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2014届高考数学一轮专题复习 高效测试12 变化率与导数、导数的计算 新人教A版


高效测试 12:变化率与导数、导数的计算
一、选择题 lnx 1.函数 f(x)= 在点(x0,f(x0))处的切线平行于 x 轴,则 f(x0)=( x 1 A.- e 1 1 B. C. D.e2 e e2 )

1 ·x0-lnx0 x0 1-lnx0 解析:与 x 轴平行的切线,其斜率为 0,所以 f ′(x0)= = =0,故 x2 0 x2 0 1 x0=e,∴f(x0)= . e 答案:B 2.阅读下图所示的程序框图,其中 f ′(x)是 f(x)的导数.已知输入 f(x)=sinx,运行相 应的程序,输出的结果是( )

A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx 解析:f1(x)=(sinx)′=cosx, f2(x)=(cosx)′=-sinx, f3(x)=(-sinx)′=-cosx, f4(x)=(-cosx)′=sinx, f5(x)=(sinx)′=cosx,它以 4 为周期进行变换, 故 f2011(x)=f3(x)=-cosx. 答案:D 4 3.已知点 P 在曲线 y= 上,α 为曲线在点 P 处的切线的 倾斜角,则 α 的取值范围是 ex+1 ( ) π π B.[ , ) 4 2 3π D.[ ,π ) 4 π A.[0, ) 4 π 3π C.( , ] 2 4

1

解析 :设曲线在点 P 处的切线斜率为 k,则 k=y′=

-4ex -4 = ,因为 ex>0, ? 1+ex? 2 1 ex+ +2 ex

所以由基本不等式得 k≥ 2 3π ≤α <π . 4 答案:D

-4 1 ex× +2 ex

,又 k<0,∴-1≤k<0,即-1≤tanα <0,所以

3 4.有一机器人的运动方程为 s=t2+ (t 是时间,s 是位移),则该机器人在时刻 t=2 时的 t 瞬时速度为( 19 A. 4 15 C. 4 17 B. 4 13 D. 4 )

3 3 解析:∵s(t)=t2+ ,∴s′(t)=2t- ,∴机器人在时刻 t=2 时的瞬时速度为 s′(2) t t2 3 13 =4- = . 4 4 答案:D 5.已知函数 f(x)的导函数为 f ′(x),且满足 f(x)=2xf ′(1)+x2,则 f ′(1)=( ) A.-1 B.-2 C.1 D.2 解析:f ′(x)=2f ′(1)+2x,令 x=1,得 f ′(1)=-2,选 B. 答案:B 6.已知函数 f(x)=x2+bx 的图象在点 A(1,f(1))处的切线 l 与直线 3x-y+2=0 平行, 若数列{ f? 1 }的前 n 项和为 Sn,则 S2011 的值为( n? )

2010 2009 A. B. 2011 2010 2008 2011 C. D. 2009 2012 解析:f ′(x)=2x+b,由 f ′(1)=2+b=3,得 b=1. 于是 f? 1 1 1 1 1 = = = - , n? n2+n n? n+1? n n+1 1 f? 1? + 1 f? 2? +…+ f? 1 2011? 1 1 1 1 1 1 = 1 - + - +…+ - =1 - = 2 2 3 2011 2012 2012

S2011 = 2011 . 2012

答案:D 二、填空题 7.函 数 y=sinx+cosx 在 x=π 处的切线方程是________________. 解析:∵当 x=π 时,y=sinπ +cosπ =-1,[z.zs.tep.com] ∴切点为(π ,-1).

2

∵y′=cosx-sinx,∴k=cosπ -sinπ =-1, 根据点斜式可得此切线的方程为:y+1=-1×(x-π ),即 y=-x+π -1. 答案:y=-x+π -1 8.若曲线 f(x)=ax3+lnx 存在垂直于 x 轴的切线,则实数 a 的 取值范围是__________. 1 解析:依题意得 f ′(x)=3ax2+ = 0,(x>0)有实根, x 1 ∴a=- <0. 3x3 答案:(-∞,0) 9.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 在曲线 C:y=x3-10x+3 上,且在第二象限内,已知曲 线 C 在点 P 处的切线斜率为 2,则点 P 的坐标为__________. 解 析:设 P(x0,y0)(x0<0).由题意知 y′| x=x0 =3x2 0-10=2, ∴x2 0=4. ∴x0=-2(x0=2 舍去). ∴y0=15. ∴点 P 的坐标为(-2,15). 答案:(-2,15) 三、解答题 9 10.设有抛物线 C:y=-x2+ x-4,通过原点 O 作 C 的切线 y=kx,使切点 P 在第一象限. 2 (1)求 k 的值; (2)过点 P 作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点 Q 的坐标. 解析:(1)设点 P 的坐标为(x1,y1),则 y1=kx1①[中|国教|育出|版网] 9 y1=-x2 1+ x1-4② 2

? 9? ①代入②得 x2 1+?k- ?x1 +4=0. ? 2? ? 9? ∵P 为切点,∴Δ =?k- ?2-16=0, ? 2?
得 k= 17 1 或 k= . 2 2

17 当 k= 时,x1=-2,y1=-17. 2 1 当 k = 时,x1=2,y1=1. 2 1 ∵P 在第一象限,∴所求的斜率 k= . 2 (2)由(1)得 P 点坐标为(2,1), ∴过 P 点的切线 的垂线为 y=-2x+5. y=-2x+5 ? ? 由? 9 y=-x2+ x-4 ? 2 ? 9 ? ?x= ,得? 2 ? ?y=-4
?x=2 ? 或? ? ?y=1

(舍).

3

?9 ? ∴点 Q 的坐标为? ,-4?. ?2 ?
11.(2013·绍兴调研)设 t≠0,点 P(t,0)是函数 f(x)=x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象的 一个公共点,两函数的图象在点 P 处有相同的切线.试用 t 表示 a,b,c. 解析:因为函数 f(x),g(x)的图象都过点(t,0), 所以 f(t)=0,即 t3+at=0. 因为 t≠0 ,所以 a=-t2. g(t)=0,即 bt2+c=0,所以 c=ab. 又因为 f(x),g (x)在点(t,0)处有相同的切线, 所以 f′(t)=g′(t). 而 f′(x)=3x2+a,g′(x)=2bx,所以 3t2+a= 2bt. 将 a=-t2 代入上式得 b=t 因此 c=ab=-t3. 故 a=-t2,b=t,c=-t3. b 12.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. x (1)求 f(x)的解析式; (2)求曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值, 并求此定值. 7 解析:(1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3. 4 1 当 x=2 时,y= . 2 b 又 f′(x)=a+ , x2 b 1 ? ?2a-2=2, 于是? b 7 ?a+4=4, ? 3 故 f(x)=x- . x (2)设 P(x0,y0)为曲线上任一点, 3 由 y′=1+ 知曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 x2 3 y-y0=(1+ )(x-x0), x2 0 3 3 即 y-(x0- )=(1+ )(x-x0). x0 x2 0 6 令 x=0 得 y=- , x0 6 从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为(0,- ). x0 令 y=x 得 y=x=2x0,

? ?a=1, 解得? ?b=3. ?

4

从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0). 1 6 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为 |- ||2x0|=6. 2 x0 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为定值,此定 值为 6.

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