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5-2牛顿-莱布尼兹莱公式


第二节 微积分的基本公式

一、引例与猜想

二、积分上限函数及其导数

三、微积分基本公式

对于积分

?

b a

f ( x )d x 的计算,我们从例子可以看

出,如果从定义 出发来计算的,那将是一场灾难

,是

不是“山穷水尽疑无路”?“柳暗花明又一村”又在 哪里?
自此就有了下面的故事…….

一、引例与猜想 --- 用已知来解决未知 引例 一个物体作变速直线运动, 已知位移函数为
, 速度函数为

, 则物体在时间间隔 内经过的位移为多少?

o

??

t1

t2

?

t
记作

?

t2 t1

v ( t )dt ? s( t 2 ) ? s( t1 )

s( t )

t2 t1

其中 s?( t ) ? v ( t ) .

?

原函数的概念

对于定义在区间

I 的函数 f ( x) ,如存在 F ( x)



F ?( x) ? f ( x) 或

dF ( x) ? f ( x)dx

称 F ( x) 为 f ( x) 在

I 的一个原函数.

?

原函数存在的条件?

?

原函数如果存在,是否唯一?如不唯一,

则原函数之间的关系是什么?

猜想





的一个原函数,是否有

?
验证

b a

f ( x )d x
1

? F (b) ? F (a )
2

? F ( x)

b a

1 ? 0 x dx ? 3

1 3 1 3 2 2 ? x x 且有 而 ( x ) ? x ,即 是 的一个原函数, 3 3
1 1 3 1 1 1 1 ( x ) ? ? 0 ? ,故: x 2 d x ? ( x 3 ) ? 0 3 3 3 3 0 0
1

二、积分上限的函数及其导数
t2 ? t1 v(t )dt ? s(t 2) ? s(t1 )
? (t )

t1
y

t2
y ? f ( x)
?( x )

t t )d x ?(t ) ? ? t v (x
1

t

?( x )

?( x ) ? ? a
b x

x

f (t )d t

o a x

定义1. 设 f ( x ) 在区间 [a, b]上连续,则称

?( x ) ? ? f (t )dt
a

x

为积分上限函数,或称为变上限积分。 定理1.若

则积分上限函数
x a

? ( x) ? ? f (t ) d t

即??( x) ?

??

x a

f (t ) dt

? ? f ( x).
?

定理的重要意义:

(1)肯定了连续函数的原函数是存在的.

(2)初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.

说明: 如果 f (t ) 连续,? ( x),? ( x) 可导, 则变限积分的导数:

d ? ( x) f (t ) d t ? f [? ( x)]? ?( x), ? dx a ? ( x) d ? ( x) d ? a ? f (t ) d t ? f (t ) d t ? ? f (t ) d t ? ? ? a dx ? ( x) dx ? ? ? ( x) ?

? f [? ( x)]? ?( x) ? f [? ( x)]? ?( x)

例1. 求

1 ? ( ? sin x ) 解: ? x ?0 2e 2x 例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使
原式 ? ? lim e

?cos2 x

0 0

解: 原式 =

? b ? 0.

c ≠0 , 故 a ? 1. 又由



1. c ? ,得 2

例3.

证明
只要证

在 证:

内为单调递增函数 .

F ?( x) ? 0
x 0

x f ( x) ? f (t ) d t? f ( x) ? t f (t ) d t
0

x

?

f ( x) ? ( x ? t ) f (t ) d t

x

? ?0 f (t ) d t ?
2

x

2

? ?0 f (t ) d t ?

0 x

?

f ( x) ? ( x ? ? ) f (? ) x

? ?0 f (t ) d t ?

x

2

?0

(0 ? ? ? x )

三、牛顿—莱布尼兹(微积分基本公式)公式:
定理2:
b a

函数 , 则

?

f ( x )d x ? F (b) ? F (a ) .

微积分基本公式。 此公式称为: 牛顿 —莱布尼茨公式。



微积分基本公式表明:

一个连续函数在区间上的定积分等于它的 任意一个原函数在区间上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意 当

a ?b

,微积分基本公式仍然成立.

例1. 求
.

例2. 计算正弦曲线 的面积 .
.

y

y ? sin x

o

? x

例3

?2 x 0 ? x ? 1 设 f ( x) ? ? ,求 1? x ? 2 ?5

?

2

0

f ( x)dx .

例4



?

2

?2

max{x, x 2 }dx.

y



由图形可知

f ( x) ? max{x, x 2 }

y ? x2

y? x
?2

? x2 ? 2 ? x ? 0 ? ? ?x 0 ? x ? 1 , ? x2 1 ? x ? 2 ?
0 2 1 ?2 0

o

1

2

x

? 原式 ? ? x dx ? ? xdx ? ?

2

1

11 x dx? . 2
2


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