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2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学(文科)


绝密★启用前

试卷类型:A

2011 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(文科)
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是 否正确; 之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校

、 姓名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码 区,请保持条形码整洁、不污损. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂的,答 案无效. 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来 的答案, 然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无 效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答.漏涂、错 涂、多涂的答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回. 参考结论:

2011.3

1 若锥体的底面积为 S ,高为 h ,则锥体的体积为 V ? Sh . 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? ?0,, ? ,集合 B ? ?x x ? 2? ,则 A ? B ? 1 2 A. ?2? B. ?0,, ? 1 2 C. ?x x ? 2? D. ?

2.复数(3 ? 4i)i (其中 i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于 A.第一象限 C.第三象限 3.双曲线 x2 ? A. x ? ?1
2

B.第二象限 D.第四象限

y ? 1 的渐近线方程为 4
B. y ? ?2 C. y ? ?2 x D. x ? ?2 y

4.已知 p : 直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 与直线 l2 : x ? ay ? 2 ? 0 平行, q : a ? ?1 ,则 p 是 q 的

A.充要条件 C.必要不充分条件

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

5.设数列 (?1)n 的前 n 项和为 Sn ,则对任意正整数 n , Sn ?
n ?(?1)n ? 1? ? A. ? 2

?

?

B. C.

(?1)n?1 ? 1 2 (?1)n ? 1 2 (?1)n ? 1 2
F E O Q P H G

D.

6.如图所示的方格纸中有定点 O,P,Q,E,F ,G,H ,则 ??? ???? ? OP ? OQ? ???? ? A. OH ???? B. OG ??? ? C. FO ???? D. EO

? ? 7.在同一平面直角坐标系中,画出三个函数 f ( x)? 2 sin(2 x ? ), g(x)? sin(2x ? ) , 4 3 ? ,则 h( x)? cos( x ? )的部分图象(如图) 6
A. a 为 f ( x), b 为 g( x) , c 为 h( x ) B. a 为 h( x ), b 为 f ( x), c 为 g( x) C. a 为 g( x) , b 为 f ( x), c 为 h( x ) D. a 为 h( x ), b 为 g( x) , c 为 f ( x) 8 . 已 知 圆 面 C :( x ? a)2 ? y 2 ? a 2 ? 1 的 面 积 为 S , 平 面 区 域
开始 输入 P(a,b,c) a>b? 是 e=a a=b b=e 是 a>c? e=a a=c c=e 是 e=b b=c c=e

c b

a

1 D : 2 x ? y ? 4 与圆面 C 的公共区域的面积大于 S ,则实数 a 的 2
取值范围是
2 A. ? ??, ? ? 2 C. ? ??, 1? ? ?1, ? ? 2 D. ? ??, 1? ? ?1, ? 2 B. ? ??, ?



9.如图所示程序框图,其作用是输入空间直角坐标平面中一点
P(a, , ),输出相应的点 Q a,, ) .若 P 的坐标为(2, , ), b c 3 1 ( b c

Q 则 P, 间的距离为
(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=” )



b>c?

A. 0
否 输出 Q(a,b,c) _ 结束

B. 2 C. 6 D. 2 2 10.若实数 t 满足 f (t ) ? ?t ,则称 t 是函数 f ( x)的一个次不动点.设函数 f ( x)? lnx 与函数
g( x)? e x (其中 e 为自然对数的底数)的所有次不动点之和为 m ,则

A. m ? 0 B. m ? 0 C. 0 ? m ? 1 D. m ? 1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.本大题分为必做题和选做题 两部分.
(一)必做题:第 11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 11.某机构就当地居民的月收入调查了 1 万 人,并根据所得数据画出了样本频率分 布直方图(如图) .为了深入调查,要从 这 1 万人中按月收入用分层抽样方法抽
3000) 元) 出 100 人, 则月收入在[2500, (
0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 月收入(元) 频率 组距

段应抽出

人.

1000

1500

2000 2500 3000 3500 4000

1

1

12.已知正三棱柱(侧棱与底面垂直,底面是正三角 的高与底面边长均为 2,其直观图和正(主)视图 下,则它的左(侧)视图的面积是 .
直观图 正视图

形) 如

13.已知 y 与 x( x ? 100)之间的部分对应关系如下表:

x

11

12

13

14

15

… …

y

2 97

1 48

2 95

1 47

2 93


则 x 和 y 可能满足的一个关系式是

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算第一题的 得分.
Q 14. (坐标系与参数方程) 在极坐标系中,P, 是曲线 C : ? ? 4sin ? 上任意两点, 则线段 PQ

长度的最大值为

. C

15. (几何证明选讲)如图, AB 是半圆 O 的直径, C 是半圆
O 上异于 A,B 的点, ? AB , CD 垂足为 D , 已知 AD ? 2 ,

CB ? 4 3 ,则 CD ?



A

D

O

B

三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. (本小题满分 14 分)

? 4 ? ? ? 已知向量 a ?(?1, sin ) 与向量 b ?( , 2cos )垂直,其中 ? 为第二象限角. 2 5 2
(1)求 tan? 的值; (2)在 ?ABC 中, a, b, c 分别为 ?A, ?B, C 所对的边,若 b2 ? c2 ? a 2 ? 2bc ,求 ?
tan(? ? A)的值.

17. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中, AB ? AD , AB // CD ,
CD ? 3 AB ,平面 SAD ? 平面 ABCD , M 是线段 AD 上一

S

点, AM ? AB , DM ? DC , SM ? AD . (1)证明: BM ? 平面 SMC ; (2)设三棱锥 C ? SBM 与四棱锥 S ? ABCD 的体积分 V 别为 V1 与 V ,求 1 的值. V A B

M

D

C

18. (本小题满分 14 分)

1 b 已知函数 f ( x)? x3 ? ax ? b ,其中实数 a, 是常数. 3
(1)已知 a ??0,, ? , b ??0,, ? ,求事件 A“ f (1) ? 0 ”发生的概率; 1 2 1 2 (2) f ( x)是 R 上的奇函数, (a) 是 f ( x)在区间 ? ?1,? 上的最小值, 若 求当 a ? 1 时 g(a) g 1 的解析式.

19. (本题满分 12 分) 如图,有一正方形钢板 ABCD 缺损一角(图中的阴影部分),边缘线 OC 是以直线 AD 为 对称轴,以线段 AD 的中点 O 为顶点的抛物线的一部 分.工人师傅要将缺损一角切割下来,使剩余的部分 成为一个直角梯形.若正方形的边长为 2 米,问如何 画切割线 EF ,可使剩余的直角梯形的面积最大?并 求其最大值. O F E D C

A

B

20. (本题满分 14 分) x2 y 2 b 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 a ? b ? 0) 的左焦点 F 及点 A(0, ),原点 O 到直线 FA 的距离为 ( a b 2 b. 2 (1)求椭圆 C 的离心率 e ; (2)若点 F 关于直线 l : 2 x ? y ? 0 的对称点 P 在圆 O : x2 ? y 2 ? 4 上,求椭圆 C 的方程 及点 P 的坐标.

21. (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,其前 n 项和为 S n . (1)已知 a1 ? 1 , d ? 2 ,

Sn ? 64 的最小值; n 2 3 n ?1 5 ? ??? ? (ⅱ )当 n? N? 时,求证: ; S1 S3 S2 S4 Sn Sn ? 2 16
(ⅰ )求当 n? N? 时, (2)是否存在实数 a1 ,使得对任意正整数 n ,关于 m 的不等式 am ? n 的最小正整数解 为 3n ? 2 ?若存在,则求 a1 的取值范围;若不存在,则说明理由.

2011 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(文科)答案及评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 50 分. 1 D 2 B 3 C 4 A 5 D 6 C 7 B 8 C 9 C 10 B

n 5. 数列 ( ?1) 是首项与公比均为 ?1 的等比数列.

?

?

6. a ? OP ? OQ, 利用平行四边形法则做出向量 OP ? OQ ,再平移即发现. a ? FO. 7.从振幅、最小正周期的大小入手: b 的振幅最大,故 b 为 f ( x) ; a 的最小正周期最大, 故 a 为 h( x), 从而 c 为 g ( x) . 8. 圆面 C : ( x ? a) ? y ? a ?1 的圆心 ( a, 0) 在平面区域 : 2 x ? y ? 4 内,
2 2 2

?

??? ???? ?

??? ??? ? ?

?

??? ?

?a 2 ? 1 ? 0 则? ? a ? (??, ?1) ? (1, 2). ? 2a ? 0 ? 4

9. 程序框图的作用是将三个实数按从小到大的顺序排列,若 P(2,3,1) ,则 Q(1, 2,3) . 10.画图即知:函数 y ? ln x 的图象与直线 y ? ? x 有唯一公共点 (t , ?t ),

ex ? ? x ? x ? ln(? x) ? x ? ?t. 故两个函数的所有次不动点之和 m ? t ? (?t ) ? 0.
或利用函数 y ? ln x 的图象与函数 y ? e x 的图象关于直线 y ? x 对称即得出答案. 二、填空题:本大题每小题 5 分;第 14、15 两小题中选做一题,如果两题都做,以第 14 题的得分为最后得分),满分 20 分. 11. 25 . 12.. 2 3 13. y (108 ? x) ? 2 . 14. 4 . 15. 2 3 .

第 13 题写或不写 x ? 100 都可以,写成如 y ?

2 等均可. 108 ? x

11.每个个体被抽入样的概率均为

100 1 ? , 10000 100

, ) 在 [25003000 内的频率为
0.0005×(3000-2500)=0.25,频数为 10 000×0.25=2 500 人,则该范围内应当抽取的 人数为 2 500×

1 =25 人. 100

3 2

12. 画出左(侧)视图如图,其面积为 2 3. 13. 将各 11 ,12,13,14,15 对应的函数值分别写成

2 2 2 2 2 , , , , , 97 96 95 94 93

分母成等差数列,可知分母 an ? a11 ? (n ?11)(?1) ? 97 ? n ? 11 ? 108 ? n. 14. 最长线段 PQ 即圆 x ? ( y ? 2) ? 4 的直径.
2 2

15. 根据射影定理得

CB2 ? BD ? BA ? (4 3)2 ? BD(BD ? 2) ? BD ? 6, CD2 ? AD ? BD ? 12.
三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤.
16. (本小题满分 14 分)

? 4 ? ? ? 已知向量 a ?(?1, sin ) 与向量 b ?( , 2cos )垂直,其中 ? 为第二象限角. 2 5 2
(1)求 tan? 的值; (2)在 ?ABC 中, a, b, c 分别为 ?A, ?B, C 所对的边,若 b2 ? c2 ? a 2 ? 2bc ,求 ?
tan(? ? A)的值.

【命题意图】本题主要考查向量的数量积、二倍角公式、同角间三角函数关系、余弦定理、

两角和的正切公式等基础知识,以及运算求解能力. 解: (1) ? a ? (?1,sin

?

3 sin ? 4 ? cos ? ? ? 1 ? sin 2? ? ? , tan ? ? ?? . 5 cos ? 3 (2) 在 ?ABC 中,

? ? 为第二象限角,

? 4 ? ? ? ) , b ? ( , 2 cos ), a ? b 2 5 2 ? 4 4 ? ? ? ? a ? b ? ? ? 2 s i n c o s? 即 sin ? ? . ……………………3 分 0, 5 5 2 2
………………………6 分

?

?b2 ? c2 ? a2 ? 2bc,
? cos A ? b2 ? c 2 ? a 2 2 ? . 2bc 2
…………………………………………9 分

? A? (0, π) ,
?A? π , tan A ? 1, ……………………11 分 4 tan ? ? tan A 1 ? tan(? ? A) ? ?? . ……………………14 分 1 ? tan ? tan A 7

17. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中, AB ? AD , AB // CD ,
CD ? 3 AB ,平面 SAD ? 平面 ABCD , M 是线段 AD 上一

S

点, AM ? AB , DM ? DC , SM ? AD .

M A (1)证明: BM ? 平面 SMC ; (2)设三棱锥 C ? SBM 与四棱锥 S ? ABCD 的体积分 B V1 别为 V1 与 V ,求 的值. V 【命题意图】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体 积等知识,考查数空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. (1) 证明: ? 平面 SAD ? 平面 ABCD ,平面 SAD ? 平面 ABCD ? AD ,

D

C

SM ? 平面 SAD , SM ? AD ? SM ? 平面 ABCD ,???????1 分
? BM ? 平面 ABCD,

? SM ? BM .

???????2 分

? 四边形 ABCD 是直角梯形, AB // CD , AM ? AB, DM ? DC,
??MAB, ?MDC 都是等腰直角三角形,

??AMB ? ?CMF ? 45?, ?BMC ? 90?, BM ? CM . ………………4 分
? SM ? 平面 SMC , CM ? 平面 SMC , SM ? CM ? M , ? BM ? 平面 SMC …………………………………………6 分 (2) 解: 三棱锥 C ? SBM 与三棱锥 S ? CBM 的体积相等, 由( 1 ) 知 SM ? 平面 ABCD , 1 1 SM ? BM ? CM V 3 2 得 1 ? ,……………………………………………9 分 1 1 V SM ? ( AB ? CD) ? AD 3 2
设 AB ? a, 由 CD ? 3 AB , AM ? AB, DM ? DC, 得 CD ? 3a, BM ? 2a, CM ? 3 2a, AD ? 4a,

从而

V1 2a ? 3 2a 3 ? ? . …………………………… 12 分 V (a ? 3a) ? 4a 8

18. (本小题满分 14 分)

1 b 已知函数 f ( x)? x3 ? ax ? b ,其中实数 a, 是常数. 3
(1)已知 a ??0,, ? , b ??0,, ? ,求事件 A“ f (1) ? 0 ”发生的概率; 1 2 1 2
g 1 (2) f ( x)是 R 上的奇函数, (a) 是 f ( x)在区间 ? ?1,? 上的最小值, 若 求当 a ? 1 时 g(a)

的解析式. 【命题意图】本小题主要考查古典概型、函数的奇偶性与零点、导数、解不等式等知识, 考 查化归与转化、分类列举等数学思想方法,以及运算求解能力. 解:(1) 当 a ??0,1,2? , b ??0,1,2? 时,等可能发生的基本事件 ( a, b) 共有 9 个:

(0,,,,, ,,,,,,,,,,, …………………………4 分 0) (0 1) (0 2),(1 0) (11) (1 2) (2 0) (2 1) (2 2).
其中事件 A “ f (1) ?

1 ? a ? b ? 0 ”,包含 6 个基本事件: 3

(0,,,,,,,,,,, …………………………4 分 0) (0 1) (0 2) (11) (1 2) (2 2).
6 2 ? .…………………………6 分 9 3 2 答:事件“ f (1) ? 0 ”发生的概率 .………………7 分 3 1 3 x ? a x ,b R 上的奇函数,得 f (0) ? 0, b ? 0. ………………8 分 ? 是 (2) f ( x)? 3
故 P ( A) ?

∴ f ( x) ?

1 3 x ? ax, 3

f ?( x) ? x2 ? a ,

………………………9 分

① 当 a ? 1 时,因为 ?1 ? x ? 1 ,所以 f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ??1,1? 上单调递减, 从而 g ( a ) ? f (1) ?

1 ? a ;……………………11 分 3

② 当 a ? ?1 时,因为 ?1 ? x ? 1 ,所以 f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ??1,1? 上单调递增, 从而 g (a ) ? f ( ?1) ? ?

1 ? a . ……………………13 分 3

? 1 ? a ? 3 , a ? ?1 ? . 综上,知 g (a ) ? ? ??a ? 1 , a ? 1 ? 3 ?
19. (本题满分 12 分)

……………………14 分

如图,有一正方形钢板 ABCD 缺损一角(图中的阴影部分),边缘线 OC 是以直线 AD 为 对称轴,以线段 AD 的中点 O 为顶点的抛物线的一部 分.工人师傅要将缺损一角切割下来,使剩余的部分 成为一个直角梯形.若正方形的边长为 2 米,问如何 画切割线 EF ,可使剩余的直角梯形的面积最大?并 求其最大值. O F E D C

【命题意图】本小题主要考查二次函数的切线、最值 A 等知识,考查坐标思想、数形结合、化归与转化等数 y 学思想方法,以及将实际问题转化为数学问题的能力. D 解法一:以 O 为原点,直线 AD 为 y 轴, 建立如图所示的直角坐标系,依题意 O 可设抛物线弧 OC 的方程为 y ? ax (0 ? x ? 2) F
2

B C E P

x

∵ C 的坐标为 (2,1) , 点 A B

1 ∴2 a ? 1 , a ? 4
2

故边缘线 OC 的方程为 y ?

1 2 x (0 ? x ? 2) . ……4 分 4

要使梯形 ABEF 的面积最大,则 EF 所在的直线必与抛物线弧 OC 相切,设切点坐标 为 P (t , t )(0 ? t ? 2) ,
2

1 4

∵ y? ?

1 x, 2

1 2 1 1 1 t ? t ( x ? t ) ,即 y ? tx ? t 2 ,…………6 分 4 2 2 4 1 2 1 2 由此可求得 E (2, t ? t ) , F (0, ? t ) . 4 4 1 2 1 2 1 2 1 2 ∴| AF |?| ? t ? (?1) |? 1 ? t , | BE |?| (t ? t ) ? (?1) |? ? t ? t ? 1 ,…8 分 4 4 4 4
∴ 直线 EF 的的方程可表示为 y ? 设梯形 ABEF 的面积为 S (t ) ,则

1 1 1 1 | AB | ??| AF | ? | BE |? ? (1 ? t 2 ) ? (? t 2 ? t ? 1) ? ? t 2 ? t ? 2 2 2 4 4 1 5 5 ? ? (t ? 1) 2 ? ? . ……………………………………………………………10 分 2 2 2 5 ∴ t ? 1 时, S (t ) ? . , 当 2

S (t ) ?

故 S (t ) 的最大值为 2.5 .

此时 | AF |? 0.75,| BE | ?1.75 .………11 分

答:当 AF ? 0.75 m, BE ? 1.75 m 时,可使剩余的直角梯形的面积最大,其最大值为

2.5 m2 .

………………………………………………………………………12 分 图 为

解法二:以 A 为原点,直线 AD 为 y 轴,建立如 所示的直角坐标系,依题意可设抛物线弧 OC 的方程

y ? ax2 ? 1(0 ? x ? 2)
∵ C 的坐标为 (2, 2) , 点
2 ∴2 a ? 1 ? 2 , a ?

1 4

故边缘线 OC 的方程 为y?

1 2 x ? 1(0 ? x ? 2) . ………4 分 4

要使梯形 ABEF 的面积最大,则 EF 所在的直线必与抛物线弧 OC 相切,设切点坐标 为 P(t , t ? 1)(0 ? t ? 2) ,
2

1 4

∵ y? ?

1 x, 2

1 2 1 1 1 t ? 1 ? t ( x ? t ) ,即 y ? tx ? t 2 ? 1 ,…6 分 4 2 2 4 1 2 1 2 由此可求得 E (2, t ? t ? 1) , F (0, ? t ? 1) . 4 4
∴ 直线 EF 的的方程可表示为 y ?

∴| AF |? 1 ?

1 2 1 t , | BE |? ? t 2 ? t ? 1 ,……………7 分 4 4

设梯形 ABEF 的面积为 S (t ) ,则

1 1 1 1 | AB | ??| AF | ? | BE |? ? (1 ? t 2 ) ? (? t 2 ? t ? 1) ? ? t 2 ? t ? 2 2 2 4 4 1 5 5 ? ? (t ? 1) 2 ? ? . ……………………………………………………………10 分 2 2 2 5 ∴ t ? 1 时, S (t ) ? . , 当 2

S (t ) ?

故 S (t ) 的最大值为 2.5 .

此时 | AF |? 0.75,| BE | ?1.75 .………11 分

答:当 AF ? 0.75 m, BE ? 1.75 m 时,可使剩余的直角梯形的面积最大,其最大值为

2.5 m2 .

………………………………………………………………………12 分

20. (本题满分 14 分) x2 y 2 b 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 a ? b ? 0) 的左焦点 F 及点 A(0, ),原点 O 到直线 FA 的距离为 ( a b 2 b. 2 (1)求椭圆 C 的离心率 e ; (2)若点 F 关于直线 l : 2 x ? y ? 0 的对称点 P 在圆 O : x2 ? y 2 ? 4 上,求椭圆 C 的方程 及点 P 的坐标. 【命题意图】本小题主要考查椭圆的标准方程与简单几何性质、点关于直线对称等知识, 考查数形结合、方程等数学思想方法,以及运算求解能力.

, ) 解 : (1) 由 点 F (?ae,0) , 点 A( 0 b 及 b ? 1 ? e2 a 得 直 线 FA 的 方 程 为

x y ? ? 1 ,即 1 ? e2 x ? ey ? ae 1 ? e2 ? 0 ,…………………2 分 2 ?ae 1? e a
∵ 原点 O 到直线 FA 的距离为 ∴

2 1 ? e2 , b?a 2 2

ae 1 ? e2 1 ? e2 ? e2

?a

1 ? e2 2 ,e ? . ………………………………………5 分 2 2
2 . 2
…………………………………7 分

故椭圆 C 的离心率 e ?

(2) 解法一:设椭圆 C 的左焦点 F ( ?

2 a, 0) 关于直线 l : 2 x ? y ? 0 的对称点为 2

P( x0 , y0 ) ,则有

y0 1 ? ? , ? 2 ? x0 ? 2 a ? 2 …………………………………………10 分 ? 2 ? ? x0 ? 2 a y0 ? ? 0. ?2 ? ? 2 2 3 2 4 2 解之,得 x0 ? a, y0 ? a. 10 10 ? P 在圆 x2 ? y 2 ? 4 上
3 2 2 4 2 2 a) ? ( a) ? 4 , 10 10 ∴a2 ? 8, b2 ? (1 ? e2 )a2 ? 4. ……………………………………13 分
∴( 故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1, 8 4

点 P 的坐标为 ( , ). ………………………………………14 分 解法二:因为 F ( ?

6 8 5 5

2 a, 0) 关于直线 l 的对称点 P 在圆 O 上,又直线 l : 2 x ? y ? 0 经过 2
2 a, 0) 也在圆 O 上, ………9 分 2

圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 的圆心 O (0, 0) ,所以 F ( ? 从而 (?

2 2 2 a) ? 0 ? 4 , a2 ? 8, b2 ? (1 ? e2 )a2 ? 4. ………………………10 分 2
x2 y 2 ? ? 1 . ………………………………………11 分 8 4

故椭圆 C 的方程为

? F (?2, 0) 与 P( x0 , y0 ) 关于直线 l 的对称,

1 ? y0 ?x ?2 ? 2, ? ?? 0 …………………………………………12 分 x0 ? 2 y0 ?2 ? ? ? 0. ? ? 2 2 6 8 解之,得 x0 ? , y0 ? .…………………………………………13 分 5 5 6 8 故点 P 的坐标为 ( , ). ………………………………………14 分 5 5

21. (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,其前 n 项和为 S n .

(1)已知 a1 ? 1 , d ? 2 ,

Sn ? 64 的最小值; n 2 3 n ?1 5 ? ??? ? (ⅱ )当 n? N? 时,求证: ; S1 S3 S2 S4 Sn Sn ? 2 16
(ⅰ )求当 n? N? 时, (2)是否存在实数 a1 ,使得对任意正整数 n ,关于 m 的不等式 am ? n 的最小正整数解 为 3n ? 2 ?若存在,则求 a1 的取值范围;若不存在,则说明理由. 【命题意图】本小题主要考查等差数列通项、求和与不等式等知识,考查化归与转化的数 学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力. (1) (ⅰ) 解: ? a1 ? 1, d ? 2,

? Sn ? na1 ?
当且仅当 n ? 故

S ? 64 n(n ? 1)d 64 64 ? n2 , n ? n? ? 2 n? ? 16, 2 n n n
64 , 即 n ? 8 时,上式取等号. n

S n ? 64 的最大值是 16. ……………………………………………………4 分 n

(ⅱ) 证明: 由(ⅰ)知 Sn ? n2 , 当 n? N 时,
?

n ?1 n ?1 1? 1 1 ? ,……6 分 ? 2 ? ? 2? 2 Sn Sn? 2 n (n ? 2) 4 ? n (n ? 2)2 ? ?

2 3 n ?1 1 ? 1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1? 1 1 ? , ? ? ?? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? ?? ? 2 ? S1S3 S2 S4 Sn Sn ? 2 4 ? 1 3 ? 4 ? 2 4 ? 4 ? n (n ? 2)2 ? ? 1? 1 1 1 ? 1?1 1 1 1 ? ? ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ?? ? 2 4 ?1 2 n ? 4 ?3 5 (n ? 1) (n ? 2)2 ? ? 1?1 1 1 1 ? ? ? 2? 2? ? , ……………………………………8 分 2 4 ?1 2 (n ? 1) (n ? 2)2 ? ?
? 1 1 ? ? 0, 2 (n ? 1) (n ? 2) 2

?

2 3 n ?1 1 1 1 5 ? ? ?? ? ( 2 ? 2 ) ? . ……………………………………9 分 S1S3 S2 S4 Sn Sn ? 2 4 1 2 16
?

(2)对 ?n ? N ,关于 m 的不等式 am ? a1 ? (m ? 1)d ? n 的最小正整数解为 cn ? 3n ? 2 , 当 n ? 1 时, a1 ? (c1 ?1)d ? a1 ? 1 ;……………………10 分

当 n ? 2 时,恒有 ?

?a1 ? (cn ?1)d ? n ?(3d ? 1)n ? (a1 ? 3d ) ? 0 ,即 ? , ?(3d ? 1)n ? (a1 ? 4d ) ? 0 ?a1 ? (cn ? 2)d ? n

?3d ? 1 ? 0 ?(3d ? 1) ? 2 ? (a ? 3d ) ? 0 1 4 ? 1 ? d ? ,1 ? a1 ? . ……………………12 分 从而 ? 3 3 ?3d ? 1 ? 0 ?(3d ? 1) ? 2 ? (a1 ? 4d ) ? 0 ? 1 4 ? 当 d ? ,1 ? a1 ? 时,对 ?n ? N ,且 n ? 2 时, 当正整数 m ? cn 时, 3 3 c ?1 m ?1 ? a1 ? n ? n. ……………………13 分 有 a1 ? 3 3
所以存在这样的实数 a1 ,且 a1 的取值范围是 ?1, ? .……………………14 分

? 4? ? 3?


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