ? sin ? , k ? Z 时,得 ? 当? ? ,即 ? 2 y 2 ?e t ? e ? t ? ? 2e ? t ? 2 x ? 2 y ? ? sin ? cos ? sin ? ? ?
得 2e ? 2e
t ?t

?(

2x 2y 2x 2y ? )( ? ) cos ? sin ? cos ? sin ?



x2 y2 ? ?1。 cos 2 ? sin 2 ?

? 10 ? t cos ? ?x ? 10.解:设直线为 ? (t为参数) ,代入曲线并整理得 2 ? y ? t sin ? ?
(1 ? sin 2 ? )t 2 ? ( 10 cos ? )t ? 3 ?0 2

3 2 则 PM ? PN ? t1t2 ? 1 ? sin 2 ? ? 3 ? 2 所以当 sin ? ? 1 时,即 ? ? , PM ? PN 的最小值为 ,此时 ? ? 2 2 4


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