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利用导数研究函数的单调性(文 同步)


同步课程˙利用导数研究函数的单调性

利用导数研究函数的单调性
知识回顾
1. 初等函数的导数公式表
y ? f ( x) y ? ? f ?( x) y? ? 0

y ?c
y ? x n (n ? N ? ) y ? x? (? ? 0, ? ? 0, ? ? Q)

y?

? nxn ?1 , n 为正整数

y? ? ? x? ?1 , ? 为有理数 y? ? a x ln a

y ? a x (a ? 0, a ? 1)
y ? log a x (a ? 0, a ? 1, x ? 0)
y ? sin x

y? ?

1 x ln a

y ? ? cos x y? ? ? sin x

y ? cos x

ln a ? log e a , 注: 称为 a 的自然对数, 其底为 e , e 是一个和 π 一样重要的无理数 e ? 2.7182818284? .

注意 (e x )? ? e x .

2. 导数的四则运算法则:
⑴函数和(或差)的求导法则: 设 f ( x) , g ( x) 是可导的,则 ( f ( x) ? g ( x))? ? f ?( x) ? g ?( x) , 即,两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数和(或差) . ⑵函数积的求导法则: 设 f ( x) , g ( x) 是可导的,则 [ f ( x) g ( x)]? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) , 即,两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘上第二个函数,加上第一个函数的乘上第二个 函数的导数. 由上述法则即可以得出 [Cf ( x)]? ? Cf ?( x) ,即,常数与函数之积的导数,等于常数乘以函数的导数. ⑶函数的商的求导法则:

? f ( x) ?? g ( x) f ?( x) ? f ( x) g ?( x) 设 f ( x) , g ( x) 是可导的, g ( x) ? 0 ,则 ? . ? ? g 2 ( x) ? g ( x) ?
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? 1 ?? g ?( x) ?? 2 特别是当 f ( x) ? 1 时,有 ? . ? g ( x) ? g ( x) ?

知识讲解
【定理】 设函数 y ? f ( x) 在 [a , b] 上连续,在 ( a , b) 内可导. (1)如果在 ( a , b) 内 f '( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在 [a , b] 上单调增加; (2)如果在 ( a , b) 内 f '( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在 [a , b] 上单调减少. 【解读】设函数在某区间内可导, f '( x) ≥ 0 ? f ( x) 在该区间上单调递增; f '( x) ? 0 ? f ( x) 在该区 间上单 调递减.反之,若 f ( x) 在某个区间上单调递增,则在该区间上有 f '( x) ≥ 0 恒成立(但不恒 等于 0) ;若 f ( x) 在某个区间上单调递减,则在该区间上有 f '( x) ? 0 恒成立(但不恒等于 0).

求可导函数单调区间的一般步骤和方法 1) 确定函数的 f ( x) 的定义区间; 2) 求 f '( x) ,令 f '( x) ? 0 ,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根; 3) 把函数 f ( x) 的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来, 然后用这 些点把函数 f ( x) 的定义区间分成若干个小区间; 4) 确定 f '( x ) 在各个区间内的符号,根据 f '( x) 的符号判定函数 f ? x ? 在每个相应小区间 内的增减性. 【例1】 函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是( A.(-∞,2) C.(1,4) )

B.(0,3) D.(2,+∞)

【例2】 已知 f(x)=x3-ax 在[1,+∞)上是单调增函数,则 a 的最大值是( A.0 C.2 B.1 D.3

)

? ?) 内是减函数,则( 【例3】 三次函数 y ? f ( x) ? ax3 ? 1 在 (?? ,

) D. a ? 0

A. a ? 1

B. a ? 2

C. a ≤ 0

【例4】 设 f(x)、g(x)是 R 上的可导函数,f′(x),g′(x)分别为 f(x)、g(x)的导函数,且满足 f′(x)g(x)+ f(x)g′(x)<0,则当 a<x<b 时,有( A.f(x)g(b)>f(b)g(x)
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)

同步课程˙利用导数研究函数的单调性 B.f(x)g(a)>f(a)g(x) C.f(x)g(x)>f(b)g(b) D.f(x)g(x)>f(b)g(a)

1 1) ,则 a 的值是 【例5】 已知函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? ax ? 5 ,若 f ( x) 的单调递减区间是 (?3 , 3



1 ? ?) 上 是 单 调 增 函 数 , 则 a 的 取 值 范 围 【例6】 已 知 函 数 f ( x) ? x3 ? x2 ? ax ? 5 , 若 f ( x) 在 [1 , 3
是 .

1 【例7】 已知 y ? x3 ? bx2 ? (b ? 2) x ? 3 是 R 上的单调增函数,则 b 的取值范围是( 3
A. b ? ?1 或 b ? 2 C. ? 1 ? b ? 2 B. b ≤ ? 1 或 b ≥ 2 D. ?1 ≤ b ≤ 2



【例8】 若函数 h( x) ? 2 x ? A. [?2 , ? ?)

k k ? 在 (1 , ? ?) 上是增函数,则实数 k 的取值范围是( x 3
B. [2 , ? ?) C. (?? , ? 2]

) D. (?? , 2]

【例9】 已知 h( x) ? 2 x ?

k k ? , g ( x) ? h( x) ? ln x ,且 g ( x) 在 (1 , ? ?) 上是增函数,则此时实数 k 的取 x 3

值范围是______.

2) 内单调递减,则实数 a 的取值范围是( 【例10】 若函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 1 在 (0 ,



A. a ≥ 3

B. a ? 3

C. a ≤ 3

D. 0 ? a ? 3

2) ,则实数 a 的取值范围是( 【例11】 若函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 1 的单调递区间为 (0 ,



A. a ≥ 3

B. a ? 3

C. a ≤ 3

D. 0 ? a ? 3

【例12】 已知对任意实数 x 有 f (? x) ? ? f ( x) , g (? x) ? g ( x) ,且 x ? 0 时, f ?( x ) ? 0 , g ?( x) ? 0 ,则
x ? 0 时(

) B. f ?( x) ? 0 , g ?( x) ? 0 D. f ?( x) ? 0 , g ?( x) ? 0

A. f ?( x) ? 0 , g ?( x) ? 0 C. f ?( x) ? 0 , g ?( x) ? 0

2 1? 上是增函数,则实数 a 的取值范围为______. 【例13】 已知函数 f ( x) ? 4 x ? ax2 ? x3 在区间 ? ?1 , 3
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2 ? ?) 上都是减函数,则实数 a 的取值范围 ? 2) 与 (2 , 【例14】 若函数 f ( x) ? 4 x ? ax2 ? x3 在区间 (?? , 3
为______. 【例15】 已知函数 f(x) = x3 - 12x +8 在区间 [ - 3,3] 上的最大值与最小值分别为 M , m,则 M -m = ________. 4x 在区间(m,2m+1)上是单调递增函数,则实数 m 的取值范围是________. x2+1

【例16】 若函数 f(x)=

【例17】 已知函数 f(x)=x2+2x+alnx,若函数 f(x)在(0,1)上单调,则实数 a 的取值范围是( A.a≥0 C.a≥0 或 a≤-4 B.a<-4 D.a>0 或 a<-4

)

【例18】 若函数 f(x)=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调递增函数,则 m 的取值范围是________. 【例19】 函数 f(x)=x3-px2+2m2-m+1 在区间(-2,0)内单调递减,且在区间(-∞,-2)及(0,+∞)内单 调递增,则实数 p 的取值集合是________. 【例20】 设函数 f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax. (1)若 f(x)的两个极值点为 x1,x2,且 x1x2=1,求实数 a 的值. (2)是否存在实数 a,使得 f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数?若存在,求出 a 的值;若不存在, 说明理由.

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.. b ? R) .若 函数 f ( x) 在 区间 (?1 , 1) 上 不 单 【例21】 已 知函 数 f ( x) ? x ? (1 ? a) x ? a(a ? 2) x ? b (a , . 调,求 a 的取值范围.
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? ?) 上单调递增,求 a 的取值范围. 【例22】 函数 y ? ax3 ? x2 ? x ? 5 在区间 (?? ,

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同步课程˙利用导数研究函数的单调性 1 1] 上是增函数,求 a 的取值范围. 【例23】 已知函数 f ( x) ? 2ax ? 2 , x ? (0 , 2] ,若 f ( x) 在 x ? (0 , x

【例24】 设 a 为实数,函数 f ? x ? ? x3 ? ax2 ? a2 ? 1 x 在 ? ?? , 0? 和 ?1, ? ?? 都是增函数,求 a 的取值范 围.

?

?

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【例25】 已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? ax ? 1 ? ln x .

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⑴当 a ? 3 时,求函数 f ? x ? 的单调递增区间;
? 1? ⑵若 f ( x) 在区间 ? 0 , ? 上是减函数,求实数 a 的取值范围. ? 2?

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同步课程˙利用导数研究函数的单调性 【例26】 设函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 9 x ? 1(a ? 0) ,若曲线 y ? f ( x) 的斜率最小的切线与直线 12 x ? y ? 6 平 行, 求:⑴ a 的值; ⑵函数 f ( x) 的单调区间.

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同步课程˙利用导数研究函数的单调性 【例27】 已知函数 f ( x) ?

a 3 a ?1 2 x ? x ? x ? b ,其中 a , b ? R . 3 2

⑴若曲线 y ? f ( x) 在点 P(2 ,f (2)) 处的切线方程为 y ? 5 x ? 4 ,求函数 f ( x) 的解析式; ⑵当 a ? 0 时,讨论函数 f ( x) 的单调性.

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同步课程˙利用导数研究函数的单调性 【例28】 已知 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 是定义在 R 上的函数,其图象交 x 轴于 A , B , C 三点,若点
0) ,且 f ( x) 在 [?1, 0] 和 [4 , 5] 上有相同的单调性,在 [0 , 2] 和 [4 , 5] 上有相反 B 的坐标为 (2 ,

的单调性. ⑴求 c 的值; ⑵在函数 f ( x) 的图象上是否存在一点 M ( x0 , 使得 f ( x) 在点 M 处的切线的斜率为 3b ? y0 ) , 若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由.

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随堂练习
【练1】 (2013 年一模朝阳文)已知函数 f ( x) ? x ? (a ? 2) x ? a ln x ,其中 a ? R .
2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线的斜率为 1 ,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间.

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同步课程˙利用导数研究函数的单调性 【练2】 (2013 年一模延庆文)已知函数 f ( x) ? ?2a ln x ?
2

1 2 x ? ax (a ? R) . 2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 的切线方程; (Ⅱ)讨论函数 f ( x) 的单调性.

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课后作业
k k ? 在 (1 , ? ?) 上是增函数,则实数 k 的取值范围是( x 3
B. [2 , ? ?) C. (?? , ? 2]

【题1】 若函数 h( x) ? 2 x ? A. [?2 , ? ?)

) D. (?? , 2]

【题2】 函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是



【题3】 若函数 f(x)=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调递增函数,则 m 的取值范围是________.

1 【题4】 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax2 ? 2x ? a ? 0? 存在单调递减区间,求 a 的取值范围. 2

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同步课程˙利用导数研究函数的单调性 【题5】 已知函数 f ? x ? ? 2ln x ? x . ⑴写出函数 f ? x ? 的定义域,并求其单调区间; ⑵已知曲线 y ? f ? x ? 在点 ? x0 ,f ? x0 ?? 处的切线是 y ? kx ? 2 ,求 k 的值.

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同步课程˙利用导数研究函数的单调性 【题6】 已知函数 f ( x) ?

ax ? 6 f (?1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 5 ? 0 . 的图象在点 M (?1, x2 ? b

⑴ 求函数 y ? f ( x) 的解析式; ⑵ ⑵求函数 y ? f ( x) 的单调区间.

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x 【题7】 (2013 年一门头沟文)已知函数 f ( x) ? 2 ,其中 b ? R . x ?b
(Ⅰ) f ( x) 在 x ? ?1 处的切线与 x 轴平行,求 b 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间.

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