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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 统计案例 回归分析注意问题两例素材 北师大版选修1-2


回归分析注意问题两例
一、相关性判断问题 例 1 炼钢是一个氧化降碳的过程,钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短,必须 掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系。如果已测得炉料融化完毕时钢水的含碳量 x 与冶炼时 间 y(从炉料融化完毕到出钢的时间)的一列数据,如下表所示: x(0.01%) Y/min 104 100 180 200 190 210 177 185 147 1

55 134 135 150 170 191 205 204 235 121 125

(1)y 与 x 是否具有线性相关关系? (2)如果 y 与 x 具有线性相关关系,求回归直线方程; (3)预测当钢水含碳量为 160 个 0.01%时,应冶炼多少分钟? 分析:判断两变量之间是否具有线性相关关系,要计算出相关系数 r,比较 r 与临界值 的大小,依据线性回归直线方程,对冶炼时间进行预报。 解析:(1)由已知数据列成下表: i 1 104 100 10400 2 180 200 36000 3 190 210 39900 4 177 185 32745 5 147 155 22785 6 134 135 18090 7 150 170 25500 8 191 205 39155 9 204 235 47940 10 121 125 15125

xi yi xi yi

X ? 159.8, Y ? 172

?X
i ?1

10

2 i

? 265448, ? y ? 321350, ? X iYi ? 287640
i ?1 2 i i ?1

n

10

于是 r ?

? X Y ? 10 x y
i ?1 i i

10

(? X i2 ? 10 x 2 )(? yi2 ? 10? yi2 )
i ?1 i ?1 i ?1

10

10

10

? 0.9906 ,

又 r0.05 ? 0.632 , r ? r0.05 知 y 与 x 具有线性相关关系。

? ?a ? ,则 (2)设所求的回归直线方程 ? y ? bx

?? b

? X Y ? 10 x y
i ?1 10 i i 2 i

10

?X
i ?1

? 10 x

2

? ? y ? bx ? ? ?30.51 ,即所求的回归直线方程为 ? 1.267, a

? y ? 1.267 x ? 30.51
(3)当 x ? 160 时, ? y ? 1.267 ?160 ? 30.51 ? 172(min) ,即大约冶炼 172 min 。 导评:已知 x 与 y 呈线性相关关系,就无需进行相关性检验,否则要进行相关性检验。 如果两个变量不具备相关关系,或者相关关系不显著,即使求出回归方程也是毫无意义的, 用其估计和预测也是不可信的。 二、非线性问题 例 2 在试验中得到变量 y 与 x 的数据如下: x y 0.0667 39.4 0.0338 42.9 0.0333 41.0 0.0273 43.1 0.0225 49.2

由经验知,y 与

1 之间具有线性相关关系,试求 y 与 x 之间的回归曲线方程;当 x0 ? 0.038 x

时,预测 y0 的值。 分析:通过换元转化为线性回归问题。 解析:令 u ? 序号 1 2 3 4 5 合计

1 ,由题目所给数据可得下表所示的数据‘ x

ui
15.0 25.8 30.0 36.6 44.4 151.8

yi
39.4 42.9 41.0 43.1 49.2 215.6

ui2
225 665.64 900 1339.56 1971.36 5101.56

yi2
1552.36 1840.41 1681 1857.61 2420.64 9352.02

ui yi
591 1106.82 1230 1577.46 2184.48 6689.76

? ? 0.29, a ? ? 34.32 ,∴ ? 计算得 b y ? 34.32 ? 0.29u

y ? 34.32 ? 故所求回归曲线方程为 ? 0.29 ? y ? 34.32 ? ? 41.95 。 0.038

0.29 ,当 x0 ? 0.038 时, x

导评:非线性问题有时并不给出经验公式,此时我们可以由已知的数据画出散点图, 并把散点图与已经学习过的各种函数,如幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等作比 较,挑选出跟这些散点拟合最好的函数,然后再采用变量的置换,把问题转化为线性回归 分析问题,使问题得以解决。


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