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圆锥曲线典型例题


圆锥曲线典型例题
(近年广东高考考题及广东地级市模考试题精选) 1(2007,18 题)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限,半径为 2 2 的圆 C 与直 线 y ? x 相切于坐标原点 O.椭圆
x2 a2 ? y2 =1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 9

10. (1)求圆 C 的方程. (2) 试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q, 使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长. 若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. (1) 设圆 C 的圆心为 (m, n)

? m ? ?n, ? m ? 0, n ? 0 ? 则 ? ? m?n ? 2 2 ? ? 2
所求的圆的方程为 (2) 由已知可得 椭圆的方程为

解得 ?

?m ? ?2 ? n?2

( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8
a?5

2a ? 10

x2 y 2 ? ? 1 , 右焦点为 F (4, 0) . 25 9

2 2 ? 4 12 ?( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 8 设存在点 Q( x, y) ? C 满足条件,则 ? 解得 Q( , ) 2 2 5 5 ? ?( x ? 4) ? y ? 16

故存在符合要求的点 Q( ,

4 12 ). 5 5

x2 y2 2(2008,18 题)设 b>0,椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,抛物线方程为 x2 ? 8( y ? b) 。如 2b b
图 4 所示,过点 F(0,b + 2)作 x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为 G。已知抛 物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦点 F1。 (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设 A、B 分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点 P,使得△ ABP 为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这 些点的坐标) 。

?y ? b ? 2 ?x ? 4 解: (1)解方程组 ? 2 得? , y ? b ? 2 x ? 8 ( y ? b ), ( x ? 0 ) ? ? 所以点 G 的坐标为 G(4,b+2), 1 1 由 x 2 ? 8( y ? b) ,得 y ? x 2 ? b ,求导数得 y ? ? x , 8 4

1

于是, 抛物线 y ? 又椭圆

1 2 1 x ? b 在点 G 的切线 l 的斜率为 k ? y ? | x ? 4 ? ? 4 ? 1 , 8 4

x2 y2 ? ? 1 中 c 2 ? 2b 2 ? b 2 ? b 2 ,即 c=b,所以椭圆的右焦点为 2 2 2b b

b?2?0 ? 1 ,解得 b=1. 4?b x2 y2 所以满足条件的椭圆方程和抛物线方程分别为 ? ? 1 和 x 2 ? 8( y ? 1) 2 1 (2) 在抛物线上存在点 P,使得△ABP 为直角三角形。且这样的点有 4 个。 证明:分别过点 A、B 做 y 轴的平行线,交抛物线于 M,N 点,则∠MAB=90O, ∠NBA=90O, 显然 M,N 在抛物线上,且使得△ABM,△ABN 为直角三角形。 设抛物线 x 2 ? 8( y ? 1) 的顶点为 D,则点|OD|=1,又|OA|=|OB|= 2 ,显然 ∠ADB>90O. 所以,在抛物线上位于点 D、M 和点 D、N 之间,一定分别存在一个点 P, 使得∠APB=90O. 综上所述, 满足条件的点共有 4 个。

F1 (b,0)

由切线 l 过点 F1 ,可知 k GF1 ?

3 ( 2009,19 题)已知曲线 C : y ? x2 与直线 l : x ? y ? 2 ? 0 交于两点 A( xA , yA ) 和

B( xB , yB ) ,且 xA ? xB .记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区
域(含边界)为 D .设点 P( s, t ) 是 L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合. (1)若点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程; (2)若曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ?
2 2 2

w.w.w.k.s.5.u.c.o .m

51 ? 0 与点 D 有公共点,试求 a 的最小值 25 1 5 解: (1)联立 y ? x 2 与 y ? x ? 2 得 x A ? ?1, x B ? 2 ,则 AB 中点 Q ( , ) ,设线段 PQ 的 2 2 1 5 ?s ?t 1 5 2 2 中点 M 坐标为 ( x, y ) ,则 x ? ,即 s ? 2 x ? , t ? 2 y ? ,又点 P 在曲 ,y ? 2 2 2 2
线 C 上,

y
xB xA D

5 1 11 ? (2 x ? ) 2 化简可得 y ? x 2 ? x ? ,又点 P 是 L 上的 2 2 8 1 任 一 点 , 且 不 与 点 A 和 点 B 重 合 , 则 ? 1 ? 2x ? ? 2 , 即 2 1 5 11 ? ? x ? , ∴ 中 点 M 的 轨 迹 方 程 为 y ? x2 ? x ? 4 4 8 1 5 ( ? ? x ? ). 4 4
∴ 2y ?

o

x

2

(2)曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ?
2 2 2

51 ?0, 25

即圆 E : ( x ? a ) ? ( y ? 2) ?
2 2

49 7 ,其圆心坐标为 E (a,2) ,半径 r ? 25 5 51 2 2 2 ? 0 与点 D 有公共 由图可知,当 0 ? a ? 2 时,曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ? 25 51 ? 0 与点 D 有公共点,只需圆 25

点;
2 2 2 当 a ? 0 时,要使曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ?

心 E 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ?

|a?2?2| 2

?

|a| 2

?

7 7 2 , 得? ? a ? 0 ,则 a 的 5 5

最小值为 ?

7 2 . 5
x ? y 2 ? 1 的左、右顶点分别为 A1 , A2 ,点 P( x1 , y1 ) , 2

4(2010,19 题)已知双曲线

Q( x1 , ? y1 ) 是双曲线上不同的两个动点。
E 的方程; (1)求直线 A 1 P 与 A2 Q 交点的轨迹
(2 若过点 H (0, h)(h ? 1) 的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点, 且 l1 ? l2 , 求h 的 值。 (1)解:由 A 1, A 2 为双曲线的左右顶点知, A 1 (? 2,0), A 2 ( 2,0),

A1P : y ?

y1 ? y1 ? y2 ( x ? 2) , A2Q : y ? ( x ? 2) ,两式相乘 y 2 ? 2 1 ( x 2 ? 2) , x1 ? 2 x1 ? 2 x1 ? 2
1 x12 y2 1 ? y12 ? 1,即 2 1 ? ,故 y 2 ? ? ( x 2 ? 2) , 2 2 x1 ? 2 2

因为点 P( x1 , y1 ) 在双曲线上,所以

所以

x2 x2 ? y 2 ? 1 ,即直线 A1 P 与 A2 Q 交点的轨迹 E 的方程为 ? y 2 ? 1 . 2 2
1 x?h。 k

(2)解法 1:设 l1 : y ? kx ? h ,则由 l1 ? l2 知, l2 : y ? ?

x2 ? y2 ? 1 得 将 l1 : y ? kx ? h 代入 2
x2 ? (kx ? h) 2 ? 1 ,即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4khx ? 2h2 ? 2 ? 0 , 2
3

由 l1 与 E 只有一个交点知, ? ? 16k 2 h2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2h2 ? 2) ? 0 ,即 1 ? 2k ? h 。
2 2

同理,由 l2 与 E 只有一个交点知, 1 ? 2 ?
2 2
[来

1 1 ? h 2 ,消去 h2 得 2 ? k 2 ,即 k 2 ? 1 , 2 k k

从而 h ? 1 ? 2k ? 3 ,又 Q h ? 1 ,? h ? 3. 。 解法 2:由题意知直线 l1 和 l2 都是椭圆 E 的切线,由对称性知,两直线的倾斜角分别为

x2 45 ? 和 135? ,设其方程为 y ? ? x ? h ,代入椭圆 E 的方程 ? y 2 ? 1 得 2
x2 ? (? x ? h) 2 ? 1 ,即 3x 2 ? 4hx ? 2h2 ? 2 ? 0 2
2 由 ? ? 0 得 16h2 ? 4 ? 3 ? (2h2 ? 2) ? 0 ,即 h ? 3 ,

5(2011,19 题)设圆 C 与两圆 ( x ? 5)2 ? y2 ? 4 , ( x ? 5)2 ? y2 ? 4 中的一个内切, 另一个外切. (1) 求 C 的圆心轨迹 L 的方程; (2) 已知点 M(

3 5 4 5 , ) ,F( 5 ,0) ,且 P 为 L 上的动点,求 MP ? FP 的 5 5

最大值及此时点 P 的坐标. 解: (1)设 F ?(? 5,0), F ( 5,0) ,圆 C 的半径为 r ,

  CF ? ? CF   ? (r ? 2) ? (r ? 2) ? 4 ? 2 5 则 
∴ C 的圆心轨迹 L 是以 F ?, F 为焦点的双曲线, a ? 2 , c ? 5 , b ? 1 ∴ C 的圆心轨迹 L 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

(2)   MP ? FP   ? MF ? (

3 5 4 5 2 ? 5)2 ? ( ) ?2 5 5

MP ? FP   ∴  的最大值为 2,此时 P 在 MF 的延长线上,
如图所示, P 必在 L 的右支上,且 xP ? 5 , yP ? 0 直线 MF 的斜率 k ? ?2

MF : y ? ?2x ? 2 5
4

? x2 2 ? ? y ?1 ?4 ? y ? ?2 x ? 2 5 ?

y 4 3 2

15x ? 32 5x ? 28 ? 0
2
?9 5x ?8 ?7 (3 5x ?14)( ? 6) ? 0 ?6 ?5 ?4 ?3 ?2 ?1

M 1

P

O ?1

1

2 F P

3

4

5

x

x1 ?

14 5 6 5 , x2 ? 15 5 6 5 2 5 , yP ? ? 5 5

?2 ?3

∵ xP ? 5 ,∴ xP ?

?4 ?5

MP ? FP   ∴  的最大值为 2,此时 P 为 (

6 5 2 ?6 5 ,? ) 5 5?7

6、已知椭圆

?8 x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F, 抛物线 y 2 ? ?4(m ? 1) x 的准线为 l ,且 2 m ?m m ?9 ?10

直线 y ? x 与 l 相交于 A 点. 若⊙C 经过 O、F、A 三点;

(Ⅰ)求⊙C 的方程(用 m 表示) ; (Ⅱ)当 m 变化时, 求证:⊙C 经过除原点外的另一个定点 B; (Ⅲ)若 AF ? AB ? 5 时,求椭圆离心率 e 的范围. 解:(Ⅰ)

a2 ? m2 ? m, b2 ? m,?c2 ? m2 ,即 c ? m , ? F (m,0) ,准线 x ? 1 ? m , ? A(1 ? m,1 ? m) ………………………………(2 分)
设⊙C 的方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,将 O、F、A 三点坐标代入得:

?F ? 0 ?F ? 0 ? ? 2 ,解得 ? D ? ? m ……………………………………(4 分) ?m ? Dm ? 0 ? E ? ?2 ? m ? 2 ? 2m ? D ? E ? 0 ? ? 2 2 ∴⊙C 的方程为 x ? y ? mx ? (2 ? m) y ? 0 ……………………………(5 分) (Ⅱ)设点 B 坐标为 ( p, q) ,则 p2 ? q2 ? mp ? (2 ? m)q ? 0 ,整理得:

p2 ? q2 ? 2q ? m( p ? q) ? 0 对任意实数 m 都成立…………………………(7 分) ?p?q ? 0 ? p ? 0 ? p ? ?1 ∴? 2 ,解得 ? 或? , 2 ? q ? 0 ?q ? 1 ? p ? q ? 2q ? 0 故当 m 变化时,⊙C 经过除原点 O 外的另外一个定点 B (?1,1) …………(10 分)
(Ⅲ)由 B (?1,1) 、 F (m,0) 、 A(1 ? m,1 ? m) 得 AF ? (?1, ?1 ? m) , AB ? (?2 ? m, ?m) ∴ AF ? AB ? m ? 2m ? 2 ? 5 ,解得 ?3 ? m ? 1 ………………………(12 分)
2

?m 2 ? m ? 0 又? ,∴ 0 ? m ? 1 …………………………………(13 分) ?m ? 0
5

又椭圆的离心率 e ?

m m2 ? m

?

m2 1 ( 0 ? m ? 1) ? 2 1 m ?m 1? m

∴椭圆的离心率的范围是 0 ? e ?

2 …………………………………(14 分) 2

7、已知椭圆 E : 于

1 x2 y 2 ? ? 1? a ? 3? 的离心率 e ? . 直线 x ? t ( t ? 0 )与曲线 E 交 2 2 3 a

不同的两点 M , N ,以线段 MN 为直径作圆 C ,圆心为 C . (1) 求椭圆 E 的方程; (2) 若圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A, B ,求 ?ABC 的面积的最大值.

(1)解:∵椭圆 E :

1 x2 y 2 ? ? 1? a ? 3? 的离心率 e ? , 2 2 3 a
…… 2 分



a2 ? 3 1 ? . a 2
解得 a ? 2 .

x2 y 2 ? ? 1. ∴ 椭圆 E 的方程为 4 3
(2)解:依题意,圆心为 C (t ,0)(0 ? t ? 2) .

…… 4 分

? x ? t, 12 ? 3t 2 ? 2 由 ? x2 y 2 得y ? . 4 ? 1, ? ? ?4 3
∴ 圆 C 的半径为 r ?

12 ? 3t 2 . 2

…… 6 分

∵ 圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A, B ,且圆心 C 到 y 轴的距离 d ? t ,

12 ? 3t 2 2 21 ∴ 0?t ? ,即 0 ? t ? . 7 2
∴ 弦长 | AB |? 2 r ? d ? 2
2 2

12 ? 3t 2 2 ? t ? 12 ? 7t 2 . 4

…… 8 分

∴ ?ABC 的面积 S ?

1 ? t 12 ? 7t 2 2

…… 9 分

6

?

1 2 7

?

? 7t ?
2

12 ? 7t 2

?
?

1 2 7

? 7t ? ?

? 12 ? 7t 2 2
…… 12 分

3 7 . 7 42 时,等号成立. 7

当且仅当 7t ? 12 ? 7t 2 ,即 t ?

∴ ?ABC 的面积的最大值为 8、 已知 F1 , F2 分别为椭圆 E:

3 7 . 7

…… 14 分

3 x2 y 2 右焦点, 椭圆的离心率 e ? , ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 2 2 a b

? MNF2 的周长为 8 过F 1 的直线交椭圆于 M , N 两点,且
(1)求椭圆 E 的方程; (2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A, B,且 OA ? OB(O 为坐标原点) ,若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由; 【解析】 (1)据题意, 又e ?

? MNF2 的周长为 8,故 4a ? 8, ? a ? 2

c 3 x2 ? ,? a 2 ? 4, b 2 ? 1, c 2 ? 3,? 椭圆方程 ? y 2 ? 1 .……………5 分 a 2 4

(2)①设圆心在原点的圆的一条切线为 y = kx + t, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .
? y ? kx ? t ? 解方程组 ? x 2 得x 2 ? 4(kx ? t )2 ? 4,即(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8ktx ? 4t 2 ? 4 ? 0, ……8 分 2 ? y ? 1 ? ?4

要使切线与椭圆恒有两个交点 A, B, 则使 ? ? 64k 2t 2 ? 16(1 ? 4k 2 )(t 2 ? 1) ? 16(4k 2 ? t 2 ? 1) ? 0
8kt ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 4k 2 即 4k 2 ? t 2 ? 1 ? 0, 即t 2 ? 4k 2 ? 1, 且 ? ,……………………………10 分 2 ? x x ? 4t ? 4 1 2 ? 1 ? 4k 2 ?

y1 y2 ? (kx1 ? t )(kx2 ? t ) ? k 2 x1 x2 ? kt ( x1 ? x2 ) ? t 2 ?

k 2 (4t 2 ? 4) 8k 2t 2 t 2 ? 4k 2 ? ? t2 ? , 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2

4t 2 ? 4 t 2 ? 4k 2 5t 2 ? 4k 2 ? 4 要使 OA ? OB, 需使x1 x2 ? y1 y2 ? 0,即 ? ? ? 0, 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

所以 5t2 – 4k2 – 4 = 0,即 5t2 = 4k2 + 4 且 t2<4k2 + 1,即 4k2 + 4<20k2 + 5 恒成立.
7

又因为直线 y = kx + t 为圆心在原点的圆的一条切线,
4 (1 ? k 2 ) 2 t 4 4 2 5 所以圆的半径为 r = ,r ? ? ? , 所求的圆为x 2 ? y 2 ? . ……12 分 2 2 2 5 5 1? k 1? k 1? k |t |

②当切线的斜率不存在时, 切线为 x ? ?
2 x2 2 2 2 2 5, 与 ? y 2 ? 1交于点( 5, ? 5)或(? 5, ? 5) 满足. 5 4 5 5 5 5
4 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 5

综上,存在圆心在原点的圆 x2 ? y 2 ?

A,B.………………………………………………………14 分

9、已知椭圆 x 2 ?

y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左焦点为 F,左右顶点分别为 A,C 上顶点为 B, b2

过 F,B,C 三点作圆 P,其中圆心 P 的坐标为 (m, n) .(1) 若椭圆的离心率 e ? 方程; (2)若圆 P 的圆心在直线 x ? y ? 0 上,求椭圆的方程.

3 ,求圆 P 的 2

解: (1)当 e ?

3 3 时,∵ a ? 1 ,∴ c ? , 2 2
2

∴ b ? a ? c ? 1?
2 2

3 1 1 1 3 b? , ? , C (1, 0) …………………… 点 B(0, ) , F (? , 0) , 4 4 2 2 2 y
B(0,b)

2分 设圆 P 的方程为 ( x ? m) ? ( y ? n) ? r ,
2 2 2

x A(-1 ,0) F(-c,0) o C(1,0)

由圆 P 过点 F,B,C 得 ∴ m ? ( ? n) ? r
2 2

1 2

2



(m ?


3 2 ) ? n2 ? r 2 2



(1 ? m)2 ? n2 ? r 2

③ …………………… 5

由① ② ③ 联立解得: m ?

5 2? 3 1? 2 3 2 ,n ? ,r ? 4 4 4

…………………… -7 分

∴ 所求的圆 P 的方程为 ( x ?

2? 3 2 1? 2 3 2 5 ) ? (y ? ) ? 4 4 4
8

…………………… 8 分

(2)∵ 圆 P 过点 F,B,C 三点,∴ 圆心 P 既在 FC 的垂直平分线上,也在 BC 的垂直平分线上, FC 的垂直平分线方程为 x ?

1? c 2



…………………… 9 分

∵ BC 的中点为 ( , ) , kBC ? ?b ∴ BC 的垂直平分线方程为 y ?

1 b 2 2

b 1 1 ? (x ? ) 2 b 2

⑤ …………………… 10 分

1? c b2 ? c 1? c b2 ? c ,n ? ,y? 由④ ⑤ 得x? ,即 m ? 2 2b 2 2b
∵P (m, n) 在直线 x ? y ? 0 上,∴ ∵ 1? b ? 0

…………………… 11 分

1 ? c b2 ? c ? ? 0 ? (1 ? b)(b ? c) ? 0 2 2b
2

2 2 ∴b ? c ,由 b ? 1 ? c 得 b ?

1 2

…………………… 13 分

∴ 椭圆的方程为 x2 ? 2 y 2 ? 1

…………………… 14 分

x2 y 2 10.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,短轴两个端点为 A、 a b
B,且四边形 F1AF2B 是边长为 2 的正方形。 (1)求椭圆的方程; (2)若 C、D 分别是椭圆的左、右端点,动点 M 满足 MD⊥CD,连接 CM,交椭圆于 点 P。证明: OM ? OP 为定值。 (3)在(2)的条件下,试问 x 轴上是否存异于点 C 的定点 Q,使得以 MP 为直径的圆 恒过直线 DP、MQ 的交点,若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由。 解: (1) a ? 2, b ? c, a ? b ? c ,?b ? 2
2 2 2 2

∴椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 2

………………4 分

(2) C(?2,0), D(2,0), 设M (2, y0 ), P( x1 , y1 ),

则OP ? ( x1 , y1 ), OM ? (2, y0 )
直线 CM: y ?

y0 y 1 ( x ? 2),即y ? 0 x ? y0 4 4 2
2 2

代入椭圆方程 x ? 2 y ? 4, 得 (1 ?
2 y0 1 2 1 2 ) x 2 ? y0 x ? y0 ?4?0 8 2 2

………………6 分
9

x1 (?2)

2 4( y0 ? 8) 2 y0 ? 8

2 2( y0 ? 8) 8y ? x1 ? ? 2 ,? y1 ? 2 0 y0 ? 8 y0 ? 8

? OP ? (?

2 2( y0 ? 8) 8 y0 , 2 ) 2 y0 ? 8 y0 ?8

………………8 分

2 2 2 4( y0 ? 8) 8 y0 4 y0 ? 32 ? OP ? OM ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 (定值) …………10 分 y0 ? 8 y0 ? 8 y0 ? 8

(3)设存在 Q(m,0)满足条件, 则MQ ? DP

………………11 分

MQ ? (m ? 2, ? y0 ), DP ? (?

2 4 y0 8y , 2 0 ) 2 y0 ? 8 y0 ? 8

………………12 分

2 2 4 y0 8 y0 则由 MQ ? DP ? 0得 ? 2 (m ? 2) ? 2 ? 0, y0 ? 8 y0 ? 8

从而得 m=0 ∴存在 Q(0,0)满足条件 ………………14 分 11. 已知圆 C :x 2 ? y 2 ? 6 y ? 16 ? 0 与 x 轴相交于 F1 、F2 , 与 y 轴正半轴相交于 B , 以 F1 、 F2 为焦点,且经过点 B 的椭圆记为 G . ⑴求椭圆 G 的方程; ⑵根据椭圆的对称性,任意椭圆都有一个四边都与椭圆相切的正方形,这个正方形称为 椭圆的外切正方形,试求椭圆 G 外切正方形四边所在直线的方程.

? x 2 ? y 2 ? 6 y ? 16 ? 0 ? x 2 ? y 2 ? 6 y ? 16 ? 0 ⑴解 ? 得 F1 (?4 , 0) 、F2 (4 , 0) ……2 分, 解? ?y ? 0 ?x ? 0
得 B(0 , 8) ……4 分,所以 c ? 4 , b ? 8 , a ?

a 2 ? b 2 ? 4 5 ……6 分,所以椭圆 G 的

x2 y2 ? ? 1 ……7 分. 方程是 80 64

10

? x2 y2 ?1 ? ? ⑵根据椭圆的对称性, 设外切正方形一边的方程为:y ? x ? b ……9 分, 由 ? 80 64 ?y ? x ? b ?
得 9 x ? 10bx ? 5b ? 320 ? 0 ……10 分,由 ? ? (10b) 2 ? 4 ? 9 ? (5b 2 ? 320 ) ? 0 ……11
2 2

分,解得 b ? ?12 ……12 分,正方形四边所在直线为 y ? x ? 12 , y ? ? x ? 12 ……14 分. 12. 在平面直角坐标系中,已知点 A ( 的直线和 AB 的中垂线相交于点 M . (Ⅰ)求动点 M 的轨迹 E 的方程; N 在 y 轴上, (Ⅱ) 设点 P 是轨迹 E 上的动点, 点 R, 圆 C : ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 内切于 ?PRN , 求 ?PRN 的面积的最小值. 解 (Ⅰ)设点 M 的坐标为 ( x , y ) ,由题设知, MB ? MA . 所以动点 M 的轨迹 E 是以 A (

1 1 , 0 ) ,点 B 在直线 l : x ? ? 上运动,过点 B 与 l 垂直 2 2

1 1 , 0 ) 为焦点, l : x ? ? 为准线的抛物线,其方程为 y 2 ? 2 x . 2 2

(Ⅱ)设 P ( x 0 , y0 ) , R ( 0 , b ) , N ( 0 , c ) ,且 b ? c , 故直线 PR 的方程为 ( y0 ? b ) x ? x0 y ? x0b ? 0 . 由题设知,圆心 (1, 0 ) 到直线 PR 的距离为1 ,即

y0 ? b ? x0b ( y0 ? b )2 ? x02

?1.

注意到 x0 ? 2 ,化简上式,得 ( x0 ? 2 ) b2 ? 2 y0b ? x0 ? 0 , 同理可得 ( x0 ? 2 ) c 2 ? 2 y0c ? x 0 ? 0 . 由上可知, b , c 为方程 ( x0 ? 2 ) x 2 ? 2 y0x ? x 0 ? 0 的两根,根据求根公式,可得

b?c ?

2 2 4 x0 ? 4 y0 ? 8x0

x0 ? 2

?

2 x0 .故 ? PRN 的面积为 x0 ? 2

x2 1 4 4 S ? ( b ? c ) x0 ? 0 ? ( x0 ? 2 ) ? ? 4 ≥ 2 ( x0 ? 2 ) ? ?4?8 ,等号当且仅当 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2
x0 ? 4 时成立.此时点 P 的坐标为 ( 4 , 2 2 ) 或 ( 4 , ? 2 2 ) .

综上所述,当点 P 的坐标为 ( 4 , 2 2 ) 或 ( 4 , ? 2 2 ) 时, ? PRN 的面积取最小值 8 .

11

13. 如图,已知中心在原点 O、焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 圆 C 的长轴、短轴的端点,点 O 到直线 AB 的距离为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

3 ,点 A、B 分别是椭 2

6 5 . 5

(Ⅱ)已知点 E(3,0) ,设点 P、Q 是椭圆 C 上的两个动点,满足 EP ? EQ ,求 EP ? QP 的最小值. (Ⅰ)答案:

x2 y2 ? ?1 36 9
2 2

(Ⅱ) EP QP ? EP ( EP ? EQ) ? EP ?| EP | ,
2 2 设点 P ( x0 , y0 ) ,则 x0 ? 4 y0 ? 36,

3 2 2 2 2 ∴ | EP | ? ( x0 ? 3) ? y0 ? ( x0 ? 4) ? 6 , 4

∵ ?6 ≤ x0 ≤ 6 ,∴ | EP | ∴ | EP |min ? 6, ∴ EP
2

2

≥6 ,

QP 的最小值为 6. -------------------------------14 分

14.已知椭圆
轴长为 2.

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率 e ? ,短 2 a b 2

(I)求椭圆的标准方程; (II) 过点 F 且 F2 M ? F2 N ? 1 的直线 l 与该椭圆交于 M , N 两点,

2 26 , 求直线 l 的方程. 3

? c 2 ? ? 解: (Ⅰ)由条件有 ? ,解得 a ? 2,c=1 。 a 2 ? 2 2 ?b ? a ? c ? 1
所以,所求椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 。 ……………………………4 分 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 F1 (?1,0) 、 F 。 (, ) 2 10 若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x=-1. 将 x=-1 代入椭圆方程得 y ? ?

2 。 2

21 世纪教育 网

12

不妨设 M (?1,

2 2 , )、N ( ? 1, ? ) 2 2

uuuu v uuuv 2 2 ? F2 M ? F2 N ? (?2, ) ? (?2, ? ) ? (?4,0) . 2 2 uuuu v uuuv ? F2 M ? F2 N ? 4 ,与题设矛盾。

? 直线 l 的斜率存在。
设直线 l 的斜率为 k,则直线的方程为 y=k(x+1) 。 设 M (x1,y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,

……………………6 分

联立

{

x2 ? y 2 ?1 2 y=k(x+1) ,消 y 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 。
2k ?4k 2 ,从而 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? , 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k
……………………10 分

由根与系数的关系知 x1 ? x2 ?



F2 M ? ( x1 ?1, y1 ) , F2 N ? ( x2 ?1, y2 ) , ? F2 M ? F2 N ? ( x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ) 。
? F2 M ? F2 N ? ( x1 ? x2 ? 2)2 ? ( y1 ? y2 )2
8k 2 ? 2 2 2k 2 ?( ) ?( ) 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ? 4(16k 4 ? 9k 2 ? 1) 4k 4 ? 4k 2 ? 1
2

?

4(16k 4 ? 9k 2 ? 1) 2 26 2 ?( ) 。 4 2 4k ? 4k ? 1 3
4 2

化简得 40k ? 23k ? 17 ? 0 解得 k ? 1或者k ? ?
2 2

17 40

? k ? ?1. ? 所求直线l的方程为y ? x ? 1或者y ? ? x ? 1

13

15. 已知 A 、 B 分别是直线 y ?

3 3 x和 y ? ? x 上的两个动点,线段 AB 的长为 3 3

2 3 , P 是 AB 的中点.
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 Q(1 , 0) 作直线 l (与 x 轴不垂直)与轨迹 C 交于 M 、N 两点,与 y 轴交于 点 R .若 RM ? ? MQ , RN ? ? NQ ,证明: ? ? ? 为定值. 解: (1)设 P( x , y ) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) .

x ?x ? x? 1 2, ? ? 2 ∵ P 是线段 AB 的中点,∴ ? ? y ? y1 ? y2 . ? ? 2
∵ A、B 分别是直线 y ?

………2 分

3 3 3 3 x和y?? x2 . x 上的点,∴ y1 ? x1 和 y2 ? ? 3 3 3 3
…………4 分

? x1 ? x2 ? 2 3 y , ? ∴? 2 3 x. ? y1 ? y2 ? 3 ?
又 AB ? 2 3 ,∴ ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 12 . ∴ 12 y ?
2

…………5 分 …………6 分

4 2 x2 x ? 12 ,∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 ? y 2 ? 1. 3 9

(2)依题意,直线 l 的斜率存在,故可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .…………7 分 设 M ( x3 , y3 ) 、 N ( x4 , y 4 ) 、 R(0 , y5 ) ,

? y ? k ( x ? 1) , ? 则 M 、N 两点坐标满足方程组 ? x 2 ? y2 ? 1. ? ?9 2 2 2 2 消去 y 并整理,得 (1 ? 9k ) x ?18k x ? 9k ? 9 ? 0 ,
∴ x3 ? x 4 ?

…………9 分 ………10 分

18k , ① 1 ? 9k 2

2

x3 x4 ?

9k ? 9 . 1 ? 9k 2
2



∵ RM ? ? MQ ,∴ ( x3 , y3 ) ? (0 , y5 ) ? ??(1 , 0) ? ( x3 , y3 )? .

? x3 ? ?(1 ? x3 ) , ∴ x3 ? ?(1 ? x3 ) .∵ l 与 x 轴不垂直,∴ x3 ? 1 , ? y 3 ? y 5 ? ??y 3 . x3 x4 ∴? ? ,同理 ? ? . ………12 分 1 ? x3 1 ? x4 ( x ? x ) ? 2 x3 x4 x3 x ∴? ? ? ? . ? 4 ? 3 4 1 ? x3 1 ? x4 1 ? ( x3 ? x4 ) ? x3 x4 9 将①②代入上式可得 ? ? ? ? ? . …………14 分 4
即? 16. 已知点 F ? 0,1? ,直线 l : y ? ?1 , P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足
14

为 Q ,且 QP QF ? FP FQ . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)已知圆 M 过定点 D ? 0,2? ,圆心 M 在轨迹 C 上运动,且圆 M 与 x 轴交于 A 、 B 两点,设 DA ? l1 , DB ? l2 ,求 (1)解:设 P ? x, y ? ,则 Q ? x, ?1? , ∵ QP QF ? FP FQ , ∴ ? 0, y ?1? ? ? x,2? ? ? x, y ?1? ? x, ?2? . 即 2 ? y ? 1? ? x ? 2 ? y ?1? ,即 x2 ? 4 y ,
2

l1 l2 ? 的最大值. l2 l1

所以动点 P 的轨迹 C 的方程 x2 ? 4 y . (2)解:设圆 M 的圆心坐标为 M ? a, b ? ,则 a ? 4b .
2



圆 M 的半径为 MD ?
2

a2 ? ? b ? 2? .
2
2 2

2 圆 M 的方程为 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? a ? ? b ? 2 ? . 2 2 令 y ? 0 ,则 ? x ? a ? ? b ? a ? ? b ? 2 ? , 2 2

整理得, x ? 2ax ? 4b ? 4 ? 0 .
2



由①、②解得, x ? a ? 2 . 不妨设 A? a ? 2,0? , B ? a ? 2,0? , ∴ l1 ? ∴

? a ? 2?

2

? 4 , l2 ?

? a ? 2?

2

?4 .

l1 l2 l12 ? l2 2 2a 2 ? 16 ? ? ? l2 l1 l1l2 a 4 ? 64
?2

?a

2

? 8?

2

a 4 ? 64

? 2 1?

16a 2 , a 4 ? 64



当 a ? 0 时,由③得,

l1 l2 16 16 ? ? 2 1? ≤2 1 ? ?2 2. 64 l2 l1 2?8 a2 ? 2 a

当且仅当 a ? ?2 2 时,等号成立.
15

当 a ? 0 时,由③得,

l1 l2 ? ? 2. l2 l1

故当 a ? ?2 2 时,

l1 l2 ? 的最大值为 2 2 . l2 l1

17. 已知点 P(a, ?1) ( a ? R ),过点 P 作抛物线 C : y ? x2 的切线,切点分别为 A( x1 , y1 ) 、 . B( x2 , y2 ) (其中 x1 ? x2 ) (Ⅰ)求 x1 与 x2 的值(用 a 表示) (Ⅱ)若以点 P 为圆心的圆 E 与直线 AB 相切,求圆 E 面积的最小值. 解: (Ⅰ)由 y ? x2 可得, y? ? 2 x . ∵直线 PA 与曲线 C 相切,且过点 P(a, ?1) , ∴ 2 x1 ?

x12 ? 1 2 ,即 x1 ? 2ax1 ?1 ? 0 x1 ? a

2a ? 4a 2 ? 4 ∴ x1 ? ? a ? a 2 ? 1 ,或 x1 ? a ? a 2 ? 1 2
2 2 同理可得: x2 ? a ? a ? 1 ,或 x2 ? a ? a ? 1 2 2 ∵ x1 ? x2 ,∴ x1 ? a ? a ? 1 , x2 ? a ? a ? 1

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, x1 ? x2 ? 2a , x1 ? x2 ? ?1, 则直线 AB 的斜率 k ?
2 y1 ? y2 x12 ? x2 ? ? x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2

2 ∴直线 AB 的方程为: y ? y1 ? ( x1 ? x2 )( x ? x1 ) ,又 y1 ? x1 ,

∴ y ? x1 ? ( x1 ? x2 ) x ? x1 ? x1x2 ,即 2ax ? y ? 1 ? 0 .
2 2

∵点 P 到直线 AB 的距离即为圆 E 的半径,即 r ?

2a 2 ? 2 4a 2 ? 1



4(a 2 ? 1)2 (a 2 ? 1) 2 2 ∴r ? ? ? 1 4a 2 ? 1 2 a ? 4

1 3 1 9 1 3 (a 2 ? ? ) 2 (a 2 ? ) 2 ? (a 2 ? ) ? 4 2 4 16 4 4 ? 1 1 a2 ? a2 ? 4 4

16

1 9 3 9 3 ? (a 2 ? ) ? ? ?2 ? ? 3, 4 16(a 2 ? 1 ) 2 16 2 4
当且仅当 a 2 ?

1 3 2 1 9 2 ,即 a ? ? , a ? ? 时取等号. ? 4 4 2 4 16(a 2 ? 1 ) 4
2

故圆 E 面积的最小值 S ? ? r ? 3? .

1 x2 y2 3 18. 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 , 过坐标原点 O 且斜率为 的直 2 2 a b
线 l 与 C 相交于 A 、 B , | AB |? 2 10 . ⑴求 a 、 b 的值; ⑵若动圆 ( x ? m) 2 ? y 2 ? 1与椭圆 C 和直线 l 都没有公共点,试求 m 的取值范围. ⑴依题意, l : y ?

x ……1 分,不妨设设 A(2t , t ) 、 B(?2t , ? t ) ( t ? 0 )……2 分, 2

2 ?8 ? 2 ?1 2 ? b ?a 2 由 | AB |? 2 10 得 20t ? 40 , t ? 2 ……3 分,所以 ? ……5 分, 2 2 ?c ? a ? b ? 3 ? a 2 ?a
解得 a ? 4 , b ? 2 ……6 分.

? x2 y2 ?1 ? ? 2 2 ⑵由 ? 16 消去 y 得 3x ? 8mx ? 4m ? 12 ? 0 ……7 分, 4 ?( x ? m) 2 ? y 2 ? 1 ?
动圆与椭圆没有公共点, 当且仅当 ? ? (?8m) ? 4 ? 3 ? (4m ? 12) ? 16m ? 144 ? 0 或
2 2 2

| m |? 5 ……9 分,解得 | m |? 3 或 | m |? 5 ……10 分。动圆 ( x ? m) 2 ? y 2 ? 1 与直线 y ?
没有公共点当且仅当 分,

x 2

|m|

?| m |? 3 ?| m |? 5 ? 1 ,即 | m |? 5 ……12 分。解 ? 或? ……13 5 ?| m |? 5 ?| m |? 5

得 m 的取值范围为 m | 5 ? m ? 3或m ? 5或 ? 3 ? m ? ? 5或m ? ?5 ……14 分. 19. 已知 M (0, ? 2) ,点 A 在 x 轴上,点 B 在 y 轴的正半轴,点 P 在直线 AB 上,且满足

?

?

AP ? PB , MA ? AP ? 0 .
(Ⅰ)当点 A 在 x 轴上移动时,求动点 P 的轨迹 C 方程;

17

(Ⅱ)过 (?2, 0) 的直线 l 与轨迹 C 交于 E 、 F 两点,又过 E 、 F 作轨迹 C 的切线 l1 、 l2 , 当 l1 ? l2 ,求直线 l 的方程. (Ⅰ)解:设 P ( x, y ) , A( xA ,0), B(0, yB )( yB > 0) 则

AP ? ( x ? xA , y)
由 AP ? PB 得

PB ? (?x , yB ? y) …………………………………2 分
xA ? 2 x , yB ? 2 y
…………………………………4 分

又 MA ? ( xA , 2)

AP ? ( x ? xA , y)

即 MA ? (2x , 2) , AP ? (?x, y) ……………6 分 由 MA ? AP ? 0 得

x2 ? y( y ? 0) …………………………………..8 分

(Ⅱ)显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为: y = k ( x + 2) 设 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 ) 因为

y ' ? 2x

,故两切线的斜率分别为 2x1 , 2 x2 …………………10 分
2 得 x ? kx ? 2k ? 0

? x2 ? y 由方程组 ? ? y ? k ( x ? 2)
所以 x1 ? x2 ? k 当 l1 ? l2 时, ,

x1 ? x2 ? ?2k ………………………………………12 分
2x1 ? 2x2 ? ?1 ,所以 k ?
1 y ? ( x ? 2) 8 1 8

所以,直线 l 的方程是 20.如 图 ,

………………………………14 分

为 半 圆 , AB为 半 圆 直 径 , O为 半 圆 圆 心 , 且 OD⊥ AB, Q为 线 段 OD的 中 点 , 已 知 |AB|=4, 曲

线 C过 Q点 , 动 点 P在 曲 线 C上 运 动 且 保 持 |PA|+|PB|的 值 不 变 . (1)建 立 适 当 的 平 面 直 角 坐 标 系 , 求 曲 线 C的 方 程 ; (2)过 D点 的 直 线 l与 曲 线 C相 交 于 不 同 的 两 点 M、 N, 且 M在 D、 N之 间 , 设

DM =λ, 求 λ的 取 值 范 围 . DN

解 : (1)以 AB、 OD所 在 直 线 分 别 为 x轴 、 y轴 , O为 原 点 , 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , ∵ |PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2 22 ? 12 ? 2 5 > |AB|=4. ∴ 曲 线 C为 以 原 点 为 中 心 , A、 B为 焦 点 的 椭 圆 . 设 其 长 半 轴 为 a ,短 半 轴 为 b,半 焦 距 为 c,则 2a=2 5 ,∴ a= 5 ,c=2,b=1.

18

x2 +y 2=1. 5 (2)设 直 线 l的 方 程 为 y=kx+2,
∴ 曲 线 C的 方 程 为

代 入

x2 2 +y =1,得 (1+5k2)x2+20kx+15=0. 5

Δ=(20k)2- 4× 15(1+5k2)> 0,得 k2> .由 图 可 知

3 5

DM x1 ? =λ DN x2

20k ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 5k 2 由 韦 达 定 理 得? ? x ? x ? 15 1 2 ? 1 ? 5k 2 ? 将 x1=λx2代 入 得
? 400k 2 2 2 ( 1 ? ? ) x ? ? 2 ? (1 ? 5k 2 ) 2 ? ??x 2 ? 15 2 ? 1 ? 5k 2 ?
两 式 相 除 得

(1 ? ?) 2 400k 2 80 ? ? 2 ? 15(1 ? 5k ) 3(5 ? 1 ) k2 3 1 5 1 20 ? k 2 ? ,? 0 ? 2 ? ,?5 ? 2 ? ,即4 ? 5 3 k k ?5 3

80 16 ? 1 3 3( 2 ? 5) k

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?4 ?

(1 ? ?) 2 16 DM 1 ? ,? ? ? ? 0,? 解得 ? ? ? 3 ? 3 DN 3

① ②

?? ?

x1 DM ? , M在 D、 N中 间 , ∴ λ< 1 x2 DN

又∵当 k 不存在时,显然λ = 综合得:1/3 ≤λ <1.

DM 1 ? (此时直线 l 与 y 轴重合) DN 3

21. 已知 A 、 B 、 C 是椭圆 m :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的三点,其中点 A 的坐标为 a2 b2

19

(2 3,0) ,BC 过椭圆 m 的中心,且 AC ? BC ? 0, | BC |? 2 | AC | .
(1)求椭圆 m 的方程; (2)过点 M (0, t ) 的直线 l(斜率存在时)与椭圆 m 交于两点 P,Q,设 D 为椭圆 m 与 y 轴负半轴的交点,且 | DP |?| DQ | .求实数 t 的取值范围. 解(1)∵ | BC |? 2 | AC | 且BC 过(0,0) 则 | OC |?| AC |

又? AC ? BC ? 0
…………2 分

∴∠OCA=90° , 即 C ( 3, 3 ) 又∵ a ? 2 3 , 设m : 将 C 点坐标代入得 解得 c2=8,b2=4

x2 y2 ? ?1 12 12 ? c 2
3 3 ? ?1 12 12 ? C 2

x2 y2 ? ? 1 …………5 分 ∴椭圆 m: 12 4
(2)由条件 D(0,-2) ∵M(0,t) 1° 当 k=0 时,显然-2<t<2 …………6 分 2° 当 k≠0 时,设 l : y ? kx ? t

? x2 y2 ?1 ? ? ? 12 4 ? y ? kx ? t ?

消y得

(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6ktx ? 3t 2 ? 12 ? 0
由△>0 可得

…………8 分 ①………………9 分

t 2 ? 4 ? 12k 2

设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), PQ中点H ( x0 , y0 ) 则 x0 ? ∴ H (?

x1 ? x 2 3kt ? 2 1 ? 3k 2
3kt t , ) 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

y 0 ? kx 0 ? t ?
…………11 分

t 1 ? 3k 2

由 | DP |?| DQ |

? OH ? PQ

即k DH ? ?

1 k

20

t ?2 2 1 1 ? 3 k ∴ ?? 3kt k ? ?0 2 1 ? 3k

化简得t ? 1 ? 3k 2



∴t>1 将①代入②得 1<t<4 ∴t 的范围是(1,4)………………13 分 综上 t∈(-2,4) ………………14 分 22. 已知动圆 C 过点 A(-2,0),且与圆 M:(x-2)2+x2=64 相内切 (1)求动圆 C 的圆心的轨迹方程;

x 2 y2 ? ?1 (2)设直线 l: y=kx+m(其中 k, m∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点 B, D, 与双曲线 4 12
交于不同两点 E,F,问是否存在直线 l,使得向量

DF ? BE ? 0 ,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.
解: (1)圆 M:(x-2)2+x2=64,圆心 M 的坐标为(2,0),半径 R=8. ∵|AM|=4<R,∴点 A(-2,0)在圆 M 内, 设动圆 C 的半径为 r,圆心为 C,依题意得 r= |CA|,且|CM|=R-r, 即|CM+|CA|=8>|AM|, ……3 分 ∴圆心 CD 的轨迹是中心在原点,以 A,M 两点为焦点,长轴长为 8 的椭圆, 设其方程为

x 2 y2 ? ? 1 (a>b>0),则 a=4,c=2, a 2 b2 x 2 y2 ? ? 1. 16 12
……5 分

∴ b2=a2-c2=12,∴ 所求动圆 C 的圆心的轨迹方程为

? y = kx + m ? (2)由 ? x 2 y2 消去 y 化简整理得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-48=0, ? + =1 ?16 12
设 B(x1,y1),D(x2,y2),则 x1+x2= ? △1=(8km)2-4(3+4k2) (4m2-48)>0.

8km . 3 + 4k 2
① ……7 分

? y = kx + m ? 由 ? x 2 y2 消去 y 化简整理得:(3-k2)x2-2kmx-m2-12=0, ? ? =1 ? 4 12
设 E(x3,y3),F(x4,y4),则 x3+x4= △2=(-2km)2+4(3-4k2) (m2+12)>0.

2km . 3 ? k2
② ……9 分

∵ DF ? BE ? 0 ,∴ (x4-x2 )+ (x3-x1) =0,即 x1+x2= x3+x4,

21

∴?

8km 2km 4 1 ? ? ,∴2km=0 或 ? , 2 2 2 3 + 4k 3?k 3 + 4k 3 ? k2
……11 分

解得 k=0 或 m=0, 当 k=0 时,由①、②得 ?2 3 < m ? 2 3 , ∵m∈Z,∴m 的值为-3,-2,-1,0,1,2,3; 当 m=0 时,由①、②得 ? 3 < m ? 3 , ∵k∈Z,∴k=-1,0,1. ∴满足条件的直线共有 9 条. 23. 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 线y?

……14 分

2 5 ,它的一个顶点恰好是抛物 5

1 2 x 的焦点. 4

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2) 过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、 B 两点, 交 y 轴于 M 点, 若 MA ? ?1 AF ,

MB ? ?2 BF ,求 ?1 ? ?2 的值.
解: (1)设椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0 ) , a 2 b2 抛物线方程化为 x 2 ? 4 y ,其焦点为 (0 , 1) , 椭圆 C 的一个顶点为 (0 , 1) ,即 b ? 1 ,
由e ?

………1 分

………3 分

c a 2 ? b2 2 5 2 ,得 a ? 5 , ………5 分 ? ? a a 5 x2 ? y2 ? 1 . ∴椭圆 C 的方程为 ……………6 分 5 (2)由(1)得 F (2 , 0) , ………………………7 分 设 A( x1 , y1 ) B( x2 , y 2 ) , M (0 , y0 ) ,显然直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) , …………………8 分
代入

x2 ? y 2 ? 1 ,并整理得 5 (1 ? 5k 2 ) x 2 ? 20k 2 x ? 20k 2 ? 5 ? 0 ,
20k 2 20k 2 ? 5 , x x ? . 1 2 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2

………………9 分 …………………10 分

∴ x1 ? x2 ?

又 MA ? ( x1 , y1 ? y0 ) , MB ? ( x2 , y2 ? y0 ) ,

AF ? (2 ? x1 , ? y1 ) , BF ? (2 ? x2 , ? y2 ) ,
由 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,得

( x1 , y1 ? y0 )? ?1 (2 ? x1 , ? y1 ) , ( x2 , y2 ? y0 ) ? ?2 (2 ? x2 , ? y2 ) , x1 x2 ∴ ?1 ? , ……………………12 分 , ?2 ? 2 ? x1 2 ? x2
22

∴ ?1 ? ?2 ?

x1 x 2( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2 ? ? ?10 . 2 ? x1 2 ? x2 4 ? 2( x1 ? x2 ) ? x1 x2

………14 分

24. 如图,已知直线 l: y ? kx ? 2 与抛物线 C: x2 ? ?2 py( p ? 0) 交于 A,B 两点, O 为 坐标原点, OA ? OB ? (?4, ?12) 。 (Ⅰ)求直线 l 和抛物线 C 的方程; (Ⅱ)抛物线上一动点 P 从 A 到 B 运动时,求△ABP 面积最大值. 解: (Ⅰ)由 ?

? y ? kx ? 2,
2 ? x ? ?2 py

得, x2 ? 2 pkx ? 4 p ? 0,

……………………2 分

设 A x1, y1 , B ? x2 , y2 ? , 则 x1 ? x2 ? ?2 pk , y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 4 ? ?2 pk 2 ? 4,
2 因为 OA ? OB ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ? ?2 pk , ?2 pk ? 4 = ? ?4, ?12? ,

?

?

?

?

所以 ?

??2 pk ? ?4, ??2 pk ? 4 ? ?12.
2

解得 ?

? p ? 1, ? k ? 2.

………………4 分 …………6 分

所以直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 2, 抛物线 C 的方程为 x2 ? ?2 y.

(Ⅱ)方法 1:设 P( x0 , y0 ), 依题意,抛物线过 P 的切线与 l 平行时,△APB 面积最大,

1 y' ? ? x ,所以 ? x0 ? 2 ? x0 ? ?2, y0 ? ? x0 2 ? ?2, 所以 P(?2, ?2). 2
此时 P 到直线 l 的距离 d ?

2 ? (?2) ? (?2) ? 2 22 ? (?1) 2

?

4 4 5 ? , 5 5

………………8 分

由?

? y ? 2 x ? 2,
2 ? x ? ?2 y ,

得, x2 ? 4x ? 4 ? 0,

………………………10 分

| AB |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 ? 1 ? 22 (?4) 2 ? 4(?4) ? 4 10

4 10 ?
∴△ABP 的面积最大值为

2

4 5 5 ?8 2。

…………………………14 分

x2 y2 ? ? 1 相交于 A 、 B 25. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l : y ? x ? m 与椭圆 C : 16 4 两点,且 OA ? OB ? AB .
⑴求 m 的取值范围; ⑵若以 AB 为直径的圆经过 O 点,求直线 l 的方程.

? x2 y2 ?1 ? ? 2 2 ⑴解方程组 ? 16 ……1 分,得 5x ? 8mx ? (4m ? 16) ? 0 ……2 分 4 ?y ? x ? m ?
2 2 因为直线 l 椭圆 C 有两个交点,所以 ? ? (8m) ? 4 ? 5 ? (4m ? 16) ? 0 ……4 分,解

得 ? 2 5 ? m ? 2 5 ……5 分,又因为 OA ? OB ? AB ,所以 O ? l , m ? 0 ,所以 m 的取
23

值范围是 (?2 5 , 0) ? (0 , 2 5 ) ……6 分. ⑵设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) ,由⑴得 x1 ? x 2 ? ?

4m 2 ? 16 8m , x1 ? x 2 ? , 5 5

以 AB 为直径的圆经过 O 点,所以 ?AOB ? 900 ,

OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,由 yi ? xi ? m(i ? 1 , 2) ,
得 OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 2x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m2

8m 2 ? 32 8m 2 4 10 ? ? ? m 2 ? 0 ,解得 m ? ? , 5 5 5
所以直线 l 的方程是 y ? x ?

4 10 4 10 或y ? x? ……14 分. 5 5

26. 已知直线 l : y ? kx ? 2 ( k 为常数)过椭圆
2 2

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的上顶点 B 和 a 2 b2
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左焦点 F ,直线 l 被圆 x ? y ? 4 截得的弦长为 d . (1)若 d ? 2 3 ,求椭圆的方程; (2)若 d ?

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4 5 ,求椭圆离心率 e 的取值范围. 5

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解:(1)∵椭圆的上顶点 B(0, b ),左焦点 F (?c, 0) 都在直线 l 上 ∴b ? 2 ,

k?

2 c

设圆与直线 l 的另一交点为 A,取 AB 中点 D,由垂径定理得 OD ? ∵d ? 2 3 ∴ OD ? 1

d 4 ? ( )2 2
A F1

y B D x O F2

由点到直线的距离公式得

2 k ?1
2

?1? k2 ? 3 ? k ? ? 3
2 2 4 16 , a ? b2 ? c 2 ? 4 ? ? 3 3 3

∵依题意知 k ? 0 ,∴ k ? 3 , c ?

3x 2 y 2 ? ? 1. ∴椭圆的方程为 16 4
(2)∵ OD ?

4 d2 d 2 ? 2 ? 4? 4 ? ( )2 = k ?1 4 2 k 2 ?1
24

又∵ k ?

2 c



4c 2 d2 ? 4 ? c2 ? 4 4

由e ?

c c2 ? e2 ? 2 a c ?4

∴ 4e ? 4 ?
2

d2 ? d 2 ? 16(1 ? e2 ) 4
∴ d ? 16(1 ? e ) ?
2 2

∵d ?

4 5 5

16 4 ? e2 ? 5 5

∴0 ? e ?

2 5 . 5

27. 已知一动圆 M,恒过点 F (1, 0) ,且总与直线 l : x ? ?1 相切, (Ⅰ)求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)探究在曲线 C 上,是否存在异于原点的 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点,当 y1 y2 ? ?16 时, 直线 AB 恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由. (1) 因为动圆 M,过点 F (1, 0) 且与直线 l : x ? ?1 相切,所以圆心 M 到 F 的距离等于到直线 l 的 距离.所以,点 M 的轨迹是以 F 为焦点, l 为准线的抛物线,且 迹方程为 y 2 ? 4 x ……………5 分 (2) 假设存在 A,B 在 y 2 ? 4 x 上, 所以,直线 AB 的方程: y ? y1 ?

p ? 1 , p ? 2 , 所以所求的轨 2

y2 ? y1 y12 y2 ? y1 ( x ? ) ( x ? x1 ) ,即 y ? y1 ? 2 y2 y12 4 x2 ? x1 ? 4 4

即 AB 的方程为: y ? y1 ?

y2 4 ( x ? 1 ) ,即 ( y1 ? y2 ) y ? y12 ? y1 y2 ? 4x ? y12 y1 ? y2 4

即: ( y1 ? y2 ) y ? (16 ? 4 x) ? 0 , 令 y ? 0 ,得 x ? 4 , 所以,无论 y1 , y2 为何值,直线 AB 过定点 (4,0) 28. 已知椭圆 C 的中心为原点,点 F(1,0)是它的一个焦点,直线 l 过点 F 与椭圆 C 交于 A、B 两点,且当直线 l 垂直于 x 轴时, OA ? OB ?

5 6

(1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在直线 l,使得在椭圆 C 的右准线上可以找到一点 P,满足△ABP 为正三角 形,如果存在,求出直线 l 的方程,如果不存在,请说明理由.

25

解: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为: ……1 分

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,则 a 2 ? b 2 ? 1 .……① 2 a b

? 当 l 垂直于 x 轴时, A, B 两点坐标分别是 (1,

b2 b2 ) 和 (1,? ) , a a

? OA ? OB ? (1,
…3 分

b2 b2 b4 b4 5 ) ? (1, ? ) ? 1 ? 2 ,则 1 ? 2 ? ,即 a 2 ? 6b 4 .………② a a 6 a a

由①,②消去 a ,得 6b ? b ? 1 ? 0 .
4 2

?b2 ?

1 1 2 或 b ? ? (舍去) . 2 3 1 3 2 2 当 b ? 时, a ? . 2 2
因此,椭圆 C 的方程为

2x 2 ? 2 y 2 ? 1. 3

………………………5 分

(Ⅱ)设存在满足条件的直线 l . (1)当直线 l 垂直于 x 轴时,由(Ⅰ)的解答可知 AB ?

2b 2 6 ,焦点 F 到右准线 ? a 3

的距离为 d ?

a2 1 3 ? c ? ,此时不满足 d ? AB . c 2 2
………………………7 分

因此,当直线 l 垂直于 x 轴时不满足条件.

(2)当直线 l 不垂直于 x 轴时,设直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

? y ? k ( x ? 1), ? 由 ? 2x 2 ? (6k 2 ? 2) x 2 ? 12k 2 x ? 6k 2 ? 3 ? 0 , 2 ? 2y ? 1 ? ? 3
设 A, B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 和 ( x2 , y 2 ) ,则

x1 ? x 2 ?

6k 2 6k 2 ? 3 x x ? , . 1 2 3k 2 ? 1 6k 2 ? 2

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

6 (k 2 ? 1) 6k 2 2 6k 2 ? 3 . ? (1 ? k )[( 2 ) ? 4( 2 )] ? 3k 2 ? 1 3k ? 1 6k ? 2
2

……………………9 分

26

又设 AB 的中点为 M ,则 x M ?

x1 ? x 2 3k 2 ? 2 . 2 3k ? 1
1 . k

当 ?ABP 为正三角形时,直线 MP 的斜率为 k MP ? ?

? xP ?

3 , 2

1 1 3 3k 2 1 ? k 2 3(k 2 ? 1) . ? MP ? 1 ? 2 x P ? x M ? 1 ? 2 ? ( ? 2 ) ? ? 2 3k ? 1 k k k2 2(3k 2 ? 1)
…………………………11 分 当 ?ABP 为 正 三 角 形 时 , MP ?

3 AB , 即 2

1 ? k 2 3(k 2 ? 1) ? = k2 2(3k 2 ? 1)

3 6 (k 2 ? 1) , ? 2 3k 2 ? 1
2 解得 k ? 1 , k ? ?1 .

…………………13 分

因此,满足条件的直线 l 存在,且直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 . 29 已知抛物线方程 y 2 ? mx ( m ? R ,且 m ? 0 ) . (Ⅰ)若抛物线焦点坐标为 (1, 0) ,求抛物线的方程; (Ⅱ)若动圆 M 过 A(2, 0) ,且圆心 M 在该抛物线上运动,E、F 是圆 M 和 y 轴的交点, 试探究 | EF | 是否可能为定值?若有可能,求出令 | EF | 为定值的条件,若无可能,请说明理 由. 解: (Ⅰ)∵抛物线 y ? mx 的焦点为 F (
2

m , 0) ( m ? 0 ) ,………………………1 分 4



m ? 1 ………………………………………………………………………2 分 4
2

∴ m ? 4 ,所求方程为 y ? 4 x ………………………………………4 分 (Ⅱ)设动圆圆心为 M (a, b) , (其中 a ? 0 ) , E 、 F 的坐标分别为 (0, y1 ) , (0, y2 ) 因为圆 M 过 (2, 0) ,故设圆的方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? (a ? 2) ? b ……………6 分
2 2 2 2

∵ E 、 F 是圆 M 和 y 轴的交点 ∴令 x ? 0 得: y ? 2by ? 4a ? 4 ? 0 …………………………………………………8 分
2

27

则 y1 ? y2 ? 2b , y1 ? y2 ? 4a ? 4

| EF |? ( y1 ? y2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 ? y2 ? 4b 2 ? 16a ? 16 …………………10 分
又∵圆心 M (a, b) 在抛物线 y 2 ? mx 上 ∴ b ? ma …………………………………………………………………11 分
2

∴ | EF |? 4ma ?16a ?16 ? 4a(m ? 4) ?16 ………………………………….12 分 ∴当 m ? 4 时, | EF |? 4 (定值). ……………………………………………14 分 30. 已知定圆 A : ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 16, 圆心为 A,动圆 M 过点 B( 切,动圆的圆心 M 的轨迹记为 C. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)若点 P( x0 , y0 ) 为曲线 C 上一点,探究直线 l : x0 x ? 4 y0 y ? 4 ? 0 与曲线 C 是否存 在交点? 若存在则求出交点坐标, 若不存在请说明理由. 解:(Ⅰ) 圆 A 的圆心为 A(? 3,0),半径r1 ? 4 , ……………… 1 分

3,0) ,且和圆 A 相

设动圆 M 的圆心为 M ( x, y),半径为r2 , 依题意有 , r2 ?| MB | . ………… 2 分 由|AB|= 2 3 ,可知点 B 在圆 A 内,从而圆 M 内切于圆 A,故|MA|=r1-r2, 即|MA|+|MB|=4, ……………… 4 分

x2 y2 所以,点 M 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆,设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 , a b
由 2a ? 4,2c ? 2

3, 可得a 2 ? 4, b 2 ? 1.
x2 ? y 2 ? 1. 4
……………… 6 分

故曲线 C 的方程为

(Ⅱ)当 y 0 ? 0时,由

2 x0 2 ? y0 ? 1, 可得x0 ? ?2 , 4

当x0 ? 2, y0 ? 0时, 直线l的方程为 x0 ? 2, 直线l与曲线C有且只有一个交点 (2,0)..

当x0 ? ?2, y0 ? 0时, 直线l的方程为 x0 ? ?2, 直线l与曲线C有且只有一个交点 (?2,0).

28

4 ? x0 x ? y? , ? 4 ? x0 x 4 y0 ? 当y 0 ? 0时, 直线l的方程为y ? , 联立方程组: ? 2 4 y0 ? x ? y 2 ? 1. ? ?4
2 2 2 消去 y, 得(4 y0 ? x0 ) x 2 ? 8x0 x ? 16 ? 16y0 ? 0.

………………8 分



…………… 10 分

2 x0 2 2 2 ? y0 ? 1. 可得4 y 0 ? x0 ? 4. 由点 P( x0 , y0 ) 为曲线 C 上一点, 得 4

2 于是方程①可以化简为 x 2 ? 2x0 x ? x0 ? 0. 解得 x ? x0 ,

…………… 12 分

将x ? x0 代入方程y ?

4 ? x0 x 可得y ? y 0 , 故直线l与曲线C有且有一个交点 P( x0 , y 0 ), 4 y0
…………… 14 分

综上,直线 l 与曲线 C 存在唯一的一个交点,交点为 P( x0 , y0 ) .

31. 直线 l: bx ? ay ? ab(a ? 0, b ? 0) 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B,O 为坐标原点,

△OAB 的面积为 两个顶点.

2 3 ,直线 l 的倾斜角为 150°,A、B 两点是中心在坐标原点的椭圆 C 的 3

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l1: y ? x ? m 与椭圆 C 相交于 M、N 两点,求△OMN 面积的最大值. 解: (1)由方程 bx ? ay ? ab(a ? 0, b ? 0) , 令 y=0,得 x=a,即点 A 的坐标为(a,0) ; 令 x=0,得 y=b,即点 B 的坐标为(0,b). ∵△OAB 的面积为 (1 分) (2 分) ① (3 分)

2 3 1 2 3 ,∴ ab ? . 3 2 3

∵直线 l 的倾斜角为 150°,∴ ?

b ? tan 150 ? . a



(4 分)

?a ? 2, ? 联立①、②解得 ? 2 3 . ?b ? 3 ?
故所求椭圆 C 的标准方程为

(6 分)

x2 y2 ? ? 1. 4 4 3

(7 分)

29

(2)∵直线 l1: y ? x ? m 与椭圆 C 相交于 M、N 两点,

? y ? x ? m, ? 2 2 ∴由 ? x 2 3 y 2 ,得 4 x ? 6m x ? 3m ? 4 ? 0 . ?1 ? ? 4 ?4
∴ ? ? 36m 2 ? 16(3m 2 ? 4) ? 0 ,解得 ?

(8 分)

4 3 4 3 . ?m? 3 3

(9 分)

3m ? x1 ? x 2 ? ? , ? ? 2 设 M、N 两点的坐标分别为(x1,y1) 、 (x2,y2) ,则 ? 2 ? x x ? 3m ? 4 . 1 2 ? 4 ?


(10 分)

MN ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2( x1 ? x2 ) 2 ? 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?
(11 分) 又点 O(0,0)到直线 l1: y ? x ? m 的距离 d ?

32 ? 6m 2 2

m 2



(12 分)

∴ S ?OMN ?

1 ? 3m 4 ? 16m 2 1 8 64 MN ? d ? ? ? 3(m 2 ? ) 2 ? 2 4 4 3 3

(13 分)

∴当 m ?
2

8 2 3 时,△OMN 的面积最大(此时△=8>0) ,面积的最大值为 . 3 3

(14 分)

32. 已知点(x, y) 在曲线 C 上, 将此点的纵坐标变为原来的 2 倍,对应的横坐标不变,得到 的点满足方程 x ? y ? 8 ; 定点 M(2,1), 平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0),
2 2

直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两个不同点. (1)求曲线 C 的方程; (2)求 m 的取值范围. 解:(1)在曲线 C 上任取一个动点 P(x,y), 则点(x,2y)在圆 x ? y ? 8 上.
2 2

… 3分

所以有 x ? (2 y ) ? 8 .
2 2

整理得曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 . ………… 6 分 8 2

30

(2)∵直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m,又 K OM ? ∴直线 l 的方程为 y ?

1 , 2

1 x ? m. 2

………………………… … 9 分

1 ? y ? x ? m, ? ? 2 由? 2 2 ? x ? y ? 1. ? ?8 2

,

得 x ? 2mx ? 2m ? 4 ? 0
2 2

………… 10 分

∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点, ∴ ? ? (2m)2 ? 4(2m2 ? 4) ? 0, 解得 ?2 ? m ? 2且m ? 0 . ∴m 的取值范围是 ?2 ? m ? 0或0 ? m ? 2 . ………… 14 分 ………… 12 分

33. 已知 y 轴右侧一动圆 C1 与一定圆 C2 : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 外切,也与 y 轴相切. (1)求动圆 C1 圆心的轨迹 C; (2)过点 T(-2,0)作直线 l 与轨迹 C 交于 A、B 两点,求一点 E ( x0 ,0) ,使得 ?AEB 是以点 E 为直角顶点的等腰直角三角形。 解(1)由题意知动点 C1 到定点(2,0)与到定直线 x ? ?2 的距离相等,则动点 M 的轨迹是
2 以定点 (2,0) 为焦点, 定直线 x ? ?2 为准线的抛物线。 所以点 M 的轨迹方程为 y ? 8x.

又点 C1 在原点时,动圆不存在,所以,动点 C1 的轨迹 C 是以(0,0)为顶点,以 (2,0)为焦点的抛物线,除去原点. (2)设直线 l : x ? my ? 2, 代入y 2 ? 8x, 得y 2 ? 8my ? 16 ? 0 ……①

? ? 64m2 ? 64 ? 0, 解之得m ? 1或m ? ?1(?).
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),则y1 , y2是方程①的两个实数根,由韦达定理得

y1 ? y2 ? 8m, y1 y2 ? 16 ,
所以,线段 AB 的中点坐标为 F (4m ? 2,4m),
2
2 2 2 2 而 | AB |? 1 ? m ? ( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2 ? 1 ? m ? 64 m ? 64 ,

若 x 轴上存在一点 E ( x0 ,0) , 使△AEB 是以点 E 为直角顶点的等腰直角三角形,

31

则 EF ? AB ,且 EF ?

1 AB ,直线 EF 的方程为: y ? 4m ? ?m( x ? 4m 2 ? 2) 2

令 y ? 0 得 E 点坐标为 (4m 2 ? 2,0) ,则 | EF |? = 4 m2 ? 1 , 所以 4 m ? 1 ?
2

?4m

2

? 2 ? 4m 2 ? 2 ? ?4m?
2

?

2

1 ? 1 ? m 2 ? 64 m 2 ? 64 . 解得 m ? ? 2 , 2

则 E 点坐标为(10,0)

32


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