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3.1.1 两角差的余弦公式说课稿


3.1.1 两角差的余弦公式说课稿
一、教材分析 本节课是高中数学必修 4(人教 A 版)第三章 3.1.1 两角差的余弦公式的内容,教学安排 是 1 课时。 在学习本章之前学生已经学习了任意角的三角函数和诱导公式等知识,并学习了向量的 相关知识,因此我准备优先选择运用向量的知识推导和证明两角差的余弦公式,降低新课难 度,使学生容易接受。 本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式,因此本节内容对于后续内容三 角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。 二、学情分析 本节课的主要内容就是“推导两角差的余弦公式” ,用到的方法有三角函数线和向量法。 都属于必修 4 刚刚学过的基础知识,内容简单,容易理解和接受,这是学习本节课的有利因 素。 但是,使用向量法来推导公式虽然简单,而向量夹角范围是 [0, ? ] ,这与两角差 ? ? ? 的 范围并不一致,还要分类计论。分类讨论是学生的弱项,客观上也成为学习本节的不利因素, 也成为本节课的一个难点。 三、教学目标分析 课标要求:了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法 的作用;理解两角差的余弦公式. 1.知识与技能目标 理解用向量方法推导两角差的余弦公并能够初步运用. 2.过程与方法目标 在两角差余弦公式的推导过程中,进一步体会向量方法的作用,体会数形结合,分类讨 论思想、化归思想的运用。 3.情感、态度与价值观目标 ①培养学生不怕困难,勇于探索的求知精神。 ②通过观察、对比体会公式的对称美,给学生以美的陶冶。 四、教学重点、难点分析
1

重点:两角差的余弦公式的推导与运用。 难点:两角差余弦公式的推导过程中两角差 ? ? ? 的范围的讨论。 解决难点的关 关键是,搞清向量夹角的范围,运用数形结合的思想,使角的关系变得形象 直观,容易找到 ? ? ? 与向量的夹角 ? 之间的等量关系 (? ? ? ) ? ? ? 2k? ,从而降代难度,化 解难点。 五、教法与学法分析 (1)坚持“低起点-小步子-引方法-勤反馈”四个基本原则; 低起点旨在带所有学生入门,积极参与课堂,打消学困生的畏难情绪;小步子是指设 置难度梯度的问题情境和练习题以及变式训练,让学生学得轻松,易于掌握;引方法是数学 教学中需长期坚持的原则,数学非常体重方法的引导和思维的训练;勤反馈是课堂效率得以 保障的重要途径,通过学生交流讨论,回答问题,以及上黑板做题,课堂小检测等方面及时 反馈学生的掌握情况。 (2)坚持教师主导和学生主体的教学理念.教师为主导表现为:采用多媒体课件,增 强教学简易性和直观性,教师设计的问题情境合理有序,符合学情,对错误解法的同学思维习 惯进行引导等.学生主体性表现为:在教学过程中提出问题后要留给学生思考的时间和空间, 教学进度要随学生的思维情况而定;让学生主动参与公式的推导,交流讨论,练习提高的全 过程. 六、教学用具分析 多媒体课件,几何画板 七、教学过程分析 教学环节 (一)复习引入,揭示课题 1.如图, 如何用?与?表示?? 2.用 ?,? 的三角函数表示点 P,Q 的坐标? 3.若
a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 如何求向量a与 b的夹角??

设计意图 温故是为了作好铺 垫,且 3 个问题都是后 面推导公式需要用到 的。

2

“先猜想后证明“是 培养学生新意识的有 a ? (cos75?, sin 75?), b ? (cos15?, sin 15?), 你会求向量a与b的夹 2. 效途径,也是数学发现 角?? 的主要图径。教学中, 我把推导过程灵活处 通过计算会研究,你能发现什么? 3.我们猜想, cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 能否成立?你能证 理成“从特殊到一般” 的过程。 明这个猜想吗? 由于所用工具向量 构造向量: a ? (cos? , sin ? ),b ? (cos? , sin ? ), 夹角的限制,公式推导 ??? ? ??? ? 需要分类讨论,逐渐引 思考:上面图中向量 OB, OA 的夹角是怎样的?范围是怎样的? 导,通过问题引发思 ( ? ? ? ,且 ? ? ? ? (0, ? ) )正与向量夹角的范围相符,所以我们自 考,层层深入,最后达 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 然地列出了表达式 OA ? OB ? | OA || OB | cos(? ? ? ) ,但是 ? ? ? 的范 到推导的完备。 这样做容易上手,由 围可不可能超出 (0, ? ) 呢? y 浅及深,更符合学生的 探究:利用几何画板演示,将 OA 旋转 认知特点,也使难度大 B 到下图的位置,显然此时 ? ? ? 已经不是 α 大削弱, 从而突破难点. ??? ? ??? ? β x 向量 OB, OA 的夹角,如何讨论? O 1 通过交流讨论,得到结论: θ 对任意角 ? , ? 都有
A

(二)探究新知,公式推导 1.不用计算器,你能求出 cos15°吗?

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

(三)巩固应用 例1 利用余弦公式计算 cos15? 的值. 分析: cos15 ? cos ? 45 ? 30 ? , cos15 ? cos ? 60 ? 45
? ? ?

?

?

?

?


变式(1) :怎样求 sin 75? 的值? 变式(2) : cos 80? cos 20? ? sin 80? sin 20? ?
1 3 cos15? ? sin 15? = 2 2

把一个具体角构造 成两个角的差,有多种 构造方法,可以锻炼学 生思维的灵活性.



例 2 已知 sin ? ? 求 cos ?? ? ? ? 的值.

4 5 ?? ? , ? ? ? , ? ? , cos ? ? ? , ? 是第三象限角, 5 13 ?2 ?

让学生黑板演算,强调书写规范! (四)小结 方法和内容两个方面引导学生自我小结;并注意认识公式结构的 特征,了解推导过程.在解题过程中注意角 ? 、 ? 的象限,也就是符 号问题,学会灵活运用.

3

(五)作业与反馈
?? ? 3? ? ? , 2? ? ,求 cos ? ? ? ? 3? ? 2 ? ? ? ? ? ? 2. 求cos80 cos35 ? cos10 cos55 的值.

1. 已知 cos? ? ,? ? ?

3 5

3. 思考: cos(? ? ? ) =? 4.选作:参照教材,并上网查找两角差余弦公式的其它推导方式 八、教学设计说明 两角差的余弦公式,有多种证明方法,在教材改革过程中也经历过不同的偿试。这是因 为在教学过程中,教法和学法的选择往往是上位的,它直接决定了问题处理起来的难易程度。 本节课采用的“向量数量积”的方式,是较简单的一种方式,而难点也由此产生,要根据向 量夹角的范围来进行分类讨论,为了降低难点,引导学生采用“从特殊到一般”的处理方式, 而没有上来就分类讨论,化解了难点。另外,教材中还介绍了从三角函数线的角度进行证明 的一种思路,根据实际情况,作为课外探究内容,同时也丰富了作业的层次性,调动了学生 积极性,满足不同层次的学生。

评价与作业体现了 基础性,灵活性和发展 性,注意调动学生的学 习积极性。

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