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【步步高】2.3函数的奇偶性与周期性配套文档2015届高考数学总复习 理 新人教B版


§ 2.3 函数的奇偶性与周期性

1. 函数的奇偶性 奇偶性 奇函数 定义 设函数 y=f(x)的定义域为 D,如果对 D 内的任意一个 x,都有 -x∈D,且 f(-x)=-f(x),则这个函数叫做奇函数 设函数 y=g(x)的定义域为 D,如果对 D 内的任意一个 x,都有 -x∈D,且 g(-x)=g(x),则这个函数叫做偶函数 图象特点 关于原点对称



偶函数 2. 周期性

关于 y 轴对称

(1)周期函数 对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 f(x +T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x) 的最小正周期.

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数 f(x)=0,x∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数. (2)若函数 y=f(x+a)是偶函数,则函数 y=f(x)关于直线 x=a 对称. (3)若函数 y=f(x+b)是奇函数,则函数 y=f(x)关于点(b,0)中心对称. x (4)若函数 f(x)= 为奇函数,则 a=2. ?x-2??x+a? ( × ( √ ( √ ( √ ) ) ) )

(5)函数 f(x)在定义域上满足 f(x+a)=-f(x), 则 f(x)是周期为 2a(a>0)的周期函数. ( √ ) (6)函数 f(x)为 R 上的奇函数,且 f(x+2)=f(x),则 f(2 014)=0. ( √ ) )

1 2. (2013· 山东)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2+ ,则 f(-1)等于( x A.-2 B.0 C.1 D.2 答案 A

1

解析

f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2. )

3. 已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是( 1 A.- 3 答案 B 解析 依题意 b=0,且 2a=-(a-1), 1 1 ∴a= ,则 a+b= . 3 3 1 1 1 B. C. D.- 3 2 2

4. 已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则 f(2 015) 等于 A.-2 B.2 C.-98 D.98 答案 A 解析 ∵f(x+4)=f(x), ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数, ∴f(2 015)=f(503×4+3)=f(3)=f(-1). 又 f(x)为奇函数, ∴f(-1)=-f(1)=-2×12=-2,即 f(2 015)=-2. 5. 设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是________. 答案 (-1,0)∪(1,+∞) ( )

解析 画草图,由 f(x)为奇函数知:f(x)>0 的 x 的取值范围为(-1,0)∪(1,+∞).

题型一 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= 9-x2+ x2-9; (2)f(x)=(x+1) 4-x2 (3)f(x)= . |x+3|-3 思维启迪 确定函数的奇偶性时,必须先判定函数定义域是否关于原点对称.若对称, 1-x ; 1+x

2

再验证 f(-x)=± f(x)或其等价形式 f(-x)± f(x)=0 是否成立. 解
2 ? ?9-x ≥0 (1)由? 2 ,得 x=± 3. ?x -9≥0 ?

∴f(x)的定义域为{-3,3},关于原点对称. 又 f(3)+f(-3)=0,f(3)-f(-3)=0. 即 f(x)=± f(-x). ∴f(x)既是奇函数,又是偶函数. 1-x ? ? ≥0 (2)由?1+x ,得-1<x≤1. ? ?1+x≠0 ∵f(x)的定义域(-1,1]不关于原点对称. ∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
?4-x2≥0 ? (3)由? ,得-2≤x≤2 且 x≠0. ? ?|x+3|-3≠0

∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称. 4-x2 4-x2 ∴f(x)= = . x ?x+3?-3 ∴f(x)=-f(-x),∴f(x)是奇函数. 思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤:

(2)在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇 函数)或 f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 判断下列函数的奇偶性: lg?1-x2? (1)f(x)= ; |x-2|-2 x +2?x>0? ? ? (2)f(x)=?0?x=0? . 2 ? ?-x -2?x<0? 解
2 ? ?1-x >0 ? (1)由 ,得定义域为(-1,0)∪(0,1), ? ?|x-2|-2≠0 2

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f(x)=

lg?1-x2? lg?1-x2? =- . x -?x-2?-2

lg[1-?-x?2] lg?1-x2? ∵f(-x)=- =- =-f(x). -x -x ∴f(x)为奇函数. (2)f(x)的定义域为 R,关于原点对称, 当 x>0 时,f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x); 当 x<0 时,f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x); 当 x=0 时,f(0)=0,也满足 f(-x)=-f(x). 故该函数为奇函数. 题型二 函数周期性的应用 例2 (1)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2;当- 1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 015)等于 A.335 B.336 C.1 678 D.2 012 1 (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 并且 f(x+2)=- , 当 2≤x≤3 时, f(x)=x, 则 f(105.5) f?x? =________. 思维启迪 (1)f(x)的周期性已知,可以通过一个周期内函数值的变化情况求和.(2)通过 ( )

题意先确定函数的周期性. 答案 解析 (1)B (2)2.5 (1)利用函数的周期性和函数值的求法求解.

∵f(x+6)=f(x),∴T=6. ∵当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2; 当-1≤x<3 时,f(x)=x, ∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0, ∴f(1)+f(2)+?+f(6)=1, ∴f(1)+f(2)+?+f(6)=f(7)+f(8)+?+f(12)=?=f(2 005)+f(2 006)+?+f(2 010)=1, 2 010 ∴f(1)+f(2)+?+f(2 010)=1× =335. 6 而 f(2 011)+f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)+f(2 015) =f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=1+2-1+0-1=1. ∴f(1)+f(2)+?+f(2 015)=335+1=336. (2)由已知,可得 f(x+4)=f[(x+2)+2] 1 1 =- =- =f(x). 1 f?x+2? - f?x?

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故函数的周期为 4. ∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5). ∵2≤2.5≤3,由题意,得 f(2.5)=2.5. ∴f(105.5)=2.5. 思维升华 (1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查,

主要涉及函数周期性的判断,利用函数周期性求值. (2)求函数周期的方法

(1)若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)-f(4) 等于 A.-1 B.1 C.-2 D.2 5 - ?等于( (2)设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f? ? 2? 1 A.- 2 答案 解析 1 B.- 4 1 1 C. D. 4 2 ) ( )

(1)A (2)A (1)由 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数知

f(3)=f(-2)=-f(2)=-2, f(4)=f(-1)=-f(1)=-1, ∴f(3)-f(4)=-1,故选 A. (2)∵f(x)是周期为 2 的奇函数, 5? ? 5 ? ? 1? ?1? ∴f? ?-2?=f?-2+2?=f?-2?=-f?2? 1 1 1 1- ?=- . =-2× ×? 2 ? 2? 2 题型三 函数性质的综合应用 例3 设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值;
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(2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调区间. 思维启迪 可以先确定函数的周期性,求 f(π);然后根据函数图象的对称性、周期性画 出函数图象,求图形面积、写单调区间. 解 (1)由 f(x+2)=-f(x)得,

f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数, ∴f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π) =-(4-π)=π-4. (2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x), 得:f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], 即 f(1+x)=f(1-x). 故知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称. 又当 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图象关于原点成中心对称,则 f(x)的图象如图所示.

当-4≤x≤4 时,f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S, 1 ? 则 S=4S△OAB=4×? ?2×2×1?=4. (3)函数 f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1] (k∈Z), 单调递减区间为[4k+1,4k+3] (k∈Z). 思维升华 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇偶性和周期性将 未知区间上的问题转化为已知区间上的问题,体现了转化思想. 1? (1)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x-1)<f? ?3?的 x 的取值范围是 1 2? A.? ?3,3? 1 2? C.? ?2,3? 1 2? B.? ?3,3? 1 2? D.? ?2,3? ) ( )

(2)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x), 且在区间[0,2]上是增函数, 则( A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25)

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D.f(-25)<f(80)<f(11) 答案 解析 (1)A (2)D (1)偶函数满足 f(x)=f(|x|),根据这个结论,

1? ?1? 有 f(2x-1)<f? ?3??f(|2x-1|)<f?3?, 1 进而转化为不等式|2x-1|< , 3 1 2? 解这个不等式即得 x 的取值范围是? ?3,3?. (2)由函数 f(x)是奇函数且 f(x)在[0,2]上是增函数可以推知, f(x)在[-2,2]上递增, 又 f(x-4)=-f(x)?f(x-8)=-f(x-4)=f(x), 故函数 f(x)以 8 为周期, f(-25)=f(-1),f(11)=f(3)=-f(3-4)=f(1), f(80)=f(0), 故 f(-25)<f(80)<f(11).

忽视定义域致误 k-2x 典例:(10 分)(1)若函数 f(x)= 在定义域上为奇函数,则实数 k=________. 1+k· 2x
?x2+1,x≥0, ? (2) 已知函数 f(x) = ? 则满足不等式 f(1 - x2)>f(2x) 的 x 的取值范围是 ? 1 , x <0 , ?

________. 易错分析 (1)解题中忽视函数 f(x)的定义域,直接通过计算 f(0)=0 得 k=1. (2)本题易出现以下错误 由 f(1-x2)>f(2x)得 1-x2>2x,忽视了 1-x2>0 导致解答失误. 解析 k-2 x k· 2x - 1 (1)∵f(-x)= , -x= 1+k· 2 2x + k


?k-2x??2x+k?+?k· 2x-1?· ?1+k· 2x ? ∴f(-x)+f(x)= x x ?1+k· 2 ??2 +k? = ?k2-1??22x+1? . ?1+k· 2x??2x+k?

由 f(-x)+f(x)=0 可得 k2=1,∴k=± 1.

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2 ? ?x +1,x≥0, (2)画出 f(x)=? 的图象, ?1,x<0 ?

由图象可知,若 f(1-x2)>f(2x),
?1-x2>0, ? 则? 2 ? ?1-x >2x,

?-1<x<1, 即? 得 x∈(-1, 2-1). ?-1- 2<x<-1+ 2,
答案 (1)± 1 (2)(-1, 2-1)

温馨提醒 (1)已知函数的奇偶性,利用特殊值确定参数,要注意函数的定义域. (2)解决分段函数的单调性问题时,应高度关注: ①抓住对变量所在区间的讨论. ②保证各段上同增(减)时,要注意左、右段端点值间的大小关系. ③弄清最终结果取并还是交.

方法与技巧 1. 正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数 f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件; (2)f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. 2. 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,反之也成立.利用这一性质 可简化一些函数图象的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性. 1 3. 若对于函数 f(x)的定义域内任一个自变量的值 x 都有 f(x+a)=-f(x)或 f(x+a)= 或 f(x f?x? 1 +a)=- (a 是常数且 a≠0),则 f(x)是一个周期为 2a 的周期函数. f?x? 失误与防范 1. 判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称 是函数具有奇偶性的一个必要条件. 2. 判断函数 f(x)是奇函数,必须对定义域内的每一个 x,均有 f(-x)=-f(x),而不能说存在 x0 使 f(-x0)=-f(x0).对于偶函数的判断以此类推. 3. 分段函数奇偶性判定时,要以整体的观点进行判断,不可以利用函数在定义域某一区间 上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性.

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A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 1. (2013· 广东)定义域为 R 的四个函数 y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x 中,奇函数的个 数是 A.4 B.3 C.2 D.1 答案 C 解析 由奇函数的定义可知 y=x3,y=2sin x 为奇函数. 2. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1)等于 A.-3 B.-1 C.1 D.3 答案 A 解析 ∵f(x)是奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x, ∴f(1)=-f(-1)=-[2× (-1)2-(-1)]=-3. f?x2?-f?x1? 3. 定义在 R 上的偶函数 f(x),对任意 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 <0,则( x2-x1 A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3) C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2) 答案 A 解析 由题意知 f(x)为偶函数,所以 f(-2)=f(2), 又 x∈[0,+∞)时,f(x)为减函数,且 3>2>1, ∴f(3)<f(2)<f(1),即 f(3)<f(-2)<f(1),故选 A. 4. 定义两种运算:a A.奇函数 C.既奇又偶函数 答案 A 解析 因为 2 x= 4-x2,x?2= ?x-2?2, 2 x b= a2-b2,a?b= ?a-b?2,则 f(x)= 是( 2-?x?2? B.偶函数 D.非奇非偶函数 ) ) ( ) ( )

4-x2 4-x2 4-x2 所以 f(x)= = = , x 2- ?x-2?2 2-?2-x?

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该函数的定义域是[-2,0)∪(0,2], 且满足 f(-x)=-f(x). 故函数 f(x)是奇函数. 5. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ax-a x+2(a>0, 且 a≠1). 若


g(2)=a,则 f(2)等于 A.2 17 C. 4 答案 B 解析 ∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数, ∴f(-2)=-f(2),g(-2)=g(2)=a, ∵f(2)+g(2)=a2-a 2+2,


( 15 B. 4 D.a2

)




∴f(-2)+g(-2)=g(2)-f(2)=a 2-a2+2, 15 - 由①、②联立,g(2)=a=2,f(2)=a2-a 2= . 4 二、填空题



6. 函数 f(x)在 R 上为奇函数,且 x>0 时,f(x)= x+1,则当 x<0 时,f(x)=________. 答案 - -x-1 解析 ∵f(x)为奇函数,x>0 时,f(x)= x+1, ∴当 x<0 时,-x>0, f(x)=-f(-x)=-( -x+1), 即 x<0 时,f(x)=-( -x+1)=- -x-1. 7. 若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 答案 0 解析 ∵函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,∴f(-x)=f(x),即(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|, ∴|-x+a|=|x+a|,∴a=0. 1 8. 已知函数 f(x)满足:f(1)= ,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则 f(2 015)=________. 4 答案 1 4

解析 方法一 令 x=1,y=0 时,4f(1)· f(0)=f(1)+f(1), 1 解得 f(0)= , 2 令 x=1,y=1 时,4f(1)· f(1)=f(2)+f(0), 1 解得 f(2)=- , 4
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令 x=2,y=1 时,4f(2)· f(1)=f(3)+f(1), 1 解得 f(3)=- , 2 1 1 1 1 依次求得 f(4)=- ,f(5)= ,f(6)= ,f(7)= , 4 4 2 4 1 1 f(8)=- ,f(9)=- ,? 4 2 可知 f(x)是以 6 为周期的函数, 1 ∴f(2 015)=f(335×6+5)=f(5)= . 4 1 方法二 ∵f(1)= ,4f(x)· f(y)=f(x+y)+f(x-y), 4 1 π ∴构造符合题意的函数 f(x)= cos x, 2 3 π 1 1 ×2 015?= . ∴f(2 015)= cos? ? 4 2 ?3 三、解答题 9. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它的图象关于直线 x=1 对称. (1)求证:f(x)是周期为 4 的周期函数; (2)若 f(x)= x (0<x≤1),求 x∈[-5,-4]时,函数 f(x)的解析式. (1)证明 由函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 有 f(x+1)=f(1-x),即有 f(-x)=f(x+2). 又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 故有 f(-x)=-f(x).故 f(x+2)=-f(x). 从而 f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 即 f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)解 由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,有 f(0)=0.

x∈[-1,0)时,-x∈(0,1],f(x)=-f(-x)=- -x. 故 x∈[-1,0]时,f(x)=- -x. x∈[-5,-4]时,x+4∈[-1,0], f(x)=f(x+4)=- -x-4. 从而,x∈[-5,-4]时,函数 f(x)=- -x-4. -x +2x,x>0, ? ? 10.已知函数 f(x)=?0,x=0, ? ?x2+mx,x<0 (1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围.
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2

是奇函数.



(1)设 x<0,则-x>0,

所以 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 于是 x<0 时,f(x)=x2+2x=x2+mx, 所以 m=2. (2)由(1)知 f(x)在[-1,1]上是增函数, 要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增.
? ?a-2>-1, 结合 f(x)的图象知? ?a-2≤1, ?

所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3]. B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 1. 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,g(x)是定义在 R 上的奇函数,且 g(x)=f(x-1),则 f(2 013)+f(2 015)的值为 A.-1 C.0 答案 C 解析 由题意,得 g(-x)=f(-x-1), 又∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,g(x)是定义在 R 上的奇函数,∴g(-x)=-g(x),f(-x) =f(x), ∴f(x-1)=-f(x+1), ∴f(x)=-f(x+2),∴f(x)=f(x+4), ∴f(x)的周期为 4, ∴f(2 013)=f(1),f(2 015)=f(3)=f(-1), 又∵f(1)=f(-1)=g(0)=0, ∴f(2 013)+f(2 015)=0. 2a-3 2. 设奇函数 f(x)的定义域为 R,最小正周期 T=3,若 f(1)≥1,f(2)= ,则 a 的取值范 a+1 围是 2 A.a<-1 或 a≥ 3 2 C.-1<a≤ 3 答案 C 解析 函数 f(x)为奇函数,则 f(1)=-f(-1). B.a<-1 2 D.a≤ 3 ( ) B.1 D.无法计算 ( )

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由 f(1)=-f(-1)≥1,得 f(-1)≤-1; 函数的最小正周期 T=3,则 f(-1)=f(2), 由 2a-3 2 ≤-1,解得-1<a≤ . 3 a+1

3.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且对任意的 x∈R 恒有 f(x+1)=f(x-1), 已知当 x∈[0,1] 时,f(x)=2x,则有 ①2 是函数 f(x)的周期; ②函数 f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数; ③函数 f(x)的最大值是 1,最小值是 0. 其中所有正确命题的序号是________. 答案 ①② 解析 在 f(x+1)=f(x-1)中,令 x-1=t,则有 f(t+2)=f(t), 因此 2 是函数 f(x)的周期,故①正确; 当 x∈[0,1]时,f(x)=2x 是增函数, 则 f(x)在[-1,0]上是减函数, 根据函数的周期性知,函数 f(x)在(1,2)上是减函数, 在(2,3)上是增函数,故②正确; 在区间[-1,1]上,f(x)的最大值为 f(1)=f(-1)=2, f(x)的最小值为 f(0)=1,故③错误. 4. 函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1,x2∈D,有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果 f(4)=1,f(x-1)<2,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的取值范围. 解 (1)∵对于任意 x1,x2∈D,

有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2), ∴令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1),∴f(1)=0. (2)令 x1=x2=-1,有 f(1)=f(-1)+f(-1), 1 ∴f(-1)= f(1)=0. 2 令 x1=-1,x2=x 有 f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数. (3)依题设有 f(4×4)=f(4)+f(4)=2, 由(2)知,f(x)是偶函数, ∴f(x-1)<2?f(|x-1|)<f(16). 又 f(x)在(0,+∞)上是增函数.
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∴0<|x-1|<16,解之得-15<x<17 且 x≠1. ∴x 的取值范围是{x|-15<x<17 且 x≠1}. 5. 设函数 f(x)在(-∞,+∞)上满足 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7]上 只有 f(1)=f(3)=0. (1)试判断函数 y=f(x)的奇偶性; (2)试求方程 f(x)=0 在闭区间[-2 005,2 005]上的根的个数,并证明你的结论. 解 (1)∵f(1)=0,且 f(x)在[0,7]上只有 f(1)=f(3)=0,

又∵f(2-x)=f(2+x),令 x=-3,f(-1)=f(5)≠0, ∴f(-1)≠f(1),且 f(-1)≠-f(1). ∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (2)f(10+x)=f[2+8+x]=f[2-(8+x)] =f(-6-x)=f[7-(13+x)]=f[7+13+x] =f(20+x), ∴f(x)以 10 为周期. 又 f(x)的图象关于 x=7 对称知,f(x)=0 在(0,10)上有两个根, 则 f(x)=0 在(0,2 005]上有 201×2=402 个根; 在[-2 005,0]上有 200×2=400 个根; 因此 f(x)=0 在闭区间上共有 802 个根.

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