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神探狄仁杰的数学解题思路


神探狄仁杰的数学解题思路
作者:开县温泉中学 谢 媛

摘要:解数学题是一个逻辑推理很强的过程,但学生不愿去尝试,导致 数学知识不能学以致用,成绩很差,教师可以将逻辑很强的破案 故事融入到解题中去,培养学生的解题兴趣,从而提高数学学习 效率 关键词:隐含条件 ;顺藤摸瓜 ; 关联 ; 一题多解

一. 提出问题. 普遍的学生存在这样一个问题:上数学课,听讲容易.也满有信心,因为 能听懂.但就是不愿意去做数学题,把做数学题看作是一个很大的困难, 特别是逻辑性较强的数学题,他们不愿去耐心地进行逻辑推理,不愿去清 理已知条件,隐含条件,结论之间的种种联系,但他们的最终借口是太复杂 了,不会做.但可想象:如果让他们去看,甚至去亲自尝试侦探电视中的 复杂推理过程,哪怕整个案情错综曲折,他们都愿意去做.这是为什么呢? 其实很简单,就两个字——兴趣.那怎样培养学生对做数学题的兴趣呢? 笔者就把他们所感兴趣的,其本质过程也与分析数学解答题非常相似的 侦探故事引进了数学课堂,告诉他们——你就是神探狄仁杰!

二. 分析问题 1.案情初审
神探狄仁杰在任兰坊城县令的某一天,翻出司库掌固皱敬文五十锭


御金被盗案宗;并在这一天, 在准备送给夫人的生日礼物紫檀木盒内发现 一张奇怪的纸片:吾饥渴不堪,命在旦夕,望速垂救.——白玉辛巳九月使 二日;次日,兰坊城里,泼皮阿牛与沈三在酒店发生争执,夜间,两人在紫 光寺休息,沈三被杀,身首异处.熟睡的阿牛身上血迹斑斑,结果被当嫌疑 犯抓走。狄公面对看似毫无关系的三个案件该怎么办呢? 现在,身为神探的我们也遇到同样麻烦的问题:在等边三角形 ABC 中.点 D.E 分别在边 BC.AB 上,且 CD=BE.AD 与 CE 交于 F 点.求∠ DFC 的度数。(如图)

案发现场给我们留下的证据很简单:一个等边三角形 ABC,其两边 上有两个特殊的点,使两条线段 CD=BE,连接 AD 与 CE 的交点是 F, 构成了∠DFC,这就是我们要追溯的问题。 正如狄公三件的案子,看似毫无关联,我们的条件与要求的角度也 毫无联系,题中没有告诉任何已知角度数,怎样在其中求得角的度数.这 下看来有得狄公忙了,让我们与一起深入分析吧。

2.案件分析


狄公通过对沈三的头颅和尸身仔细检查后,发现了案中案------身 首并非同一人,此时狄公心里一紧:此案并非如此简单,看来需深入调 查,凶手为何杀两人,又麻烦地将其身首交换? 看来我们也需仔细分析题中条件,条件也并非如此简单:等边三角形 ABC,它到底隐藏了什么? ——— 其实这个条件还很明显: 由三角形 ABC 是等边三角形.我们可得到非常重要的隐含条件: 三边相等.既 AB=AC=BC. 三个内角相等.即∠BAC=∠B=∠ACB. 狄公案中的头颅固然是沈三的,然而那尸身细皮白肉.体态匀键.整 个尸身比沈三高出一截,这又会是谁的呢? 话分两头说,那紫檀木盒,通过查探,得知是丹青手李珂卖与古董铺, 此人性格怪癖,住在荒野。李珂有一胞兄李枚,是一经纪阔爷,两人关 系不和.不相往来.当狄公来访问起檀木盒时,他却假装不认识此物。而 写纸条的女子白玉是陇石采访使的幕僚吴宗仁的女儿,其夫人是后来嫁 给吴宗仁的,并非白玉亲母,为人也很轻薄,其前夫是金匠米大郎. 通过狄公精心调查,案中牵连的人物李珂,李枚,吴宗仁,吴夫人 以及米大郎等,一个接一个地出现,看来顺藤摸瓜会有收获的。 那我们的证据——两边 AB=BC 这根藤会结出什么瓜?题中的相等线 段 CD=BE 不正在这两边上吗?由它们关联系起来,有什么样的隐含条件 出现?那其中剩下的线段是否相等?答案是肯定的,即由 AB=BC, BE=CD. 得 AB-BE=BC-CD,既可得 AE=BD. 狄公在李柯那得知,他有个帮佣杨茂德,其前是吴宗仁的家仆,又 在街坊处得知,这个杨茂德早已与吴夫人有染,但又与吴宗仁女儿(白


玉)私定终身,此人正是这事被逐出吴府,投奔李珂,但李珂说此人近 几日不见人影;另处,狄公调查得知失踪的五十锭御金其实藏在紫光寺 中.众人想夺财.便害人命。 狄公则想:杨茂德一定有问题!此人一定 就是其中夺财人之一,那么他是凶手,还是被害人?作用在何?狄公心里 复杂:杨茂德若是凶手,此时的他一定隐藏在不为人知的地方,所以才 在李珂眼前消失了好几天。 我们挖掘的隐含条件 AE=BD, ∠BAC=∠B=∠ACB 又作用在何?我们 也需进一步调查,其实,从图形中,我们不难把这些相等元素联系在一 起 :

(如图) 原来如此,这一下我们可大有所获了:两个全等三角形中含有三组相等 的角和边。这些条件太有利了。 此时,狄公也同样大有收获:之前的三个案子正是同一案子-----护卫从紫光寺外的枯井中发现了另一具尸身和一个布包,狄公把布包中 的蓝长衫在水中揉拧搓檫,发现水中尘土细屑落入铜盆,用力碾碎深色 细粒,登时朱紫杂色——特有的丹青颜料,这粉粒不正是李柯家的赫石


细屑吗?狄公想:这行头必是杨茂德无疑,此尸身定为沈三之身,但为 何凶手要杀两个人交换其身首,如此麻烦?狄公作出了两个推想:一. 凶手要掩盖他杀死另一人的罪迹;二.不想暴露沈三的尸身。 我们也可学着狄公,从问题出发,分析它与种种条件之间的关系: 问题要我们求一个角∠DFC 的度数,此角的位置并不特殊,悬挂在等边 三角形 ABC 内部一个看似不特殊的点处,但我们也可作一猜想:既然题 中无任何角度告诉, 那就只有一个可能了: ∠DFC 一定与等边三角形 ABC 中的隐含条件∠BAC=∠B=∠C=600 有关联,所以此后我们的眼睛应重点 放在这三个内角上。

还是来看看问题∠DFC 可通过什么途径求出,通过仔细观察,可以得 出∠DFC 在图中充当了几个角色: 一.△CDF 的一个内角(可先考虑。因∠DFC 在其中) ; 二.△AEF 一内角∠AFE 的对顶角(先求∠AFE,即得∠DFC) ; 三.△ACF 的一外角(∠DFC=∠FAC+∠ACF); 四.四边形 BDFE 的一外角。 我们接下来再看狄公如何施展断案技巧:


狄公设计让吴宗仁夫妇,李枚,离紫光寺不远的清风庵住持宝月四人 同聚紫光寺殿内,李柯被骗躲于其后,未出,经狄公盘问,得知白玉小 姐经不住杨茂德的引诱,与其私定终身,但其父则想选个吉日,让小女 与李枚完婚,白玉不同意,便逃出门后直奔紫光寺与杨茂德商计,结果 不巧撞破凶手机关,凶手杀心陡起,将其推进窑子跌死。 回到我们的迷团中来,我们的大胆假设可否象狄公一样顺利进行, 四条路行哪条?哪条路能将我们带向∠DFC 与三内角的关联所在,我们 也来一一进行分析:

途径一:∠DFC 是△CDF 的一个内角,可另两角∠CDF 与∠DCF 与三内 角无联系。虽∠DCF 在其中一内角∠BCA=600 之中,但剩的角∠ACE 与∠ CDF 无多大联系,但记得我们在前面的挖掘中有个重大发现:△ACE≌△ BAD,可得∠ACE=∠BAD,而△ABD 的外角∠CDF=∠B+∠BAD,其中∠BAD 可 用∠ACE 替换,而∠ACE+∠DCF=∠ACB 是等边三角形的一内角,既此路 可将∠DFC 与其内角联系起来(此路可行) ; 途径二:△AEF 一内角∠AFE 的对顶角为∠DFC,即∠DFC=∠AFE,求 ∠AFE 即可, 其中∠AFE=1800(∠AEF+ ∠EAF) 同理, , ∠EAF 可用∠ACE


替,∠AEF+∠ACE 既为△ACE 中两个内角和,等于 1800-∠CAE(为等边 三角形 ABC 一内角) (此路也可行) ; 途径三:∠DFC 为△ACF 的一外角,即∠DFC=∠FAC+∠ACF,同样∠ ACF 可用∠BAD 来代替,组成其内角∠BAC=600(此路仍可行) ; 途径四:∠DFC 为四边形 BDFE 的一外角,即∠DFC=1800-∠EFD,而 四边形 BDFE 中其它三角关系:∠B=600,∠BEF+∠BDF 中的∠BEF 可用 1800-∠AEC 代替, 且由△ACE≌△BAD 得: ∠AEC=∠BDF, 即可去掉∠AEC. 只剩 1800 与 600(此路还可行) 。 不错,有四条路可通真相所在,看来我们离破案不远了。

三.真相大白
当狄公略施小计,将李柯叫出,吴夫人周氏失声吐出“杨....” ,此 刻全场震惊。 事情很明显了, 杨茂德杀害李柯和沈三, 将两人身首调换, 制造沈三与阿牛吵架被杀,然后自己一直假扮李珂。本来是李柯花钱请 来杨茂德帮其搜寻寺中御金,杨茂德因奸骗白玉事发,被逐出吴俯,投 奔李柯。三天前的晚上,李柯和沈三两人瞒着杨去紫光寺寻宝,结果被 杨发现,也偷偷跟去,在寺中,趁李珂大意将其勒死,其后杨又趁机一 刀戳死沈三,制造了种种假象,遮掩自己。


狄公的三案已结,我们的案子可否能结了呢?有几种方式结?让学 生作最后的结案陈词: 解:∵△ABC 是等边三角形 又∵CD=BE ∴∠BAC=∠B=∠ACB=600 , 即: BD=AE AB=AC=BC

∴BC-CD=AB-BE

∴在△ACE 与△BAD 中

AE=BD ∠EAC=∠B=600 AC=AB △ACE ≌ △BAD(SAS)

(接下来分 4 种途径)

解法一:又∵在△ABD 中,外角∠CDF=∠BAD+∠B 即∠CDF=∠ACE+∠B ∴在△CDF 中,∠DFC=1800-(∠CDF+∠DCF)=1800-(∠ACE+∠B+ ∠DCF)=1800-(∠ACB+∠B)=1800-1200=600 解 法 二 : 在 △ AEF 中 , ∠ AFE=1800-( ∠ AEF+ ∠ EAF)=1800-( ∠ AEF+ ∠ ACE)=1800-(1800-∠EAC)=1800-(1800-600)=600 ∴ 0 对顶角∠DFC=∠AFE=60 解法三:在△ACF 中,外角∠DFC=∠CAF+∠ACF=∠CAF+∠BAD=∠BAC=600


解 法 四 : 在 四 边 形 BDFE 中 , 内 角 ∠ DFE=3600- ∠ B- ∠ BEF- ∠ BDF=3600-600-( ∠ BEF+ ∠ BDF)=3000-(1800- ∠ AEC+ ∠ BDF)=3000-1800=1200 ∴补角∠DFC=1800-∠DFE=1800-1200=600 结词:一道条件看似普所迷离的数学几何题,通过同学们狄公似的断案 推理,大胆猜想,总结了四种做题方法,达到一题多解的目的, 何之巧妙!也让我们一同感受到了狄仁杰查案的周密,和我们做题 的乐趣!

三.几点体会
1.兴趣是学习最好的老师,是学习最大的动力,将学生解数学题与 他们感兴趣的狄仁杰断案联系起来,让学生遐想自己就是神探狄 仁杰,无比机智能干,没有办不了的案子,没有解不了的题,培 养他们对自己的信心,感受做神探狄仁杰的成就感,让学生体会 到解数学题是对自己价值的体现和肯定。 2.让学生模仿狄仁杰的思路广阔,推理紧密,培养学生解数学题应 有的逻辑思维能力,一题多解的广阔思路,体会解数学题的快乐。 3.作为教师,对于学生的学习困难,应从问题的根源出发,从学生 的实际出发,替学生找到实际有效地解决方法,让学生轻松克服 困难,改掉缺点,成为快乐的学习者。 在新课改的指引下, 作为教师的角色, 更应该体会到学生的主体地位, 教师的主导作用,做好学生一路学习的指引明灯,点亮学生浓厚的学习兴 趣。



参考文献:

《狄仁杰短篇小说集-----紫光寺》 《 心理学 》—— 魏龙渝




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