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高中数学双曲线的标准方程课件 新人教版选修2-1


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第一课时

1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
动 画

2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.

Y

M ?x, y?

O
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F 1 ?? c , 0 ?

F 2? c , 0 ? X

2. 引入问题: 平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢?

定义:
平面内与两个定点F1,F2的距离的差 的绝对值 等于常数 2a ( 小于︱F1F2︱且大于0 的点的轨迹 叫做双曲线。
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
M

动 画
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注意

1 、2a= |F1F2 |
F
1

以F1、F2为端点两条射线 2、2a> |F1F2 |
无轨迹

o

F

2

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双曲线在生活中

☆.☆

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1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴, 线段F1F2的中点为原点建立直角
坐标系 设M(x , y),双曲线的焦 2.设点 .
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y
M

距为2c(c>0),F1(-c,0),F2(c,0)

F1

o

F2

x

常数=2a ? 0
3.列式.

MF1 ? MF2 ? 2a

即 | (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 | = 2a
4.化简.

( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y ? ?2 a
2 2 2 2

? ( x ? c)
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2

?y

2

? ? ?? 2a ?
2

( x ? c) ? y
2

2

?

2

cx ? a ? ? a ( x ? c) ? y
2 2
2 2 2 2 2 2

2

(c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )
2 2

c ?a ?b
2 2

2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1(a ? 0, b ? 0)

此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准 方程

双曲线的标准方程
y
M F1
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y M

F2
O

x

F2

x

O

F1

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1(a ? 0, b ? 0)
2 2

y a

2 2

?
2

x b

2 2

? 1 (a ? 0, b ? 0)

c ?a ?b

问题:如何判断双曲线的焦点在哪个轴上?

例1、 已知 点P为双曲线
动 画

x

2

?

y

2

16

9

? 1上

一点 , (1)a=

4

,b=

3

,c=

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5



(2)若点P到一个焦点的距离为 9 ,则它 到另一个焦点的距离为 。 1或17

例 2、已知两定点 F
解:∵
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1

( ? 5, 0 ) , F 2 ( 5 , 0 ) ,动点 P

满足 P F1 ? P F 2 ? 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
F1 F 2 ? 1 0

>

P F1 ? P F 2 ? 6

∴ 由双曲线的定义可知,点 P 的轨迹是焦点在

X 轴上的一条双曲线。
∴设标准方程为:
x a
2 2

?

y b

2 2

?1

(a>0,b>0).
2

? 2 a ? 6, 2 c ? 1 0 ? a ? 3, c ? 5, b ? 1 6

.

所以点 P 的轨迹方程为

x

2

?

y

2

?1

.

9

16

练习:
1、 双曲线 a=
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y

2

?

x

2

?1

4

5

中 ;

2

,b=

5

,c= 。

3

焦点坐标

? 0, ? 3 ?

练习:
2、求适合下列条件的双曲线的标准方程。 (1)a=4,c=5,焦点在y轴上 (2)焦点为(-5,0),(5,0),且b=4
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(3)a+c=7,c-a=1
y
2

?

x

2

?1

x

2

?

y

2

?1

16

9
2

16

9

x

?

y

2

?1或

y

2

?

x

2

?1

9

7

9

7

3、求经过点A(2,5)且
解:焦点在y轴上,
y a
2 2

a? 2 5

,焦点在

Y轴上的双曲线的标准方程。
设双曲线方程为
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?

x b

2 2

? 1

所以

?a ? 2 5 ? ? 25 4 ? ? 1 ? 2 2 b ? a

解得:

b

2

? 16

y
双曲线的方程为:

2

?

x

2

?1

20

16

思考:如果方程
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x

2

2?m

?

y

2

m ?1

?1

表示焦点在Y轴上的双曲线, 求m的取值范围.

课堂小结:

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作业:
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教材

P55练习 第1,2题 P61习题A第1、2、3题

4、 双曲线 m 焦距是6,则m=
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x

2

?

y

2

?1

7

2
y
2

的 。

x

2

5、 双曲线 4 上 m 的点到两个焦点的距离之差的 绝对值等于8,则m的值 为 16 。

?

? ?1

思考:1、如果方程

x

2

2?m

?

y

2

m ?1

?1

表示焦点在Y轴上的双曲线,求m的 取值范围.
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{m

2 ? m ? 0 ? 1 ? 0
x
2

2、如果方程

2? m

?

y

2

m ?1

?1

表示双

曲线,求m的取值范围.

?2 ? m ? ? ?m

? 1? ? 0


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