当前位置:首页 >> 数学 >>

浙江省宁波市效实中学2014-2015学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析


浙江省宁波市效实中学 2014-2015 学年高一下学期期中数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的. 1.已知 α 为锐角, A. B. ,则 =() C.﹣7 D.7

2.在△ ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则此三角形解的个数为() A.0 B.

1 C. 2 D.无数个 3.已知 sinα+cosα= ,则 sin ( A. B.
2

﹣α)=() C. D.

4.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S5=﹣5,S9=﹣45,则 a4 的值为() A.﹣1 B.﹣2 C.﹣3 D.﹣4

5.已知向量 , 满足| |=2,| |=1,且 ?( + )=3,则向量 与 的夹角为() A.60° 6.化简 2 A.2sin5 + B.30° C.150° D.120°

的结果是() B.4cos5+2sin5 C.﹣4cos5﹣2sin5

D.﹣2sin5

7.设等比数列{an}的前 n 项积为 则 m 值() A.3

,已知 am﹣1am+1﹣2am=0,且 T2m﹣1=128,

B. 4

C. 5

D.6

8.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 S15>0,S16<0,则 的项为() A. B. C. D.

中最大

9.设向量 , , 满足| |=| |=1, ? = , (

﹣ )?(

﹣ )=0,则| |的最大值为()

A.

B.

C.

D.1

10.等差数列{an}的公差 d∈(﹣1,0) , =1, 且 a1= 的前 n 项和 Sn>0 的 n 的最大值为() A.11 B.10 , 则使得数列{an}

C. 9

D.8

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分. 11.已知向量 =(2,1) , =(﹣1,3) , ⊥( ﹣λ ) ,则实数 λ=.

12.已知正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=3,S9﹣S6=12,则 S6=. 13.已知 cos( (α+β)=. 14.在△ ABC 中,如果 sinA= sinC,B=30°,那么角 A=. ﹣α)= ,sin( +β)=﹣ , α∈ ( , ) ,β∈(π, ) ,则 sin

15.设数列{an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,数列{bn}是以 1 为首项,2 为公比的 等比数列,则 a +a +…+a =.

16.在△ ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=5,BC=8,则

?

=.

17.若钝角三角形三内角的度数依次成等差数列,且最小边长与最大边长的比值为 m,则 m 的取值范围是.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 49 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18.已知函数 f(x)=cos x+2 sinxcosx﹣sin x (1)求 f(x)的最小正周期和对称轴; (2)若 x∈[0, ],求 f(x)的值域.
4 4

19.在△ ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,且满足(2a﹣c)cosB=bcosC. (1)求角 B; (2)若 b= ,a﹣c=3,求△ ABC 的面积.

20. 设数列{an}是等差数列, 数列{bn}是各项都为正数的等比数列, 且 a1=2, b1=3, a3+b5=56, a5+b3=26. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)求数列{ }的前 n 项和 Tn.

21.设向量 =(λ+2,λ ﹣

2

cosα) , =(m,

) ,其中 λ,m,α 为实数.

(1)若 λ=m=0, ? =cos2α+ ,求 tanα; (2)若 =2 ,求 的取值范围.

22.已知数列{bn}满足 b1=

,bn+1=1﹣

(n∈N ) ,设 an=

*

(1)求证:数列{an}是等差数列; (2)数列{a }为等比数列,且 c1=5,c2=8,若对任意的 n∈N 都有 k(2cn﹣7)<an 成立,
*

求实数 k 的取值范围.

浙江省宁波市效实中学 2014-2015 学年高一下学期期中 数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的. 1.已知 α 为锐角, A. B. ,则 =() C.﹣7 D.7

考点: 两角和与差的正切函数;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 计算题. 分析: 根据同角三角函数的基本关系求出 cosα= ,tanα= 切公式求出 的值. , = .再利用两角和的正

解答: 解:∵已知 α 为锐角,

∴cosα= , ∴tanα= ∴ = . = =﹣7,

故选 C. 点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用, 两角和的正切公式的应用, 属于中 档题. 2.在△ ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则此三角形解的个数为() A.0 B. 1 C. 2 D.无数个 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用正弦定理列出关系式,把 a,b,sinA 的值代入求出 sinB 的值,根据 b 小于 a, 得到 B 小于 A,即可做出判断. 解答: 解:∵在△ ABC 中,a=15,b=10,A=60°, ∴由正弦定理 = 得:sinB= = = ,

∵b<a,∴B<A, 则 B 只有一解. 故选:B. 点评: 此题考查了正弦定理, 以及特殊角的三角函数值, 熟练掌握正弦定理是解本题的关 键.
2

3.已知 sinα+cosα= ,则 sin ( A. B.

﹣α)=() C. D.

考点: 二倍角的余弦;二倍角的正弦. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件求得 2sinαcosα=﹣ , 再根据 sin( (1﹣2sinαcosα) ,计算求得结果 解答: 解:∵sinα+cosα= ,则 1+2sinαcosα= ,2sinαcosα=﹣ .
2

﹣α) =

=

sin (

2

﹣α)=

= (1﹣2sinαcosα)= (1+ )=



故选:B.

点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式的应用,属于中档题. 4.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S5=﹣5,S9=﹣45,则 a4 的值为() A.﹣1 B.﹣2 C.﹣3 D.﹣4 考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意和等差数列的性质可得 a3 和 a5,再由等差数列的性质可得 a4= 值计算可得. 解答: 解:由题意和等差数列的性质可得 S5= 解得 a3=﹣1,同理可得 S9=9a5=﹣45,解得 a5=﹣5, 再由等差数列的性质可得 a4= =﹣3 = =5a3=﹣5, ,代

故选:C 点评: 本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,属基础题.

5.已知向量 , 满足| |=2,| |=1,且 ?( + )=3,则向量 与 的夹角为() A.60° B.30° C.150° D.120°

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 设向量 与 的夹角为 θ,由已知数据可得 cosθ 的方程,解方程可得夹角. 解答: 解:设向量 与 的夹角为 θ, ∵| |=2,| |=1,且 ?( + )=3, ∴ + =4+2×1×cosθ=3, ,∴θ=120°

解得 cosθ=

故选:D 点评: 本题考查数量积与向量的夹角,属基础题. 6.化简 2 A.2sin5 + 的结果是() B.4cos5+2sin5 C.﹣4cos5﹣2sin5

D.﹣2sin5

考点: 二倍角的余弦. 专题: 三角函数的求值.

分析: 利用二倍角公式化简要求的式子为 2|cos5+sin5|+2|cos5|,再根据 5∈( cos5>0、sin5<0、|cos5|>|sin5|,去掉绝对值得到结果. 解答: 解: 2 os5|. 由于 5 是第四象限角,且 5∈( ,2π) ,故 cos5>0、sin5<0、|cos5|>|sin5|, + =2 +

,2π) 、

=2|cos5+sin5|+2|c

∴cos5+sin5>0, ∴2|cos5+sin5|+2|cos5|=2(cos5+sin5)+2cos5=4cos5+2sin5, 故选:B. 点评: 本题主要考查二倍角公式,三角函数在各个象限中的符号,属于基础题. 7.设等比数列{an}的前 n 项积为 则 m 值() A.3 ,已知 am﹣1am+1﹣2am=0,且 T2m﹣1=128,

B. 4

C. 5

D.6

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由 am﹣1am+1﹣2am=0,结合等比数列的性质可得 am=2,从而可表示 T2m﹣1,由此可 求 m 的值. 解答: 解:∵am﹣1am+1﹣2am=0,∴由等比数列的性质可得,am ﹣2am=0 ∵am≠0,∴am=2 2m﹣2 2m﹣1 2m﹣1 ∵T2m﹣1=a1a2…a2m﹣1=(a1a2m﹣1)?(a2a2m﹣2)…am=am am=am =2 =128 ∴2m﹣1=7,∴m=4 故选 B. 点评: 本题考查了等比数列的性质,考查学生的计算能力,属于中档题.
2

8.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 S15>0,S16<0,则 的项为() A. B. C. D.

中最大

考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 根据数列{an}为等差数列,根据 S15>0,S16<0,我们可以得到 a8>0,a9<0,由 此结合等差数列的性质,即可得到结论. 解答: 解:∵数列{an}为等差数列,且 S15>0,S16<0, ∴a8>0,a8+a9<0,即 a9<0,

则 母不断减小 ∴

的前 8 项为正,第 9 到 15 项为负,且前 8 项中,分子不断变大,分

中最大的项为

故选 C. 点评: 本题考查等差数列的性质,其中根据已知中 S15>0,S16<0,判断 a8>0,a9<0, 是解答本题的关键.

9.设向量 , , 满足| |=| |=1, ? = , ( A. B.

﹣ )?(

﹣ )=0,则| |的最大值为() D.1

C.

考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 建立坐标系,以 , 的角平分线所在直线为 x 轴,使得 的坐标为(
2

, ) , 的

坐标为(

,﹣ ) ,设

的坐标为(x,y) ,由条件可得得

+y = ,表示以



,0)为圆心,半径等于 的圆.求出圆心到原点的距离,再加上半径,即得所求. , ) ,

解答: 解:建立坐标系,以 , 的角平分线所在直线为 x 轴,使得 的坐标为( 的坐标为( 则由已知( ,﹣ ) ,设 ﹣ )?( 的坐标为(x,y) , , )?( ,

﹣ )=0,可得 (
2

)=0.

化简可得

+y = ,表示以(

,0)为圆心,半径等于 的圆. ,故圆上的点到

本题即求圆上的点到原点的距离的最大值,由于圆心到原点的距离等于 原点的距离的最大值为 + ,

故选 A. 点评: 本题考查平面向量数量积的运算, 本题解题的关键是写出满足条件的对应的点, 根 据数形结合思想求出向量的模长,属于基础题.

10.等差数列{an}的公差 d∈(﹣1,0) , =1, 且 a1= 的前 n 项和 Sn>0 的 n 的最大值为() A.11 B.10 , 则使得数列{an}

C. 9

D.8

考点: 数列与三角函数的综合. 专题: 等差数列与等比数列;三角函数的求值. 分析: 运用二倍角公式和两角和差的余弦公式以及积化和差、 和差化积公式的运用, 结合 等差数列的通项,可得 sin3d=﹣1,3d=﹣ ,即为 d=﹣ ,运用等差数列的求和公式,结

合二次不等式的解法,化简计算即可得到 n 的最大值. 解答: 解:由 =1,

可得﹣cos2a3+(cosa3cosa6+sina3sina6) (cosa3cosa6﹣sina3sina6)=sin(a2+a7) , 即为 cos(a3﹣a6)cos(a3+a6)﹣cos2a3=sin(a3+a6) , cos2a3+ cos2a6﹣cos2a3=sin(a3+a6) , (cos2a6﹣cos2a3)=sin(a3+a6) , 即有﹣sin(a3+a6)sin(a6﹣a3)=sin(a3+a6) , 由公差 d∈(﹣1,0) ,且 a1= 则 sin(a6﹣a3)=﹣1, 即有 sin3d=﹣1, 3d=﹣ ,即为 d=﹣ , ?n﹣ n(n﹣1)? , ,

则数列{an}的前 n 项和 Sn= 由 Sn>0 可得 0<n< ,

即有 n 的最大值为 10. 故选 B. 点评: 本题考查等差数列的通项和求和公式的运用, 同时考查三角函数的恒等变换公式的 运用,以及二次不等式的解法,属于中档题. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分. 11.已知向量 =(2,1) , =(﹣1,3) , ⊥( ﹣λ ) ,则实数 λ=5. 考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用.

分析: 由题意可得向量 ﹣λ 的坐标,由垂直关系可得 λ 的方程,解方程可得. 解答: 解:∵ =(2,1) , =(﹣1,3) , ∴ ﹣λ =(2+λ,1﹣3λ) , ∵ ⊥( ﹣λ ) , ∴ ?( ﹣λ )=2(2+λ)+1﹣3λ=0, 解得 λ=5 故答案为:5 点评: 本题考查数量积与向量的垂直关系,属基础题. 12.已知正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=3,S9﹣S6=12,则 S6=9. 考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据正项等比数列{an}的前 n 项和的性质,Sn,S2n﹣Sn,S3n﹣S2n 成等比数列,建 立等式关系,解之即可. 解答: 解:∵正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, ∴S3,S6﹣S3,S9﹣S6 成等比数列 2 即(S6﹣S3) =S3?(S9﹣S6) , 2 ∴(S6﹣3) =3×12 解得 S6=9 或﹣3(正项等比数列可知﹣3 舍去) , 故答案为:9 点评: 本题主要考查了等比数列的前 n 项和, 以及等比数列的性质, 同时考查运算求解的 能力,属于基础题. , α∈ ( ) ,β∈(π,

13.已知 cos( (α+β)=﹣ .

﹣α)= ,sin(

+β)=﹣



) ,则 sin

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用同角三角函数的基本关系求得 sin( 利用两角差的正弦公式求得 sin(α+β)=sin[( 解答: 解:∵cos( ∴ ﹣α∈(﹣ ﹣α)= ,sin( +β∈( , +β)﹣( ﹣α)和 cos( ﹣α)]的值. , ) ,β∈(π, ) , +β)的值,再

+β)=﹣ ) ,

,α∈(

,0) ,

∴sin ( ﹣ ,

﹣α) =﹣

=﹣ , cos (

+β) =﹣

=

∴sin(α+β)=sin[( ﹣α) =﹣ ? ﹣(﹣ .

+β)﹣(

﹣α)]=sin(

+β)cos(

﹣α)﹣cos(

+β)sin(

)?(﹣ )=﹣



故答案为:﹣

点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系、 两角和的差正弦公式的应用, 要特别注意 符号的选取,属于基础题. 14.在△ ABC 中,如果 sinA= 考点: 解三角形. 专题: 解三角形. 分析: 由题意和正弦定理可得 a= 化简可得余弦值,可角 A 解答: 解:∵sinA= sinC, ∴由正弦定理可得 a= c, 又∵B=30°, ∴由余弦定理可得 b =a +c ﹣2accosB, 2 2 2 2 2 代入数据可得 b =3c +c ﹣3c =c ,即 b=c, ∴再由余弦定理可得 cosA=
2 2 2

sinC,B=30°,那么角 A=120°.

c, 再由余弦定理可得 b =c , 代入 cosA=

2

2

=

=﹣ ,∴A=120°

故答案为:120°. 点评: 本题考查解三角形,涉及正余弦定理的综合应用,属中档题. 15.设数列{an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,数列{bn}是以 1 为首项,2 为公比的 等比数列,则 a +a +…+a =2
n+1

﹣n﹣2.

考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: 由于数列{an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,{bn}是以 1 为首项,2 为公比 的等比数列,利用等差数列和等比数列的通项公式即可得出 an,bn.再利用等比数列的前 n 项和公式即可得出. 解答: 解:∵数列{an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列, 数列{bn}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列, n﹣1 ∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1,bn=2 , 则 则a
2

=2bn﹣1=2 ﹣1, +a
n

n

+…+a

=(2﹣1)+(2 ﹣1)+…(2 ﹣1)

2

n

=(2+2 +…+2 )﹣n =
n+1

﹣n

=2 ﹣n﹣2. n+1 故答案为:2 ﹣n﹣2. 点评: 本题考查了等比数列和等差数列的通项公式及其前 n 项和公式等基础知识与基本 技能方法,属于基础题.

16.在△ ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=5,BC=8,则

?

=9.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用几何图形得出 2 4
2 2

=



=

,平方相减即可

=
2

2

2

, ,求解 ? 数量积.

=

2

解答: 解:∵在△ ABC 中,M 是 BC 的中点, ∴2 = = , ,

∴∵AM=5,BC=8, ∴4 ∴ ? =4×25﹣64=36, =9,

故答案为:9

点评: 本题考察了平面向量的加减运算及几何意义,数量积,几何图形转化向量,属于中 档题,灵活计算即可. 17.若钝角三角形三内角的度数依次成等差数列,且最小边长与最大边长的比值为 m,则 m 的取值范围是(0, ) .

考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 不妨设 A 为最小角,可设三个角分别为 ﹣θ, , +θ,则由正弦定理可得

m= =

=

.再根据

<θ <

,求得 tanθ 的范围.再根据函数

m=

在(



)上是减函数,求得 m 的范围. ,A+C= ,不

解答: 解:∵钝角三角形三内角 A、B、C 的度数成等差数列,则 B= 妨设 A 为最小角,则 a 为最小边.

可设三个角分别为

﹣ θ,



+θ,则

,即

<θ<



由正弦定理可得 m= =

=

=



再根据

<θ<

,∴

<tanθ< 在( ,

. )上是减函数,∴0<m< ,

再根据函数 m= 故答案为: (0, ) .

点评: 本题考查正弦定理、两角和差的正弦公式,利用单调性求函数的值域,得到 m= ,是解题的关键和难点,属于中档题.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 49 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18.已知函数 f(x)=cos x+2 sinxcosx﹣sin x (1)求 f(x)的最小正周期和对称轴; (2)若 x∈[0, ],求 f(x)的值域.
4 4

考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式得 f(x)=2sin(2x+ 三角函数的周期性及其求法可求 f(x)的最小正周期,令 2x+ (x)的对称轴. (2) 由 x∈[0, ], 可得 2x+ ,1],即可求得值域. 解答: 解: (1)∵f(x)=cos x+2 =cos2x+ sin2x =2sin(2x+ ) , , ,k∈Z.
4

) ,由

=k

,k∈Z 可解得 f

∈[



], 利用正弦函数的图象和性质可得 sin (2x+

∈[﹣

sinxcosx﹣sin x

4

∴f(x)的最小正周期 T= ∴令 2x+ =k ], ],

,k∈Z 可解得 f(x)的对称轴为:x=

(2)∵x∈[0, ∴2x+ ∈[ ,

∴sin(2x+

∈[﹣ ,1], )∈[﹣1,2].

∴f(x)=2sin(2x+

点评: 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用, 三角函数的周期性及其求法, 正弦函 数的图象和性质,属于基础题. 19.在△ ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,且满足(2a﹣c)cosB=bcosC. (1)求角 B; (2)若 b= ,a﹣c=3,求△ ABC 的面积. 考点: 余弦定理的应用. 专题: 解三角形.

分析: (1)利用正弦定理化简已知条件,整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导 公式变形,根据 sinA 不为 0 求出 cosB 的值,即可确定出 B 的度数. (2)直接利用余弦定理,结合 b= ,a﹣c=3,求出 ac,然后求解三角形的面积. 解答: 解: (1)已知等式(2a﹣c)cosB=bcosC,利用正弦定理化简得: (2sinA﹣sinC) cosB=sinBcosC, 整理得:2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA, ∵sinA≠0, ∴cosB= , 则 B=60°; 2 2 (2)b= ,a﹣c=3,由余弦定理 b =(a﹣c) +2ac﹣2accosB, 得 ac=10, ∴S△ ABC= acsinB= .

点评: 此题考查了余弦定理以及正弦定理的应用, 以及两角和与差的正弦函数公式, 熟练 掌握正弦定理、余弦定理是解本题的关键. 20. 设数列{an}是等差数列, 数列{bn}是各项都为正数的等比数列, 且 a1=2, b1=3, a3+b5=56, a5+b3=26. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)求数列{ }的前 n 项和 Tn.

考点: 数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)通过设数列{an}的公差为 d,数列{bn}的公比为 q(q>0) ,利用 a3+b5=56, a5+b3=26,计算即得结论; (2)通过 an=3n﹣1 及分离分母可得 = ( ﹣ ) ,并项相加即得结论.

解答: 解: (1)设数列{an}的公差为 d,数列{bn}的公比为 q(q>0) , ∵a1=2,b1=3, 2 4 ∴a3=2+2d,a5=2+4d,b3=3q ,b5=3q , 又∵a3+b5=56,a5+b3=26, 4 2 ∴2+2d+3q =56,2+4d+3q =26, 解得:d=3,q=2, ∴an=2+3(n﹣1)=3n﹣1,bn=3?2 (2)∵an=3n﹣1, ∴ = ﹣
n﹣1

; ﹣ ) . ) ,

= ( ﹣

并项相加得:Tn= (

点评: 本题考查求数列的通项及求和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中 档题.

21.设向量 =(λ+2,λ ﹣

2

cosα) , =(m,

) ,其中 λ,m,α 为实数.

(1)若 λ=m=0, ? =cos2α+ ,求 tanα; (2)若 =2 ,求 的取值范围.

考点: 平面向量数量积的运算;平行向量与共线向量. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由条件利用两个向量的数量积公式、同角三角函数的基本关系,化简可得 2 7tan α﹣4 tanα﹣9=0,由此求得 tanα 的值. (2) 由 =2 , 化简可得 λ ﹣ 的范围. 解答: 解: (1)∵λ=m=0, ? =m(λ+2)+(λ ﹣ cosα? =cos2α+ ,
2 2

=2sin (α+

) ∈[﹣2 2], 求得﹣ ≤λ≤2, 可得

=2﹣

cosα)?

=﹣

∴cos2α+

sinαcosα+ =0,即

+

+ =0,即

+
2

?

+ =0.

化简可得 7tan α﹣4

tanα﹣9=0,求得 tanα=

或 tanα=﹣
2



(2)由 =2 ,得 ∈[﹣2 2], 解得﹣ ≤λ≤2,∴ = =2﹣

,∴λ ﹣

=

cosα+sinα=2sin(α+



∈[﹣6,1].

点评: 本题主要考查两个向量的数量积的运算, 同角三角函数的基本关系, 正弦函数的定 义域和值域,属于中档题.

22.已知数列{bn}满足 b1=

,bn+1=1﹣

(n∈N ) ,设 an=

*

(1)求证:数列{an}是等差数列; (2)数列{a }为等比数列,且 c1=5,c2=8,若对任意的 n∈N 都有 k(2cn﹣7)<an 成立,
*

求实数 k 的取值范围.

考点: 数列递推式;等差关系的确定. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)通过 b1= 、bn+1=1﹣ (n∈N ) 、an=
*

,计算 an+1﹣an 即可;

(2)通过 b1=

、an=

可得 a1=5,利用(1)可得 an=7﹣2n,通过 c1=5、c2=8 可得

=﹣3 ,进而有 cn=

n

,考查 dn=

的最小值即可.

解答: (1)证明:∵b1=

,bn+1=1﹣

(n∈N ) ,an=

*



∴an+1﹣an=



=



=2?



= =﹣2,



∴数列{an}是等差数列; (2)解:∵b1= ,an= ,

∴a1=

=

=5,

又∵数列{an}是公差为﹣2 的等差数列, ∴an=a1+(n﹣1)d=5+(n﹣1) (﹣2)=7﹣2n, ∵数列{ }为等比数列,且 c1=5,c2=8,

∴数列{ 又∵首项 ∴

}的公比 q= =a5=﹣3,
n﹣1

=

=3,

=(﹣3)?3

=﹣3 ,

n

同时又 an=7﹣2n, ∴﹣3 =7﹣2cn,即 cn=
* n



由题对任意的 n∈N 都有 k(2cn﹣7)<an 成立, 即对任意的 n∈N 都有 k<
*

成立,

令 dn=

,则 dn﹣dn﹣1=



=



显然当 n<4 时 dn<dn﹣1;当 n>5 时 dn>dn﹣1; ∴当 n=4 或 n=5 时, (dn)min=d4=d5=﹣ ∴实数 k 的取值范围为:k<﹣ . ,

点评: 本题考查判断数列为等差数列,考查数列的单调性,考查运算求解能力,注意解题 方法的积累,属于中档题.


相关文章:
浙江省宁波市效实中学2014-2015学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析
浙江省宁波市效实中学2014-2015学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析_数学_...浙江省宁波市效实中学 2014-2015 学年高一下学期期中 数学试卷一、选择题:本...
浙江省宁波市效实中学2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析
浙江省宁波市效实中学2014-2015学年高一学期期中数学试卷 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2014-2015 学年浙江省宁波市效实中学高一(上)期中数学试卷一、...
浙江省宁波市效实中学2014-2015学年高一下学期期中考试语文试卷_Word版含答案
浙江省宁波市效实中学2014-2015学年高一下学期期中考试语文试卷_Word版含答案_...(4 分) 读史使人明智,读诗使人灵秀,数学使人周密,科学使人深刻,伦理学使人...
浙江省宁波市效实中学2014-2015学年高一下学期期中考试语文试卷_Word版含答案
浙江省宁波市效实中学2014-2015学年高一下学期期中考试语文试卷_Word版含答案_...(4 分) 读史使人明智,读诗使人灵秀,数学使人周密,科学使人深刻,伦理学使人...
浙江省宁波市效实中学2014-2015学年高一下学期期中数学试卷
(2cn﹣7)<an 成立, * 求实数 k 的取值范围. 浙江省宁波市效实中学 2014-2015 学年高一下学期期中 数学试卷一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分...
浙江省宁波市效实中学2014-2015学年高一下学期期中考试历史(选考)试卷 Word版含答案
浙江省宁波市效实中学2014-2015学年高一下学期期中考试历史(选考)试卷 Word版含答案_高中教育_教育专区。宁波效实中学 二○一四学年度 第二学期 高一历史期中试卷...
浙江省宁波市效实中学2014-2015学年高一下学期期中数学试卷
浙江省宁波市效实中学2014-2015学年高一下学期期中数学试卷_数学_高中教育_教育...【Word版解析】浙江省宁... 暂无评价 16页 ¥2.00 2014-2015学年浙江省...
浙江省宁波市效实中学2014-2015学年高一上学期期中数学试卷
(α,β)的长度 定义为 β﹣α). 2014-2015 学年浙江省宁波市效实中学高一(上)期中数 学试卷参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3...
浙江省宁波市效实中学2014-2015学年高一数学下学期期中试卷
浙江省宁波市效实中学 2014-2015 学年高一数学下学期期中试卷说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 100 分. 第Ⅰ卷(选择题 共 30 分...
更多相关标签:
宁波市效实中学 | 宁波市效实中学网站 | 宁波市效实中学官网 | 浙江省宁波市鄞州区 | 浙江省宁波市 | 浙江省宁波市慈溪市 | 浙江省宁波市北仑区 | 浙江省宁波市余姚市 |