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2[1].1.2-2《异面直线所成的角》


2.1.2

空间中直线与直线之间的 位置关系

第二课时 异面直线所成的角

问题提出

1.什么叫异面直线?三线平行公理和 等角定理分别说明什么问题? 2.不同的异面直线有不同的相对位置 关系,用什么几何量反映异面直线之间 的相对位置关系,是我们需要探讨的问 题 .

识探究(一):异面直线所成的角
思考1:两条相交直线、平行直线的相对 位置关系,分别是通过什么几何量来反 映的? 思考2:两条异面直线之间有一个相对倾 斜度,若将两异面直线分别平行移动, 它们的相对倾斜度是否发生变化? 思考3:设想用一个角反映异面直线的相 对倾斜度,但不能直接度量,你有什么 办法解决这个矛盾?

思考4:把两条异面直线分别平移,使之 在某处相交得到两条相交直线,我们用 这两条相交直线所夹的锐角(或直角)来 反映异面直线的相对倾斜程度,并称之 为异面直线所成的角.你能给“异面直线 所成的角”下个定义吗?
b bˊ a

?

o

b α a

b' a' o

对于两条异面直线a,b,经过空间 任一点O作直线a′∥a, b′∥b,则 a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异 面直线a与b所成的角(或夹角)

思考5:若点O的位置不同,则直线a′与 b′的夹角大小发生变化吗?为什么?为 了作图方便,点O宜选在何处? b
b'

O
?

a
b'

a'

o

a' o'

知识探究(二):两条直线垂直
思考1:我们规定两条平行直线的夹角为 0°,那么两条异面直线所成的角的取值 范围是什么?

(0,

?
2

]

思考2:如果两条异面直线所成的角是 90°,则称这两条直线互相垂直.两条互 相垂直的异面直线a,b,记作a⊥b. 在 长方体ABCD-A′B′C′D′中,有没有两 条棱所在的直线是互相垂直的异面直线?
C' B' C B D'

A' D A

思考3:在平面几何中,垂直于同一条直 线的两直线互相平行,在空间中这个结 论还成立吗 ?

思考4:如果两条平行直线中有一条与某 一条直线垂直,那么另一条是否也与这条 直线垂直?为什么?

理论迁移
例1 如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中. (1)直线A′B和CC′的夹角是多少? (2)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直? 哪些棱所在的直线与直线A′B垂直?
D′ A′ D A B B′ C C′

例2 如图,在四面体ABCD中,E,F分 AE BF 1 别是棱AD,BC上的点,且 ED ? FC ? 2 EF 已知AB=CD=3, ? 3 ,求异面直线AB和 CD所成的角. A
E M

D

B

F

C

思考题: 已知异面直线a,b所成的角为60°,直 线l与a,b所成的角都为θ ,那么θ 的 取值范围是什么?

作业:
P48练习:2. P52习题2.1B组:1.


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