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中学数学教学参考2011年第10期


 

∥ 一 ,   删
。  

年葶1 0 期l ( 上旬 )  
中学 ●  学教 学 参考 

…  

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W W W   ,

王 林全 ( 华 南师 范大 学数 学科 学 学 院)  

/>第 十二 届 国 际数 学 教 育 大 会 ( 简称 I C ME 1 2 ) 将  于 2 0 1 2年 7月 8日~ 1 5日在韩 国首 尔举 行 . 这是 四  研 究者 、 数 学教 师和 数学 教 育 的热心人 . 大会将 要 
— —

展 示世 界 数学 教育 的 现状 , 研 究 实 际和 数 学  告 知世 界各 国数 学 教 育遇 到 的 困惑 与挑 战 、   学习数 学 教育 的先 进理 念 、 杰 出经验 和 前 沿  交 换世 界各 地数 学 教育 的 问题信 息 ;   推 介数 学课 堂 教学 的优 秀 案例 , 促 进 数 学教 

年 一 度 的国 际数学 教 育盛 会. 大会 得 到 国 际数 学 教学  协会( I C MI ) 支持 , 学术 上 由国际 程序 委 员 会 ( I P C ) 具 

教 学 的新进 展 ;  
— —

体指导 , 其 组 织 与 运 作 得 到 韩 国 地 方 组 织 委 员 会 
( L 0 C) 的协 助.   读者 可 以从 网 址 h t t p : / / i c me 1 2 . o r g / 得 到 关 于 

应 对策 略 与措施 ;  
— —

成就 , 从 中受惠 ;  
— —

大 会 的信 息. 当前 , 大 会 的 准 备 工 作 正 在 紧 张 而有 序 
地 进 行. 本 文介 绍 大会 的科 学 程 序 、 主 要 活 动 和相 关  问题 , 从 中能 了解 国 际数 学 教 育 的 发 展 与 趋 向 . 大 会 





育 发展 ;  
— —

主席 为韩 国教 授 S u n g   J e   C h o . 历 届 国际 数 学 教 育 大 
会 承 办 国如表 1 .  
表1   历届 国 际 数 学 教 育 大 会 承 办 国 

引入各 国优秀 数学 教育 案 例 , 提 高数 学 师 资 

培训 质量 .  

2   国 际数 学 教 育大 会 理念—— 人人 平 等 , 认 
真 交 流 
大会 服 务 于两 大 目标 : 第一 , 提 供 学 术 交 流 的机  会, 全面 提高 数学 教 育水平 , 促 进 同行 之 间的交 流 . 通  过讨 论切 磋 , 探讨 研究 动 向 , 推介 前 沿理 论 , 学 习最 新  成果 . 第二 , 既是 国 际数学 教 育大 会 场地 , 又是 各 方专  家交 流 的讲 坛. 数学家 、 数学教 师、 政策制定者 、 资 源  制作 者 和贡 献者 、 数 学教 育和 研究 者 , 济济一堂, 以多  种方 式 阐述 理论 观 点 , 交 流 不 同见 解 . 与会 者 可 根 据  本人 兴趣 , 选 择参 加 各类 活动 , 包 括 大会 报 告 、 正式 报  告、 小分 队调 研 成果 展 示 、 专 题 研 究 组 交 流 及 其 他 论  坛. 报 告 经过精 心 挑选 , 有 较 高 的学术 水 平 , 照 顾广 泛  性 与代表 性 .   大会 提 倡 自由交 流 , 平 等 对话 , 求 同存 异 . 英语 是 
大会 的正式 语言 , 大 会 做 出努 力 , 让 母 语非 英 语 的参 

1 大 会 目的 — — 促 进 教 学 , 推 动 研 究 
大会将 聚 合一 批 志存 高远 的学 者 , 包 括 数 学 教育 

加者, 能 顺 利参 加 各 项 精 彩 活 动 . 我 国华 东 师范 大 学  李 士锖 教授 被选 为 大会 程序 委员 会 ( I P C ) 成员 .  

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3 全 体 活 动 — — 引领 方 向 , 进 入 前 沿 
全体 活动 是本 次大 会 的主要 构 件 , 与 会者 同时 出   席. 大会 上将安 排 八次 全体 活动 . 每 个 报告 后 , 都 有 参  加者 与报 告人 直 接 见 面 与 讨 论. 参 与 见 面 者 的 姓名 、   所在 国 ( 地 区) 目前 已经 决定 . 大会 的报 告 人是 各 国有  威 望 的数 学家 和 数 学 教 育 家 , 既有个人演讲 , 也 有 团  队代 表 的报告 , 报告 的主题 和 内容包 含 了引人 注 目的  新 观 点 和新成 果 , 带动 国际数 学 教育 研 究 的前 沿 与 方  向. 大 会 的全体 报告 如下 :   全体 报告 1 数学 概论 , 报告 人 E t i e n n e   Gh y s ( 法 
国) , 数学家;   全 体 报告 2 从 I C MI 视觉 看数 学 教 育研 究 与 实 

动向、 新进 展. 国际合作调研 , 是 小 分 队工 作 的特 色 ;   及 时报 告 最新进 展 , 是取 得成 效 的 动力 ; 与时 俱进 , 讲  究 实效 , 是小 分 队 的指 导 思想 . 例如, 性 别 对 数学 学 习  的影响 , 是各 国普遍 感 兴趣 的 问题. 近 年来 , 各 国女 生  数 学学习有显 著进步 , 令 人刮 目相 看 , 因而 S T 2小分 队  的调研再次 引人 注 目. 五个小分 队调研专题分 别是 :   S T 1 数学 教育 研 究 与 课 程 设 计 之 间 的 关 系 ( 主  持人 : 美 国 Gl e n d a , 成 员: 中 国 华 东 师 范 大 学 鲍 建 生  及英国、 巴西 、 E l 本、 纳米 尼亚 等 国专家 ) .   S T 2 性 别 与数 学教 育 的再研 究 ( 主持 人 : 澳 大利  亚 Gi l a h , 成员 : 澳 大利 亚 、 瑞典、 印度 、 摩洛哥、 美 国、   墨 西哥 等 国专家 ) .   S T 3 数 学史 对 数学 教育 各科 目的支持 ( 主持 人 :   希 腊 Mi k e , 成员 : 中 国香 港 邝 孔 秀 及 德 国 、 丹麦 、 巴  西、 荷 兰等 国专 家) .   S T 4 核 心数 学 概 念 从 中学 到 大 学 的转 换 ( 主持  人: 英国 E l e n a , 成员 : 中 国清 华 大 学 谢 金 星及 莫 桑 比  克、 美国、 巴西 、 韩 国等 国专家 ) .   S T 5 社 会 经济 学对 学生 成就 的影 响 ( 主持 人 : 丹  麦 P a o l a , 成员 : 美国、 黎 巴嫩 、 澳 大利 亚 、 南非、 巴西 等  国专家 ) .  

践 的演 进 , 报告 人 Ho d g s o n (  ̄ J I 拿大) , 数学 教 育家 ;   全 体 报告 3 国家课 程 体 系 中 的数 学 教 育 , 报告  人 Do n   He e   L e e( 韩国) , 数学课 程 专家 ;   全 体 报告 , 4   数学 教育 的多 语言性 , 报告 人S e t a t i   ( 南非 ) , 数 学教 育家 ;   全 体 报告 5 课 堂教 学 实 践 与 文化 及 其 研 究 , 报  告人 J o   B o a l e r ( 英国) , 数学教 育 家 ;   全 体 报告 6 数 学建 模 和它 的教育 , 报 告人 B l u m  
( 德 国) , 数 学教 育家 ;  

全体报告 7   教 师 教 育及 其 发 展—— 学 习数 学  教学 , 报告 人 Kr a i n e r ( 澳 大利 亚 ) , 团 队报告 ;   全 体 报告 8 东 亚 数 学 教 育 ( 韩 一 中一 日) . 报告  人 梁贯 成 ( 中国香 港 ) , 徐斌艳( 中 国大 陆 ) 及韩 国、 日  
本 专 家.  

5 正 式报 告 — — 精 心 准 备 , 精 彩 纷 呈 
大会 将 安排 7 8位 杰 出 专 家分 别 作 报 告 , 报 告 涉  及 数学 教育 的宽 阔范 围 , 他们将以精彩的案例 , 从 理 
论 或实 践方 面 阐 明最 新 研 究 成 果 . 例如 , 美 籍 华 人 蔡 

4   调 研 小 分 队 —— 国 际 合 作 , 重 视 实 证 
力 图把 握数 学 教育 的时代 脉 搏 , 追 踪数 学 教 育 中  最 受关 注 的 问题 , 根据程序委员会建议 , 组 建 了 五个 
国际合 作 小分 队 , 分别对五个重点问题调研. 从 组 建 

金 法教 授 以具体 的 例证 , 对 中美数 学 课 程改 革 进展 作  生 动 比较 ( 报告 6 ) ; 韩 国 Ky u n g   Yo o n   C h a n g先 生 将  介 绍如何 指 导 学 生 设 计 , 激活数学学 习( 报告 9 ) ; 莫  桑 比克 教师 Ma r c o s引导 学 生 学 习数 学 的 同时 , 探 索  发 现其 中 的奥 妙 ( 报告 1 0 ) ; 印度 J o n a k i 先 生 提 出 了  利 用技 术改 进 建 模 学 习 ( 报告 1 7 ) . 报 告 的 主 题 新 颖  醒 目, 将 给读 者许 多 启示 . 部 分报 告主 题如 表 2 .  

时起 , 直到 大会 期 间 , 确立 各专 题 或 问题 的新 知识 、 新 
表 2 大 会正 式 报 告  报 告 人 

报 告 主 题 

国家/ 地 区 

1 . Mi r i a m   A mi t   2


在 多 元 社 会 中 培 养 学 生 的 数 学 天 才 和 创 造 力  认识论 作 为 教 学 观 的放 大镜 , 在指 导 学 生 学 习代 数 中 的   作 用  数 学 思 维 的 方 式 以 及 它 对 数 学 教 与 学 的影 响  在学校数学 与统计 的教学 中 , 利 用 数 字 化 学 习 目标 : 范例 ,   问 题 与 指 导 方 向 

以 色列 
以 色列 

C a r o l i n e   B a r d i n i  

3 . R i t a   B o r r o me o   4


德 国  巴西 

J o s e   Hu mb e r t o   B o r t o l o s s i  




Ma r i a n n a   B o s c h   6 . 蔡 金 法 

人类学 理论 , 作 为新 的教 学 理论 与方 法 , 在 数 学 教 育 中 的  范 例 
课 程改革与数学学 习: 来 自两 条 经 线 的实 证 

西 班 牙  美 国 

2 0 1 1 年   第1 0 期( 上旬 )  
中学 赢 学曩 季 参 考 



 



,  

,  

本刊专稿  
葡 萄 牙  巴 西  韩 国 




S u s a n a   C a r r e i r a   8 . P a u l o   C e z a r  

超越 于学 校 的数 学 问 题 解决 : 数 字 化 工 具 与 学 生 的 数 学  表 述 
中学 的 概 率 教 学  数学被激活 了 : 以 数 学 为基 础 的 设 计 

9 . K y u n g   Y o o n   C h a n g  

1 0   Ma r c o s   C h e r i n d a  
1 1 . Mi c h a e l  

在 获 取 与 发 展 数 学 知 识 过 程 中编 织 着 探 索 发 现 
证 明功 能 的发 现 : 它 的一 个 解 释 与 例 证 

莫 桑 比 克 
南 非 

1   2 . T o mmy   D r e y f u s   1 3   P a u l   Dr i j v e r s  
1 4 . S u e l y   D r u c k   1 5 . L o u r d e s& A b r a h a m 

日常 推 理 与 数 学 证 明 : 把 鸿 沟填 补 起 来  在 数 学 教 育 中 的技 术 : 为何它行 ( 或不行)  
具 有 重 大 社 会 影 响 的 奥 数 —— 巴西 的经 验  学会看 : 一 位 盲 人 教 师 的观 点  中

以 色 列  荷 兰 
巴西  西班牙/ 以 色 列  博 茨 瓦 纳 

1 6


Kg o mo t s o   G a r e g a e  

在 发 展 中 国家 能 否 有 计 划 地 把 计 算 机 技 术 整合 到 数 学 课 程  ?案 例 研 究  中学数学学 习: 通 过 技 术 激 活数 学建 模 学 习 的 案 例  有 效 地 利 用 资 源 是 数 学 教 师 工 作 的核 心 
情 绪 在 解 决 数 学 问题 中 的 作 用 

1 7 . J o n a k i   G h o s h   1 8 . G h i s l a i n e  
1 9 . Ma r k k u   Ha n n u l a  

印度  法 国 
芬 兰 

2 0 . L u l u   He a l y  
2 1 . I l a n a   Ho r n  

眼看 、 动手 、 动 口之 间 的关 系 : 数 学 认 知 与 交 流 模 式 
教 师的相互学习 : 数 学 教 师 合 作 的教 学 法 论 理  思考

巴西 
美国   加 拿 大  丹 麦  韩 国  加 拿 大 

2 2


F r e d e r i c   G o u r d e a u  

在 教 师 培 训 中做 数 学 — — 提 供 充 分 的 时 间 与 空 间 , 让 学 员 


反馈 、 分 享 与 感 知 

2 3 . Uf f e   Th o ma s   J a n k v i s t   2 4 . Ok k i   Ka n g   2 5 . C h r i s t i n e   Kn i p p i n g  

在 数 学 教 育 中有 关 数 学 的 哲 理 , 应 用 和 历 史  学 校 数 学 中 的数 学 建 模  数 学 课 堂 教 学 中 的推 理 与 证 明 

2 6


Ma s a mi   I s o d a  

设 计 问题 解 决 的 教 学 途 径 , 使之理解数学 : 对 客 观 目标 的 意  义 与 程 序 的解 释 
建构 主义 : 学 习 的 理论 或设 计 的 理 论 

法国  
希 腊  中国   马 来 西 亚  菲 律 宾  瑞 典 

2 7 . C h r o n i s   K y n i g o s  

2 8


李 建 华 

从文 化 的 观点 和 历史 的观 点 考察 : 教 师 在 数 学 教 学 中 的  作 用 
对 有 效 课 堂 教 学 中师 生 对 话 价 值 的 第 三 波 争 论 

2 9 . C h a p   S a m   L i m 

3 0


A u x e n c i a   A .L i m j a p   3   1 . J o h a n   L i t h n e r  

当最 好 的 实 践 还 不 充 分 的 时 候 : 教 师 教 学 信 念 对 学 生 学 习  实 践 及 成 就 影 响 的 调 查 
通 过 创 造 性 的 推 理 或 模 仿 性 的 推 理 来 学 习 数 学 

3 2 . Al l e n梁 沃 伦 
3 3 . 马 云鹏 

在 动 态 的几 何 环 境 中发 展 学 生 推 理 能 力 的 模 式 
小 学 数 学 教 学 中 优 秀 教 师 教 学 策 略 与 特 点 的分 析 

香 港 
中国  

3 4 . Mi c h e l a  

在 数 学 实 验 室 中 的教 师 、 学 生 和 资 源 

意 大利 

状 况 与最新 发 展. 国 际数学 教 育 的特 点 是 它 的包 容 性 ,   不 同 国家 与地 区观 点 和 经验 能相 互 传 播 , 使 之 也 植 根  于本 国 、 本 民族 的 土壤上 . 理 论 研究 , 实 践研 究, 个 案 研  小 组专 题研 讨 是 大 会 的 主 要 交 流 形 式 . 每 组 设 两  位联 合 组长 , 由 他们 推 荐 , 分别组成核 心团队 , 组 织 专  究各 有 优势. 大会 强 调不 同观点 和方 法 的平衡 .   题 研 究 活动 . 各 组有 人 负责 与程 序 委 员会 联 系 , 及 时解  每 个专题 组 有 四个 半 单 位 时 间 ( 每个 单 位 时 间 9 O   决 有 关 问题 .   分钟 ) 用 于研 讨. 各 组 提 前 制 定 研 讨 纲 要 作 为 征 稿 导  专题 研 究组 要 以 国 际 的 视 野 , 陈 述 本 专题 的 当 前  引. 与会 者 根据 纲 要 , 提 出 电子稿 件 , 所 提 交 的 建 议 需 

6 专题 研究组 ( TS G) —— 程序规范 , 推陈出新 

  .

夸  

一  

要 的时间 不一 , 除 了小组 发 言 , 与会 者 有机 会 做 其 他表  TS G 2 0 数 学史 在数 学教 育 的作 用 ( 组长 : 台湾 师  述, 如 简短 口头 发 言 , 张贴 大 字报 等.   范 大学 洪万 生) ;   以笔者 参加 的 TS G1 0 ( 几 何 的 教 与学 ) 为例 , 提出   TS G2 1 数 学班 级实 际 的研究 ;   的征稿 启示 与思 考纲 要如 下 :   T S G2 2 数学 的学 习与认 知 ( 组长 : 台 北 市立 教 育  本 组重 点征 集研 讨文 章 , 欢迎 按 以下 要点 投 稿 . 投  大学 黄杏 美 ) ;   稿 涉及 几何 的 教 与 学 , 包括理论 的、 实验的、 正 在 发 展  T S G2 3 小学 教 学 的数学 知识 ;   中的 问题 :   T S G2 4   中学 教学 的数 学 知识 ( 组长 : 西南 大 学 彭  新 课程 的实 施研究 , 问题 与挑 战 , 特 别是 向量 与 变  爱辉 ) ;   换 在课 程 中的地 位 问题 ;   T S G2 5 在 职数 学教 师 的职业 发展 ;   几 何在 现实 世 界 以及 在 其 他 学 科 的应 用 , 特 别 是  T S G2 6 教师 的 职前数 学 教育 ( 组长 : 香 港 中文 大  学黄 毅英 ) ;   在 数 学 中 的应 用 问 题 ;   仪器 , 诸 如计 算机 等 , 在几何 教 与学 中 的运用 ;   在几 何教 育 中 的解 释 推理 与证 明 ;   关 于 二 维 空 间 与 三 维 空 间 的 几 何 论 理 与 空 间 
能力 ;  

几 何 教育 中 的师资 准备 .   来稿 从历 史 的 、 认识论的 、 认 知的、 符 号 等 方 面 的    观点 出发 , 指 向学 生学 习 的困难 , 以及 与 此相 关 的 课 程  作 用 ; TS G3 5 数 学 教与 学 的历史 ;   与教 学设 计 问题 .   TS G 3 6   民族数 学在 数 学教 育 中的作 用 ;   目前 , 3 7个 专 题 组 已 发 出征 稿 启 事 , 公 布 了研 究  TS G3 7 数 学教 育 中 的理论 问题 .   导 引. 数学 教师 和 研 究 生 们 可 以从 各 组 问题 导 引 中 获 

TS G2 7 动机 信念 态度 对数 学教 学 的影 响 ;   TS G2 8 数学 教育 中的语 言和交 流 ;   TS G2 9 性别 与数 学教 育 ;   TS G3 0   多语 言多 文化 环境 中的数学 教育 '   TS G3 3   数 学 教育 中 的评价 与测 试 ;   TS G3  ̄ 竞 赛 和 其 他 挑 战 线 索 在 数 学 教 育 中 的 

得 科研 与 教学 的 许 多 感 悟. 各 专 题 组 的 网站 将 不 断更  7 讨论组—— 志同道合 , 精心准备  新, 标 志着 大会 渐行 渐近 , 准 备工作 日益完 善 .   与 以往各 届 大会 的讨 论 组 ( D S ) 不 同, I C ME - 1 2讨  截 稿期 限 : 2 0 1 1 年 1 1月 1日, 提 交初 稿 ; 2 0 1 2年 1   月 1 5日, 发 出接 受通 知 ; 2 0 1 2年 4月 1 0日 , 提 交 定稿 .   论组 的 问题 是根 据 志 同 道 合 者 的 提 议 建 立 的. 小 组 将  专 题研 究组 ( TS G) 的构 成 9 ( 同时列举 各 组相 关 的  讨论 某 些 问题 , 真诚 地 交 换 意见 . 组 员 有 特 定 的兴 趣 ,   我 国学 者 ) :   他们 浮想 联翩 , 敢 于直 面 疑难 和 困惑 , 与 同行 探讨 可 能  TS G1   学 前数 学教 育 ;   的应 对方 案. 会 前 充分 准备 是 本届 讨 论 组 的特 色 . 每 个  讨论 组有 两个 单 位 时 间 , 讨 论 的问 题 是 预 先 经 过 认 真  TS G2 大 学数 学教 育 ;   思考 的. 提交 的方 案包 括 :   TS G3   具 有天 赋 的学生 活动 与 大纲 ;   ( 1 ) 说 明专家 与提 案组 织 者 的学术 背景 ;   TS G4   特 殊需要 的学生 活动 与大 纲 ;   ( 2 ) 详细叙 述 专 题 所 包 含 的预 期 目标 和 专 题 的 基  TS G5   职 前数 学教 育 ;  
本原 理 ;   TS G6 数 学 的文化 素养 ;   Ts G7   数 系 与算术 教学 , 着重 小数 教 育 ;   ( 3 ) 指 出本讨 论组 需要 考 虑 的关 键 问题 ;   TS G8 度 量 , 着 重于 小学 教育 ;   ( 4 ) 精确 地 描 述 每 个 单 位 时 间 讨 论 的预 期 结 构 和  TS G9   代 数 的教 与 学 ;   小组 的提 案. 讨 论 的框 架等 要 预先 提 出 , 次 要 问题 将 不  T S G1 0 几 何 的教与 学 ( 组长 : 华 南 师 范大 学 王 林  使用 口头 发言 的形 式进 行 表述 .  
全) ;  

T S G1   1   概率 的教与学( 组长 : 华东师范大学李俊) ;   T S G1 2   统 计 的教与 学 ;   T S G1 3 微 积分 的教 与学 ;  

8 对I C ME 一 1 2预 告 问 题 的 思 考 
I C ME 一 1 提 前预 告 了一 大批 前沿 问题 , 展 示 了数 学  教育令 人 兴奋 的前 景. 概括 地说 , I C ME - 1 2的问题 有 如  下 3个特 点 :  
8 . 1 时 效 性 

TS G1 4 数 学教 育 中的推 理与 证 明 ;   TS G1 5 数 学教 育 中的 问题解 决 ;   TS G1 6 数 学教 与学 中的可视 化 ;  
TS G1 7 数 学 教与学 中的数学 应 用与建 模 ;   TS G1 8 技 术 在数 学教 学 中的应 用分 析 ;   TS G1 9   技 术 在数 学学 习 中的应 用分 析 ;  

所有 问题 都在 会 前 1年 ~2年提 出 , 有 关 的报告 提  前一 年做 好 准备 , 走在 时 间 的前 面. 对数 学 教 学有 效 性  的研 究 引起 广泛 注意 , 例 如对 课 堂资源 的有 效运 用 ( 正  ( 下 转 第 6页 )  

6  

嚣 

’  

数 学 欣 赏  教 学 甜 空  
栏 目主 持 : 张 奠 宙 

简 易 逻辑 欣 赏 片 殁 
数 学欣 赏 超 越 了简 单的 理 解和 求 证的 过 程 ,是 一种 融会 贯 通 之后 淋 漓  尽致 的快 乐 与幸 福.  

殷 玉 波( 河北 省 保定 市第 三 中学 )  

北宋 大诗 人 梅尧 臣( 字圣俞 ) 在《 续 金 针诗 格 》 说:   “ 诗有 内外意 , 内意 欲 尽 其 理 , 外意欲尽其象. 内 外 意 
含蓄 , 方 入诗 格. ” 其 实 一 切 文 字 表 达 都 有 内外 之 分 .  

室, 笔 者 于是 说 : “ 这 位 同学 你 不 仅 迟 到 , 而且来晚 ! , '   全 班 同学 大笑 , 迟 到者 也禁 不住 笑 了.  

“ 你们 笑 什么 ? ”  

外 面 是丰 润 的形象 思 维 的表达 , 里 面则 是 坚挺 的逻 辑  骨架 . 文要尽其理 , 必 须 遵 循 逻 辑. 逻 辑 是 一 门大 学  问. 本 文 结合 几个 片 断来欣 赏 逻辑 的魅 力 .  

“ 数学 老 师不 讲逻 辑 ! ” 学 生们 边笑 边说 .   “ 是 吗 ? 昨天 作 业 的填 空 题 第 3小 题 , 有 的 同 学 
把 答 案写 成 是 > 5且 志 ≠0 , 怎 么解 释 ? ”   全班 顿 时无语 . “ 迟 到” “ 来晚” 是同一个概念 , 迟  到肯 定 是 来 晚 了 , 来 晚 了 必 然 是 迟 到 的. “ 不 仅 ‘ 而  且” 是 递进 关 系 , 同一个 概 念用 递 进关 系表 示 , 是 不 符 

1   数 学 语 句 的逻 辑 简 约 美 
鲁迅 名篇 《 秋夜》 的第 一 句是 : “ 在 我 的后 园 , 可以   看 见墙 外 有 两 株 树 , 一 株是 枣树 , 还 有 一 株 也 是 枣  树. ” 你 如 果慢 慢体 会 , 就会 感 觉到 一种 孤 寂.   院子 外边 其 实什 么也 没有 , 除 了枣 树 还是 枣树 .   文学 语 言 可 以这 样 写 , 数 学 就 不 可 以 了. 如 果 你 
说: “ 这里 有两 个 图形 , 一个是三角形 , 另 一 个 也 是 三 

合逻 辑规则 的 . 数 学 老 师 说 出 这样 没 有 逻 辑 的话 , 反 
差很大, 所 以学 生 大笑 . 为 什 么 后 来 学 生 又 集 体 无语  了呢, 因为说 “ 愚 > 5且 是 ≠0 ” 语 义 重 复. 已经 惫 > 5了 ,   当然 志 ≠0 , 重复地表达, 与“ 不仅 迟 到 而 且来 晚” 很 有 
几分 相像 .  

角形” . 那 就会 叫人 笑 掉 大 牙 , 因为太罗唆 , 数 学 之 美 
在 于 简洁 .  

可是 仔细 分 析 一 下 , 二 者 还 有 一 些 不 同. “ 迟到”  

再说 一个 笔 者 经 历 的故 事 . 那 天笔者的课是“ 简 

易 逻辑 ” 的 习题 课 , 一个 学 生迟 到 了 , 他 低 着 头走 进 教 
( 上接 第 5页 )   式 报告 1 8 ) , 课 堂师生对话 的有 效性 ( 正 式报告 2 9 ) 等.   教 师职业 发展 是 近 年研 究 的热 点 , 对 教 师 知识 的研 究 

等于 “ 晚来 ” , 两 者 是 同一 个 概 念 . 但是 k > 5和 k ≠0   并不 完全 相等 , 因 而 二 者 不 是 同义 反 复. 如 果 理 解 为  我们 不仅 知道 了 足 >5 , 而且 也知 道 了 愚 ≠0 , 所 以分母 
此, I C ME 一 1 2 的 问题 , 多能引起 各 国同行 的兴趣. 例  如, “ 教师 在数 学课 堂 教学 中的作 用 ” ( 李建华 , 正式 报  告 2 8 ) 反 映 了我 国的 教 学 观点 , 将 引起 国外 同 行 的关  注; “ 如何 激活 数 学课 堂教 学 ” 是来 自韩 国的教 学 经 验 

是 数学 教 育研 究 的重要 方 面 ( 专 题组 2 2 、 2 3 、 2 4 、 2 6 ) .  
8 . 2 实 践 性 

对 理论 研 究 和实践 研究 同样关 注 , 连 续 三届 大 会  都 组建 了调研 小 分 队. 通 过 调研 , 把 有 关 问题 从 隐 性  变 为显 性 , 从感 性 上 升 为 理性 , 实 证 研 究 受 到更 大 的  关 注. S T1 ~S T5是 兼 有 时 效 性 与 实 证 性 的研 究 课  题, 有 良好 的现 实 意义 与参 考价 值 .  
8 . 3 交 互 性 

( 正 式报 告 9 ) , 也将 在 我 国找到 知音 .   我 国数学 教 育特 色显 著 , 受到 国际 同行 的广 泛 关  注. 大批 中 国学 者 受邀 参 与交 流 活 动 ( 见上 文) , 我 们  要 虚 心学 习 , 取 长补 短 , 将 能 找 到 我 国数 学 教 育发 展  的新启 示 .  
参 考 文 献 
, 

1   h t t p: / / i c me l 2 . o r g /  

各 国数 学 教 育 有 相 似 的情 境 , 也 不 乏 共 同 的语  言, 这是 相 互 交 流 的 基 础 , 也 是相互 学 习的条件. 因 

2 王林全. 发 展 中 的 国际 数 学 教 育 热 点 问 题 [ J ] . 中 学 数 学 教 
学参考 , 2 0 0 7, 1 2  

数   掌 
中学 盘 学教 学 参考 

为 忌的某 式 有意义 , 那 就说 得 通 了.   进一 步 , 我们 不能 说“   >5 且 k : = = 0 ” . 因为 这二 者  是矛 盾 的. 根 据逻 辑学 的矛 盾律 , 不 能 作 为 正 确 的  表述 .  

学上 从不 同的 角度 描 述 同一 个 对 象 , 彼 此 等 价. 找 到  数学 对象 的充分 必要 条件 , 是一 道很 靓 丽 的风景 .  

3 数学判断中量 词的逻 辑形式之美 
形式 逻辑 上有 全称 判 断和 特 称判 断 之分 . 全称 判  断 的否定 是特 称判 断 , 特称 判 断 的否 定是 全称 判 断.  

总之 , 使 用不 仅而 且 的说法 在 两个 概 念 的外 延 集  合完 全相 等或 完全 不相 交 的情 形 下是 一 定不 可 以的 ,   但在 两个 集合 不等 但有 交集 的情 况 下会 是意 义 的.   这种 细致 的 区别 , 体现 了逻 辑 的简 洁和 准确 .  

现代 的数 理逻 辑进 一 步将 他们 符 号化 . 全称 判 断  中 引入量 词 V, 特 称 判 断 中 引入 量 词 了. 掌 握 这 两 个  量词 的 运 用 , 对理 解 数 学概 念 和 命 题 ( 判 断) 非 常 
重要.  

2 命题之间的充要 条件显示逻辑之“ 完善美”  
数 学 中有很 多 判定 定理 和性 质 定 理. 要 判定 一 个  东 西是 什 么 , 在 什 么 条 件 下 这 个 事 物是 另 一 个 事 物 ,  

逻辑 量词 : V, 意 思是任 何 一个 ( 每一个) . 先 看 普 

通 语 言 中涉及 的量 词. 例如“ 天下的乌鸦一般黑” , 这 

实际上 用 到 的是 充 分 条 件. 数 学 中 的性 质 定 理 , 是 说 
某 某事 物 具有 什 么 特 征 , 满足什么条件 , 这 种 条 件 是 

个 全称 命题 断言 , 天 下 每 一 只乌 鸦 都 是 黑 的 , 没 有 例 
外, 因此要 涉及 量词 V. 在数 学 语句 里 , 量 词 常常 被省  略. 例 如“ 三角 形 内角 和为 1 8 0 ” ’ , 实 际上“ 每 一个 三 角 
形 的 内角 和都 是 1 8 0 。 , 只是 把” 量词“ 每 一 个” 省 略 了  而 已. 要否 定“ 天 下 的 乌 鸦 一般 黑 ” , 你 只 要 找 出 一 只 

认 定该 事 物 的必 要 条件 .  
“ 不管 黑猫 还 是 白猫 , 捉 住 老 鼠 就 是好 猫 ” , 这 是 


句名 言 , 其 内涵 给 出 了一 个 判 断 好 猫 的充 分 条 件 .  

但是 , 能捉 住老 鼠 固然 是 好 猫 , 而 不 能 捉 老 鼠的 猫 也 

乌 鸦不 是黑 的就可 以 了. “ 存 在一 只 乌鸦 不 是 黑 的” 这 


可 能是 好猫 . 例如 , 波斯 猫很 漂亮 , 引人喜爱 , 价 格 不  菲, 也是 好猫 啊 . 很 多人认 为 , 要 做好 猫 必 定会 捉 住 老  鼠, 即是 成 为好 猫 的 充 分 且 必 要 条 件 , 那 是 错 误 的 判 
断. 当然 , 如 果你 定义 的好 猫 就是 能 捉 老 鼠 , 那 就 另 作 
别论 了.  

特称 判 断 中隐 含 了 另 一 个 量 词 : 3, 意 思是 存 在一  量 词 V、 j在 否 定 一 个 命 题 时 是 相 反 的. 在数 学 

个( 某 一个 ) .  

上 要否 定一 个 全 称命 题 , 需 要 把 其 中的 量 词 “ 任 意一  个” 改换 成 “ 存在 一个 ” . 例如 , “ 任意 两个 三 角 形 , 若有  两 边一 角相 等 ( 条件 S S A) , 则 两个 三角 形 全 等 ” 是 一  个 错误 命题 , 要 否 定 它 只 需 举 出一 个 反 例 来 就 行 了.   另 一方 面 , 有位 学生 说 : “ 我们 班 上有 某 个 同学 身 高超 
过了1 . 9 0   1 T I ” . 要否定 它, 则 必 须 一 一 检 查 班 上 的每 


性 质定 理是 认定 原始 对 象 的必要 条件 , 却 不 一 定 
是充 分 条 件. 王 老师 是 山东人 , 1 9 7 0年 出 生 , 身 高 

1 . 8 O米 , 戴 眼 镜等 等都 是 他 的“ 性质” , 是 认 定 王 老 师 
的必 要 条件 . 但是光靠这几个条件 , 不 一 定 能 断 定 他  就是 王 老师 , 即不 是 充 分 条 件. 1 9 7 0年 出生 的 戴 眼 镜  的 山东 高个 子多 着 呢 , 不 止王 老师 一人 .   充要 条件 则 是更 为重 要 的一 个数 学思 想 , 它的 内  

个学 生身 高都 不超 过 1 . 9 0   m, 一 个 都不 能少 .  
常 常 犯 的一 个 错 误 是 , 否 定 一 个 判 断 时 把 结 论 否 

意是 等 价. 两 条 直 线平 行 的 性 质 是 同位 角 相 等 、 内 错  角相 等 、 同旁 内角 互补 等 , 这 三条 既是 必 要 条 件 , 也 是  充分 条件 , 即充要 条件 . 面对一 个 数 学 事物 , 抓 住 它 的 
核心 特 征 , 能 够 加 以确 认 , 那 是何 等 重 要 的事 情 !公  安部 门追 捕逃 犯 , 就得 把握 他 的独 有 特征 , 进行 认定 .   数学 中的许 多概 念有 不 同 的定 义 , 他们 彼 此 间 都 

定 了, 但 是 量词 没有 更换 .   日常生 活 中这 样 的事 例 很 多 . 否定“ 天下 乌 鸦 一  般 黑” , 就说 “ 天 下 乌鸦 都 不 黑 ” ; 否定“ 最 近 三天 没 下  雨” . 就 说“ 最近 三天 每 天都下 雨 ” . 你说 : “ 我篮 子 里 的 
每 个鸡 蛋都 是 好 的 ” , 我 只要 从 篮 子 里 拿 出一 个 坏 鸡  蛋 就把 你否 定 了 , 可 是 一 个 错误 的 否 定 说 法是 “ 篮 子  里 的每 一个 鸡蛋 都是 环 的” .  

互为充 要 条件 . 例如 , 两条 直线 的垂 直关 系 , 可 以从 三 
个角 度来 描述 :  
— —

数 学上 要 否 定 “ △ABC是 锐 角 三 角 形 ” , 有 的 同  学会 说 成 “ △AB C三 个角 都不 是 锐角” 等 等, 成 为 
笑 话.   量 词对 于数 学概 念 的生 成极 其重 要 .  

几何 的判 断. 两条直线垂直 , 就 是 两 条 直 线 

所 成 的夹 角是 9 O 。 .  
— —

解 析几 何 的判 断. 两 条直 线 斜 率 的乘 积 等 于  向量 的判 断. 两 条 直线 的方 向 向量 的数 量 积 



1 .  
— —

例如 , 函数 的单 调 性 定 义 : 对 于 函数 Y — f(  ) 定  义 域 内某个 区间 D 上 的任 意两个 自变 量 的值 , 7 2 , 、 z 。 ,   当  - <z z 时, 有 f ( x   ) <厂(  z ) , 那 么就 说 函数f( x)  
在 区 间 D 上 是 增 函 数 .这 里 用 到 一 个 全 称 量  词“ 任意” .  

为 0 .  

这 三 个 判 断互 为 充要 条件 , 即 彼 此 是 等 价 的. 数 

8  

’  

数学欣赏  教 学 时 空  
,   . .,   ,     .

再 如, 函数最 大 值 的定 义连 续用 了量 词“ 存在” 和 
“ 任 意” : 设 函数 Y —f( z ) 的定义域为 J , 如 果 存 在 实 

能 不是偶 数 . 由“ n为 偶 数 ” 为假 命 题 出发 , 2 a是 偶 数  或 非偶 数两 个结 论都 可 得到 .  

数 M 满足: ( 1 ) 对 于 任 意 的 z∈   都 有 厂(  ) ≤M ;   ( 2 ) 存 在z 。 ∈  , 使 得 厂( z 。 ) 一M. 我 们 就 称 M 是 函数 
Y —f( z) 的 最大 值[ 2 ] .   数学 上 数 列 {   } 以 A 为极 限的 £ 一 N 定义 , 用 的  量 词更 多 : 对 任意 的 e )O , 存 在 一 个 正 整数 , 对 满 足 

就原 命 题“ 若 n > b则 n 。 >6   ” 来说 , 它 是 假 复 合  命题 . 要 否定 它 , 必须 得 出一个 真 复合 命题 , 即保 证 当  P真 , 则一 定 q真. 从 这 样 的 立 场 出发 , 同样 可 以认 为 
“ 存在 a 。 >6 0 , 使得 口   ≤6   ” 的答 案是 正确 的.   数学 欣 赏超 越 了简单 的理 解 和求 证 的过 程 , 是 一  种融 会贯 通 之后 淋漓 尽致 的快 乐 与幸 福. 每 当 欣 赏这  几个 常用 逻 辑用 语时 , 笔 者就 想起 朱 自清《 荷塘月色》   中的句子 , “ 曲 曲折折 的荷 塘上 面 , 弥望 的是 田 田的 叶 

>N 的每一个 咒 , 都满足 l   一A   l <£ . 这里就要连续 
用 到 三个 量词 .  

4   数学复合命 题推 理中 的逻 辑背景 
以下 是一 个 真实 的教 学 事例 .   有一 次笔 者 要求 学 生 写 出原 命 题 “ 若 a > b则 n  
>6 2 ” 的否定 形 式.  

子. 叶子 出水 很 高 , 像 亭亭 的舞 女 的裙 . 层 层 的 叶子 中 
间, 零星 地点 缀着 些 白花 , 有袅 娜 地 开 着 的 , 有 羞 涩地  打着 朵儿 的 ; 正 如一粒 粒 的 明珠 , 又如 碧 天里 的星 星 ,  
又 如刚 出浴 的 美人 ” . 这 几 个 逻 辑 用 语 就 像 这 荷 塘 里 

这是 在一 次 单元 测试 中的一 道 题 , 全 年 级一 千 多  人, 绝 大 多数 人 的答 案是 “ 若 n >6则 a   ≤6 " ’ . 有 几 个  人 的答 案 是 “ 存在 n 。 >b 。 , 使得 n   ≤b "’ . 到 底 哪 个 
对呢?  

的荷 花 , 带 给我们 别样 的清香 和 美感 .  
( 本文 经 张奠 宙先 生三 次指 导 和 多处 修 改. 在 此  谨 对 张先 生的指 导 和修 改表 示衷 心 的 感谢 )  
参 考 文 献  1 张奠 宙. 欣 赏 数 学 的 真 善美 [ J ] . 中 学 数学 教 学参 考 ( 上 
旬) , 2 0 1 0, 1 ~2  

笔者 认 为 , 正 确答 案 应该 是 “ 存在 a 。 >6 o , 使得 a  

≤6   ’ . 理 由是 , 命 题的否定形式是 否定结论 , 既 然 原  命 题假 , 其否 定形 式 一 定 真. 现 在 本 题 的 原命 题 是 个  假 命题 , 而大 多数 的答 案 “ 若 a ) b则 n 。 ≤b   ” 也 是 一  个 假命 题 , 于 是可 以断 定 “ 若 a ) b则 口   ≤b   ” 不 是 原 
命 题 的否 定形 式 . 进一步解释 , 本 题 可 以 理解 为 是 全 

2 人 民教 育 出 版 社 ? 课 程 教 材 研 究 所 ?中 学 数 学 课 程 教 材  研 究 开 发 中心 . 普 通 高 中数 学 课 程 标 准 实 验 教 科 书 ? 数 学 

1 [ M] . 北京 : 人 民 教 育 出版 社 , 2 0 0 7  

栏 目主 持 人 点 评 :  

称 命题 , 即对 任意 实 数 a 、 b , 若a )b , 则a   >6 。 . 但 是,   存在 a 。 >6 。 , 使得 a   ≤  却 是 一个 真命 题 . 至此 , 问题 
似乎 圆满 解决 了.   但是 , 我 们 进 一 步认 识 到 : 原始命题“ 若 n > 6则 

在 语 言文 字 中 , 逻 辑无 处 不在. 哲 学 系有《 形 式 逻  辑》 课程 , 中文 系有《 语法、 修辞、 逻辑》 课程 , 都 是研 究  逻 辑 的. 文 学语 言也要 讲 究逻 辑 . 但是 , 唯 有 数 学是 直  接 运 用逻 辑 、 以 逻 辑 为 美的 学科 . 本 文 引用鲁迅《 秋  夜》 中的名 句 , 看到 文 学语 言和数 学语 言的 差 别 , 值得 
深 思.  

a   >6 。 ” 是一个复合命 题 , 复 合 命 题 的否 定 和简 单 命 
题 的否定 是不 同的.  

对 于简单 命 题 P, 若  真 , 则 ] P假 ; 若 户假 , 则 
- " l   P 真. 比如“ 张三是 上 海人 ” , 其否定命题“ 张 三 不 是 
上海 人 ” , 二者 有 且 只有一 个 正确 .  

数 学课 上 所讲 的逻 辑 , 即 简 易逻 辑 的 学 习 , 不 在  于逻 辑规 则 的表 述 , 而在 于运 用. “ 和” 与“ 或” 、 四种 命 
题、 充要 条件 可 以有 无 数 的 测 试 题 供 演 练 需要 . 熟 练  运 用 了, 就 能 迁 移 到 其 他 学科 .  
逻 辑规 则 看 上 去是 冷 冰 冰 的. 但是 , 本 文 联 系 一 

对 于复合 命 题 的否 定 就 不 这 么 简单 了. 比如 “ 若  张三 在上 海生 活 , 那 么张 三是 北 京人 ” , 如 果 只是 简 单  地否 定结 论 , 就成 了“ 若 张三 在上 海 生 活 , 那 么张 三 不 

些 生 活上 的事 例 , 包括 自己 经 历 的 一 些 教 学 故 事 , 平 
添 一份 情趣 .  
文 中略 微 提 及 了一 些 数 理 逻 辑 方 面 的 知 识 . 数 理 

是北 京人 ” , 也是假命题. 所 以对 假 复合 命 题 的否 定 ,   要慎 重考 虑 .   数理 逻辑 把 复合 命题 “ 若  则 q ” 为“ 真” , 看 做 两  个 简单 命 题 P 、 q之 间存 在 着 蕴涵关 系 , 即“ P蕴涵 q ” ,   记 作 一 q , 读 作 P蕴 涵 q . 其 意 义是 : 若 P为 真 , 则 q   必真 ; 而若 户为假 , 则 不论 q为 真或 假 , 复合 命 题 都 算  真, 因为一个 假 命题 P蕴 涵 任 意 命 题 口 . 例如, 若 a是  偶数 为 真 , 则 2 n必 为偶 数 , 复 合 命 题 为 真. 若 a是 偶 
数 为假 , 则 2 n可 能为偶 数 或 者 ( 当 口是 分 数 时 ) 2 a可 

逻辑 是 全盘 符 号化 的 , 适合计 算机 语 言的要 求. 例如,   量 词 的使 用 、 复合 命 题 的蕴 涵 关 系等 , 今 后 都 会 成 为 

常 识. 现 在许 多教 师 还 不 大 熟 悉 , 这 是 高等 师 范教 育 
的 一项缺 失.  

本 文作 者是 一 线数 学教 师 能 对 欣 赏逻 辑 发 生兴  趣, 仔 细钻 研 , 难 能 可贵. 我 曾对 本 文提 过 许 多建 议 和 

补 充. 文章如 有缺 陷 , 我也 负有 责 任 .  

等 晦   论毅 谈学   ~  ”   n  

2 0 1 1 年   第 1 0 期 (   I -   旬 )  
中学 擞 学惫 学 参 考 

‘: ; l   公 式 教 学 , 少 点 ‘ 多点 “ 活”  
— —

9 9  

'  

以 弦 长 公 式 教 学 为 例 

注 重公 式 的 形 成 过 程 ,把 握 公 式 的结 构 特 征 ,揭 示公 式的 本 质 内涵 ,   探 求公 式 间的 内在 联 系, 是公 式 教 学 成功 的 关键.  

俞 永锋 ( 浙江 省 湖州 市菱 湖 中学 )  

1 一 次 练 习实 录 
在一 次 高三数 学课 堂 练 习中 , 有 下 面一道 题 目 :  
案例 : 如图 1 , 设圆 z 。 +y  


者 也在 网上 查 阅 了有 关 弦长公 式 的教 学案 例 , 几 乎 每  份 案例 都是 按 如下 步骤 实施 弦长 公式 的教 学 的.   ( 1 ) 引人 , 并给 出“ 弦长公 式 ” 的概念 ( 在这 里 指求 
直 线 与 圆锥 曲线相 交所 得 的线段 长 的公式 ) ;  

1 2与 抛 物 线 z   一4 y相 交 于 
一  

( 2 ) 给 出公 式. 若直 线 z :  一愚 z +b与 圆锥 曲线 相  交于 A(  。 , Y   ) 、 B( z   , Y   ) 两 点, 则l   AB   I 一 ̄ / 1 +k 。  
厂— 

一  

A、 B两点 , F 为 抛 物 线 的焦 点 ,  

若 过 点 F 且 斜 率 为 1的 直 线 z   与抛 物 线 和 圆交 于 四个 不 同 的  点, 从 左到 右依 次为 P   、 P   、  
P3 、 P4 .  


J   z   一   z   J 一 √   +  j  ~  J ;  
( 3 ) 证 明公 式.I   A B   I 一 ̄ / ( z   一  )   +( y   -y   ) 。  
√( z 1 一  ) 。 +( k x 1 一忌  ) 。 一 ̄ / 1 +走 。 l z 1 一z 2 { ;  
( 4 ) 公 式应 用.  
. .

图 1  

(工) 求l   P   P。 I +I   P 。 P   I 的值 ;  
(I 1) 略.  

2  

分析 : 此题 考 查 了直 线 与 曲线 的 位 置关 系 , 可 利 

例1   已知直线 y =x +1 与双曲线 C: X   一÷ 一1  
‘ 士  

用 弦长公 式 I   P。 P 。 I +I   P 。 P  I 一√ 2 ( 1   一X  I +I   z  

交 于 A、 B两 点 , 求 AB 的弦长 .   例 2 设 抛物 线 Y   一4 x截 直 线  = : : 2 x +  所 得 

一z 。 1 ) = = = √ 2 [ ( z 。 +  ) 一( z   +X 。 ) ] , 结合韦达定理求 
得结 果为 5 √ 2 .  
笔者 在批 阅 时发 现 , 两 个班 共 1 0 5名学 生 中有 8 7   名学 生没 有采 用 如 上 解 法 , 而是将直线 与圆、 抛 物 线  联立 , 求出 P   、 P   、 P 。 、 P  的坐 标 后 , 利 用 两 点 间的距  离公式 求 解.  

的弦 长 AB 的长 为 3 √ 5 , 求 m 的值 .  
例 3 已知抛 物 线 Y 一一  +3上存 在 关 于 直 线 

z +  一0 对称的相异的两点 A、 B, 求弦长 I AB   I .  

3 对 弦长 公 式 教 学 的 反 思 
数 学公 式 揭示 了数 学知识 的基 本 规律 , 具 有 一定  的形式 符号 化 的抽 象性 和概 括性 的特 征 , 是 学生 数 学  认 知水 平 发展 的重 要 学 习 载 体. 要学好数学 , 必 须 对  数 学公 式有 十 分 正 确 透 彻 的 理 解 , 也就是说 , 牢 固 掌  握 并 能灵 活运 用 数 学 公式 是 提 高数 学 能 力 的 重 要 前  提. 因此 , 公 式 教 学 在 数 学 教 学 中 处 于 非 常 重 要 的 
地位.  

笔者 事后在 与 部分 学生 的访 谈 中了解 到 , 他 们 也  考虑 过 用 弦 长 公 式 , 可是结合 图形发 现 , I   P   P  l 和  l P 。 P   I 不是 直 线 和 同一 曲线 相 交 后 的 弦 , 所 以就 放 
弃 了利用 弦长公 式 想法 .  
难道“ 弦长 公 式 ” 只 能 解 决 直 线 与 曲 线 相 交 弦 的 

长度 吗? 公式 的 使 用 只 能 依 样 画 葫 芦 , 生 搬 硬 套 吗?  

教师 应该 如何 实施 公式 教学 ?  

2 对 弦 长 公 式 教 学 的 调 查 
笔者 有 意无 意 地 向 其 他 教 师 谈 起 弦 长 公 式 的 教 

但是 , 数 学公 式教 学往 往 陷入 “ 一 背 二套 三 运 用”  

的教 学模 式 , 这种 模式 的教学往 往 使 学 生头 脑 里 只 留  下公 式 的外壳 , 忽视 它们 的来 龙 去 脉 , 不 明确 它 们 运 
用 的条 件和 范 围. 事实上, 在 公 式 教 学 中一 般 应 有 如 

学, 发现 基本 都 是 在需 要 时 给 出 公 式 并 直 接 应 用. 笔 

1   1 0   2 0 1 中

’  

论教谈学 毫数 学 时 空  
,     . .

下环 节 : 引入 、 推导、 条件 、 特例 、 应用 , 最 后 把 它 们 纳  入学 生 的知识 体 系. 因此 , 教 师 在 教 学 中应 注 意 创 设  情境 , 充 分展 示公 式 的 形 成 过 程 , 教 给 学 生 发 现 的 方 


) , 利用 两点间 的 距离公 式求得l   A B   j  
丝  但 笔者 感觉 计算 较 繁 , 肯定 有 较 简 单 的解 决 


法, 充 分 发挥 学 生 在 学 习 中 的 主 体 作 用 , 激 发 学 生 的  学 习兴趣 , 培养学生的探索精神 , 避 免 学 生 在 学 习 公  式 中形 成“ 死 记硬 背 、 生搬 硬 套” 的现 象 , 做到“ 活学 活 
用” .  

策略 , 可 是笔 者还 没想 到 .  


阵思 索后 , 学生 2站 了起 来 .  

在上 述 弦长 公式 的教 学 案例 的 步骤 中 : 步骤( 1 ) ,   在弦 长公 式 的概 念定 位 中 , 就 为 以后 学 生 在应 用 公 式  时 的定势 思维 埋 下 了隐患 , 导 致 学生 只 有 在求 直 线 和 
圆锥 曲线 相交 弦 的长 度 时 , 才会想起使用这个公式 ,  

学生 2 : 如图 2 , 我 构 造 了 一  个直角三 角形 , 由直 线 的 斜 率 可 

知  B A c一号 , 则l   A B   I   ’   / 。  
: :: —



 

产生 了实 录中 的部 分 学 生 认 为 不 能使 用 弦 长 公 式 的  情境 ; 步骤( 2 ) , 没有考虑学生的求知欲望 , 公 式 的 给 
出太 过直 接 , 给人 以 突 兀 的感 觉 ; 步骤 ( 3 ) , 公 式 的 证 

C OS   BA C 

』  

一2   l   z   一   I 一2     l z  
‘     。 。 ‘  

== =  

一  

图2  

一z 。 I 一2  

= = =  

.  

明太 过单 一 , 缺乏 对公 式 “ 符 号” 与“ 图形 ” 的转 化 与 理  解; 步骤( 4 ) , 给 出的例 题 内容 、 形式单一, 没有 对 公 式 
进 行顺 用 、 逆用 和 变用 , 无 法形 成 对公 式 的深度 理 解.  

教师 : 很好 , 学生 2避 开 了点 A 和 点 B 的坐 标 计  算, 将 AB 的 弦 长转 化 为 倾 斜 角 和点 A、 点 B 的 横 坐  标 的差 的关 系 , 进 而利 用 韦达定 理 进行 求 解 , 这种 “ 设  而不 求” 的思 想正 是我 们研 究直 线 与 曲线 问题 的关键 
思想 . 当然 , 在此 问题 中 , 我 们 亦 可 将 弦 长 转 化 为 倾 斜  角 和点 A、 点 B 的纵 坐标 的差 的关 系.   4 . 2 公 式 的 推 导 

4 对 弦 长 公 式 教 学 的 重 构 
总体 设计 思 路 : 在 课 堂上 通 过事 例 让 学 生经 历 求 

弦长 的过 程 , 计 算 繁琐 , 很 难快 速 得 到 正确 的结果 , 抓  住 繁琐 的根 结所 在 —— 求点 的坐 标 , 进 而适 时提 出能  否避 开求 点 的坐 标 , 以及 怎 样 避 开 的 问题 , 充 分 体 现  了公式 的产生 过 程 , 使 学 生 弄 清 楚 公 式 的来 龙 去 脉 ,   加 深 对公 式 的理解 ; 引导学 生 跟教 师一 起 积极 推 导 公 
式, 在 得 到 公 式 后 及 时 让 学 生 应 用 弦 长 公 式 对 比 计 算 

每一 个数 学公 式 的推 导 , 都 体 现 出某种 数 学 思 想 
方法 , 教学 中必须 揭示 推 导公式 过 程 中隐含 的数 学 思  想 和 方法 , 指 出它 的名 称 、 内容 和 规律 , 并有 意识 地 对 
学 生 进行 训 练.  

在公 式 的推 导 过 程 中 , 常 常要 用 到 数 形 结 合 、 从  特 殊 到一 般 、 分 类讨 论 等 数 学 思 想 方 法 . 在 推 导 过 程  中, 教 师 常从 特殊 的情 境 出发进 行 分析 .   教师 : 在 刚才 的题 目中 , 虽 然 我 们 称 AB 的 长 为  弦长 , 但 实质 上 就是 两 点 间 的距 离. 下 面 我们 来 研 究 


同一例 题 , 体 验公 式 的优越 性 , 并 设 计 恰 当 的正 用 、 逆  用、 变 用 和活用 公 式 的案例 , 加 深 学生 的理 解 .  
4 . 1   引 入 

现行 教 材 中 , 大 都 简化 了公 式 的 提 出过 程 , 更 省  略 了其 中的发 现 、 探 索 过程 , 而 这 一 过 程 又往 往 是 学 

下 两点 间 的距 离公 式是 否可 用 两 点 的斜 率 来 表 示 ?   学生 3 : 我 采 用 与 学 生 2相 同 的 思 考 方 式 , 没 
I 一 — —~   f

生产 生认 知 冲突 , 求 知欲 无 限强 烈 的时 期 . 因此 , 教 师  在教学中必须想方 设法把 公式提 出的思维 过程“ 复  现” 出来 , 激发 学 生 的学 习兴趣 , 并启 发 和 引 导学 生 积  极思考 , 领 悟 公 式 引 入 过 程 中 体 现 的 数 学 思 想 和 
方法 .  

你 有 几种 转化 方 法 ?  

A( x   , Y 1 ) 、B (  z ,Y z ) ,则 有 l   AB   j一 
  . 。   。  

= = = √— C O S — 2 o / l ‘ z z —z t   l 一^ 、 / — —  
一  

I  z —z  I  

提 出问题 : 前 面我 们 已经 学 习 了两 点 间 的距 离 公  式, 请 同学 们看 下 面 的 例题 , 你 能 从 何 种 角 度 解 决 这 
个 问题 ?  


醑 I   z z — z   l , 或 者 I   A B   I 一  
.  

一 √  
. 厂 _ ■T 

2  

. . 2  

/ — s i n 2 a + — c o s 2 a.  

引例 : 已知直 线  一√ 3  +1与椭 圆 c:   +  一1  
o  ‘ 士  

。 l _ y z 一3 , t   l 一 √— —  
?

 z l —  l 一√   十  

交 于 A、 B两 点 , 求 AB的 弦长 .  

  J Y 2 一  1 .  

教师 : 很好 , 学生 3采 用 了与学 生 2相 同 的思 想 ,   构 造 直角 三 角形 , 将 AB长转 化 为 直角 三 角 形 的直 角  边 和倾 斜 角 间的关 系 , 并用 三角 恒 等 变 形转 化 到斜 率  与横( 纵) 坐标 间 的关 系 , 使 我们 得 到 了两 点 间距 离 的  另 一种 表示 形 式 , 我们也将这两种形式 称之为“ 弦 长 

学生 1 : 联立 直 线 与 椭 圆 的方 程 , 得 7   +4√ 3  


6— 0 , 解 方 程 求 出 点 A 和 点 B 的 坐 标 分 别 为  ——— 一 ’ —  一 / 、  

/ \ 一4 √ 3 一 ̄ / 2 1 6  2 一 ̄ / 6 4 8 、  

,   一4 √ 3 + ̄ / 2 1 6  
~_4  

’  

教  
想法 ?  

堆  

叼   …  
~  

中学 般 学散 学 参考 

公式 ” . 那除 了 以上 的思路 外 , 同学 们 还有 没 有其 他 的 
学生 4 : 用 代 换 法. 设 A( X 。 , Y   ) 、 B( X 2 , Y 2 ) , 则  AB的方 程为  一愚 z +6 , 有 

用 打 下 坚 实 的基 础 .  

问题 1 : 请 同学 们 重做 引例 .   问题 2 : 斜 率 为 3的直 线 上 有 两 点 A( 一1 , 口 ) 、  
B( 5 , 6 ) , 则线段 AB 的长 为 6  ̄ / 1 0.   设 计 意 图: 熟 悉 弦 长公 式 的基 本 应 用. 直 接 套 用  公式 是 掌握公 式 的基 础 和前提 , 在 教 学 中不 能 忽视 对  公 式 的直接 套用 , 应 克服那 种认 为直 接 套用 公 式解 题  不 教也 会 的错 误 想法 . 学生 在 直接 套 用 时会 注 意分 析  公 式 的特点 , 不仅 能 强 化对 公 式 的 记 忆 , 而 且 也 为 灵  活 运用 公式 奠定 基础 , 同时也 可 以进 一 步提 高 学 生 的  运 算能 力.   问题 3 : 已 知 正 方 形 ABC D 的 一 个 顶 点 为  A( 一4 , O ) , 它 的 中心 为 E( 0 , 3 ) , 求 其 余 三 个 顶 点 的 
坐标 .  

A B   l 一  


= 

干 

 ̄ / ( z 1 一X 2 )   4 - ( k x 1 +6 一k x 2 —6 ) 。  
 



  I z   一z 。 I ,  

或者 I ABl 一, / ( x l -X 2 )   4 - (   1 my 2 )  


√ (   一 y 2 [ b )   + ( Y l - 2 2 )  
 



I   ~ I .  

教师 : 非常好 , 学 生 4从 坐 标 代 人 的 角 度 处 理 了  AB两点 间 的距 离 与 斜 率 、 横( 纵) 坐 标 间 的关 系 , 这 

简解 : 因为 E( 0 , 3 ) 是 AC 的 中点 , 可得 C ( 4 , 6 ) ,  
厂—— ■——  ■ 

种 思想 也是 我 们 在处 理 直 线 与 圆锥 曲线 间 关 系 的 常 
用 思想 .  

又I   B E l 一   V /   1 +( ~ ÷ 1   1   0 一z   I 一5 , 解得   一±3 .   \   o /  


4 . 3 公式 的注 记  公 式成 立是 要有 一定 条件 的 . 学 生学 习公 式 的最  大 弱点 是把公 式 作 为“ 万 能公式 ” 乱用 乱 套 , 因此教 学 

所 以 有 B( 3 , 一1 ) , D( 一3 , 7 ) .  

问题 4 : 已知 点 A 的坐标 为 ( 1 , 4 ) , 直线 z 的方 程  为 2 z —y一3 —0 , 求 点 A 关 于 直 线 z的 对 称 点 B 的 
坐标 .  
厂 —— ■— 0 

中要 强 调公 式 成立 的条 件 ; 其次, 公 式 虽 具 有 一 定 的  普遍 意 义 , 但 对 具有 特 殊 条 件 的情 形 要 给 予 注 意 , 这  就是 公 式 的特例 ; 再次 , 公 式都 有 它特 有 的适 用 范 围 ,   也称 之 为公式 的“ 针对 性 ” .  
教师 : 对 于 弦 长公 式 的 以上 两 种 表示 形 式 , 他 们  有 自己的约束 条件 , 那 么他们 在 怎 么样 的条 件 下才 能 
成立 ?  

简 解:l   A B   l一 ^ / 1 +( 一寺 )  I   1一 z B     I
V   、   厶 /  

1   0~

A—— 0   l  

  ’

一2  

三 
√ 4十 l  

, 解得 z B 一5 或一3 , 因为点 A、 点 B在 

直线 z的异侧 , 检 验得  一5 . 所 以 B( 5 , 2 ) .   设计 意 图 : 此两题是常见题 , 但 从 以前 学 生 的做 

学生 5 : 以上 两 个 公式 是 在 直 线 AB 的斜 率 存 在  的 前 提 下 成 立 的 ,当 AB 斜 率 不 存 在 时 ,  

题情 况看 , 方法 不 是 很 简 洁. 问题 3往 往 采 用 中 点 公  式 及直 线 的平行 、 垂直求解; 问题 4常利 用 垂 直 与 中  点在对 称 轴上联 立 方程 求解 , 运 算量 大 , 求 解 繁 琐. 利  用 弦长 公式 求解 不仅 解决 了计算 量 大 的 问题 , 也 使 学  生 走 出公式 “ 套 用” 的常规 思 维. 学生 在 运 用公 式 时 一  般 更善 于 正面直 接套 用公 式 , 并 且利 用 公 式 时容 易 造  成 一定 的思维定 势 , 而逆 用公 式 解题 是 训 练学 生 逆 向  思 维及 灵 活思维 的重要 手段 . 通 过设 计 逆 用公 式 例 题  的训练 , 能使 学 生更 强地 意识 到 逆用 公 式 也是 灵 活 掌  握公 式 的一 个常 规 而重要 的环 节 , 从 而 在解 题 中训 练  学 生顺 难则 反 的思 维方法 .   问题 5 : ( 参 见 文章 起始 “ 案 例” )   设计意图: 走 出公 式 名 称 “ 弦长 ” 之误 区, 并 使 学  生熟 悉 直线 与 圆锥 曲线关 系 问题 的基 本求 解 策 略. 教  师 在教 会学 生顺 用 、 逆 用 公式 的 同时 , 还 要 指 导 学生  掌 握公 式 的活用 和 多 角度 理 解 应 用. 灵活运用公式 ,   不 仅能 活跃 学 生 的 思 维 活 动 , 提 高 学 生 的学 习 兴趣 ,   而且往 往会 收 获简 洁优 美 的解法 , 让 学 生体 验 到数 学  公 式 的 内在美 .  
( 下转 第 1 2页 )  

I   AB   l = = = 1   y 1 —3 , 2   1 .   教师 : 的确 , 以上 公 式 是 以 AB 的斜 率 存 在 为 前 
提 的. 那 为什 么我 们 把 以 上 两个 公 式 称 之 为 “ 弦 长 公  式” 呢?请 观察 公 式 的形 式 , 联 想 直 线 与 圆 锥 曲线 关  系 问题 的求解 思想 , 给 出合理 的猜想 .   学生 6 : 观察弦长公式的特点 , f   一3 6 '  i 可 以 转 

化成  ̄ / ( x l +z 。 )   -4 x  。 , 而 此 式 的求 解 正 好 符 合 直  线 与 圆锥 曲线 相 交 弦 问题 中利 用 韦达 定 理设 而 不 求  的坐标 法思 想 , 也就是说, 它 最 适 合 求 解 直 线 与 曲线 
相 交 弦的 弦长 问题 , 所 以给 了它“ 弦长 公式 ” 的名称 .   教师 : 很好 , 学 生 6说 出 了弦 长公 式 名称 的 由来 ,   指 出 了弦长 公 式 的用 武 之地 , 并 给 出 了求解 的基 本 思 

想. 下 面我们 看 一下公 式 的具体 应 用 .   4 . 4 公式 的应 用  任何 一个 数学公 式 , 都是 反 映量 与量 之 间关 系 的  等式. 在教 学 中教师 必须 要 引导 学 生从 不 同 的 角度 去  认 识 数学 公式 , 加 深 对 公 式 的理 解 , 为 公 式 的灵 活 运 

1   1 2   20 1 中

才  ,  

托 

论教谈学 。教 学 时 空  

淑  “ 无 形  屏 障”   实  现 本 质 趋 翅 
“ 映射 ”教 学 “ 磨课 记 ”  
冲破 无 形 的 “ 天 花板 ”, 当一 个 不 懈 “ 磨 课 ” 的 斗 士 , 在 不 断 的 磨  砺中实现教学水平本质的飞跃.  

吴 少堂 ( 江 苏 省 睢宁高 级 中学 ( 南 区) )   下 面是成 功 心 理 学 的一 项 研 究 . 有一种“ 跳 蚤 效  应” , 亦称“ 天花板” 效应 : 将跳蚤放进一个盒子里 , 盖  上 盒盖 . 跳 蚤虽 然 善跳 , 但 由于有 盒 盖 的 阻隔 , 怎 么 也 
跳 不 出盒 子 , 时 间长 了 , 它 就形 成 了一 种行 为 定势 , 之 

后 虽将 盒 盖撤 除 , 但它跳的高度总也超不过盒子. 因  

析、 研 究 知道 , 原 来 在 他 们 心 中也 有 着 一 块 阻碍 自己  突破 的“ 天花 板” , 于是 默认 自己 的教 学水 平 和 能 力就  只能 达到 这个 高度 , 再 也“ 跳不 出盒 子 ” 了. 这种 “ 作茧  自缚 ” 的心理 与 行 为对 数 学 教 学 质 量 的 提 高 , 对 中青  年 数 学教 师 自身 的发 展成 长都 是 极 为有 害 的. 所 以笔 
者 大声 疾 呼 : 同行们 , 特别 是 中青 年数 学 教 师们 , 要坚  决 冲破心 理上 的这 种 “ 无 形屏障” , 不能再墨守成规 、   固步 自封 、 不思进取了 , 我们需执著追求 、 锲而不舍 、   刻 苦 钻研 、 积极 探 索 、 不骄 不躁 、 博采众长、 突破 创 新 、   努 力 改进 , 实 现 自我 超 越 , 力 争 登 上 数 学 教 学 一 个 又  个新 的“ 制 高点 ” . 笔 者认 为这 也 应 是 整个 数 学 教 育 


为在 它 的心里 依 然 存 在 着 阻 碍 自己 飞跃 和 突破 的 盒  盖, 即“ 天 花板 ” 这 个无 形屏 障.  
通 过 对数 学 教学 实践 长期 的观察 , 笔 者发 现 一 些  本 来很 具 潜质 的 中青 年数 学教 师 , 几 年 前 就上 出 了颇  具 水平 的课 , 但 近 来 听 他 们 的课 , 遗 憾 地 觉 得 其 教 学  水 平 和能 力并 没 有取 得实 质性 的突破 和提 高. 通 过 分  ( 上接 第 1 1页 )  

清 公 式 的来 龙 去脉 , 尽 可 能 由他们 自己推演 并 发 现公 

5 对 公 式 教 学 的 几 点 思 考 
在 数 学公 式 教学 中 , “ 一 背二套 ” “ 公 式 加例 题 ” 的  教 学形 式 非常 普 遍 , 导致有 较 多学 生 对 所 学 的数 学 公  式 一 知半 解 , 应 用 起来 只会 生 搬 硬 套 , 不 能 理 解 掌 握 
这 些数 学 公式 的结 构 特 征 、 变化形态和推理过程 , 更 

式, 使 学生 享 受 到创 造 发 现 的 成 功 与 喜 悦 , 为公 式 的  理解 、 记忆 和应 用 奠定 基础 . 让 学 生 推导 公 式 , 不 能 只  是 照 书按 部就 班地 推 导 , 教 师对 教 材 应做 适 当的 加 T 
处理 , 让学 生充 分 地 动 脑 、 动手 、 动 口, 这 样 才 会 收 到 

事 半 功倍 的效 果.   ( 2 ) 理 解 数 学 公 式 也 就 是 理 解 公 式 中 各 个 字 母 的  含 义 以及 它们 之 间 的关 系 . 数学公式中的字母 , 既可 

不 能理 解 渗透 在 这些 公式 中的数 学 思 想 与数 学方 法 ,   从 而严 重 影 响 了他 们 对 数 学 知 识 的掌 握 和数 学 能 力  的形成 . 建 构 主义 认 为 : 学 习是 一 个 积 极 主动 的 活 动  过程 , 学 习者 不是 被 动 地 接 受 外 界 信 息 , 而是 主 动 地  依 据先 前 的认 识 结 构 , 有 选 择 的知 觉 和 接 受 外 界 信  息. 学 习 不是 由教 师 把 知 识 简 单 地 传 递 给 学 生 , 而 是  学 生 自己建构 事 物 的意义 . 对 知识 的真 正 理解 只 能 靠  学 习者 基 于 自身 的经 验背 景 , 通过 新 旧知识 经 验 的 反  复、 双 向 的相互 作 用 而建 构 . 这 种 建 构 无 法 由他 人 来  代替, 教师 则是 学 生 建 构 知 识 的 支 持 者 、 辅 导 者 和 高  级合 作 者 , 负有 调 动学 习者 的积 极 性 的 使命 . 因此 , 在 
公 式 教 学 中 要 注 意 以下 几 个 方 面 :   ( 1 ) 在公 式 教学 中 , 首先 要 设计 恰 当 的问题 情 境 ,  

以表 示数 又可 以表 示 代数 式. 为 了使 学 生理 解 公 式 的  本质 , 应让 学 生用 不含 字母 的文 字语 言 和 图形 语 言叙  述 公 式 的 内容 , 掌 握公 式 中关 系 的确 定 性 和字 母 的可  变性( 数 或代 数式 ) .  
( 3 ) 记 忆是 以理解为基 础 的 , 只 有 理 解 了 的 东 西 才 

会 经久不 忘. 要使学 生牢 固地 记住 数 学公式 , 就 要使 学 
生 了解公 式的来龙 去脉 , 将 机械记忆 转化为 理解 记忆 .   ( 4 ) 公 式 的应 用 同样 以 理解 为 基 础. 在 应 用 公 式  前, 要 使学 生 正确 理 解 公 式 的 意 义 , 尤 其 是 公 式 中字  母 的可变性 , 透过 公 式 的表 面认 识 公 式 的 本 质. 只有  这样 , 在应 用公 式 时 , 才 能做 到 公式 的“ 正用 、 逆用 、 活 

引起 认 知 冲突 , 激发学生求知欲望 , 目的是 让 学 生 弄 

用、 变用 、 延 拓 推 广 式应 用 、 条件辨析应 用、 推 导 思 想  方 法应 用” , 培 养学 生思 维 的灵 活性 .  

; 


教   曩   论 教 谈 学   、  旧  
界须 着力 研究 的重 大课 题.  

;  
吗?  

寺 嘈 戡 嘈教 鸯 参' 麓  

教师 : 图 1 、 图2 所 展示 的对应是 函数吗 ?是 映射  学生 : 既是 函数 , 又是 映射 .   教师 : 那 么 函 数 与 映 射 之 间 有 什 么 联 系 和 区 
别呢?  

为使 本 文 更 贴 近 数 学 教 学 实 际 , 更 具 可操 作 性 ,  
笔者 选取 了一 只 “ 麻雀” —— “ 映射” 的 教 学 进 行 深 入  的解 剖分 析 , 展示 了 由于 一 次 次 地 对 原 状 的不 满 , 通  过反 复“ 打磨 ” , 使 一个 平淡 的教 学 案例 逐 步 提升 为数  学教 学精 品 的过程 , 故 又将此 文 称为 “ 磨课 ” 记.  

学 生开 始感 到茫 然 , 经 过 思考 后 , 学生 1 : 函数 与 

1 朴 素 的 原 生 态 
已有 五六 年教 龄 的青年 数学 教 师 甲, 在 未 经 任何  人指 点 的情况 下 , 完 全 依靠个 人 的原 始 理解 而独 立设  计 与 实施 的 “ 映射” 教 学, 笔者 戏称 为 “ 朴 素 的 原 生  态” . 其教 学过 程如 下 :   教师 : 什 么是 函数 ?  
学生 : 设 两 个 非 空 数 集 A、 B, 如 果 按 照 某种 对 应 

映射 都 是单 值对 应 ; 在函数中, 两 个 集 合 都 是 非 空 数  集; 在 映射 中 , 两 个集 合不 一定 是数 集 . 所 以函 数是 符  合“ 两个 集合 都 是非 空数 集” 这 一 条件 的特殊 的映 射 ,   也 可 以说 函数是 映射 的子 集.  
教师 : 写 出来 看 看 .  

学 生 1开始 写成 了 函数  映射 , 经提示 , 改为{ 函  数}   { 映射 } .   教师 : 对 了 !先 研 究 函数 , 再 研 究 映射 , 符合“ 从  特殊 到 一般 ” 的科 学 规 律. 现 在 我 们 就 有 了 判 断 一 个 

法则 - 厂 , 对 于集 合 A 中的 每一 个元 素 , 在集 合 B 中都  有 唯 一 的元 素 和 它 对 应 , 这样的对应 叫做从 集合 A   到集 合 B 的 函数 .   教师 着重 提醒 学生 : 需 突出 两个 关键 词 , 即“ 每一  个” 和“ 唯一 的 ” , 这类 对应 即为单 值 对应 , 并 让 学 生判  断下 面 4 个 图形展示 的对应是 否 是单 值对 应 :  
^2 倍加 1   ^ 取 绝 对 值  ^ 取 倒数  ^ 每人买一本书  

对应 是 否是 映 射 的可 靠 的理 论 依 据 , 图5 、 图6 、 图7   展示 的对 应是 函数吗 ?是 映射 吗?  
开 平方  实数 集R中 的每 个元 素  都与集合日 = { 1 , O } 中的l 对应 

A 

B 

A 

B 

A 

B 

圆 
A  B 

A 

B 

A 

B 

A 

B 

图5  

图6  

图7  

.  

图 1  

图2  

图3  

图4  

学生 不 难 作 答 , 只是 在 个 别 地 方 略有 些 疑 问 , 稍  做点 拨 , 即释然 ( 过 程 略) .   教师 : 若 真正 深 刻 理 解 了映 射定 义 的本 质 , 我们  就可 以解 答 各 种 变 式 问 题 ( 教 材 练 习题 的 解 答 过 程  略) . 再如 问题 : 如图 8 , 根 据对 应法 则 :  

学 生 易判 断 图 1 、 图 2展示 的对 应是 单值 对应 , 图  3展示 的对应 不是 单值 对应 , 原 因是在 集 合 B 中没 有 

元 素 与集合 A 中 的元素 0对应 . 但 在判 断 图 4展示 的  对 应是 否是 单值 对 应 时 , 产 生 了 分歧 , 原 因是 有 学 生  认 为两 个集 合 中 的 元 素 分 别 是 “ 人” 和“ 书” , 能 叫 做 
“ 值” 吗?  

( 1 ) 写 出集 合 B 中 与 集 合 
A 所 对应 的元 素 ;   ( 2 ) 这 个对 应是 映 射 吗? 为  什么 ?  

(   , y ) 一 

教师 : 单 值 对 应 中集 合 B 中 的 元 素 都 叫 做 值 ,  

“ 值” 的意 义 不 只 局 限 于 数 , 而 是 一 个 十 分 宽 泛 的 概  念, 于是 思维 开 阔 了的学生 认 同 了图 4展 示 的对 应 确 
是 单值 对应 .  

( 3 ) 若这个对应 是映射 , 那 
么它 是 函数吗 ?   学生通 过 积极研 讨 , 加 深 了  B  
~ 

教师 : 图 1 、 图2 、 图 4展 示 的单 值 对 应 是 否 是 函 
数呢?  

对 映射 和 函数 概 念 的 理解 , 认识到这个对应是映射 ,  

学生: 图 1 、 图 2展 示 的单值 对 应是 函数 , 而图 4  

展示 的单 值 对应 不是 函数 , 因为 两 个集 合 虽 然都 是 非  空集 合 , 但都 不是 数集 .   教师: 我 们今 天 要 研 究 的就 是 这 类 “ 不 一 定 是 函 

但 不是 函数 ; 集 合 A 元 素虽 然 都 是有 序 实 数 对 , 但 在  集 合 B 中的“ 值” 却 都是 1 , 豁然 开 朗.   回顾小 结 略.  

2   “ 朴 素的原生态” 的 亮 点 
毕竟教 师 甲有 了五六 年 的教 龄 , 且具 有 比较扎 实  的数 学基 础和 一 定 的 教 学 经 验 , 再 加 上 精 心 的设 计 ,   此教 学案 例不 仅没有 明显 的瑕疵 , 且 同时还 呈 现 出几 
处耀 眼 的亮点 :  

数 的单值 对 应” . 请 重 温一 下 , 图 4展 示 的对 应有 哪 些  特点( 再 次 突 出关 键词 “ 每 一个 ” “ 唯一 的” ) .  
教师 : 这 类 对应 就 是 我 们 今 天 要 研 究 的“ 不 一 定  是 函数 的 单 值 对 应 ” , 即 映 射. 请 说 出 映 射 的 定 义.   ( 学 生 顺利 自然 地作 答 , 略)  

( 1 ) 教学结构科 学合理. 大 体 的教 学 程 序 为 : 函 

激 擘 盼 空 

1 4  


嚣 

’  

数 一 单值 对 应一 不 一 定 是 函 数 的 单 值 对 应一 映 射  基 本 练习一 变 式 练 习 . 在 整个 教 学 过 程 中 , 教 师 始  终 利 用 函数 与 映 射 的对 比 , 突 出关 键 词 “ 每一 个 ” “ 唯  的” , 借 此来 揭 示概 念 的本质 特 征 . 教 学设 计 科 学 合  理, 教学 进程 自然流 畅.   ( 2 ) 图4 、 图 8展示 的对应 出彩 . 买书, 贴 近 学生 生  活, 集合 B 中的元 素是 书 , 而不 是数 , 在 这 里却 又称 为  “ 值” . 图 8中 , 集 合 B 的 元 素 是数 , 也是 “ 值” , 但 该 映  射却 不 是 函数 , 那是 什 么? 为今 后“ 圆 的方 程 ” 的教 学  埋 下伏 笔 , 且 比较 有 趣. 利 用 学 生认 知 过 程 中产 生 的 


曰 

例 9  

图 1 0  

( 2 ) 如图 1 O , 已知 集合 A、 B 的元 素 , 指 出符 合 图 
中对应 关 系 的一个 对应 法则 .  
对应 法 则 可 能 不 止 一 个 , 只要 找 到一 个 就 行 了.  

矛 盾 冲突增 强 教学效 果 .  

此 问题 的难度 并 不 大 , 通过尝试 探索, 学 生 完 全 能解  决, 易 得 f: z 一 +  一3 z 一1 .   ( 3 ) 改编 自教 材 中 的一 个  = f  

( 3 ) 恰 当处理 了两个“ 地 位” . 既充 分体 现 了学 生 的  主体 地位 , 又充 分发挥 了教 师应 有 的主 导作用 . 顺 应 了  学 生的认知规 律 , 几乎所 有 问题 都是 让学 生来 解 答 的 ,   教 师又不失 时机地进 行适 当和必要 的点拨 、 启导.  

新颖 趣 题: 设集合 A—B  


{ a, b, C , d, …,  , Y, z) ( 2 6   B  {  

3   反复“ 打磨” 使案例成为 精品 
若 是 刚走 上教 学 岗位 的数 学 教师 , 能 上 出 这样 的 

个英 文 字 母 ) , 作 映 射 厂:  

图l l  

A— B, 对应 法则 如 图 l 1所 示. 称 由集 合 A 中 的 字 母 

课, 真 的要 说 “ OK” 了. 但 对 于教 师 甲来 说 , 就 应 该 用  更 高 的标 准来 要求 . 为 帮助 教师 甲冲破 “ 天花 板 ” 这 个  无形屏障, 实 现教 学 水 平 与 能 力 本 质 的 飞 跃 , 同时 也  为 了给其他 中青年 教 师提供 一 个 可 资借 鉴 、 学 习 的样  本, 笔者组 织 了 一个 类 似 于体 育 运 动 队 中 的 “ 教 练 班  子” , 在指 出教 师 甲教学 优 点 的 同时 , 客 观地 指 出这个  教 学 案例 尚存 在 很 大 的上 升 空 间 , 并给予他第二次 、   第三次 , 甚至 更 多 次 的 实 践 机 会 , 使 他 真 切 地 体 验 到  自己不 断前进 的 步伐 , 以 及 今 后 继 续 努 力 的 方 向. 古  时有 “ 十年磨 一 剑 ” 之说, 戏 曲界 有 “ 磨戏” 之说 , 我们  这里 所做 的 工作 就 叫做 “ 反 复打磨 ” . 下 面展 示 的就 是  “ 教 练班 子 ” 和教 师 甲一 起“ 雕 琢 打磨 ” 的 五方 面 内容.   3 . 1   映射 的深 刻 内涵揭 示得 不够 充分  在 上 面 诸 多 的例 子 中 , 应 该 充 分 利 用 丰 富 的 素  材, 指 出集 合 A 中 的元 素 与集 合 B 中 的元 素 可 以 出   现“ 2对 1 、 3对 1 、 …、 多对 1 ” 的情 况 ; 集 合 B 中可 以  有 这样 的元 素 , 它 不 是集 合 A 中 的任 何 元 素 的 “ 值” ,   它 是“ 休 闲” 的. 基 于此 , 就 可 以总结 出映射 的“ 两个 允  许” : 一是 允许 “ ( A— B) 多对 1 ” ; 二是 允 许 “ ( B 中有 )   闲元 素” . 在风 趣 幽默 的语 境 中 , 学 生 会加 深 对 概念 的  理 解 与掌 握.  
3 . 2 组 织 的例 题 、 习题 还 不 够 丰 富 多 彩 

拼成 的 文字 为“ 明文 ” , 相应 的集合 B 中的字 母拼 成 的  文字 为 “ 密文 ” , 现有“ 明文” : i q q f   o q t p k p i   e n c u u , 请 按 
此对 应 法则将 “ 明文 ” 转译 成 “ 密文 ” .   学 生很 快转 译成 “ 密文” : g o o d   mo r n i n g   c l a s s( 同  

学们 上 午好 ) . 教 室 里必将 呈 现 出一 片欢腾 .  
3 . 3 人 文 气 息 还 不 够 浓 郁 

文E l - ] 提 出 了一 个 具 有 时 代 感 的 理 念 : 数 学 课 不  能 单纯 地讲 授 数 学 内 容 , 要 体 现 学 生 素 质 的综 合 化 、   能 力 的复合 型 与 教 育 、 教 学 目标 的 多元 化 . 特 级 教 师 

黄 安成 先 生在 文 [ 2 ] 中又 提 出 “ 人 文 关 怀 是 数 学 教 育  的一项 重要 使 命 ” . 当 今 的数 学 教 育 越 来 越 讲 究 文 理  交融、 德智 兼顾 , 所 以数 学 课 必 须 具 有 浓 郁 的 人 文 气 
息.教 师 甲的“ 原 生态 ” 课 在这 方 面就更 显 薄弱 .   当“ 隆重 ” 推 出映射 的定 义 后 , 完 全 可 以用 语法 来  分析 , 引 导学 生将 长句 提炼 为 短句 : “ 什 么是 映 射 ? ” 学 

生说 : “ ( 符合某 种 条 件 的 ) 对 应 是 映射 . ” 在 这 个 主谓  宾结 构 中 , “ 对应” 是 主语 , “ 是” 是谓语 , “ 映射” 是 宾  语, 省略 的是 定语 . 用 语 法 分 析 的方 法 来 研 究 数 学 概 
念应 成 为 学 生 的一 种 良好 习惯 , 是 一 举 多 得 的 好 举 
措, 学生 也乐 于接 受 .  

当“ 有 了判 断一 个对应 是 否 是 映射 的 可靠 的理 论  依 据” 后, 教 师 可 以说 : “ 定 义 是 判 断 一个 对应 是 否 是 

映 射 的唯一 依据 , 这就叫做 ‘ 咬定 青 山不 放 松 ’ . 这 样 
不管 问题 如何变 化, 我们 都可 以做 到 ‘ 以不 变 应 万 
变’ . ”  

在变 式练 习 上还 可 以做更 多 的 文章 , 如 可 考 虑采 
用 下 面 的问题 :  

( 1 ) 如图 9 , 请依 据 这个对 应 法 则 , 写 出集 合 A 中 
的元 素.  

在研 究 上 面的 问 题 ( 3 ) 时, 教 师 可 以 巧 妙 地来 个  “ 借 题发 挥 ” : “ ‘ 明文 ’ 与‘ 密文 ’ 的 互 译 依 靠 的是 一 种 

新教 材取 消 了“ 逆 映射 ” 和“ 反 函数 ” 的概 念 , 但 在  不 提 这两 个概 念 的前 提下 , 学生 完 全 可 以完 成 这个 实  质 上 是 用 逆 映 射 来 求 集 合 A 中元 素 的 问题 , 丰 富 题 

通用 于极 小 范 围 内 的 绝 密 的 对 应 关 系 , 其 实 就 是 映  射. 在世 界性 的 ‘ 间谍 战 ’ 与‘ 反 间谍 战 ’ 中, 这 种 隐 秘  的通 讯手 段 可发 挥 出 巨大 的作 用 . 当然 , 现 实 中 的 密 

教 学 时  

教谈 学 



 

。 

。  ∽

m  

2 0 1 1 年第 1 0   期(I - 甸)  
中 学文 学教 学 参考 

文 破译要 比这里 的 映射 复杂很 多 , 但 基 本道 理 却 是 一  样 的. ” 费 口舌 不 多 , 取 得 的 是 多 方 面 的 巨大 的 教 学 
效益 .   3 . 4 对 优 生 没 有 预 留足 够 的 发 展 空 间 

当今 的数学 教 育有一 个 重要 理念 , 即“ 下要 保 底 ,   上不 封 顶 ” .教 师 甲 的 “ 原生 态” 课 比 较 好 地 做 到 了 

很 不够 , 集 中体 现 在课 堂 气 氛 不 够 活跃 , 教 师 和 学 生  的激 情没 有得 到充 分 的点燃 和 释 放 , 课 堂 最 后掀 起 的  高潮“ 高度” 不够 , 没 有 使 学 生 深 切 地 感 受 到数 学 学  习、 数学 探 索 和 问 题 解 决 是 一 种 充 满 乐 趣 的 高 雅 享  受. 若 能 在上 面论 述 的几 点 内 容上 得 到 根本 的 改进 ,   教学 就可 以达 到更 高 的境界 .  

“ 下 要保 底 ” , 但在“ 上 不封 顶 ” 上则 做 得 不 够 , 对 优 生  没有 预 留必 要 和足够 的发 展 空 间 , 优生 大 有 “ 吃不饱”   的感 觉. 虽 然教 师应 遵 循 “ 最 近 发 展 区” 的原则, 但 这  里 的“ 近” , 距 离究 竟是 多少 , 没 有 明确 的 界定 . 对 不 同  水平 的学 生还 应 实施 “ 分层 次教 学 ” , 适 当创 编 具有 合  理难 度 的 问题 , 对 教材 内容 做科 学 的延 伸拓 展 是提 升  教学 高度 不 可或缺 的.   如 问题 1 : 如图 1 2 , 设 集合 A / , 、 / , . 、  

4   “ 磨课” 的 丰 硕 成 果 
在“ 雕 琢 打磨 ” 后的总结会上 , 教师 甲、 教 练班 子  以及 所有 参与 的 中青 年 教 师 都 感 慨 万 千 、 回味 无 穷 ,  

经历 的无 异 于数学 教育 生涯 中的每 一次“ 蜕变 升华 ” .   ( 1 ) 对 戏 曲界 的行话 : “ 台上 一分 钟, 台 下 十 年  功” , 对古诗名 句 : “ 不经一 番寒彻骨 , 哪 得 梅 花 扑 鼻  香” 有 了切 身 的 体 验 和深 刻 的感 悟. “ 磨课” 重 在 一 个  “ 磨” 字, 在“ 磨” 的过程中, 发现不足, 修正改进 , 反 复  历练 , 心灵 上经 历 的可算 是 “ 痛苦 的 煎熬 ” . 但“ 痛且 快  乐着” , 过程 虽 然 有 点 “ 苦涩” , 但 开 出 的花 是 娇 艳 的 ,   结 出的果是 香甜 的. 我们 既然 选 择 了数 学 教育 为终 生  事业 , 那么 就必 须 有 一 种 “ 为崇 高事 业 献 身 ” 的精 神 ,   且 在 高投入 的同 时 , 取 得 的是 高 回报 . 当登 上 数 学 教  育 的一 个新 制 高点后 , 真 是风 光无 限啊 !“ 绞尽 脑 汁 ”  

与 B, 那么从 A 到 B 可 以构建多  / 1\   /a\   少个不同的映射?   I   J   I   J   学生用原 始的枚举法 可 以解  \   /   \  /  
决这个 问题 : 可 以构 建 4个 不 同 的  映射 .  
“ 图1 2  

问题 2 : 小张和小李住旅 馆, 现 有 两 个 房 间 可 供  选择 , 两人 可 同住 一个房 间 , 也 可分 别 各住 一 个 房 间 ,   那么有 几 种不 同 的住法 ?   贴近生活 , 且难度不大 , 学 生 还 是 用 原 始 的 枚 举  法, 不 仅 知有 4种 不 同的 住 法 , 且 会 发 现 问题 2就 是  问题 1的 实际原 型 , 那 么问题 1 就 是 问 题 2的数 学模  型. 实 际原 型 的数 学 化 与 数 学 模 型 的应 用 化 , 是 先 进  数 学教 育 原理 的体 现.   教 师还 可 以引 导 学 生 独 立 创 编 出 以 问题 1为数  学模 型 的实 际 问题 , 如 问题 3 : 小 张 和 小 李 进 行 短 跑  与跳远 两项 对抗 赛 , 若 没 有 并 立 冠 军 的情 况 , 那 么 这  两块 金 牌有 几种 不 同的分 布 方式 ?   开始时, 学生在“ 哪个 集 合 是 A, 哪 个 集 合 是 B”   上产 生 障 碍, 后 经 过 比较 及 深 入 的研 讨 , 知 集 合  A= = = { 短跑 金 牌 , 跳远金牌) , 集 合  B一 { 小张, 小李 ) , 那 么图 1 3与 图  1 2在 瞬间就 取 得 了 实质 性 的沟 通 ,   问题 也 就迎 刃 而解 , 有 4种 不 同 的  分 布方 式.   B  图 1 3   图 1 3的具 体 化与 图 1 2的抽 象  化互 相 映照 , 将 数 学 的理 性 精 神 揭 示得 淋 漓 尽 致 , 数  学思 维 的深刻 性 、 广泛 性和 创造 性 就 在这 样 的 活动 中  得到优 化 .   若 条件 和时 间 许 可 , 还 可 以将 问题 进 一 步 推 广 ,  

“ 废寝 忘食 ‘ 竭 尽全 力 ” “ 痛苦 的 煎熬 ” 啊, 都值了!   ( 2 ) “ 磨” 是 学 习新 的数学 教 育理 念 、 研 究新 教 材 、  
掌 握新 教法 、 进一 步 熟练 运用 “ 科 学加 艺 术” 教 学技 巧  的过程 , 是 深入 研 究 理 论 与 实 践 相结 合 , 从 根 本 上 提  高 教学 水平 和 能力 的过 程. 平时大家都很忙, 集 中用  段时 间沉 住气 、 静 下 心来 进 行 “ 研磨” , 这 样 的 机 会  太珍 贵 了 , 利 用 此 机会 实 现 本 质 的超 越 , 将 对 毕 生 的  事 业产 生决 定性 的 巨大影 响.   ( 3 ) “ 学 然后 知 不 足 , 教然 后 知 困” . 通过此番“ 研  磨” , 准确 地 了解 到 自身 的不足 , 明确 了今 后 努力 的方 


③ ③  
一 一

向, 特别 是如 何弥 补在 文化 底 蕴和 综合 素 养 上存 在 的  薄弱 环节 . 虽然评课、 赛 课 不 是 根 本 目的 , 但评课 、 赛  课确 是 中青年 教师 进 步 的阶梯 和 成长 的 里程 碑. 欲 想  在评 课 、 赛 课 中脱 颖 而 出取 得 优 异 成 绩 , 就 须 在 教 学  技艺 、 各种 教 学基 本 功 的锤 炼 、 文 化 底 蕴 和 综 合 素 养 
上 狠下功 夫.  

( 4 ) “ 冰冻 三 尺 , 非 一 日之 寒 ” “ 欲 穷 千 里 目, 更 上  层楼 ” . 虽然 此次 磨课 取得 了极为 丰 硕 的成 果 , 但 学  无止 境 , 教 无 止境 , 研无 止境 . 一 节课 成 为 精 品也 许 有 

定 的偶 然性 , 但保证节节课都成为精 品, 乃 至 向 教  学 的极 品 进击 , 应成 为 教师终 生 的奋 斗 目标.  
参 考 文 献 

增加 集合 A、 B 所含 元素 的个 数 , 这 也 为 以后 “ 两 个 计  数原 理 ” 的教 学埋 下 了伏笔 .  
3 . 5 课 堂 气 氛 不 够 活 跃 

1 吴一新 , 黄安成. 数学课 应该 教 “ 纯数 学” 吗? [ J ] . 中 学 数 
学教学参考 ( 上旬 ) , 2 0 1 1 , 5  

2 黄安成. 人文关 怀 : 数 学 教 育 的重 要 使 命 E J - 1 . 教 育 研 究 与 
评论 ( 中学教育教学 版) , 2 0 0 9 , 2  

总 的来说 , 教 师 甲的“ 原生 态” 课 在艺 术 性上 做 得 

1 6  

嚣 

’  

…  一  

论 教 谈 学  皴 学 时 空  

下 形成 , 让 

目厕 
王华 民  阮 必胜 ( 江苏 省无 锡市 立 人高 中数 学名 师 工作 室 )   题 型之 一 , 得分 率很 低 , 不少 考生 望 而生 畏 .   初 中的课标 和教 材 淡化 了几何 证 明 的要 求 , 降低 

l 问 题 的 提 出 
现象 1   江 苏 省 无 锡 市 年 轻 教 师 教 学 基 本 功 大  赛 第一 轮解 题 比赛 , 有 一 道 源 自教 材 的试 题 “ 向量 共  线 定理 的证 明” , 这 是一 道推 理 证 明题 . 答 卷 反 馈情 况  为: 2 7位选 手 中仅 4 O  得满分 , 约4 O   9 / 5 的选 手得 一 半 
分, 约 2 O   的选手不得分. 错误 主要表现为 : 对 教 材  不 熟悉 , 逻辑关 系模糊 , 出现循 环论 证 .   现 象 2 江 苏省无 锡 市高 一期 末检 测 1 9题 : 已知 
,( z) 一 一z   +( i n+ 1 ) z —   + 2, g( 1 z) 一 厂( z) +2 m 


了代数 运算 的 要 求. 对 于 刚 进 入 高 一 的学 生 , 已经 习  
惯 于初 中的直 观 、 感性学习新知 , 给推 理 证 明的 教 学 

带 来 了一定 的 困难 ; 高 二 虽 在 选 修 教 材 中有 “ 推 理 与  证 明” 一章 , 但 一 些学 校 重 视 不 够 ; 到 了高 三 复 习 , 再 
来 强化 多 字母 和抽 象 函数 的推理 综 合 训 练 , 学 生 当然 
难 以接 受 .  

因此 , 在 高 中数 学 教 学 中 , 对 学 生 加 强 推 理 证 明  的训 练具有 十 分重 要 的作用 .  

2 ,m 是 实 数 .  

( I) 求证 : f ( x ) 必 有 零点 ;  

3 推 理 证 明 能 力的 培 养 
高 中推理 证 明 的能 力 如 何 培 养 呢 ?笔 者 认 为必 

( Ⅱ)若 m≤ 1 , 用定 义 证 明 g (  ) 在[ 1 , +c o ) 上 为 
减 函数 ;  

( m) 若  ≤ 1 , 是 否 存在 互 不相 等 的 正整 数 n 、 b ,  

须 从 高一 开始 , 充分 挖 掘教 材 的资 源 , 用 心体 会 、 整合  教 材 中推 理证 明 的“ 点” ; 操 作 时需 要 低 起点 、 小 步子 ,   逐 步渗 透 、 分 层训 练. 下 面 以苏 教 版 《 数学 1 》 为例 , 谈 


使g ( z ) 的定 义域 和值域 均 为[ n , 6 ] , 若 存在 , 求出  、 b  
的值 ; 若 不存 在 , 试说 明理 由.   统计 显 示 : 某 三 星级 学 校 得 分 率 仅 为 1 6 . 5   , 是  试卷 中得 分率 最低 的试题 .   现象 1反 映 出 , 在高考应试背景下 , 有 些 教 师 只 
重视 结论 的应用 ( 习 题训 练) , 忽 视 定 理 的 形 成 过 程 及 

些 做法 与体 会 .  

3 . 1   直接 利 用定 义进 行 推理 证 明 , 使 学 生树 立 信心 ,   有 助 于 养 成 说 理 有 据 的 思 维 习 惯 

案例 1   用 函数最值 的定义 进行 推 理证 明.  

教材 在 出示 函数 的最 大 值 、 最 小 值 的定 义后 , 安 
排 了一 道例 题 ( 第 3 6页例 5 ) : 已知 函数 Y 一. , 、 (  ) 的定 

证明; 现 象 2反 映 出 , 高 一 学 生形 式 运 算 能 力 尤 其 是 
推理 证 明能 力较 弱 .  

义域 是 [ 。, 6 ] , a <c <b , 当 z∈[ “ , c ] 时, /(  ) 是 单调 

2 推理证 明的重要性与现状 
《 普 通 高 中数 学课 程标 准 ( 实验) 》 指 出: 数学 在 形 
成 人 类 理 性 思 维 和 促 进 个 人 智 力 发 展 的 过 程 中 发 挥 

增 函数 ; 当 - z ∈[   , 6 ]时 , L 厂 (  ) 是 单 调 减 函数. 试 证 明 
厂 (  ) 在  —C 时 取 得 最 大值 . 教 材 是 直 接 利 用 最 值 的  定义 证 明 的 : 因 为 当  ∈[ 。 , c ] 时厂 (  ) 是单 调增 函数 ,   所 以对 于任 意 的  ∈E a , c   ] , 都有 厂 ( z ) ≤_ 『 ’ ( f ) ; 义 因为  当   ∈[ c , 6 ] 时, , ( z ) 是单 调 减 函数 , 所 以对 于 任 意 的  z∈[ c ,   , 都有 厂 ( z ) ≤/( c ) , 即- 厂 (  ) 在. r —  时 取得 
最大 值.  

着独 特 的 、 不可替 代 的作 用 , 要 崇 尚数 学 的理 性 精 神 .  

理性精 神 的基 本 内 涵是 : 坚持 以理性 或 以理 性 为基 础  的思 维方 法作 为判 断 真假 、 是 非 的标 准 ; 每 个 论 点 都 
必 须持 之 以理 . 另外 , 代 数 推 理 题 一 直 是 高考 的 热 点 

点评 : 上述 推理 证 明虽 然 很 简 约 , 但 却 抓住 r单 

教学时空  论 #   驭 教恢 谈『 学  子  
| l   l

2 0 1 1 年葶 1 0 期( 上甸 )  
中 学毅 学教 学 参考 

调性 和最 值 这两 个 定 义 . 反思我们的一些课堂 , 有 的  教 师忽 略 了这一 段 推 理 , 仅让学生看一看 , 部 分 教 师 

生解释呢?教师 : 这是利用反 比例函数 Y 一÷ 的图象 
山  

觉得 如果 根据 条 件 作 图 , 那 么 结论 是 显 然 的 , 而且 教 
材上 一般 是 以作 图观 察 来 求 函数 的 最值 . 众所周知 ,  


性质( 在( 一。 。 , 0 ) 上单 调减) , 但 这 只 是 几 何 直 观 说 

口不能 吃成 胖 子 , 如果 能让 学 生先 熟 悉这 种 简 单 的 

明, 而不 是代 数 证 明. 代 数 证 明讲 究 思 维 的 逻辑 性 和  严 密性 , 步 步有 据 , 不 能 用 图 象 的 直 观感 知 或 用 图 象 
的性质 来代 替 推理 . 在这里 , 代数推理“ 定号” 的依 据  只能是 符号 法 则 : 同( 异) 号相乘得正 ( 负) . 讲 清 了道 
理, 学 生理解 了 , 方 能 产 生 自觉 的 行 动. 因此 , 师 生 一  同往 前 再 “ 推 ”一 步 :   —  , 才能说 明: ’ . 。 z   ,  
Z l   2  

推理证 明 , 从 简单 的 开始 , 逐步过渡, 使 学生 不 惧 怕 推 
理, 是否 更合 理 呢 !   案例 2 在 苏教 版《 数学 1 》 “ 集合” 单元 的习 题课  上, 可根 据 “ 感 受 理 解 6和 感 受 理 解 8 ” 整 合 成 下 列 
问题 :  

已知 A一 { X   I   z   一3 x一0 ) , B一 { X   l 口 z—l } , 若 A   UB=A, 求 实数 口的取 值范 围.  
解: ’ . ‘ A   U   B—A. . 。 . B   A, ‘ . ‘ A: = = { 0 , 3 ) , . 。 . B  
一  

∈( 一。 o, 0 ) ,   1< X 2 ,. 。 .z l — X2< 0,X1   2> 0,  

- . ?  
J0 1  J 0Z  

< 0 , . . ? f( X 1 )一 f ( z 2 )< 0   ? f( z 1 )  
1  

或 B一 { 0 } 或 B= { 3 ) .  

<厂 (  ) , 故厂 (  ) 一 一  一 1在 区 间 ( 一。 。 , O ) 上 是单 
Z  

若 B一  , 则t 2 —0 ;   若 B一 { 0 ) , 则 不存 在满 足条 件 的实 数 口;  
1   1  

调 增 函数.   证 明后 , 师 生及 时归 纳小 结 : ( 1 ) 利 用定 义 验 证 函  数 - 厂 ( X) 在 给 定 区 间 f上 的 单 调 性 的 “ 五步” : 取 数 


若 B一{ 3 ) , 则  一3 , . . 川 一÷ .  
“ 0 

作差 一变 形一 定 号一 结论 ; ( 2 ) 明确“ 五 步” 的功能,  

1  

综上 , 口 =0或 口 一÷ .  
o 

归 纳代 数变 形 的常用 手段 ; ( 3 ) 推 理证 明要 严 密 , 书写 
过 程要 规范 .  

点评 : 以上 推 理 含 有 三小 段 . 第 一 段是 根 据 并 集 

定义 , 写 出子 集关 系 ; 第 二 段是 根 据 二 元 素 集 合 A 写  出其 子集 ; 第 三段 是对 于 三种 情形 的分 类讨 论 、 检验 ,  

点评 : 函数 的单 调性 是 苏 教 版《 数学 1 》 中很 好 的  推 理证 明 的训 练 素材 , 通过推理证明, 不 仅 使 学 生 理  解 推理证 明中 常用 的代数 变形 手 段 和定 号 依 据 , 而且  通 过纠 错 、 释错 有益 于培 养学 生思 维 的严谨 性.  
3 . 3 通 过“ 构造” 函数 进 行 推 理 证 明 。 使 学 生加 深 对  概念、 方法 的理 解 , 有助 于创 新思 维  案 例 4 在 指 数 函数 性 质 后 的第 一 道 例 题 : 比较  下 列各 组 数 的 大 小 : ( 1 ) 1 . 5 。 一, 1 . 5   ; ( 2 ) 0 . 5 ~   。 ,  
0 .5 ~   一.  


最后 是结 论. 学 生 已经 熟 悉 了初 中简 单 的 几 何 推 理 ,  
但对 于 代 数 推 理 尚 显 陌 生 , 可 以 在 习 题 课 上 逐 步 
渗透 .  

上述 两个 案 例 , 一 个是 教 材 中 的例 题 , 一 个 是 整  合 习题 , 他们 都是 从 最简 单 、 最基本的定义( 概念 ) 或 
定理 出发 , 让 学 生 亲 身 经 历 推 理 证 明. 这 不 仅 有 利 于 

让学 生熟 悉 推理 的基 本 套 路 , 树 立起推理的信心 , 而 
且有 助 于学 生养 成说 理有 根 据 、 思考 有 条理 和表 达更 

位 教 师先 让学 生 思考 1 分钟 , 然后引导 : ( 1 ) 的 

清 晰的 良好 习惯 .  
3 . 2 通 过代 数 变 形 进 行 推 理 证 明 , 使 学 生熟 悉 推 理 
中的变 形手 段 。 有 助 于 严 谨 思 维 

两 个值 可 以看 成 是 哪 一 个 函 数 的 两 个 不 同 的值 ?学  生 陆续 想到 : 指 数 函数 厂 (  ) 一1 . 5   . 遂 请 一 位 学 生 回 
答, 师 生完 善 , 板 书如 下 : ( 1 ) 考 察 指 数 函 数 f( z )  
一1 . 5   . 因为 1 . 5 >1 , 所 以 ,( z) 一1 . 5  在 R 上 是 增  

案例 3 用 增 ( 减) 函数 的定 义进 行 代 数 变 形 , 证  明 函数 的单 调性 .  
1 

函数 , 因为 2 . 5 <3 . 2 ,所 以 1 . 5   <1 . 5 。 一. ( 2 ) 类 似  地, 构造 指数 函数 . 厂 (  ) =0 . 5   ( 略) .   点评 : 这 是笔 者 所 在 学 校 朱 光 伟 老 师执 教 的 “ 指  数 函数 ( 一) ” 公 开课 的片段 , 在 课 后评 议 中 , 有 位 教 师  建议 “ 比较 大 小 时 用 图 象 法 更 直 观 , 费时少 , 简 单 实  用” . 这个 观 点 , 看 起来 挺 有道 理 , 但仔 细 揣 摩 一下 , 值  得 商榷 . 教 材 中 为 何 不 用 图象 , 而用 函数 的单调性?   教 材 自有其 用 意 !“ 形” 是为 了助 “ 数” , 图 象 法 只能 帮 
助学生 理解 , 而 通过 构造 函数 、 利 用单 调性 比较 大 小 ,  

教材 第 3 5页 的例 2 “ 证 明 函数 . 厂 (  ) 一 一三 一 1  
工  

在 区间 ( 一o o , O ) 上 是 单 调增 函数 ” , 需 要 用 增 函数 的  形式 化定 义证 明. 一 堂 校 级公 开课 显 示 : 师 生 根 据 定 
1   1  

义 先作 差f ( x 1 ) - f ( x 2 ) , 当 推 理到  一÷时, 有不少  
- b Z ‘   l  

1  

1  

学生认为: 当z ? <  z <o , ÷<÷, I . . f ( x 1 ) <f ( x 2 ) ,  
山 Z  山 l  

故. 厂 (  ) 在区间( 一o 。 , O ) 上 是 单 调 增 函数 . 如 何 给 学 

有 益 于培 养学 生 的理 性 思 维 、 理性 精 神 , 它 才 是 数 学 

论 教 谈 学   教学  空  
1   1 8   20 1 中

教学 的本质 所 在. 当然 高一 学生 第 一 次尝 试 “ 构造” 有 
些 困难 , 但从课 堂反馈 : 只要教者 放慢 节奏 , 引 导 得 

使学 生进 ~ 步 了解 推 理证 明 的操 作 方 法 , 启 发 学生 对  指数 、 对 数有 更 系统 化 的理解 , 并导 致 发 现. 张 乃 达先  生说 : “ 数 学证 明包 括 理性 精神 的教 育 价值 , 只 有在 学  生 的探索 活 动 中才 能得 到 整 合 和 发 挥 . ” 理 性 思 维 是  有 明确 的思 维方 向 和充 分 的思 维依 据 的 , 能 对 事 物或 
问题 进行 分 析 、 比较 、 综合 、 抽 象 与 概括 . 可见 , 对数 运  算性 质 的探 究证 明有 助 于学 生 的理性 思 维.   案例 6 对 数 函数 Y —l o g 。 z( 口 >O ,n ≠1 ) 两 个  性质 的推 理 .  

当, 高一 学生 也 可 以接受 . 这 种 构造 法必 须 重 点讲 , 至 
于 图象 法不 妨 作为 一题 多解 , 点一 下 即可 .   因“ 构 造法 ” 是 培养 创 新思 维 的 重要 途 径 , 教 材 十  分 注意 这一 点 , 在 之后 的“ 对 数 函数 ” “ 幂 函数” 的 例 

题、 习题 中 , 常 常借 助于 比较大 小 这 种熟 悉 的 问 题 , 通  过 构造 函数 及 单调 性来 解 决 , 也可 以 当作 构造 指 数 函  数 的复 习 内容 . 在高一“ 函数 与 方 程 ” 中 的一 些 问题 ,   也 是通 过构 造 函数 推 理 完 成 的. 其实 , 数 学 推 理 证 明 

的真 谛不仅 在 于 能证 明命 题 的真 假 , 而 且 在 于通 过 证 
明的过程去 追 求对 数 学 知 识 的真 正 理 解. 通 过 若 干 次  “ 构造 法” 的推理证 明 , 加 深 了学生 对 函数 单调 性概 念 、  
作用 等的理 解与体会 , 并有益 于学生 创新思维 的培养 .   3 . 4 通过 定 义 转 换 进 行 推 理 证 明 。 使 学 生构 建 系统  化知识。 有 助 于理 性思 维 

在2 0 1 0年 江苏 省 高 中 数 学 研 讨 会 上 , 常 州 市 徐  伟 老师 在执 教“ 对数 函数 ( 一) ” 时, 学 生从 所 画的 几个  对数 函数 图象上 观察 得值 域 为 R, 徐 老 师 没 有 就此 停  止, 而是 抛 出 了问题 : “ 是 否所 有 的对数 函数 都 具有 这 
个性 质 ?能 说 明理 由 吗? ” 学 生 把 对 数 式 Y— l o g   转 

化 为指数 式 z—a   , 根据 指 数 函 数 中 Y ∈R, 推 理 出对  数 函数妁 值 域也 为 R. 同理 可 推得 过定 点 ( 1 , O ) .   点评: 教 师 引导 学生 对 “ 对数 函数 的性 质 ” 实施 了 

案例 5   对数运算性质 : ( 1 ) l o g   ( M』 v ) 一l o g 。 M 
^/ r  

简单 的推理 , 虽 然 教 材 中没 有 涉 及 , 但 它 是 既 作 为知 
识层 面 ( 指 数式 和对 数 式定 义转 换 ) 的复 习 , 也 作 为推  理 方法层 面 ( 对 数运 算性 质 方法 ) 的复 习 , 这 种 推 理 方  法 的巩 固复 习尤 为 重要 . 通过推理证 明, 不 仅 帮助 学 

+l o g   N; ( 2 ) l o g 。   一l o g   M —l o g   N( 其中, n >0且 n  
』  

≠1 , M > 0, N> 0 ) 的探 究证 明.  

这是 苏教 版《 数学 1 》 对结论的第一个推理证明 ,  
难 度 较大 , 需要 对 学 生好 好 引 导 . 手 中 的 工 具 是 指 数 

与对数 的定 义 以及 指数 幂 的运 算 性 质 . 定 义是 研 究 问 
题 的 出发 点 , 也是 推理 证 明 的主要 依 据.   第一 步 , 探 究 性 质. 教 师 从 复 习指 数 式 与 对 数 式 
m  

生 进一 步理 解对 数性 质 , 还 使学 生 构建 系统 化 知识 .   3 . 5 注意 分 层 设计 , 努力为“ 尖 子 生” 提 供 更 多展 示 
推 理证 明 的机 会 。 演 绎 精彩 的舞 台 

在高 一数学 教学 中, 对 于 教 材 中 已 有 的 演 绎 推 
理, 不 能 以学生 的认 知 水 平 跟 不 上 为 理 由 , 随 意 降低 

的互 化提 出问题 : “ 指 数幂 运算 有性 质 n   口   一口  ” ,  
— n一  


“ 

对 数 运算 是否 也 有类 似 的性 质 呢? ” 遂 以特 殊 

值探路、 猜 测 出对 数 的运 算性 质 : 见 上述 ( 1 ) 、 ( 2 ) .  

要求 , 对 于 教材 中没 有 推 理 要 求 的 , 可 适 当增 加 一 些  推 理点 , 但 要根 据学 生 的实际 , 把 握适 度 性 原 则. 面 对  数 学“ 尖子 生 ” , 应该 提 供更 多 的展 示 数 学推 理 证 明 的 

第 二步 : 推 理证 明. 教师 启发 引 导 : 欲 证性 质 ( 1 ) ,   需 利 用指 数幂 的运 算 性 质 , 因此 , 要将 对 数 式 转 化 为 
指数式 , 设 一 个 中间量 “ 过渡” .   设 l o g a M — P, l o g 。 N= = = q , 由 对 数 的 定 义 得 M 
— ap


舞 台. 例如 , 在对数 函数 的复习课 上 , 由教 材 第 6 9 页 
例4 和第 7 l页 探 究 题 第 1 2题 设 置 一 道 证 明 题 : 设  厂 (  ) 一I   l g   zI , 当0 <a < 6时 ,厂 ( a ) = 厂 ( b ) , 求证 : a  
< 1< 6 . 方法 1 , 利用 两边 平 方 、 因式分解 ; 方法 2 , 根 

N: = : 口 口, . ’ . M N = ap ?a q : ap   .  

再由对 数 定 义得 l o g 。 MN — P+ q , 即 l o g   MN 


l o g   M +l o g 。 N.  

据 条件 去 绝对 值 , 再取 舍 , 能使 不 同思路 碰 撞 , 演 绎 精  彩. 再 如新 授课 中关于 “ 奇偶 函数 图象 的对 称 性 质” 的  证 明, 也是 推 理证 明 的好 素材 , 不 妨一 试.   立 足 教材 , 从 高一 开 始进 行 简单 的推 理 证 明 的训  练, 积 累一 些 常用 的推 理 手段 : 代 数 变形 ( 作差 、 代入 、   消元 、 配方、 因式 分解 等 ) , 围绕 定 义 转换 , 尝试 “ 构造”   函数 等 , 着眼长远, 这 样 既 能 为 高二 系统 证 明 和 高 三  抽 象推 理及 综 合 推理 打下 坚实 的基 础 , 提 升 学 生推 理  证 明的能 力 , 也有助于培养学生求 真、 严谨 、 有理、 有 

解题 回顾 : 体会 对数 定 义在 证 明 过程 所 发 挥 的关  键作用 , 第一 次 是 将 对 数 式 转 化 为 指 数 式 , 第 二 次 是  把指 数 式转 化 为对 数式 .   尝试 练 习 : 证 明性质 ( 2 ) , 补 充 性质 ( 3 ) l o g   M 

一n l o g   M( n ∈R) , 由两 位学 生板 演 , 师 生一 同评价 .   点评 : 以上操作分成两大步 , 第 一 步设 置 一 个 局  部 探 究 的过程 , 是归纳推理 ; 第 二 步 是 证 明 性 质 的过  程, 是 演绎 推 理. 在解 决 问题 的过 程 中 , 往 往 需要 归 纳  推 理 与演 绎推 理 相 结 合 . 通过对数运算性质 的教学 ,  

据 的理 性精 神 .  
参 考 文 献 

1   张乃达. 数 学 证 明 和理 性 精 神 一 值[ J ] . 中学 数 学 , 2 0 0 3 。 2  

也 谈 数 学 证 明 的 教 学 价 

; 

  ,

教  时 
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面 ∞  一  
。  



渊   上旬 ,  

‘ ‘   空 间的平行直线 ’ ’   立 体 几 何 的 入 门 教 学 
立 体 几 何 论 证 的 启 蒙 中 ,运 用 科 学 加 艺 术 的 教 学 创 新 手段 引 领 学 生 入 门  进 式 地 实 现 步履 稳 健 .  

张晓庆 ( 江苏 省徐 州 市第 三十 六 中学 )  

1 提 出 议 题 
许 多 教育 专 家 、 数 学 教育 专 家一 再 指 出 , 决 不能 

2 教 学 程 序 
( 若 无 特别需 要 , 多媒 体课 件演 示 过程 均略 )   教师 : 平 面 内 的两条 直线 ( 指 不 同 的两 条 直线 , 下  同) 有 哪些不 同的位 置关 系 ?   学生 : 有 平行 关 系 和相 交 关 系 ( 如图 1 、 图 2中 的 
口和 6 ) .  

轻视 、 矮 化初 中“ 平 面几 何 ” 的 教 学 价 值. 青 少 年 的思 
维发 展 、 提高 , 综 合数 学 素养 的优 化 , 乃 至个 人 的成 长  与 成熟 , 是离 不 开 “ 平 面 几何 ” 的. “ 平 面几 何 ” 使 他 们  初 步领 略 了“ 欧 氏几何 ” 严 谨 的逻 辑 理论 体 系 , 从 公 理  到定 理 , 再 到问 题 解 决 , 经 历 的是 一 系列 严 谨 的逻 辑  推理 训 练 , 数 学 的思 维水 平 和论证 能力 才有 了实 质性  的突破 和提 高 .   在 高 中“ 立 体几 何” 的学 习 中 , 学生“ 冲出 ” 二 维 空  间“ 走进 ” 三维空间 , 实 现 比较 大 的跨 越. 随 着 年 龄 的  增长、 生活 阅历 的丰 富 和 空 间 想 象 能 力 的提 高 , 学 生 
的数 学 思维 水平 和论 证 能力 应该 有 大 幅度 的提 升. 但 

教师 : 可 我 们 生 活 的空 间 不是 二 维 空 间 , 而 是 三 

维空间, 所 以现 在研 究两 条 直线 的位 置 关 系 , 就须“ 冲  出” 平面 , “ 走进 ” 空 间 了. 在 图 2中 ,。和 6本 是 相 交 

直线 , 现 在 令 直 线 6向 上 平 移 ( 多 媒 体 课 件 动 态 演  示) , 到达 直线 6  的 位 置 , 那 么直 线 n和 6  是 什 么 样 
的位置 关 系呢 ?  
、   ●  

、 6 ,  
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教 师也 必须 承认 , 空 间几 何论 证 能 力 的提 升仍 然 是 一  些 高 中学生 发展 成 长 的“ 瓶 颈” . 他们在“ 平 面 几何 ” 的  学习中, 就 视数 学 中 的几 何 论 证 为畏 途 , 对 辅 助 线 的 

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J   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   J   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _ _ , 

图 1  

图2  

添 加更 感“ 神秘 莫测 ” , 所 以在“ 立 体 几何 ” 的 学 习 中面  临 的是 对几 何 的数 学论 证 的再次 入 门.   在“ 立 体几 何 ” 中, 先是“ 简单的几何体” , 接 着 就 
是 几 条公 理 , 依 靠 的基 本 上 都 是 直觉 思 维 , 也 只 有 到  了“ 空 间 的平行 直 线” 才 真 正 进 入 空 间 几 何 论 证 的领  域. 这 既是 一个 “ 坎” , 同时 也 是 一 个 契 机 . 抓 住契机,   运 用科 学 加艺 术 的教学 手 段 , 即可 使 学生 顺 畅 地迈 过  这个“ 坎” , 真 正 进 入 空 间几 何 论 证 的“ 门槛 ” , 从 而 迈  着 稳健 的步伐 继续 前进 , 在 思维 水 平 和论 证 能 力方 面  产生 质 的飞跃 . 为此 , 我 们在 “ 空 间 的平 行 直 线 ” 教 学 

学 生 开始 感到 茫然 , 只是 觉 得 口和 6  既 不 平 行 ,   又不相 交 , 心想 “ 这 是 怎样 的一 种位 置关 系啊 ? ”  

教师 : 虽然 在 数 学 学 习 中 , 我 们 是 第 一 次 接 触 这  种关 系 , 感 觉很 陌 生 , 其 实 在生 活 中 , 这样 的关 系 比 比  皆是 ( 联系生活实际, 略) , 我 们 把 口和 6  这 样 “ 不 在  任何 一个 平 面 内 的两 条 直 线 叫 做 异 面 直 线 ” , 以 后 还  要详 细研 究这 种 位 置 关 系. ( 小 结 空 间 两 条 直 线 的 位  置关 系 , 略) 今 天重 点 研 究 “ 空 间 的 平行 直线 ” . ( 教 师  发现 学生 有疑 问 , 在“ 平 面几 何 ” 的学 习 中几 乎将 平 行 
直线研 究 透 了 , 现 在还 有研 究 的必要 吗 )  

的前 期 、 中期 、 后期 进行 了精心 设 计 、 认 真实 施 和 深入  反思 , 觉 得这 节课 在 达成 上述 教学 目标 方 面确 实 是 大  有可 为 . 笔 者下 面 展 示 这 节课 的 教 学 程 序 , 并 在 关键 
处 着力 进行 必要 的“ 点击 ” .  

教师: 是 的, 如 果所 有 平行 直 线都 在 同一 平 面 内 ,   再研 究 就没 有多 大 意义 了 , 但 我们 现 在 研究 的是 三 维  空 间 内的平 行 直线 . 请 问, 在 三 维 空 间 内研 究 平 行 直  线, 至 少需 有 几条 平 行 直线 ? ( 这 是 具有 一 定挑 战 性  的 问题 , 也 是深 化 思维 的需 要 )  

论 教 谈 学   激学  
20   0 1 中

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学生 : ( 经 过深 思 ) 至 少需 有三 条 直线 .  

教师 : 通 晓题 意 , 瞄准 “ 需 求” , 根 据“ 可 能” , “ 中  介” 辅助 线 就 自己 “ 蹦” 出 来 了. 真是“ 一桥飞架南北 ,   天 堑变 通途 ! ” 下 面这 道 题 添 加辅 助 线 的 难 度 可 能 要 

教师 : 设 有 三条直 线 a 、 6 、 c , 若a / / 6且 6 / / C , 我们  可 以得到 什 么结论 呢? ( 联系 生活 实 际 , 略)   学生 : ( 基 于直觉 思维 ) 可 以得 到 口 / / C .  
教师 : 用 语 言描述 , 就是— —  学生: 平 行 于 同一 条 直 线 的 两 条 直 线 互 相 平 行 .  

大些 . ( 使学 生有 了一定 的思 想 准备 )  
例 2   已知  AO B 与  A。 0 1 B   , 若 A0∥ A   o   ,  

( 得 到在 平面 内和空 间都 成立 的公 理 4 )   教师: 在“ 平 面几 何 ” 中不 是 已经 学 习过 了 吗?   学生: 现 在 我们 已经 “ 冲出” 平 面 了 !( 回应 的是 
笑声 )  

教师 : 这就叫做拓展提升. 数 学学 习 中经 常有 这 

B 0 ∥B   0   , 且  AO B 与  A  01   B  两 边 的 方 向 相  同, 求证 :   AO B= = =   A1 0 1 B1 .   ( 部分 学 生 觉 得 太 简 单 了 , 轻  率地作 出 图 4 , 延长 0   A  与 O B   相交 , 很快 利用 “ 传 递性 ” 和  2的  “ 中介 ” 作用, 由   1 一  2且  2  
一  3 , 得 出  3 一  1 )  

样 的拓 展提 升 . 若口 / / 6 且6 / / C , 可推出 a / /C , 在 数 学  中可称 为“ 传递性” , 像这样 的“ 传递性” , 以前 我们 就  见过( 学生 展开 想 象 的翅 膀 , 在 教 师 的引 导 下 进 行 小  结, 用 鲜 明的色 彩 和字 体 突 出对 象 6的作 用 ) 如:  
n一 61  
6: : : f   “一  

( 立 即有 不 少 学 生 提 出 质 疑 :  

图4  

这 个 问题 在“ 平 面 几何 ” 中 已经 解 决 了 , 得到的是“ 等  角定 理 ” . 现 在再 来研究, 就 不 应 认 为  Ao B 与  A   0   B  在 同 一 平 面 内 , 0   A  与 O B 应 为 异 面 直 

> c;  


/ /   b   t  晓 / / c
. 



教师 : 在 这些 常 见 的“ 传递性” 中, 哪 个 对 象 处 于 
关 键 的地 位 ?   学生 : 那 当然 是 b啦 !   教师: 6的作 用 如何来 形 容 ?   学生: “ 中介 ” 作 用 !( 师 生 哈哈 大笑 )   教师: 我 们 现在 就利 用这 种 “ 中介 ” 作 用 来 解 决下 
面 的问 题.  

线. 配合 多媒 体课 件 和教 师预 先 制作 的教 具 的 动态 演  示, 随着  A0 B 的 向上平 移 , 学生认 识 到 o   A  与 0 B   永远 也不 能 相交 , 自然联 系 到前 面 图 2中的 n和 6 t )   教师: 提 出的质 疑 , 充 分 说 明有 的 同学 已 经 “ 冲”   出 了平 面 , 但 也 还 有 同学 没 有 “ 冲” 出来 啊 !( 学 生 的  思 维逐 渐 提 高 了 兴 奋 度 ) 我 们 现 在 要 解 决 的 就 是  AO B 与  A   0  B。 不 在 同一 平 面 内 的情 形. ( 本 文  为叙 述 清楚 , 在 图 5中作 出在黑 板 和课 件 中都 没有 的  两 个平 面作 衬 托 ) 请 回想 , 证 明两  个 角相 等 有 哪 些 方 法 ? ( 学 生 回 
答, 略)  

例 1   如 图 3 , 正 方 体 AB C D -   A   B   C   D  中 , E、 F分 另 U 为 AB 与 BC   A  

学生 : 看 来 这 里 只 能 用 全 等  三 角形 的方 法 了.   教师 ; 哪来 的全等 三 角形 呢 ?  
学生 : 创 造啊 !  

图5  

的中点 , 求证 : EF∥A   C   .( 开始时 ,  
不 出 现 线 段 AC)  

教师 : 在 数学 上 叫 做 “ 构造 ” 法, 有人认为“ 构造”  
是 一 种“ 无 中生有 ” 的艺术 , 有 点 道理 . 但也不尽然 , 还  是 上 面所 说 的 , “ 需求” 与“ 可 能” 的统 一 . ( 学 生叙 述 作  辅 助 线 的过程 , 略)   教师: 怎 么样 ? 五条 辅助 线 统统 自己“ 蹦” 出来 了  

吧 !( 学 生深 有 所 悟 , 思 想 产 生共 鸣 ) 现在 不准动笔 ,   也不 准 看书 , 按照“ 看、 想、 说” 的顺 序 , 最 后 给 出证 明  的 全过 程. ( 教师 本着为学 生着想 的原则 , 在 刺 激 思  维、 降低 难 度 、 铺平 道路、 控制速 度上充 分发 挥“ 启、   导、 引、 点” 等主 导作用 , 尽量 少说话 , 主 要 靠 教 鞭 指 
点)   教师 : 线 段 0E与 0   E   是 什 么关 系 ?  

学生 : 平 行 且相 等 .  
教师 : 0E  E  0   能 说 明什 么 ?   学生 : 四边 形 o E E   0 。 是 平行 四边 形 .  

教师 : 线段 0 o  与E E   是 什 么关 系 ?  

|  

教学时空   露   论驭 教恢 谈罕 学 
君   锵  | 黧  誓  

2 0 1 1 年第 1   0   期   ( 上甸   )  
中学 盘 学赦 学参 考 

学生 : 平 行 且相 等.   教师 : 线段 oF与 0   F   是 什 么关 系?   学生 : 平 行 且相 等 .   教师 : 线段 0 0。 与 F F   是什 么关 系 ?   学生 : 平 行且 相 等.   教师: 是 否感 到 这样 表述 太麻 烦 ?   学生 : ( 领悟 后 大 笑 , 想到用“ 同 理” ) 同 理 得 00  

少 需有 几 条平 行 直 线 ? ” 则 是 空 间 想 象 能力 的 培 养 与  思 维训 练 的有 机结 合.   3 . 2 激发 学 生的 学 习兴趣 

兴 趣是 最好 的老师 , 兴 趣是 探索 科 学 真理 和奥 秘  最 有效 的策 动 力 , 兴 趣 是 好 奇 心 的不 竭 源 泉 , 兴 趣 是 
克 服疲 劳 的最佳 “ 延缓 剂 ” , 是 坚 韧不 拔 的意 志磨 砺 的  陪伴. 当然 我 们并 非单 纯 为 了“ 乐” 而找 “ 乐” , 找“ 乐”  

与F F  平行且 相 等 , 所以E E。 与F F   平 行且 相等 .   教师: 什 么 道理 ?   学生: 因为 平 行 与 相 等 关 系具 有 传 递 性 啊 !( 后  面 的过程 以及 得 出等 角定 理与 其推 论 , 均 略)   ( 基 于此 , 教 师 让 学 生 到 黑 板 上 写 出全 部 证 明过  程, 竟无 任何 瑕疵 . 接着 , 教师将 学 生 刚 刚写 出的 内容  轻轻 一擦 , 留下有 些 模 糊 的字 迹 , 供后 面在“ 说” 的过  程 中有 困难 的学生 “ 偷偷” 地参 看 )   教师 : 请你 ( 指 另 一位学 生 ) 尽 量 不看 黑 板 上 刚才  书写 的 内容 , 利用 教 鞭 的指 点 , 完整地 “ 说” 出整 个 证  明过 程. ( 该学 生果 然 没有 去辨 认 黑板 上 的 模糊 字 迹 ,   利 用 教鞭 边 指 边 说 , 正 确 流 畅地 说 出 了 全 部 证 明 过  程, 教 室里 掌 声雷 动)   ( 接下 来 , 教师继续 采取先 “ 说” 后“ 写” , 甚 至 只  “ 说” 不“ 写” 的 方 式 让学 生 高效 地 完 成 所 有 练 习 题 的  解答 , 内容 略 , 作业 布 置略 )  

的根本 目的是 为 了数 学 教学 效益 的 提高 .   激 趣需 采用 数学 教学 本 身 的 内容 , 再 加上 诙 谐 幽  默 的语 言和 形体 动作 等 多种 手段 . 如 贯 串全课 中 的 找  “ 中介 ” ; 发挥 “ 中介” 的“ 桥梁” 作用 ; 配 以诗 句“ 一 桥 飞  架 南北 , 天 堑变 通 途 ” ; 关于“ 传递性” 的利 用 和 联 想 ;   图 2中的直 线 6从 平 面 里 “ 走” 出来 了 ; “ 辅 助 线 自己  ‘ 蹦’ 出来 了” . 后 面“ 等角 定理 ” 的证 明更 是 跌宕 起 伏 、   充满 情 趣和 智慧 的教 学事 件 .   3 . 3 新颖、 高效 的论 证“ 入 门”   位 伟人 曾说 过 : “ 教学好像扶醉人走路. ” 在教 


3   深 人 反 思 
本 文的核 心议 题 是 “ 空 间几 何 论 证 的入 门” , 但 笔  者 觉得 围绕 科学性 与艺术性 的有 机结 合 和实 现教 育多  元 化 目标 的教学 , 有必要 将反思 的 内容适 当拓宽一 些.   3 . 1   空 间想 象能 力的 培养  其 实这 也是 提 高空 间几何 论 证 能力 的需 要. 空 间  想 象能 力是 学 生学 习“ 立 体 几何 ” 的 又一 “ 瓶颈 ” , 且 这  项 工作 不 可能 一 步 到 位 , 须 有 适 当巧 妙 的重 复 , 此 节  课 就是 一次 极 有效地 强 化机会 . 笔 者采 用 多媒 体 课 件  演示、 对生 活实 际 中事 物 的观 察 、 教 具 的 合 理 运 用 与  精 妙语 言 的描述 等 多种 方式 , 反 复对 学 生 的视 觉 和 思  维 进行 强烈 的刺 激 , “ 迫 使” 学生“ 冲 出” 二维空 间, 走 
进 三维 空 间.  

师看 来 , 本节 课 中 的所 有 论证 都 是 简 单 易 行 的 , 但 我  们必 须充 分估 计 到学 生 的 困难 , “ 进 门” 前后 的路 不会  是很 平坦 的 , 他 们 是“ 醉人 ” , 路 又是 陌生 的 , 走 起来 难  免会 跌跌 撞撞 , 甚 至摔 倒 . 我们 一 方 面要 将 道路 铺 平 ,   使学 生走 起来 更 顺 畅 ( 当然 即 使 “ 摔倒” 了也 不 可 怕 ,   站起 来再 前 进 ) , 但另 一方 面, 又不能 越俎代 庖 , “ 挟  持” 学 生跟 着 我们 走. 这 个 过程 的 实施 , 需 要 科 学性 和  艺术 性 的有机 结合 , 需要 教 师 的爱 心 、 耐 心 和睿 心 . 下  面就 “ 等 角定 理 ” 的证 明 围绕 着 学 生 的 “ 说” 来 剖 析 本  节课 的特 色.   国 内外 的许 多教育 专 家都认 为 “ 只有 说 出来 的才  是 真 正掌 握 了 的” , 所 以学 生 的 “ 说” 在 整 个 数 学 教 学  过 程 中应 占有 相 当大 的 比例. 本 节课 在 学 生 的“ 说” 上  有 以下几 个层 次 :   ( 1 ) 教师 “ 领” 着学 生 “ 说” . 教师 基 本 不讲 话 , 只是  对 照 图形 用教 鞭来 指点 , 将 整个 证 明 过程 分解 为若 干  步骤 . 通过教 师的“ 指” , 学生 的“ 说” , 即 使 学 生 有 点  “ 醉” , 通 常也 能顺 利 地 完 成 全 部 证 明过 程 . 其 中还 穿  插 了颇 具 趣 味 的 利 用 “ 同理” 字 样 简 化 证 明 过 程 的  内容 .   ( 2 ) 让 学生 书 写 证 明 过 程. 在( 1 ) 的基 础 上 , 一 般  学 生 书写起 来 就不 会有 太大 的 困难 . 在( 1 ) 的“ 说” 中,   若 学 生 出现一 点 问题 , 也 可 随时 纠正 .   ( 3 ) 面 对模 糊 文 字 的 “ 说” . 这 是 彰 显创 造 性 的 一  种 教 学举措 , 刚写 出的证 明过程 又 毫不 吝 惜地 被教 师  擦去. 说擦 去 , 却又 留下 模糊 的字 迹 , 仔 细 辨认 即可 看  出, 供 下 面在“ 说” 的过程 中有 困难 的学 生 “ 偷偷” 地 参  看. 可 学生 一般 是 不 会 去 看 的 , 他们 决 心 用 自 己 的努  力 独 立来 完成 任务 . 这 次 的“ 说” , 其 层次 要高 于 ( 1 ) 中  ( 下转 第 2 2页 )  

在 图 2中 , 随着 直线 6的 向上 平 移 , 得 到 了“ 既 不  平行 , 又不 相交 的两 条直 线” , 这 种 现象 在 数学 学 习 中  虽属 “ 首次” , 但 在 生 活 中却 属 常 见 , 就在这种 既“ 陌  生” 又“ 熟悉 ” 的情 境 中 , 学 生 的空 间想 象 能力 得 到 长  足 的提 高. 可有 时 还 会 出 现 反 复 , 在 证 明“ 等角定理”   时, “ 习惯 势 力 ” 又使 某些 学生 陷入 二维 空 间的 “ 窠  臼” . 这 不是 一 件 坏 事 , 通过如此的“ 折 腾” , 学 生再 来  读图2 、 图3 、 图5 等 空 间 图形 , 一种 极有 用 、 亟需 要 的  “ 立体 感 、 架空感、 纵深感、 层 次感 ” 就在 学 生 的脑 海 中   逐渐 形成 了. 提 出问题 “ 在 三维 空 间研 究平 行 直 线 , 至 

, ,   2 0 1 1 年第1 o 期( 上甸 )  
‘   中 学盘 学叔 学 参考 



 

。 

论教谈学  。 激 学 时 空  

拨  号 矛 拖  谬 与 常 态 谬 的 
l 

聚 焦 环 节 设 计 , 关 注 教 学 细 节 ,让 数 学 课 堂 从 示 范 走 向 常 态 , 从 常  态 走 向 优 质 , 这 就 是 课 堂 教 学 追 寻 的理 想状 态.  

吕水 庚 ( 江苏 省金 坛 市华 罗庚 实验 学 校 )  

历 经 十多年 的 基 础 教 育 课 程 改 革 , 笔者发现 , 当  下一 些 学校 以教 学 改革 为名 推 出 的“ 示范课” ( 包 括评  优课 、 精 品课 和 展 示 课 等 ) , 看 似 精 彩纷 呈 , 实 际上 却  让人 疑 虑重 重 . 在教学研究 中, 人 们 往 往 过 多 地 把 视  线投 向示 范课 , 对 常态课 却 研究 甚 少 . 笔 者认 为 , 常 态  课是 师 生每 天经 历 的课 , 应 是大 家最 需关 注 的 .   深 入 课 堂 就会 发 现 : 常态课上师生活跃 , 特 别 是  学 生所 受 的限制 较 少 , 与教 师配 合 默 契 , 情 绪放 松 ; 而  示 范课 上 师生 的注 意力 都 有 了或 多 或 少 的转 移 ——  效果 怎 么样 ?这 种 功利 的想 法 无 疑 会 流 露 到 课 堂 之  中. 常 态课 是教 学 实 践 的主 阵地 , 示 范 课 的主 要 功 能  是 引领 , 都 不能 轻视 , 但 也 不需 要夸 大 , 应该 找 寻 它 们  之 间 的“ 平 衡点 ” .   下面 , 笔者 就 撷取 同一 教 学 内容 的示 范课 和 常 态  课中 的几个 片 断 , 对 各 自存 在 的 问 题 进 行 对 比分 析 、   反思 , 与 同仁共 享 之.  
( 上接 第 2 1页 )   的“ 说” . 这 是 因为 , ①教 师 不再 用 教鞭 来 指 点 了 ; ② 整 

1   课堂 教学应 以“ 原 有认知” 为 出发 点 
课 堂教 学 要想 取得 应 有 的成 效 , 就 必须 以学 生 原  有 的认 知 为 出发点 . 这里“ 原有 认 知 ” 是 指学 生原 有 的 

知 识水 平 和认 知水 平 , 这里 的 “ 出 发点 ” 是 指这 样 的 知  识, 即不是 学 生 一看 就 会 的 , 而 是 需 要 学 生 经 过 分 析  思考 、 合作 探 究来 获 取 的 , 从 而 使 学 生 的储 备性 知 识  得 到激 发 与挖 掘 .   情境 1 示 范课  在一 次教 研 活动 中 , 一位 教 师上 的是数 列 复 习 示 
范课 , 他设 计 了以下两 个 问题 :  

问题 1 : 请 同学 们完 成 下列 表格 .  
项目  前  个 正 奇 数 的 和 等 于 多少  重 要 不 等 式 定 理 是什 么 
结 论 

字母 都不 说 出 ) 因为 线线 垂直 ( 指 PA上 P B与 P A  
上 PC ) , 又线线相交 ( 指 PB   n   PC: = : P) , 所 以 线 面 垂 

个 证 明过 程依 靠 的决不 是 死记 硬 背 , 而 是理 性 的逻 辑  推 理链 条 ; ③“ 说” 得更流畅 , 更准 确, 更完整 , 如 果 将  所“ 说” 的 内容 忠 实 地记 录下 来 , 就是一篇“ 多 一 字 则  繁, 少 一字 则残 ” 的理想 证 明过 程.   还有 一个 步骤 在这 节 课还 不 宜使 用 , 但 在 今 后 适  当 的时机 可 以运 用 , 这 里顺 便 做介 绍 .   在“ 没有屏幕显 示 , 没 有黑板 图形 , 不借 助 于任何 实  物模 型” 的前提下 , 要求学生完全依靠头脑 中想象 出的图  景, 用双手在空 间 比划 , 同时“ 说” 出全部证 明过程. 举 一  个论证 片断 , 即可见一斑 ( 文 中图形是为撰写本文 的需要  而作 出的 , 在实际 的教学过程 中并未 出现 ) .   不 在 同一 平 面 内 的 三 条 线 段 P A、 PB、 P C 两 两  互 相垂 直 , 作 PH 上 平 面 AB c于点 H, 求证: H 是 
△ ABC 的 垂 心 .  

直( 指 P A 上 平面 PB C) . 又 B C在 平 面 ABC 内 , PH 

上 平 面 AB C, 所 以线线 垂 直 ( 指  P A上B C与 PH 上 B C) . 因 为线 线 
相交( 指 P AnPH—P) , 所 以线 面  垂直 ( 指 B C 上平 面 P AH ) . 又  AH 在 平 面 P AH 内 , 所 以线 线 垂  直( 指 AH上 B C) . 同理 , 线线 垂 直 

P 

图 6  

( 指 BH上 C A) , 故 H 是△ AB C的垂 心.   由于课 堂氛 围宽松和谐 , 学 生无 心理 压力 , 无 拘无 

束、 兴高采 烈 、 情趣 盎 然 , 脑、 眼、 手、 嘴“ 四位 一 体 ” 密切  配合 , 空 间想 象 能力 、 空 间 几何 论 证 能 力 、 语 言 表达 能 
力 的共 同发挥 达到 了极 致. 经过 如此 反 复的训 练 , 学生  必 然深深 喜 爱 上 立体 几 何 , 什么 “ 畏 途 ‘ 神秘感” 都 烟  消云散 了 , 数 学综 合 素养 的提 高 和思 维 品质 的优 化 将  成 为现实 , 这不 正是我们长 期所努力 期待 的吗 !  

学生 : ( 按 照想 象 中的 图 6进行 口述 , 有 时甚 至 连 



 

l  

教 

掣 

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.   .

O l 1  

这个 问题并 不 难 , 学生很快 得到 : 前  个 正 奇 数 

应 该是 前 + 1 个 正奇 数 的和 等 于 (  + 1 ) 。 , 现在 只要 

的和等 于 。 ; 重 要不 等式 定 理是 : 如果 口 , 6 ∈R+, 那 么 
≥ 
厶 

想 办 法把左 边 转化 为前 +1 个 正 奇数 的 和 即可.  

( 当且 仅 当 口 一6时取“ 一” ) .  
< 

方 法 如 下 :由 不 等 式 知 识 可 知
一  , 则 

 ̄ /   (  +1 )  

问题 2 : 证 明:  ̄ / 1?2 + ̄ / 2? 3 +…+ 、 / /   (   +1 )  

<  之   对n ∈ N * 成立 .  
厶 

不等 式 左 边 < 昔 + 普 + … +   < 蟹 曼主 ±  ± 一  
结 论 得证 .  

教师 : 请 同学 们 思考 一 下 , 这 个 问题 怎样证 明?   由于有 上述 问题 1的铺 垫 , 笔者 听课 的这 个 班 级 
大 约有  的学生 能顺 利得 到 正确 的解 法 , 而且 解 法 基 
。 

一不等式 右边

,  

本 相 同.  

学 生:由 重 要 不 等 式 定 理 得  ̄ /   ( , z +1 )  

学生 戊 : 我还 可 以用数 学归 纳 法来证 明.   教师 : 非 常好 , 数 学 归 纳 法 你 也 自学 过 了 , 是的 ,   可 以用数 学归 纳法 来证 明 , 待学 完 数 学归 纳 法 时 同学 
们 就 会用 此方 法来 证 明 了.  
反 思 

<  詈 ±   一 2 下 n + 1 , 则 不 等 式 左 边 < 导 + 导 + …  
+  
厶 

<  

旦 ± ; 
厶 

一  
厶 

一不等  

上述 情 境 1中 , 由 于是 示 范 课 , 教师 在 课 前 经 过  了认 真准 备. 不难 看 出教 师 为 了顺 利 完 成 既 定 目标 ,  

式 右边 , 结 论得证 .   情 境 2 常态 课  前不久 , 笔 者 在 推 门听 课 中 , 听 了 同样 一 节 内容  的数列 复 习课 , 上课 教师 又 是另外 一 种设 计 :  

问题 : 请 同 学 们 证 明 : ̄ / 1? 2+ J2? 3+ … 
+ 
厶 

对   E N* 成 立.  

由于这位教师 上的是 随堂课 , 他 没 做 任 何 的 铺  垫, 直 接将 问题 抛 出让学 生 思考 . 一会儿 , 教 师见 学 生 
没 有反 应 , 就开 始 了下 面 的对话 .  

在 问题 2之前 煞 费苦 心 地 安排 了 问题 1 , 这样 虽 然 大  部 分 学生 轻松 地解 决 了 问题 2 , 但 是 从 问题 2所 具 备  的潜 在价 值来 看 , 没 有 得 到应 有 的体 现 , 只能 说 教 师  很“ 流畅 ” 地完 成 了“ 示 范” 任务 , 学 生 的角 色 是 为教 师  的“ 示 范表 演 ” 在跑龙套. 而在 情 境 2中 , 教 师 没 做 任  何铺垫 , 也 就 是 没有 从 学 生 的原 有 的认 知 出 发 , 创 设  学 生 思维 的起 点 , 虽 然 让 学 生 经历 了探 究 、 思 考 的过  程, 但 出发点 与 学生 的认 知跨 度 过 大 , 使 学 生 迷 失 方  向, 浪费 宝贵 的 时 间 , 以 至 于 最 后 只 能 直 奔 目标 式 地  告 诉 学生 , 从 而 达不 到应 有 的效 果 . 显 得 课 前 准 备 不 
足, 预设 不到 位.  

教师 : 学 生 甲, 请 你 说 一 说 是 怎 么 思 考 这 个 问 
题的?  

学生 甲: 我还没有找到解决问题的方法, 但 对 于  不 等式 证 明题 , 我 希 望 能 从 左 边 证 到右 边 , 但 无 法 进 
行 下 去.  

在上 述 的情境 1和情 境 2的 教学 中 , 教 师 既不 可  以像 示范 课那 样 为学 生解决 问题 完全 做 好铺 垫 , 也 不 

教师 : 有 哪位 同学 可 以补充 或有 新 的想法 ?  

能像 常态 课那 样 因准 备 不 足 而 直 接 告 诉 学 生 解 决 问  题 的方法 . 其实 , 像 上 述 的示 范 课 和 常态 课 , 教 师都 必  须 准备 到位 , 认 清 问题 中学 生 的“ 原有认知” 是什么 ,  
当 师生对 话 到 类 似 “ 情境 2 ” 中学 生 乙 的 回答 : “ 我 把 

学生 乙: 我把 它 的左 边 看 作 数 列 求 和 , 但 也 没 有 
找 到人 手 点.  

( 这 时教 室里 一 片寂 静 , 教 师 试 图 鼓 励 学 生 不 要 
放 弃 继续 探究 )   教师 : 刚 才两 位 同学 的想 法 都很 有 道理 , 但是 , 他 

们 都 把左 右两 边割 裂 开来 了 , 我建 议你 们 把 左 右两 边  综 合起 来 思考 一下 .   ( 学 生在 下面 激烈 地交 流 、 讨论 , 还是 没 有学 生 能  想 到 解决 的办法 , 教 师见 时 间 浪 费 很 多 , 就 直 奔 目标  “ 启 发” 学 生 思考 )   教师: 我们在 前 面学 过什 么 的和是  ?  

它 的左边 看 作数 列求 和 , 但 也没 有 找 到人 手 点 ” 时, 教  师 只要做 适 当 的 引领 : “ 我 们 有 没 有 使 用 过 什 么 方 法  或应 用某 个 公 式 、 定 理 就 可 以对 左 边 求 和 呢? ” 这样 ,   学生 就 可 以找到 自己解决 问题 的 方法 . 这 种 在 课 堂上  教 师根 据教 学 的进 程 , 以学 生 “ 原有认知” 为 出发 点 ,   恰 当地 引领 学生 “ 有 目的地 回顾 ” , 就 是要 找 寻 的示 范  课 与常 态课 的一个 “ 平 衡 点” .  

2 课堂教学应 以“ 问题引领” 为 落 脚 点 
问题是 数学 的心 脏 , 数学教 学 应该 以“ 问题 引 领 ”   为 落脚 点. 这里 的“ 问题 ” 是 指 根 据 知 识 目标 , 教 师精  心 设计 问题 作 为 载体 , 创 设 恰 当 的 问题 情 境 . 这 里 的  “ 落 脚 点” 是 指 在解决 问题 的过程 中 , 学 生 习得 对 事 物  的看 法 , 使 学 生学会 分 析 问题 、 探 究 问题 , 形 成解 决 问 

学 生丙 : 前 n个 正奇 数 的和 等于 。 .   教师 : 那 不 等 式 的 左 边 的 每 一 项 能 不 能 变 成 奇 
数呢?  

学生丁 : 哦, 我 知道 了. 不等 式 的 右边 有 (  +1 )   ,  

论 教 谈 学   敬籼   空  
2 4   2  
,   一   .,     .

题 的能 力. 在 以问 题 引 领 为 落 脚 点 的课 堂 中 , 不 仅 是  以知 识 为 主要 目标 , 更是学生在认识 问题、 解 决 问 题  的过 程 中 , 提 高 数学 素养 以及能 用 数 学 思维 解 决 实 际 
问题 的 能力 .   情 境 3 示 范 课 
“ l O O   a  9 9 一  

在一次 概念教学 研讨 活动 中, 一 位 教 师 上 的是  “ 等差 数 列 的通 项公 式” , 教 学 片段如 下 :  

学生 乙 : 根据等差数列定义 , 每 个 式 子 的值 都 等 
于 3 .  

教师 : 请 同学们 观察 等 差 数 列 { a   } : 4 , 7 , 1 O , 1 3 ,   1 6 , … ,请 问如 何 写 出它 的第 1 0 0项 a   。 。 呢?  
学生甲: a 1 。 o 一3 0 l _  

教师 : 很 好 !那 同 学 们 能 否 对 上 述 n 一 1个 式 子  整 体 考虑 , 然 后推 出第 1 0 0项 等 于多 少 呢?  
学生 丙 : 我 可 以用 叠 加 法 来 解 决 .  

教师 : 你 是 怎 么算 出来 的 ?   学生甲: ( 有 点 难 为 情 地 小 声 回答 ) 一 直 算 到 第  1 0 0项 我觉 得 太麻 烦 , 课 前 我 预 习 了 等差 数 列 的 通项  公式 a   一口 】 +(  一1 ) d, 我把 a 1 —4 ,  一1 0 0 , d一3代  入公 式算 出来 的.   教师 : 哦( 笑笑) , 如果 你 没 预 习过 , 我们 怎 样 计算 
第 1 0 0项 n   。 。 呢?  

教师 : 那 你们 是否 能猜 出首 项 为 a   , 公 差 为  的  等 差 数列 { a   } 的通项 n  并给 出证 明吗 ?  

学生 丁 : 可以, 由等 差 数 列 定 义 有 a 。 一a   一d, n 。  
一n 2 一d, …, a   一a   一 l —d, 将 以 上  一1个 等 式 相 加 
得 a   一a 1 一(  一 1 ) d, 即 “   一a j +(  一 1 ) d.  
反 思 

在情 境 3的示 范 教学 中 , 教 师试 图将 等 差数 列 的  通 项公 式 的获 得 以 “ 观 察一 归 纳一 猜 想 一 证 明 ” 的 认  知 过 程来 组织 教 学 , 但 实际上 , 对 于初 次 接 触 等 差 数  列 4 , 7 , 1 O , 1 3 , 1 6 , … 的学 生 来 说 , 还 没 有 这 类 数 列 的  通 项 可 以用 首 项 与公 差表 示 的经 验 , 所 以不 可 能想 到 

学生甲: 我只 能一项一项 地推 , 一直 推出第 1 0 0  
项 了.  

教师 : 那 很麻 烦 了 , 你 能不 能找 到什 么 规律 呢 ?  

学生甲: 我 只 能看 出 后 一 项 减 前 一 项 都 等 于 3 ,   看不 出其 他 什么 规律 .   教师 : 那 请 同学 们 看 我 把 每 一 项 列 出来 , 并 做 这  样 的改 写是 不是 可 以写 出第 1 0 0项 呢 ? ( 由于 是 示 范  课, 教 师 怕再 对话 下 去会 浪 费 时 间 , 完 不 成 教 学任 务 ,   就直 接 给 出改写 过程 . )  
al = = = 4,  

把 它 的每 一项 按教 师 的要 求去 改 写 , 到最 后 只 能 由教  师 给 出“ 改写” 过程 了. 问题的设计虽然好 , 但 落 脚 点 
不 利 于学 生 的思 维 , 不 能 激 起 学 生 的深 入 思 考 . 而 在 

情 境 4的常态 教 学 中 , 由于教师没有“ 示 范” 的任 务 ,   所 以在 同样 的 背 景 下 , 教 师 只 是 简 单 地 设 计 问题 情  境, 让 学生 写 出 一 系列 式 子 的 值 作 为 落 脚 点 , 这 样 的 

n 2— 7— 4+ 3,   a 3— 1 0— 4+ 3× 2,  
n  一 1 3— 4+ 3X  3,  

设 计虽 然学 生 在后 继 问题 解决 中没 有 困难 , 但太 过 于  直接 , 学生 自己没有 形 成 对 基 本 概 念 、 基 本 知 识 的 认 
识, 不 利 于学 生 深刻 理 解 和 运 用 概 念 来 认 识 问题 、 解  决 问题 .  

从而 a l ( ) 0 —4 + 3×9 9—3 0 1 .  

教师 : 从上述的 a   。 。 一4 +3 ×9 9 —3 0 1的 表 示 中 ,  

你 能对 首项 为 口 , , 公 差为 d的等 差 数 列 { 口   ) , 猜 出 它  的通 项 第  项 n  并 给 出证 明吗 ?  
学生 乙: 数列 { 口   } 的通 项 为 a   一a   +( n 一1 ) d .  

但证 明我暂 时还 不 会.  

教师 : 请 同学 们 回忆 等 差 数 列 的定 义 , 看 看 能 否 
从定 义 找 到方法 呢?  

学 生丙 : 我可 以, 由等差 数列 的定义 , 有 a 。 一a   d, a   3 一n 2 一d , …, a   一a   一 l —d, 将 以上  一 1个 等  式相 加 得 a   一a l 一(  一1 ) d, 即a   = = = a 1 +(  一 1 ) d .  


上述情 境 3和情 境 4教 学 , 都是 要 求 学 生通 过 探  究 获 得等 差数 列 的通 项公 式 . 教 师 在 同样 的 背 景下 提  出 问题 , 由于 学生 对等 差 数列 通 项 公式 表 达 形 式不 清  楚, 所 以两种 情境 下 , 学 生 对 教 师 提 出 的 问 题 都 不 能  得 到 很好 的 回答 . 结 果 是 两 种 情 境 的教 学 下 , 教 师 要  么 自己改 写数 列 每一 项 的表 达形 式 让 学 生来 观 察 , 要  么简 单地设 计 一 系列 式 子 的值 让学 生 填 写 结 论 来 观  察. 这 样 两 种 授 课 方 式 都 失 去 了 概 念 教 学 应 有 的 意  义. 其实 , 在上 述 的教 学 中 , 我 们 只需 要 稍 做 改 进 , 以 

情 境 4 常态 课  教师 : 请 同学们 观 察 等 差 数 列 { a   } : 4 , 7 , 1 0 , 1 3 ,   1 6 , …, 你 能很 快 地 写 出它 的第 1 0 0项 a   。 。 吗?   学生 甲 : 我 写不 出来 .  

“ 问题 引领 ” 落脚点 , 即 让 学 生 明 白两 个 方 面 : 一 是 等  差 数列 是 一个 特 殊 的数 列 , 也 是 一 种 特 殊 的 函数 , 类  比 函数 , 它 一定 有通 项 公式 ; 二 是 到 目前 为止 , 对 于 等 
差 数列 我们 只 学 习 了它 的定义 , 要想 探 究 它 的通 项 公 

教师 : 请 同学 们 写 出下列 各 式 的值 .  

式 只能 从定 义 出发 去探 究 , 而且 今 后 遇 到类 似 的问题  也 应该 这样 来 思 考. 这 样 既贴 近 学 生 的 思 维 , 又鼓 励  了学生 大胆 用定 义 去猜 测 、 去探 究 . 这 种 抓 住“ 概 念 的 



 

时   谁  学  
。 

砌…

  、  

2 川

年 第 

(上 旬 )  

印鹰 瓠 . I 毫 赦I 孳拳 考  

本质” 设 置恰 当 的 问题 情 境 作 为 探 究 的落 脚 点 , 就 是  我 们要 找 寻 的示范课 和 常态 课 的另一 个“ 平衡 点” .  

+ 

+ … + 

- b   一 an - ̄
— —

1?2 ’2 ?3 ’  

’   (  + 1 )  

+1  

对 一切 正整 数  恒 成立 ?  

’  
1  

3 课堂 教学应以“ 拓展变式” 为 生长 点 
学生 会 应 用 是 我 们课 堂追 求 的 目标 之 一 , 因此 ,   数 学教 学强 调 的是训 练应 用 , 而 训练 应 用则 要 关 注 的  是“ 拓 展变 式” . 所谓 “ 拓 展变 式” 就是 在 对某 些 知识 掌  握、 理 解后 能举 一 反 三 , 由此 提 出新 的具 有 开拓 意义  的知识 内容 . 课 堂教 学应 将知 识 的“ 拓 展 变 式” 作 为生  长点 , 提高 学生 的学 习 兴 趣 , 调 动 学 生 学 习 的 主动 性  和 积极 性 , 培养 学 生 的 学 习 能 力 及 创 新 意 识 , 为学 生  的后继 学 习打 好基 础.   情境 5 示范 课 

1  

1  

若不等式  

+  

+…+   而 <口恒成  

立, 求 实数 n的取值 范 围.  

拓展 2 把 求 和 问题拓 展 为恒 成立 问题 , 体 现 了数  学思 维 可 以 向多个方 面 发散 的思想 .   拓展 3 : 若 数列 { a   ) 对 一切 正整数  都满 足 :  


_ +— 1 L +…+—   一一 一 丝
. 

口 ln 2  

口2口3  

a 口 n +1  

口 1以  + l  

问 题1 : 求数 列{ I  1 - l , } I   的 前  项 和 : r 1   ?  
+  +. . 斗   .  

则 数列 { n   ) 是 否 一 定 是 等 差 数 列. 若正 确, 给 予  证明, 若 不 正确 请举 出反 例.   拓 展 3是 问题 的逆 向思 维 , 它可 以培养 学 生 在原  有 问题 基础 上学 会 提 出新 的问题 , 这 样 不但 可 以 加深  学生 对 原 问题 的认识 , 而 且培 养 了学生 的创 新 思维.  
反 思 

教师 : 请 问这 个 问题 哪 位 同学 会 解 ? ( 学 生 没 什  么反应 , 教 师接 着提 问某 位 同学 )   教师 : 同学 甲请 你谈 谈对 这个 问题 的 看法 .   学生 甲: 这 个 数 列 不是 等差 数 列 , 不 能 用 等差 数  列 求 和的办 法 , 但 它 又 比较 特 殊 , 应 该 有 一种 特 殊 的 

在 情境 5的示 范教学 中 , 由于教 师 带着 许 多框 框  的限制 , 在 教给 学 生 学会 问题 1的 裂 项 求 和 法 以后 ,   继续 设 置 问题让 学 生训 练“ 裂项求 和 ” 的其 他类 型. 虽  然使 学 生 系统地 掌握 了“ 裂项 求 和” 的各 种类 型 , 但 在  知识 拓 展上 使学 生 丧 失 了一 次 思 维 与 能 力 生 长 的机 

解法 , 我现在 还 不知 道怎 样解 .   教师 : 是 的, 这 种数 列 是 比较 特殊 , 我 们 可将 通项 

变 形 为  

一 音 一   , 把1 , 2 , … ,   代 人 合 并 即  
一 1 一   ?  

得 r  +   + … +   南

上 述数 列 的特点 是 分 子 为常 数 1 , 分 母 均 为 同一  个 等差数 列 的 连续 两 项 之 积 , 而且除首末两项 , 其 余  各 项都 在分 母 中连续 出现 两次 . 像 这 种数 列 求 和 的方  法 我们 叫做 “ 拆项 求 和法 ” .   教师: 请 同学 们再 解决 
问题 2 : 求和:  
+  1
.  

+ 

+ 

+ 

+ … 

情境 6 常态课 

片段 同情境 5中的 问题 1 , 但 是 教师 在完 成 了 问  题 1的教 学后 , 抓 住 了问题 1 进 行 有 效 的拓 展 和 变式 
训 练.  

拓展 1 : 已知数 列 { a   ) 是 等差 数列 , 口   ≠0 , 且公 差  为 d , 化简 :  


_ +— 1 - +…+—  l 一
. 

口 1口2  

口2口 3  

a 口 n +1  

拓展 1是把 特 殊 的 等 差 数 列 拓 展 为 一 般 的 等差  数列 , 体现 了数 学 中的 由特殊 到 一般 的思 想 .   拓展 2 : 是否 存在 常数 口 , b使等 式 :  

会, 教得过于呆板 , 不 够灵 活 , 缺 乏 创 新. 而在 情 境 6   的常 态 课 中 , 教 师 及 时地 抓 住 “ 裂项 求 和 ” 的 基 本 思  路, 跳 出求 和的 框框 不断 拓展 , 形 成 新 的知识 生长 点 ,   思 维能 力 、 数学 素 养 都 得 到 提 升. 但 由于 一 节 课 时 间  有限, 在 情境 6的 常 态 课 中显 得 内容 过 多 , 从 课 后 检  测来 看 部分 学 生 对 “ 裂项求和” 掌握 不 牢 , 对“ 拓 展 变  式” 也理 解得 不 够深 刻.   上 述 情 境 5教 学 中 问 题 比较 单 一 , 教 师 没 有 将  “ 裂 项求 和 ” 的 资 源 有 效利 用 , 而情 境 6虽 利 用 了 “ 裂  项求 和 ” 的资源 , 但对 “ 拓 展变 式” 一 次性 拓 展有 点 过 ,   部分 学 生对 “ 裂 项 求 和” 与“ 拓展变式” 都 没 有 得 到 比  较好 的掌握 . 对于这种应用型教学 , 我 们 要 坚 持 两 个  原则 : 一是对 形 成 的知识 资源 必须 是 每 位学 生 彻底 掌  握; 二是 对 于形 成 的 重要 资源 要 能 有 效 “ 拓展” , 把 它  作 为知 识 的“ 生 长点 ” . 因此 , 在 上 述 两种 情 境 中 , 教师  只要 在 情境 5的教学 中, 让“ 裂 项求 和” 的解 题 策 略在  学生 掌 握 的基础 上 , 抓住 “ 裂项求和” 的解题策略 , 应  用 到情 境 6的教 学 中的拓 展 1和拓 展 2即可. 这 样学  生 既掌 握 了“ 裂 项求 和” , 又掌 握 了它 的“ 拓展 变 式 ” 应  用. 也 就 是在 教 学 中 , 抓住 了有 效资 源 的 “ 生长点” , 是  我们 要 找 寻的示 范课 和 常态课 又一 个“ 平衡 点 ” .   总之 , 通 过 上述对 示 范课 与常 态 课 的对 比分 析 与  反思, 可 以明晰 : 不管 是 示 范 课 , 还是常态课 , 都 应 以  “ 原 有认 知 ” 为 出发 点 , 以“ 问题 引领 ” 为 落脚 点 , 以“ 拓  展 变式 ” 为 生长 点 , 这 样才 能让 示 范课 走 向常 态 , 让 常  态课 走 向优 质 , 才 能实 现 示 范 课 与常 态 课 的平 衡 , 这  样 的课 才是课 堂 教学 追寻 的理 想境 地.  

2 6   20 1 1   中

、  

H.  幽  .

。, . . .   . .  . .

论教谈学 j 。 教 学 时 空  

堂S   OL   O 理 论 指 导 下 的  高 三 数 学 复 习 课 案 例 设 
在1 ; 享童 申如 何 更舒 诂 观 察 石 同程 度 的 雩 生 j 寸教 孝知  的 掌 提 懵 : 兄,检 验  固 层 次 的 学生 的 零 孽 睦术 平 , 更 天 程 度 他 激 发 学 生 的 滞 锫 , S OL , 0 分 是 评 价  理论 的 引 入是 一 个 布益 的 尝试.  

毛 良忠 ( 浙 江省 平 湖市 新华 爱 心高 级 中学 )  
S 0I   ( ) 是一种分类评价理论 , 它 的全 称 为 “ 可 观 

潜 能. 下 面笔者 试 从 一 道 高考 试 题 出发 , 结 合 该 理 论  设计 一 系列 问 题 , 通 过 学 生 课 堂 实 际 反 映情 况 , 进 行  学 生知识 结 构及 学 习心 理方 面 的分 析 , 目的 是想 从 分 

察 的学 习结 果 的 结 构 ” . 它是 由 澳 大 利 亚 教 育 学 家 柯  利斯 和 香港 大 学 教 授 比格 斯 所 创 造 的 一 种 学 生 学 业  评 价方 法 , 也是 一种 以区分 学生 思 维层 次和 等 级 描述  为特 征 的评 价方 法 .  
比格 斯 教授 认 为 S OL O 分 类 评 价 法 的理 论 基 础  在于: 一个人 在 回答 某个 具 体 问题 时 所表 现 出 的思 维  结构 是 可 以检测 的 , 通过 S oL O分 类评 价 法可 以 判断 

学生 在 回答 某 一 具 体 问题 时 的 思 维 结 构 处 于 哪 一 层  次. 教 师可 以通 过 关 注 学 生 在 教 学 时 所 发 生 的 变 化 ,   了解 学 生 的 学 习情 况 , 检 验 不 同 层 次 的学 生 思 维 水 
平. 寻找 学生 学 习 质 量 出现 的 原 因 , 及 时 调 整 教 学 进 

类 评价 每个 层 次学 生 的思维 特 征 出发 , 适 时 调 整 我们  的课堂 进度 , 让 每位 学生 都有 机 会 向高 一 层 次 的结 构  递 进.   之所 以选择 高考 题 为研 究 素材 的 原 因是 : 从 每 年  的 高考数 学 试卷 中 , 我们 总是 能 找 出许 多 与教 材 中的  例题 相 似或 来源 于教 材 的试 题 , 这些 试 题 考 查 的都 是  现 行教 材 中最 基 本 、 最 重 要 的数 学 知 识 和技 能. 所 用  的方法 也往 往 是 普遍 的 、 一 般 性 的方 法 , 它 既 体 现 高 
考 的公平 公 正 , 也 对 中 学 数 学 的教 学 有 效 地 检 验 . 如 

度, 设 计 相应 的 教 学 方 案 , 使 更 多 的 学 生 向更 高 层 次 
的水 平 发展 .  

S 0I   O理 论将 学 生 对 某 个 问 题 的学 习结 果 划 分  为 5种层 次 : 前结构 、 单 结构、 多元结构 、 关 联 结 构 和  抽象 拓 展结 构. 具体 的规 则 描述 如下 表 :  
S OL O层 次  规 则 描 述 

何有 效地 利 用高 考试 题进 行 教 学 , 在高 考 试题 中 寻找  教 材原 题或 由这 些原 题 进行 引 申 , 进 而提 高 学 生 的解  题 能力 和数 学思 维是 一件 有 益 的事 情. 下 面请 看 教 学  实 录.   问题 1  ( 2 0 1 0年 高 考 数 学 湖 南 卷 理 科 第 6题 )   在 △AB C中, 角 A、 B、 C所对 的边长 分 别 为 a 、 6 、   若  C 一1 2 0 。 , C =4 2 a , 则(  
A. a> 6  

) .  

前 结 构  单


学 生 基 本 上 无 法解 决 问 题 或 只 会 重 复 问 题 ,  
不 能 理 解 要 点 

B. a< 6  

C .   一b  

D 。 a 与 6大 小 关 系 不 能 确 定  

结 构 

学 生 注 意 到 了 问题 的 一 个 相 关 特 征 , 但 事 实  或 观 点 之 间没 有 联 系 ; 理 解 是 有 名 无 实 的  学 生 找 到 了许 多 独 立 的 相 关 特 征 , 但 还 无 法  将 它 们 有 机 地 联 系 起 来 

设 计 目的 : 这 是 一 道 难 度 适 中 的 三 角 函数 高 考 
题, 处理 的方法 很 多 . 只 要 灵 活 运 用 课 本 中 的 知 识 和 

多 元 结 构 

其 中蕴 涵 的思 想 方 法 , 就 能 解 决 问题 , 通 过 问题 的解 

决 可 以加深 对 基 础 知识 和 基 本 思想 方 法 的 了解 与 领  悟, 进一 步 提 高学生 分析 问题 与 解决 问题 的 能力 .   此 题呈 现不 久后 学 生就 陆续 给 出下 面 的解法 .   学生 1 : 利 用余 弦定 理 f 。 一口   +b 。 一2 a b? C O S(   ,   2 a 。 一口   4 - 6   4 - a b , 故 口 。 一b   =a b  ̄O , . ‘ . n >6 . 选 A.   学生 2 : 直 接 画 图观 察 得 出. 如图 1 , 先 画 出线 段 

. .

关联 结 构 

整 合 各 部 分 内 容 使 其 成 为 一 个 有 机 整体 

抽 象 拓 展 结 构  学 生 会 归 纳 问 题 或 重 新 概 念 化 到 更 高 的 抽 
象层 次 

利用 S OI   0分 类 评价 理论 进行 课 堂设 计及 评 价 ,   能更 好地 观察 不 同程 度学 生 对数 学 知 识 的掌 握 情 况 ,  

并适 时地 帮助 学生 从 一个 层次 向另 一个 层 次过 渡 , 通  过课 堂 的同伴 互 助 、 师 生探 究 活 动 , 激 发 每 位 学 生 的 

BC, 再 以 B 为 圆心 , 线 段 BC的  倍 长 为 半 径 作 圆 ,   交以 C B为 一边 的  B C A 于点 A, 观察 图知 选 A.  

教  时 
。 

学 、 …㈣  ∞ " 。  

2 0 1 1年 第 1 0 期 (上 旬 )  

,  

中 学 文 学 教学 参 考  
点评 : 两位 学 生 的 答 案 都 正确 ,   但正 确 答 案 下 学 生对 知 识 的 理 解 和  掌握 程 度 差 异 很 大 . 对 比 S O L O 理  论分 类 评价 表 : 学 生 1对 问题 的解 决  应处 于 第二 个层 次—— 单 一结 构. 学 

0 

比较 , 结合 已知 角 , 又 转 化 为 与特 殊 角 3 0 。 的 比较 , 最 

终 又 化 为 角 A 的 正 弦 值 与 寺 的 比较 , 问题 间 的不 断 
转化 体现 了对 数学 问题 的理 解 和求 简 思想 . 如 此 活 跃  的思 维令 人振 奋让 人感 动. 学生 6体现 出的思 维 水 准  应 当在第 五个 层 次—— 抽 象拓 展 结构 . 在 学生 6的解 
法影 响下 原题 的 解 法 又 可 改 进 为 : 由正 弦 定 理 

图1  

生 2处 于第 一个 结构—— 前结 构. 对 于选 择 题来 说 我  们需要 的是答 案 正确 就可 以 了 , 方 法 和逻 辑 推理 成 分  似乎 不 怎么重 视 , 但 我 们 需 要 认 识 到 的是 , 表 象 知 识  的掌 握 和简单 运 用 都 是 不 牢 靠 的. 例如 , 学 生 2的 解  法能保 证 作 图是 准 确 的 吗? 能 保 证 线 段 的 长 短 是 可 
观察 比较 的吗 ?学 生 1的 解 法 似 乎 很 有 道 理— — 利 

一  百 一   一 —   口 ’   y ) r   以   s i n   A 一 —  >   丢   . 。   A
一   一   一  

>3 0 。 , ‘ . ’   c一 1 2 0 。 . ’ . B< 3 0 。因 此 A > B,. ‘ . a> b .   选 A.  

用 余 弦定 理 , 移 项 合并 直接 判断 , 一 气 呵成 , 给人 美 的  感 受. 如果 移项 合并 后无 法 直接 观察 又会 怎样 呢? 为  了更深 地 了解学 生 对知识 的掌握 和 应 变能 力. 笔 者设  计 了下 面 的变式 题 .  

上 面 我们解 决 了 三角 形 中 已知 一 定 角 及 两 边 关 

变式

将 问题 1中的 c 一√ 2 口改为 C 一2 a .  

系的 问题 , 如果将 题 目变 更为 已知一 定 边及 另 两边 的  关 系又 该 怎样解 答 呢 ?   问题 2 ( 2 0 0 8年 高考 数 学 江 苏卷 第 1 3题 ) 若 AB   = = = 2 , AC=, c " 2 B C, 则S △ A B c 的最 大值是 
学 生有 下 面两种 解答 方法 .  

学生 1 : 利 用余 弦定 理化 简 得 3 口   一n 6 —6   一0 , 即  a   一6   一口 6 —2 口   , 沿用 上 面的方 法此 题 到此搁 浅 .   学生 3 : 利 用余 弦定 理化 简得 3 口 。 一口 6 —6 。 一0 , 直 
1  l  

.  

学生 7 : 设 BC= , 得 AC=√ 2  , 由余 弦定 理 得 

接 求解 得 口 = = :  
U 

b  . 口 <6 .  

c 。 s   B 一  
一  

n   B =  ̄ / 1 - [ \ 4 - 4 x x 2 ) 2 , 所 以 s △ 舰  


学生 4 : 对 于方 程 3 口   一n 6 —6   一0 , 利用 基本 不等 
式 a   - t - b   ≥2 a b , . ‘ . 2 a b 一6 a  一 2 b   ≤1 2   +b 。 , 故 5 口 。  
≤3 6   , . ’ . 口 <6 .  
, 一 、

AB× BC s i n   B一 _ , / 1 2 8 -( x 2 -1 2 ) 2

因 此 当 

一2 √ 3 时, s △ ^ B c 的最大值为 2 √ 2 .  
2  

学生 5 : 将方程 3 a 。 一a b —b 。 一0变形得 3   f 詈)  
、U ,  


学生 8 : 设 B C — , 则 AC=√ 2  , 如图 2 , 作C D 
- l - AB, 垂 足为 点 D. 设 DB—Y, 则( 4 g x)   一( 2 ± ) 。  
z  一   2
,  

詈一1 —0 . 构造函数 厂 ( z ) : = = 3 x   一X 一1 , 。 . 。 f ( 1 )  
O 

一1 , , ( 0 ) 一 一1 , 所 以方 程 的 正 根  。 一孚 < 1 , . ’ . 口  
< 6 .  
A  D  B A 
B  y  D 

学生 6 : 利 用 正 弦 定 理 得  a   一 

一 丽C  

图2  

一  

口 , 所以 s i n   A一, 了 / g<  1


?





A< 3 0 。 ,? . ?L c 



所 以  一 ± 丁 x z -4
/ 1 2 8 一( z   一1 2 )  
— — —   — 一



故 

C D — 一   √   一 (   )  
-  

一1 2 0 。 , . ‘ . B> 3 0 。 , 因 此 A< B, . ‘ 川<b .  




点评 : 通 过变 式 问题 的提 出我 们 可 以将 学生 的疑  惑暴 露 出来 , 学 生 1的 “ 巧法” 有 点偶 然 性 , 方 法 不 牢  固. 学生 3 、 学生 4的解 法可 以说 是在 余 弦定理 下 的一  种 坚 持—— 直 接 解方 程 和适 当的放 缩 比较 . 这 两位 学  生 的 思维 水平 属 于第 三 个 层 次—— 多元 结 构 . 学生 5   在 前两 名 学生 的基 础上 将两 个 比较 的量作 商 , 构 造新 

。  

28 ( x 所以S △ A B c — l AB . C D 一  ̄/1
— — — —






1 2) 2




.  

因此 当  一2 √ 3 时, s △ A B c 的最 大值 为 2 √ 2 .   点评 : 两 位学 生分 别结 合 已学 的两 个 三 角形 面 积 
公式 , 通 过 运 算 得 到含 一 个 量 z的表 达 式 , 进 而 利 用 

元, 通 过 函数零 点 问题 使 得 问题 和谐 解 决 , 可 谓 独 具  匠心 , 在 这个 问题 中方 程 与 函数 的巧 妙结 合 体 现 了学  生的 扎实 基本 功 和化 归能 力. 学 生 5的学 习思 维水 平  应 属 于第 四个层 次—— 关 联 结构 . 学 生 6的解 法体 现  了一 种应 变 能力 , 边 的大 小 比较可 以转化 为 角 的 大小 

函数 知识 得 到面积 的最小值 , 虽 然 两位 学 生选 择 的面  积公 式不 同 , 但 最 后 殊 途 同 归 地 得 到 了 同 一 个 表 达  式. 在解题中, 学 生 能 够 利 用 余 弦 定 理 或 勾 股 定 理 寻  找到 量之 间 的关 系 , 最 终 得 到 面 积 的一 个 函数 关 系  式, 在整 个运 算 过 程 中 有 一 定 的计 算 量 , 能 坚 持 到 最 

2 8   2 0 1 中

1   嚣 

’  

比  

。 

论教谈学  。   激 学 时 空  

后也 属 不易 . 两位 学 生 的思 维层 次处 于 S oL 0 理 论 中 

径2 √ 2 . 于是 S A A B c 的最大值 为 2 , / 2 .  
原来 满 足题 意 的三角 形竟 然 隐 藏在 圆 中 , 是 偶 然 

第三、 第 四个 水 平—— 多元 结 构 和 关 联 结 构 . 这 样 的 

道 填 空题 最后 竟然 将无 理 式搬 出来 了 , 难 道 没有 其  他 办法 了 吗? 回 到 已 知 条 件 , 重 新 审视 题 意 , 我 们 会  得 到一 些什 么更 有 价值 的东 西 呢 ?下 面 的 师生 对 话 ,   也许 能 给你 的思 维 一些 灵感 .  


还是 必 然 ?事 实 上 , 更一 般 的问题 在《 数学 2 》 的 第 
1 4 4页就 已经 出 现过 : 已知点 M ( x,  ) 与 两 定 点 M  、   M2的距 离 比是 一 个 正 数 m, 求 点 M 的轨 迹 方 程 , 并 

说 明轨迹 是 什 么 图形 . ( m一1时 , 得 . z 一 0 ,即表 示 


教师 : 进 一 步 的理 解 , 已 知一 边 AB, 怎样 情 况 下 
三 角形 的 面积最 大 ?  

条直线 ;   ≠1时 , M 的轨迹 是一 个 圆 )   为什 么 最初 学生 没有 直 接选 择 这 个方 法 , 而是 利 

学生 : 只要 使 得 第 三 个 顶 点 C达 到最 高 处 就 可 
以了.  

教师 : 顶点 C能 否无 限地 高 吗 ?  

用 繁杂 的直 接 运算 ( 如 上面 学生 7 、 学 生 8的解 法 ) 呢?   这 里可 能是 受 课 堂 呈 现 的第 一 道 例 题 的 解 法 的迁 移  影响 , 也可 能 是受 问题 的结论 的影 响—— 求 三 角 形 的  面积 , 不就是 求 边 , 求 高 吗 ?谁会 联 想 到 , 三 角 形 面积  最 值—— 定 边 上高 的最 值—— 第 三 个 点 的轨 迹 问题 .   按S OL O理 论这 样 的思 维 水 平 当属 最 高 层 次—— 抽  象 拓展 结构 , 能够 直 接 达 到 这 个 层 次 , 需 要 学 生 平 时  不 断 积累解 题 经验 , 经 常性 反思 自己的解 题 过 程 并尝  试 优化 , 通 过 师生交 流 , 同伴 互 助 唤醒 各 自潜 能 , 点燃 
每 一 位学 生思 想智 慧 的火 把.   为 了检测 对 这个 问题 的 理 解 笔 者 最 后 提 出 了 下  面一 道思 考 题 : ( 2 0 1 1年 浙 江 省 第 二 次 五 校 联 考 ) 已 
J^ / r p    l

学生 : 应该 不会 , 不 然 面积 最大 值不 存 在. 点 C受 

到 条件 AC一√ 2 Bc限制 .  
教师 : 符合 条 件 的点 C又会 在哪 里 呢?你 以前 见 
过 类似 的题 吗 ?  

通 过一 番 引导 后学 生 回忆 起 了在 现 行 新课 程 《 数  学 2 》 中的一 道 类似 题 : 已 知 一 曲 线 是 与 两 个 定 点 
1  

0( 0 , 0 ) 、 A( 3 , 0 ) 距 离 之 比为 寺 的点 的轨 迹 , 求 点 M 
厶 

的轨迹 方 程.   为 了加深 印象 , 笔 者 不 失 时 机 地 给 出 了 下 面 两 道  高考题 .  

知 P、 Q是 两 个定 点 , 点 M 为平 面 内 的动点 , 且  一 (   >0且 ≠ 1 ) , 点 M 的轨迹 围成 的平 面区 域 的面  积为 S, 设 S—f( A ) (   > O且 ≠ 1 ) , 则 以下 判 断 正 确 
的是 (   ) .  

( 1 ) ( 2 0 0 5年 高考数 学江 苏卷 ) 已知 圆 0   与圆 ( ) 2   的半 径 都 是 1 , 0   0 。 一 4过 动 点 P 分 别 作 圆 0 与 

圆0 2 的切线 P M、 PN( M、 N 分 别 为切 点 ) , 使得 P M 


√ 2 PN试 建 立 适 当 的 坐 标 系 , 求 动 点 P 的 轨 迹 
( 2 )( 2 0 0 6 年 高 考 数 学 四 川 卷 )已 知 两 定 点 

A. 厂 (   ) 在( O , 1 ) 上 是增 函数 , 在( 1 , +o o ) 上 是 减  函数  B . 厂 (   ) 在( 0 , 1 ) 上是 减 函数 , 在( 1 , 十c 一) 上 是 减 
函数  
C.厂 (   ) 在( 0 , 1 ) 上 是增


方程 .  

A( 一2 , 0 ) 、 B( 1 , 0 ) , 如果 动 点 P 满 足 l   P A   l 一2   l   P B   l ,  

则点 P的轨 迹所 包 围 的面 积等 于 (  
A. 7 【   B. 4 丁 c   C. 8 7 c  

) .  
D. 9 丁 c  

函数 j 在( 1 , +  ) 上 是 增 

上 面两 道 问题 的设 计 目的 是 让 每 一 位 学 生 能 再  现求 轨迹 问题 的步 骤 ( 问题 1 ) , 能 体 味 满 足 到两 个 定  点 的距离 比为定 值 ( 不为 1 ) 的轨迹 是 一 个 圆 ( 问题 1 、   问题 2 ) . 在 实 际课 堂教 学 中这 个 环 节是 有 效 的 , 学 生 

函数  D . f ( A ) 在( 0 , 1 ) 上 是减 函数 , 在( 1 , +c 一) 上是 增  函数.   有 了上 面 几个 问题 的解 决 方法 的提 示 , 这 个 问题  的正确 解决 也 是 自然 的.  

都 能独立 完 成这 两 个 问题 , 学 生 的学 习热 情 高涨 一 一 
高 考题 也不 过 如此 , 书 中就 可 以找 到原 型 !  

本节课 结 合 S OL O 理 论 的 五 个 思 维 水 平 的 评 价 
对一道 高考 题 的解 决进 行 了分 层 设 计. 在 授课 过 程 中  注重 暴露 学生 的 思维 , 通 过一 题 多解 、 变式 训 练 、 题 型 

在 这两 个 问题 的启 迪 下 , 学 生都 纷 纷 尝试 解 决 最 
初 的 面积 问题 .  

学生 9 : 建 立 如 图 3所 示 的坐 标 系 , 根 据 题 意 可设 
C ( z,  ) 、 A( 一1 , 0 ) 、 B( 1 , O ) , 由 AC  


变换 、 题 源探 寻 等 教 学 环 节 唤 醒 学 生 的思 维 , 调 动 每  位学生的学 习潜能. 作 为 知 识 传 递 的 主 阵 地一 课  堂, 笔 者力 争 使 课 堂 能 成 为 师 生 互 动 心 灵 对 话 的 桥  梁, 让 课堂 成 为 师 生共 同创 造 奇 迹 的时 空 , 更 是 情 感 

√2 B c得  ̄ / (  +1 )   +  。一 √ 2   J( x -1 )   +  , 化 简得 (  一 3 )  

?

+   一8 (  ≠O ) . 所 以 C点的轨迹是 

态 度 价值 观激 情进 发 的舞 台. 只有 在 这 样 的课 堂 理 念 
下 才会 有美 丽 的思 维 碰撞 , 才 能让 更 多 的学生 体 味 数  图3  
学 学 习 的乐 趣 .  

以( 3 , O ) 为 圆心 ,2 √ 2 为 半 径 的 圆.   所以/ k AB C的高 的最 大值 为圆的半 

解   啐 h  

声 

…  ∞  一 ㈨  

2 0 1 1 年第 1 。 期( 上旬 )  
々 鸯 扳 荡鬻. 嚆   考  



类 根 式 和 
例 3   求 函 数 f( z)一 2 ̄ / z+1+  ̄ / 2  一3  

啦 值 煎 圃 
当对 这个 差错 探 源 时 , 可 以 发 现 对 口: b: C 一3   : 6: 8的求 得完 全抛 开 了方 程组 ⑨ , 只默认 4 a一2 b  

陈云烽 ( 中 山大学 数计 学 院)  

+^ / ,  

( 号 ≤   ≤ 5 ) 的 最 大 值 .  
+  蕊 +  ) 。  

便 可 由方 程⑧ 求得 这个 连 比. 要 是将 它 代 人方 程 组 ⑨ 
进 行 检验 , 立 即可 知 它 不 是 ⑧ ⑨ 联 立 方 程 组 的解 , 可 

对 这个 问题 , 文E 2 7 有 如下 解答 :  
设 Y   一(  

≤[ n( 4 x+ 4 )+ b( 2 x一 3 )+ c( 1 5— 3 x) ]  
?

是 在 上述 所 引的 解 案 中 , 却“ 大言不惭” 地说 : 由⑧ ⑨  得 口: b: c 一3: 6: 8 . 似有 文风 不正 之嫌 , 值 得警 觉 ,  
这也 可算 是读 文一 得 .  

f 1 + 1  1 ) .  
要想 得 到定 值 , 则4 a x +2 6 z 一3 c z 一0  
4 n +2 b =3 c .  

⑦  
⑧ 

话说 回来, 解 联 立 方 程 组 ⑧ ⑨ 确 是 一 件 困难 的 
事情 .   设 是 = = = 旦, 仇= = =   , 则 由⑧ ⑨得 
f 4 愚 +2  一3 ,  

要 想等 号成 立 , 则 由柯 西 不等式 取 等条 件得 
口 。 ( 4 x+ 4 ) 一b   ( 2  一 3 ) =c 。 ( 1 5 —3 x)   3 6   + 1 5 c 0   1 5 c   —4 口   3 6 0 +4 n 。  

z — 



一 

一— -4 a 2 — +2 b 2 。   ⑨ 

1   2 0 k z   z + 7 2 k z 一 2 1   2 — 0 .  
消去 m, 整 理 得 
k 4 -  3尼 。 +

由 ⑧ ⑨ 得 n :6 :c 一 3 :6 :8 , 此 时  : = =  

丽 3 3 忌 。 +  6 3 忌 一  

=0
.  

∈ [ 号 , 5 ] .  
Y 。 一(   +  丽 +  )  

要是 消去 k , 则 可得 
m4 -3 m。 +  33  2


5 4  
 

十而 8 1 =0
.  

≤[ 3( 4 x+ 4 )+ 6( 2 x一 3 )+ 8( 1 5— 3 x) ]  
?

(   1 十 , 百 1 十 , 百 1 )  
2 8 5  
一   ’  


它们 都是 4次 方程 , 而 且都 难 以采 用 观察 法 和 因  式分 解法 求 根. 我 们 曾尝 试 过 采 用 经 典 方 法 , 利用 4   次方 程求 根 的代数 公式 解这 两 个方 程 , 结 果 是不 仅 过  程 繁杂冗 长 , 当中 的许 多过 渡 性 的算 式 都难 以 简 化 ,  



√  .  

最后 结论 中根 的表 达式 含多 重根 号 , 且 其 中的数 字 也 

十分 庞大 . 这样 的“ 精确解” 着 实 没 有 多少 实用 价 值 .   这里 就不 赘述 了. 在 数 学 的应 用 中 , 当 遇 到 这 种 情 况  时( 这是 一 种 普 遍 存 在 的 情 况 ) , 通 常 不 去 追 求 精 确  解, 而是 只需 求 出精 度 符 合 应 用 要 求 的 近似 解 , 就 可  使 问题得 到顺 利 解 决 . 对 于求 近 似 解 而 言 , 关键 是 精  度 和误差 的估 计 , 就拿 例 3来 说 , 如 用  的 近似值 , 其 误差 可估 计如 下 :   作为 . ) , 一 

在 这个 解案 中 , 不 仅 陈述 上存 在 逻辑 关 联 词使 用 
不 当 的问题 , 而且 结论 也错 了.  

事 实上 , 口: b: c 一3: 6:8只 满 足 了方 程 ⑧ , 而  不满 足 方程组 ⑨ , 将 其 代 人 ⑨ 式 中 的 三个 分 式 , 得 到 
9、 的值 分 另 . I ~2 8 7 两 7 和 4彼此并不相等. 因此 , 在 这 里 



只 能确认 
值 
一  

是 函数 厂 ( z ) 的一个 上 界 , 而 不 是 最大 
, 并 非 

. 即 该 解 答 结 果 应 是 一 < 

因为 

>  ≥, ( 4 ) : : : 3 √   + √   , 所 以, 若取 ‰ 

2  

。  

≈  时 , 其 绝 对 误 差 为 △ 一 I   一I <  

思 想 方 法  辫散  
30   2 o l 中

!   嚣 

’  
递增 函数.   设 p— P o是 方 程 ⑩ 在 ( 0 , 1 ) 中的根, 则 h   ( P 。 )   一0 , 且有当 0 < < 。 时, h   ( p ) <  ( P 。 ) 一O ,  ( 户 ) 单 



( 3 √5 +√ 3 ) <8 . 4 4 1~ 8 . 4 4— 0 . 0 0 1 , 相 对 误 差 为 

。 =  


< 

.0 % . 0 0 0 1 2 =0 . 0 1 2  . 其精度 不低 , 对 于 

般的应用 已经足够. 要是还嫌其精度不 够要求 , 则 可用  这时, 如 果 沿用 文E 2 3 的解题 思 路 , 用 插 值 法求 方 

插值法逐次求出任意逼近准确值 的近似解.  
程组 ⑧ ⑨ 的近 似 解 , 再求 y   的近似值 , 则 每 一 步 插  值计 算 的 工作 量 偏 大. 为 了克 服 这 个弱 点 , 我 们 提 出 

调递 减 ; 当P o <户 < l时 , h   ( 户 ) >0 , h(  ) 单 调递 增.   故得 ^ ( 户 ) 在( 0 , 1 ) 上 的最 小 值 h  一  ( P 。 ) .  
设 X o 一— a l _ x 3 — -— a 3   x l — p  ̄


Q1一 a3声 

则 由前 述 的讨 论 可知 , 当 

x—  0 时 , Y 。一 h (  o ) , 而 当   2 ≤  ≤ . 7 E  时 , Y  
≤ h( p。 ) , 所以3 ,   一 … - - h( P 。 ) , 即Y … :  .  

问题 求解 的另一 种算 法 .  
问题 2  设 口 1 >O , 口 2 > o, a 3 <0 , 且 a 1 b 2≤ n 2 b l ,  

a 。 b 。 >a 3 b   , 求 函数 f( - z ) 一√  

+  

根据 这个 结论 , 可 通 过 求 h( P) 的 最 小 值 来 求  _ 厂 ( z ) 的最大 值 . 这时, 虽 然 也 回避 不 了 4次 方 程 求 根 
的 困难 , 但对 于求 近 似 解 及 其 误 差 估 计 , 比起 之 前 的  方法 较 为方便 . 对 例 3应 用此 法 , 可解答 如 下 :  

+   而 f 一  ≤ z ≤一  1 的 最 大值.  
我们 可用 下 述方 法解 答 这个 问题 , 这 个方 法 与之 
前 的方法 相 比, 只是解 题 技术 上 的差 别.   设 Y — f(  ) , z   = = = 一一 u i , i 一1 , 2 , 3 . 则 x l ≤z 2  

设  一 厂 ( . r = ) , 则对任意 z ∈I 号, 5   I 和P ∈( 0 , 1 ) ,  

<  。 , - , ’ ( z ) 在I x 。 , z 。 ] 上连 续 .   应 用柯 西 不 等 式 得 , 对 任 意 z∈ [   , z   ]和 P  
∈( 0 , 1 ) , 都有 

都 有   。 ≤ 丢 ( 3 +   + j _ =  ) ( 7 + 5   ) .   设 h ( p ) 一   1 ( 3 +   +   ) ( 7 + 5 p ) ( 0 < P  
< 1 ) , 求导得h   ( 户 ) 一   } 二  [ 1 5 p   ( 1 一户 ) 。  
+2 4 p   一2 8 ( 1 ~P ) 。 ] , 求方程 h   ( p ) = = = 0的根 , 即解 4   次方 程 1 5 p   ( 1 -p )   +2 4 p 。 一2 8 ( 1 一夕 ) 。 = = = 0 .   由于难 以求得 适 合应 用 的根 的表 达 式 , 故可 用插 

+  

i  1  

≤ ( ~  一  
?

一  ̄ - I ) E 一  ( X - X 1 ) 一 a 。  

值法 求根 的近 似值 .  
设 k ( p ) 一1 5 p   ( 1 一 ) 。 +2 4 p   一2 8 ( 卜一 P )   ,   则  (  ) 一 0与 h   (  ) 一 0在 区 间 ( 0 , 1 ) 内同解.  

( 1 一 ) ( X - 2 ) +口 3 ( x -x 3 ) ]  
6 /   1 一 a 
一 _  

) [ ( X 2 - X 3 ) + ( X I - X 2 )   ] ,  
a1   n2  

设 P o ∈( 0 , 1 ) 满足 k (  。 ) 一0 , 可 用 下 面方 法 求 任 
意逼 近 P 。的 数 列 { P   } .   试取 P   一0 . 5 , P   一0 . 6 , 得 
k ( P1 ) 一k ( 0 . 5 ) = = = 一0 . 0 6 2 5 %. 0,  
k(  2 ) 一 惫( O. 6) : = = 5. 0 2 4> 0,  

当且仅当n 。 ( x -x 3 ) 一垡  (  —  ) 一  
时, 上式 取等 号 .  

因 此 , 若 设   (   ) 一 ( 口 。 一 a 。 l  1 a 2   . ) E (   z —   。 )  
+( z 1 一  2 ) 户 ] , 则y   ≤^ (  ) ( z 2 ≤z ≤  3 , O .p % -  ̄1 ) ,   当且 仅 当  一  上式 取 等号.  
因 为  一 

知 0 . 5 <  。 <O . 6 .  

( 注: 若计 算得 到 的 k ( P   ) 、 k ( P   ) 是 同号 , 则 绝 对  值小 的 留 下 , 另 取 ~ 个 P值 再 试. 现 在 得 到 的 是  k ( P   ) 愚 ( P 2 ) <0 , 且I   k ( P   ) 1 < l   k ( P z ) I , 故可 确定 P   <  。 < z . 进而 , 在 区间( P   , P   ) 中, 靠近 P  处 试 取  P 。 计算)   由于 I   k ( 0 . 6 )I 比l   k ( 0 . 5 )l 大得 多 , 故 可取 P  

一 

一 a 2  

口3   Ll 一

  P,一

时,  

∞ (  i — 2 ) 口 3 P   ( 1一  ) 。 + ( z3 一  i ) & 2 P  + (  2  




2 7 3 ) n l ( 1 一 )   一0 ,  

⑩ 

一0 . 5 0 2 试算 , 得志 ( P 。 ) 一k ( 0 . 5 0 2 ) 一0 . 0 4 4 5 4   2 > 0 , 知  0 . 5 <P 。 <0 . 5 0 2 . 进而, 取 P   一0 . 5 0 1 , 算得 k ( P   )  
一k ( O . 5 0 1 ) 一 一 0 .0 1 0 5 1 1 5< 0 , 知 0 .5 0 1< P 0   <O . 5 0 2 . 可 在 该 区 间 中取 P  一 0 . 5 0 1 5 , 得 志( P   )   一是 ( O . 5 0 1 5 ): 0 .0 1 5 4 7 4 1> 0 ,知 0 .5 0 1< P 。  
<O . 5 0 1 5 . 取 P 6— 0 .5 0 1 2 , 得 k( P 6 ): k( 0 .5 0 1 2 )  

又  (   ) 一   南
?

[ ( z , 一 l z   ) “ s 户 。 ( 1 一   )  

+(   3 一z 】 ) n 2 P   +(  2 一z 3 ) a 1 ( 1 一P)   ] , h   (  ) 一2  

[ (  3 -x 1 ) n 2 ( 1一 P)   ]一 ( z 2 一z 3 ) a l P  ] , 得 
(  ) >0 ( 0 <p <1 ) 恒成立 , h   ( p ) 是( 0 , 1 ) 上 的单 调 

一一0 . 0 0 0 1 1 6 7 .0 % , 知0 . 5 0 1 2 .p % o <O . 5 0 1 5 . 取  一O . 5 0 1 3 ,  

毪 

解  
。  

法l

… 坦№ 旧  一

∞ 
中 学 瓠 学教 学 参 考 

揭 开 正确 答案后 的 -  


函 数 最 值 法 与 分 离 参 数 法 的 应 用 

反 思 过 程 繁 简 , 明 晰 事理 本质 ,优 化解 题 策 略 , 抉 取 恰 当方 法 

郑  良( 安徽 省灵 璧县 第 一 中学 )   含 参 函数 的 单 调性 判 断 , 含参不等式恒成立 、 存 
在 性 问题是 历 年 高 考 考查 的 热 点 、 难点. 含参 函 数单 

数最 值 法求 其 范 围 时 , 往往涉及对参数的分类讨论 ,  
过 程相 对繁 杂 ; 通过分离参数( 参数必须能够分离 ) ,  

调 性判 断 主要 通 过 对参 数 分 类 讨 论 , 分 类 标 准 明确 ,   方 法单 一 , 师 生认识 统 一. 而 含参 不 等 式恒 成 立 、 存在  性 问题 主要 采 用 函数 最值 法 ( 下 文 称 法 A) 和分 离 参  数法( 下文称 法 B) 来 完成 . 师 生对 题 目正确 答 案 的 给  出“ 迷 雾重 重 ” , 为 什 么不 用 分 离 参 数 法 ( 很 容 易分 离  参数) 而利用 分 类讨 论 的最值 法 呢 ?什 么 时候 用 函数  最值法, 什 么 时 候 用 分 离参 数 法 ? 本 文将 对 2 0 1 0年  高 考试 题解 法 进行 剖析 , 以期 为 读 者揭 开 正确 答 案后  的“ 迷雾 ” , 抓 住 方法 的本 质.   解题 , 化 简不 要化 繁 , 这也 是 分离 参 数 的 目的. 对 
于 一个 ( 两个 或 多个 ) 参 数与 自变 量 交叉 的情 形 , 用 函  得 k ( p 7 ) 一是 ( O . 5 0 1 3 ) 一0 . 0 0 0 0 5 0 9 7 >0 , 知 0 . 5 0 1 2 < 
P0 < 0. 5 01 3 .  

使参 数 和 自变量 分别 独立 于不 等 式 的两 边 , 然 后通 过  自变量 的范 围来 控 制参 数 的范 围 , 将恒成立、 存 在 性 

问题 转 化 成 求 函 数 的 最 值 及 解 不 等 式 问 题. 如 将 
h ( x, 口 ) > 0( n为 参 数 , z∈D) 分 离 参 数转 化 成 . 厂 (  )   >g( 口 ) , 只需求 出 厂 (  ) 的“ 最小 值” ( 若无 最 小 值 则求 
下确 界 ) , 转 化为 解关 于 口的不等式 , 特别 , 当g ( 口 ) 一口   时, 直接 得 到参 数 口的范 围 .  

有 些 题 目, 参 数 与 自变 量关 系错 综 复 杂 , 无 法 将 
参数 直 接分 离 , 只能 采用 函数 最值 法 . 一 般说 来 , 若 能 

分离 参 数 , 两 种 方法 都可 以单 独解 决 问题. 如  问题 1  ( 2 0 1 0年 高考数 学福 建 卷 文科 第 2 2题 )  

r 一 一 一 - 一  募 
<  <  44  

按 上述 方 法 , 使插 值 的区间 ( 也是 P 。所 在 的 区  间) 一 步一 步不 断缩 小 , 其 长度 趋 于 0 , 便 可得 到 以 P 。  

 ̄ / | l l ( 户 7 )  

?  
<5 . 8 1   X   1 0   _o . 0 0 5 8 7 %,  

<4 . 9 ×1 0 _ 。 , 式 中 t∈ ( P 。 , P 7 ) .相 对 误 差 为 
一 — 
、 

为极限的数列{ P   } . 这时 , 可用  ̄ /   (  ) 作为 Y   的近 
似 值. 当近 似 的精 度 达 到 应 用 所 需 的要 求 时 , 插 值 即 
终 止.  

< 

其精 度 比 

≈下 , , / 2 8 5 —0 . 8 4 4 1大 为提 高.  

例如 , 若取 

≈  丽

: : :  

, 其绝对误差 

A <O . 0 0 1 , 相 对 误 差 < 0 . 0 1 2  . 若 还 嫌精 度 不 够 ,   则 可按 上 述 方 法 作 插 值 计 算 , 寻 求 精 度 更 高 的 近 似 

作 为本 文 的结尾 , 用 这 么一大 段 来讨 论 近 似计 算  的 问题 , 只缘 于 近 似 计 算 是 数 学 应 用 不 可 或 缺 的 一  环. 希 望能 引起 师 生 们 的重 视 , 增 进 数 学 应 用 意识 和  技 能的 培养 .  
参 考 文 献 

值. 比如, 取y ,  ̄ a x ≈  丽
计 误差 :  

一8 . 4 4 0 9 5 3 8 , 可用下法估 

由h   ( P 7 ) 一0 . 0 0 0 4 0 7 7 7 , h   ( P o ) 一0可知 , 当P 0   <  <户  时 , l h   ( 户 ) I ≤0 . 0 0 0 4 1 .   所以,   ≈8 . 4 4 0 9 5 5 8的绝 对误 差 为 

1   王改珍. 巧 用 三 角 函数 解 函 数 值 域 问 题 [ J ] . 中 学 数 学 教 学  参考 ( 上旬 ) , 2 0 1 1 , 1 ~2   2   吕辉 . 对 一 类 无 理 函数 最 大 值 的求 法 探 究 [ J ] . 中 学 数 学 教  学参考 ( 上旬) , 2 0 1 1 , 1 ~2   ( 续 完)  

思 想 方 法 .辩题中心  
1   3 2   2 0 1



已知 函数 f ( z ) 一÷  。 一   +a 3 c +b 的图象在点 P( 0 ,  
- 厂 ( O ) ) 处 的 切 线 方 程 为  一3 x一 2 .  

便 易 行. 类似 地有 山东 卷理 科 第 2 2题 第 ( I I) 问.  

有些 题 目即使 分 离 出参数 , 仍 然 避 免不 了分 类 讨 
论, 没 有体 现 分离 参 数 避 免 分 类 讨 论 的 优 势 , 故 两 种  方法 平分 秋 色 、 旗 鼓相 当.  

(I) 求 实数 a 、 b的值 ;  
( I I ) 设、 g ( z) 一f( J c ) + 
函数 .  

是[ 2 , +c x 。 ) 上 的 增 

问题 2 ( 2 0 1 0年 高考数 学 天津 卷 文科 第 2 0题 )  

已知函数 , (   )  ̄ - a X   一昔z   +1 ( 3 c ER ) , 其中 a 2 > 0 .  
(I) 略;  

( i ) 求 实数 m 的最 大值 ;  
( i i ) 略.  

分析: ( I)略 . ( I I ) g(  ) 一 f(  ) + 

是[ 2 ,  

( Ⅱ ) 若 在 区 间 『 一   1 , 专 ] 上 厂 ( z ) > o 恒 成 立 , 求  
a的取 值 范 围.  
( Ⅱ) 解: ( 法 A) f   (  ) 一3 a x 。 ~3 x一 3  ( n  一 1 ) .   令 f   ( z ) 一0 , 解 得 z一0或  一   .  

+C × 。 ) 上 的增 函数 等 价 于 g   ( - z ) ≥ 0在 [ 2 , +。 。 ) 上 恒  成立 , 因为参 数 m 易 分 离 , 故 本 题 可采 用 函数 最 值 法  或分 离参 数法 求解 .  
解: (I )由 f   (   )= = :   。一 2 x + a 及 题 设 得 

以下分 两种 情况 讨论 :  

f I 厂 ‘ o   一 3 ,即 f   一 3 ,  
( I I) ( i ) 由 g(  )  

厂 ( 0 ) 一 一2,’I 6 一 一2 .   ’ ( z) +  一  1  。 一  + 3 x  

( i ) 若0 < 口 ≤ 2 , 则 吉 ≥ 专 . 当- z 变 化 时 , f   (   ) ,  
- 厂 ( z ) 的变化 情况 如下 表 :  
Z  



2 + 

, 得 g l (  ) 一- z 。 一2  ̄ r +3 一 

,  
(  )  

( 一 ÷ , o )  
+ 

O  
O  

( o ,   1 )  

因为 gC r ) 是[ 2 , +o o ) 上 的增 函数 ,   所以 g   (  ) ≥ 0在 [ 2 , +o o ) 上恒成立 , 即  一2 z  
+3 一   ≥0在[ 2 , +。 。 ) 上恒 成立 .  

_ 厂 (  )  

+  

极 大 值 

令 7 2 一( x -1 ) 。 , ‘ . ’  ≥ 2 , . ’ .  ≥ 1 , 则 不 等式  +2  
一  

当   ∈ [ 一   1 , 一 1   1 , , /   (   ) > o 等 价 于   ( 一 吉 )  
> o 且, (   ) > o , 解 不 等 式 组 得 一 5 < a < 5 , 因 此  
0 <口 ≤2 .  

≥O在 [ 1 , +。 。 ) 上 恒 成立 .   ( 法 A) 当 m≤ O时 , 不 等 式  +2 一  ≥ O在 [ 1 ,  

十。 。 ) 上 恒成 立 .  

( i i ) 若口 >2 , 则0 <÷<÷. n   当 z变化时, /   (   ) 、  
, (  ) 的变化 情 况如 下 表 :  

当 m> 0时 , 设  — +2 -一 m,  E[ 1 , +。 。 ) , 因 为 

: = = 1 +  > o , 所 以 函 数y = n + 2 一 詈 在 [ 1 , + 。 。 ) 上  
单 调递 增 , 因此  = = : 3 一m.

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