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数学归纳法2


数学归纳法

情景一
(1)明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话:

财主的儿子学写字.老师第一天教“一”字,第二 天教“二”字,第三天教“三”字,到了第四天, 财主的儿子提出不用老师教了,为什么?他认为 “四就是四横、五就是五横……”。
(2)请问:如何说明粉笔盒里的粉笔都是白色。

思考:

/>(1)(2)用的数学方法是什么,运用的数学方法有什么区别?

归纳法
归纳法:由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 归纳法分为 完全归纳法 和 不完全归纳法 (1)完全归纳法:考察全体对象,得到一般结论的推理方法

(结论一定可靠,但需逐一核对,实施较难)
(2)不完全归纳法,考察部分对象,得到一般结论的推理方法 (结论不一定可靠,但有利于发现问题,形成猜想)

情景二
问题1 4=2+2,6=3+3,8=3+5,10=3+7,12=5+7,14=11+3… 68=31+37…猜想:任何大于2的偶数都是两个质数的和。 哥德巴赫猜想!

法国数学家费马观察到:

2 ?1

21

2 ?1

2 22

2 ?1

3 23

2 ? 1 都是质数,

4 24

于是他用归纳推理提出猜想: 2n 任何形如 2 ? 1 的数都是质数(费马猜想) 半个世纪之后,善于计算的欧拉发现,第 5个费马数 5 2 F5=2 +1 = 4294967297 = 641? 6700417 不是质数,从而推翻了费马的猜想

思考与探究:
2 1.数列{a n }中a1 ? 2, a n?1 ? a n ? na n ? 1( n ? N *), 则

a1 ?

2 ,a 2 ? 3 ,a 3 ? 4 ,a 4 ? 5 ,a 5 ? 6 ,
2 2

由此我们可猜想 an ? n ? 1

2.已知a n ? ( n ? 5n ? 5) , 则 a1 ? 1 ,a 2 ? 1 ,a 3 ? 1 ,a 4 ? 1 ? a n ? 1 ?
由一系列有限的特殊事例得出一般结论的方法, 通常叫做不完全归纳法. 结论的正确性需要对全体正整数进行验证,如何进行?

多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示

多米诺骨牌游戏原理
如何保证骨牌一一倒下?需要几个步骤才能做到? (1)处理第一个问题;(相当于推倒第一块骨牌)
(2)验证前一骨牌与后一骨牌有递推关系; (相当于前牌推倒时保证后牌倒) (第k张骨牌倒时保证第k+1张骨牌也倒) 思考:请同学们举几则生活中应用这种递推的思想的例子。 古代烽火传递军情,击鼓传花等等 某个同学在单车棚不小心绊倒一辆自行车……

类比多米诺骨牌游戏原理证明
如果{an}是一个等差数列,则an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。

证明: (1)当n=1时,左边=a1,右边=a1 +(1-1)d=a1, ∴ 当n=1时,结论成立 (2)假设当n=k时结论成立, 即 ak=a1+(k-1)d 则当n=k+1时
ak+1 = ak+d = a1+(k-1)d+d

= a1+[(k+1)-1]d ∴当n=k+1时,结论也成立。 由(1)和(2)知,等式对于任何n∈N*都成立。

数学归纳法
对于由不完全归纳法得到的某些与自然数 有关自然数的数学命题我们常采用下面的方法 来证明它们的正确性: (1)证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立, (2)假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命题成立 证明当n=k+1时命题也成立, 这种证明方法叫做 数学归纳法

例题1、用数学归纳法证明等式
例. 用数学归纳法证明: n( n ? 1)( 2n ? 1) 2 1 ? 4 ? 9 ? ?? ? n ? 6
用数学归纳法证明的步骤:
(1)证明当n =1时结论正确;

⑵假设当n=k时结论正确,并由此证明当 n=k+1时 结论也正确。 (3)作结:命题对n≥1的所有正整数都成立.

1.用数学归纳法证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2
思考:下面是甲同学用数学归纳法证明命题的过 程. 你认为他的证法正确吗?为什么?
(1)当n ? 1时, 左边 ? 1, 右边 ? 12 , 左边 ? 右边, 等式成立

( 2)假 设n ? k时命题成立 , 即 有 : 仅仅从形式上做 2 表面的功夫 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( 2k ? 1) ? k

当n ? k ? 1时 , 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( 2k ? 1) ? ( k ? 1) 2
? n ? k ? 1时, 等式也成立 .
由(1)(2)可得,原命题对一切正整数成立.

1.用数学归纳法证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2
思考:下面是乙同学用数学归纳法证明命题的过 程. 你认为他的证法正确吗?为什么?
(1)当n ? 1时, 左边 ? 1, 右边 ? 12 , 左边 ? 右边, 等式成立

( 2)假 设n ? k时命题成立 , 即 有 : 不是从假设出发(即 2 没有用到假设) 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( 2k ? 1) ? k 当n ? k ? 1时, (1 ? 2k ? 1)(k ? 1) 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( 2k ? 1) ? 2 ? (k ? 1) 2

? n ? k ? 1时, 等式也成立 .

由(1)(2)可得,原命题对一切正整数成立.

用数学归纳法证明的步骤: n 0 时结论正确; (是论证的基础) (1)证明当 n =1 ⑵假设当n=k时结论正确,并由此证明当 n=k+1时 由此 结论也正确。 (是推理的依据) n 0的所有正整数都成立. 结论:命题对 n≥1 注意事项: 归纳假设 1.两个步骤缺一不可. 2.在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设,否 则就不是数学归纳法. (要做到一凑假设,二凑目标) 3.数学归纳法只适用于和正整数有关的命题.

一.用数学归纳法证明等式问题

通过计算下面的式子, 猜想出 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (?1) n (2n ? 1) 的结果, 并加以证明. ? 1 ? 3 ? _____;?1 ? 3 ? 5 ? ______ ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ______;?1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? _______

解 : 上面四个式子的结果分 别是2,?3,4,?5, n n 由此猜想 : ?1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( ?1) ( 2n ? 1) ? ( ?1) n 下面用数学归纳法证明: (1)当n ? 1时, 式子左右两边都等于? 1, 即这时等式成立.
( 2)假设当n ? k ( k ? 1)时等式成立, 即 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( ?1)k ( 2k ? 1) ? ( ?1)k k 当n ? k ? 1时

当n ? k ? 1时 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (?1) (2k ? 1) ? (?1)
k k ?1

(2k ? 1)

? (?1) k ? (?1)
k k k k

k ?1 k

(2k ? 1)

? (?1) k ? (?1) (2k ? 1) ? (?1) (k ? 2k ? 1) ? (?1) (?k ? 1) ? (?1)
k ?1

(k ? 1)

?当n ? k ? 1时,等式成立 根据( 1 )(2),命题对任意n ? N *都成立

一、证明中需要注意的问题

(1)在第一步中的初始值不一定从1取起,证明 时应根据具体情况而定.
例:欲用数学归纳法证明2n>n2,试问n的第一个 取值应是多少? 答:对n=1,2,3,…,逐一尝试,可知初始值为n=5.

(2)n=k+1时,项数的变化情况要数清

1 1 1 已知f (n) ? ? ? ... ? n ?1 n ? 2 3n ? 1 则f (k ? 1) ? f (k ) ?
1 1 1 1 ? ? ? 3k ? 2 3k ? 3 3k ? 4 k ? 1 ________________

课堂练习:
1.用数学归纳法证明 : 1 ? a ? a 2 ? ? ? a n?1 (a ? 1)在验证 n ? 1时, 左端计算所得的项为 ( C ) A.1 B.1 ? a C.1 ? a ? a 2 D.1 ? a ? a 2 ? a 3

1 1 1 2.用数学归纳法证明: 1 ? ? ? ? ? n ? n( n ? N ? , n ? 1), 2 3 2 ?1 第二步证明从" k到k ? 1" , 左端增加的项数是 ( B ) A.2 k -1 B .2k C .2k ? 1 D.2k ? 1

3.如果命题p( n)对n ? k成立, 则它对n ? k ? 2亦成立, 又若p( n)对n ? 2成立, 则下列结论正确的是( B ) A.p(n) 对所有正整数n成立 C.p(n) 对所有奇正整数n成立 B.p(n) 对所有偶正整数n成立 D.p(n) 对所有比1大的自然数n成立

4.某个命题与自然数n有关, 若n ? k ( k ? N ? )时, 该命题成立, 那么可推得n ? k ? 1时该命题也成立, 现在已知当n ? 5时, 该命题不成立, 那么可推得( C ) A.当n ? 6时该命题不成立 B.当n ? 6时该命题成立 C.当n ? 4时该命题不成立 D.当n ? 4时该命题成立

课堂小结:数学归纳法
对于由不完全归纳法得到的某些与自然数 有关自然数的数学命题我们常采用下面的方法 来证明它们的正确性: (1)证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立, (2)假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命题成立 证明当n=k+1时命题也成立, 这种证明方法叫做 数学归纳法

设数列{an}满足an+1=an2?nan+1,n=1,2,3,… (1)当a1=2时,求a2,a3,a4,由此猜想出an的一个通项公式,并证明 (2)当a1?3时,证明对所有的n?1,有an?n+2 解:(1)由a1=2得a2=a12?a1+1=3 同理可得:a2=3、a3=4、a4=5 由此猜想an的一个通项公式:an=n+1 (n?1) 证明:①当n=1时,a1=2=1+1 ∴n=1时,命题成立

②假设n=k时,命题成立,即ak=k+1
∵an+1=an2?nan+1 ∴ak+1=ak2?kak+1=(k+1)2?k(k+1)+1=(k+1)+1

即n=k+1时,猜测正确
由①②知对n?N*都有an=n+1

(1)恒等式证明:
例 1:证明: 13 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n)2 (n ? N * )
证明: (1)n ? 1时,左边? 1 ? 右边,等式成立;

(2)假 设n ? k (k ? 1, k ? N * )时 等 式 成 立 , 即: 13 ? 23 ? 33 ? ? ? k 3 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? k ) 2
2 右边 ? [ 1 ? 2 ? 3 ? ? ? k ? ( k ? 1 )] 那么n ? k ? 1时,

? (1 ? 2 ? 3 ? ?? k )2 ? 2(1 ? 2 ? 3 ? ?? k )(k ? 1) ? (k ? 1)2
? 13 ? 2 3 ? 3 3 ? ? ? k 3 ? 2 ? k (k ? 1) ? (k ? 1) ? (k ? 1) 2 2 ? 13 ? 23 ? 33 ? ? ? k 3 ? (k ? 1)3 ? 左边

即:n=k+1时,等式成立。 由(1)(2)知,等式对于一切自然数成立

1 1 1 1 , , , ?, , ? 例2:已知数列 1×4 4×7 7×10 (3n - 2)(3n +1)

计算 S1 ,S2 ,S3 ,S4 ,根据计算的结果,猜想 Sn
1 1 解:当n = 1时,s1 = = 1×4 4 1 2 ? 当n = 1时,s2 = s1 + = 4×7 7 1 3 ? 当n = 1时,s3 = s2 + = 7×10 10 1 4 当 ?n = 1时,s 4 = s3 + = 10×13 13 n 猜想:s n = 3n +1

的表达式,并用数学归纳法进行证明.

(2)数学归纳法证明整除问题: 例1、用数学归纳法证明: n ? 5n能被6整除
3

证:(1)当n=1时,n3 ? 5n=6 即能被6整除,故命题成立.
(2)假设当n=k时,命题成立,即 k 3 ? 5k 则当n=k+1时,有 能被6整除.

(k ?1)3 ? 5(k ?1) ? k 3 ? 3k 2 ? 3k ?1 ? 5k ? 5
? (k ? 5k ) ? 3k (k ?1) ? 6
3

k(k+1)为偶数,则 3k(k+1)能被6整除
3 ( k ? 5k ) ? 3k (k ? 1) ? 6 能被6整除 所以,

由(1)(2)知,猜想对于任意的自然数都成立.

例2、用数学归纳法证明: 当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除.
证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命 题成立. (2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除. 则当n=2k+2时,有
2 2k 2k 2k 2

x

2k ?2
2

?y

2k ?2
2

? x ?x ? y ? y
2 2k 2
2k 2k 2k

2k

? x ( x ? y ) ? y ( x ? y ) ? x ( x ? y ) ? y ( x ? y)(x ? y) ? x2 ( x2k ? y 2k )、y 2k ( x ? y)(x ? y) 都能被x+y整除.
故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立. 由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.

例 3: 已 知 f ( n) ? ( 2n ? 7) ? 3 n ? 9, 是 否 存 在 自 然 数 m 使对于任意 n ? N *都 有m整 除f ( n), 如 果 存 在 , 求 出 最大的 m值 , 并 证 明 你 的 结 论 若 ,不存在,说明理. 由 解 :f (1) ? 36, f (2) ? 108, f (3) ? 360, f (4) ? 1224 , mmax ? 36. ?, 猜想 : f (n)能被36整除且 证明: (1)n ? 1时,f (1) ? 36能被36整除.
(2)假设n ? k (k ? N * )时,f (k ) ? (2k ? 7) ? 3k ? 9能被36整除.

n ? k ? 1时,f (k ? 1) ? [2(k ? 1) ? 7] ? 3k ?1 ? 9

? 3[(2k ? 7) ? 3k ? 9] ? 6 ? 3k ? 18
? 3[(2k ? 7) ? 3k ? 9] ? 18(3k ?1 ? 1)
? k ? 1且k ? N * ?3k ?1 ? 1为偶数 , 从而18(3k ?1 ? 1)能被36整除,

又3[(2k ? 7) ? 3k ? 9]也能被 36整除, ? f (k ? 1)能被36整除,即 n ? k ? 1时命题成立;

由(1)(2)知,猜想对于任意的自然数都成立.

例 3: 已 知 f ( n) ? ( 2n ? 7) ? 3 n ? 9, 是 否 存 在 自 然 数 m 使对于任意 n ? N *都 有m整 除f ( n), 如 果 存 在 , 求 出 最大的 m值 , 并 证 明 你 的 结 论 若 ,不存在,说明理. 由 解 :f (1) ? 36, f (2) ? 108, f (3) ? 360, f (4) ? 1224 , mmax ? 36. ?, 猜想 : f (n)能被36整除且 n ? 2时,f (2) ? 108能被36整除. 证明: (1)n ? 1时,f (1) ? 36能被36整除, (2)假设n ? k (k ? 2, k ? N * )时,f (k ) ? (2k ? 7) ? 3k ? 9能被36整除.
n ? k ? 1时,f (k ? 1) ? [2(k ? 1) ? 7] ? 3k ?1 ? 9

? [(2k ? 7) ? 3k ? 9] ? 4 ? 3k (k ? 5)
? [(2k ? 7) ? 3k ? 9] ? 36? 3k ?2 (k ? 5)
? k ? 2且k ? N * ?36? 3k ?2 (k ? 5)能被36整除,

又[(2k ? 7) ? 3k ? 9]也能被 36整除, ? f (k ? 1)能被36整除,即 n ? k ? 1时命题成立;

由(1)(2)知,猜想对于任意的自然数都成立.

(3)数学归纳法证明不等式问题:
例1、用数学归纳法证明:
1 1 1 13 ? ? ? ? ? (n ? 2, n ? N * ). n ?1 n ? 2 2n 24

1 1 1 1 14 13 证:(1)当n=2时, 左边= 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? 24 ? 24 , 不等式

成立. (2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有:
1 1 1 13 ? ??? ? , k ?1 k ? 2 2k 24

则当n=k+1时,我们有:
1 1 1 1 1 ? ??? ? ? (k ? 1) ? 1 (k ? 1) ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ?( ? ? ) k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1

(4)数学归纳法证明几何问题:
例6、平面内有n (n?2)条直线,任何两条都不平行,任何 三条不过同一点,问交点的个数 f ( n) 为多少?并证明.

n
1 2 3

图形

f(n)
f(1)=0 f(2)=1=f(1)+1 f(3)=3=f(2)+2 f(4)=6=f(3)+3

4
… k K+1 …

… f(k) f(k+1)=f(k)+k

(4)数学归纳法证明几何问题:
例6、平面内有n (n?2)条直线,任何两条都不平行,任何 三条不过同一点,问交点的个数 f ( n) 为多少?并证明.
n( n ? 1) f ( n) ? 2
2

证明:1)n=2时:两条直线交点个数为1, 而f(2)= 1 ×2×(2-1)=1, ∴命题成立。 2)假设n=k(k∈N?,k≥2)时,k条直线交点个数为 f(k)= 1 k(k-1),
2

当n=k+1时:第k+1条直线分别与前k条直线各交于 一点,共增加k个点,

∴k+1条直线交点个数=f(k)+k= 2 k(k-1)+k = 1 k(k-1+2)= 1 k(k+1)= 1 (k+1)[(k+1)-1]=f(k+1),
2 2 2

1

即当n=k+1时命题仍成立。 由1)、2)可知,对一切n∈N?原命题均成立。

1 2 2 练习:证明: 1 ? 2 ? ? ? n ? n (n ? 1) 4
3 3 3

例4求证:( 3n ? 1 ) ? 7 n ? 1(n ? N ? )能被9整除. 练习:求证: 3
2 n? 2

? 8n ? 9(n ? N )能被6整除.

?


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