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河北省唐山市开滦第二中学高中数学 1.2.1.1回归分析的基本思想及其初步应用(二)学案 新人教A版选修1-2


河北省唐山市开滦第二中学高中数学 1.2.1.1回归分析的基本思想 及其初步应用(二)学案 新人教A版选修1-2
【学习目标】1.通过典型案例的探究,进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 2.了解评价回归效果的三个统计量:总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 【重点难点】1.通过典型案例的探究,进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 2.了解评价回归

效果的三个统计量:总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 【学习内容】 一、学前准备 1.由例 1 知,预报变量(体重)的值受解释变量(身高)或随机误差的影响. 2.为了刻画预报变量(体重)的变化在多大程度上与解释变量(身高)有关?在多大程度 上与随机误差有关?我们引入了评价回归效果的三个统计量:总偏差平方和、残差平方和、 回归平方和. 二、新课导学 ◆探究新知 问题 1:假设身高和随机误差的不同不会对体重产生任何影响,会怎样? 问题 2:假设随机误差对体重没有影响,即体重仅受身高的影响,又会怎样? 问题3:如何刻画预报变量(体重)的变化?这个变化在多大程度上与解释变量(身高) 有关?在多大程度上与随机误差有关? 问题4:偏差平方和、残差平方和、回归平方和如何理解和计算 问题5:相关指数如何理解? 问题6:在回归分析中,分析残差能够帮助我们解决哪些问题? .◆应用示例 例 1.关于 x 与 Y 有如下数据: 2 4 5 6 8 x y 30 40 60 50 70 为了对 x 、 现有以下两种线性模型:y ? 6.5x ? 17.5 ,y ? 7 x ? 17 , Y 两个变量进行统计分析, 试比较哪一个模型拟合的效果更好.

例 2. 以下是收集到的房屋的销售价格与房屋的大小的有关数据, 利用计算机可求得其线性回归方程为: y ? 0.1962x ? 1.8166 , R ? 0.9211
2

(1)试说明模型的拟合效果 , (2)算出各样本点的残差, (3)作出残差图,并进行分析。 反馈练习 1.1993年到2002年中国的国内生产总值(GDP)的数据(单位:亿元)如下: 年份 1993 1994 1995 1996 GDP 34634.4 46759.4 58478.1 67884.6
1

1997 1998

74462.6 78345.2 编号
2

1

2

3

4

5

房屋大小(m ) 80 105 110 115 135 价格(万元) 18.4 22 21.6 24.8 29.2 残差 1999 2000 2001 2002 82067.5 89468.1 97314.8 104790.6

(1)作GDP和年份的散点图,根据该图猜想他们之间的关系应是什么? (2)建立年份为解释变量,GDP为预报变量的回归模型,并计算残差. (3)根据你得到的模型,预报2003年的GDP,看看你的预报与实际GDP(117251.9亿元)的 误差是多少. (4)你认为这个模型能较好地刻画GDP和年份的关系吗?说说你的理由.

【课堂小结与反思】 1.本节学习了哪些内容? 2.分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和,初步了解如何评价两个不同模型拟合效 果的好坏.

【课后作业与练习】 1.一项研究要确定是否能够根据施肥量预测作物的产量, 这里的解释变 量是( )A、作物的产量 B、施肥量 C、试验者 D、降雨量或其他解释产量的变 量 2.下列说法正确的有( ) ①回归方程适用于一切样本和总体 ②回归方程一般都有时间性 ③样本 取值的范 围会影响回归方程的适用范围 ④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值 A、①③ B、①② C、②③ D、③④ 3.已知回归直线方程中斜率的估计值为 1.23,样本点的中心(4 ,5) ,则回归直线方程为 ( )

2

A、 y ? 1.23x ? 0.08 C、 y ? 1.23x ? 4
?

?

B、 y ? 0.08x ? 1.23 D、 y ? 1.23x ? 5
2

?

?

4.回归分析中,相关指数 R 的值越大,说明残差平方和( A、越小 B、越大 C、可能大也可能小 D、以上均不对 5.若回归直线方程中,回归系数 b ? 0 ,则相关系数 r 为( A、1 B、-1 C、0 D、无法确定
?





6.若一个样本的总偏差平方和为 80, 残差平方和为 60, 则相关指数 R 为 (

2

) A、

1 2

B、

7.某考察团对全国 10 大城市进行职工人均工资水平 x (千元)与居民人均消费水平 y(千 元)统计调查,y 与 x 具有相关关系,回归直线方程为 y ? 0.66x ? 1.562,若某城市居民 人均消费水平为 7.675 千元, 估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为 ( ) A、83% B、72% C、67% D、66% 8. 一 位 母 亲 记 录 了 儿 子 3 ~ 9 岁 的 身 高 , 由 此 建 立 的 身 高 与 年 龄 的 回 归 模 型 为
?

3 4

C、

3 8

D、

1 4

y ? 7.19x ? 73.93,用这个模型预测这孩子 10 岁时的身高,则正确的叙述是(
A、身高一定是 145.83cm C、身高在 145.83cm 以下 B、身高在 145.83cm 以上 D、 身高在 145.83cm 左右

?



9.对两个变量 y 与 x 进行回归分析, 得到一组样本数据: ( x1 , y1 ) , ( x 2 , y 2 ) , , ( xn , y n ) , 则下列说法不正确的是( )A、由样本数据得到的回归方程 y ? b x ? a 必过样本中心
? ? ?

? x , y?
B、残差平方和越小的模型,拟合的效果越好 C、用相关指数 R 来刻画回归效果, R 越小, 说明模型拟合的效果越好 D、若变量
2 2

y 与 x 之间的相关系系数为 r ? ?0.9362 ,则变量 y 与 x 之间具有线性相关关系。
2

10. 两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了 4 个不同模型,它们的相关指数 R 下 ,其中拟合效果最好的模型是( ).A. 模型 1 的相关指数 R 为 0.98 B. 模型 2 的相关指数 R 为 0.80 C. 模型 3 的相关指数 R 为 0.50 D. 模型 4 的相关指数 R 为 0.25
2 2 2 2



3

11.若有一组数据的总偏差平方和为 100,相关指数为 0.5,则期残差平方和为____ 回归平 方和为____________ 12、若施化肥量 x (单位:kg)与水稻产 量 y(单位:kg)的回归直线方程为 y ? 5 x ? 250 , 当施化肥量为 80kg 时,预报水稻产量为 13、根据回归系数 b 和回归截距 a 的计算公式
? ?

?



b?

?

? x y ? nx y
i ?1 i i

n

?x
i ?1
? ?

n

2 2

i

? nx

a ? y ?b x
可知:若 y 与 x 之间的一组数据为: 则拟合这 5 组数据的回归直线一定经过的点是-------------14.下表为收集到的一组数据: x y 0 1 1 3 2 5 3 5 4 6

(1)作出 x 与 y 的散点图,并猜测 x 与 y 之间的关系; (2)建立 x 与 y 的关系,预报回归模型并计算残差; (3)利用所得模型,预报 x ? 10 时 y 的值; (4)求相关系数。 15.为了了解某地母亲身高 x 与女儿身高 y 的相关关系,现随机测得 10 对母女身高如下: 母亲身高 x(cm) 女儿身高 y(cm) 159 158 160 159 160 160 163 161 159 161 154 155 159 162 158 157 159 162 157 156

(1)对变量 y 与 x 进行相关性的检验; (2)如果 y 与 x 具有相关关系,求回归直线方程; (3)计算各组残差,并计算残差平方和; (4)试说明母亲身高对女儿身高的影响占百分之几。

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