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【成才之路】2016年春高中数学 第1章 数列 2 等差数列 第3课时 等差数列的前n项和同步课件 北师大版必修5


成才之路 ·数学
北师大版 ·必修5

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第一章 数 列

第一章
§2 第3课时 等差数列

等差数列的前n项和

1

课前自主预习

2

课堂典例讲练

4

本节思维导图

3

易混易错点睛

5

课 时 作 业

课前自主预习

小飞在上高一时参加迎新生的场面, 负责迎新的老师为了让同班新同学互相 认识,要求出席的 40 位同学互相握手为 礼,并同时彼此介绍自己.热闹一番后, 同学们已完成这项使命. 老师随即提出了一个问题: 有谁知道, 全体同学共握手多少次?同学们你能回答吗?让我们来学习这 节解决这个问题吧!

1.等差数列的前 n 项和公式 n?n-1? n?a1+an? na1+ 2 d 公式 1:Sn=__________ ,公式 2:Sn=_____________. 2 2.等差数列的前 n 项和公式的函数意义 d 2 d n +(a1-2)n n?n-1? d d 2 由 Sn=na1+ 2 d=______________,若令2=A,a1-2

(n,Sn) 在常数项 =B,则 Sn=An2+Bn,可知当 d≠0 时,点________
为 0 的二次函数的图像上,可由二次函数的知识解决 Sn 的最值 问题.

3.等差数列的前 n 项和的性质 (1)若数列{an}的前 n 项和 Sn=An2+Bn(A、B∈R),则数列 {an}一定是等差数列 ________; Sn Sn 等差数列 (2)由 Sn=An +Bn,可知数列{ n }是________,点(n, n )(n
2

∈N+)在同一条直线上;

S3k-S2k (3)若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 则 Sk, S2k-Sk, ________
三个数成等差数列.

1.在等差数列{an}中,已知a1=3,d=2,则S10=(

)

A.120
C.180 [答案] A

B.240
D.280

[ 解析]

10×9 S10=10a1+ 2 ×d=10×3+45×2=120.

2 . 在 等 差 数 列 {an} 中 , S10 = 120 , 那 么 a1 + a10 的 值 是 ( ) A.12 C.36 [答案] B B.24 D.48

[ 解析]

10?a1+a10? ∵S10= =120,∴a1+a10=24.故选 B. 2

3.在等差数列{an}中,已知a2=2,a8=10,则前9项和S9 =( )

A.45
C.108 [答案] D
[ 解析] 12,

B.52
D.54

∵ {an} 是等差数列,∴ a2 + a8 = a1 +a9 = 2+ 10 =

9×?a1+a9? 9×12 ∴S9= = 2 =54. 2

4.等差数列{an}中,a1=1,a3 +a5=14,其前n项和Sn=
100,则n=________. [答案] 10

[ 解析]

设等差数列{an}的公差为 d, ,解得 d=2.

? ?a1+2d+a1+4d=14 由题意,得? ? ?a1=1

n?n-1? 又 Sn=na1+ 2 ×d, n?n-1? ∴100=n+ 2 ×2 解得 n=10.

5.等差数列{an}中,S11=2013,则a6=________. [答案] 183
[ 解析] 11?a1+a11? 11×2a6 ∴S11= = 2 =11a6=2013, 2

∴a6=183.

课堂典例讲练

用等差数列前n项和公式求和 在等差数列{an}中, (1)a1=105,an=994,d=7,求Sn;

(2)已知a14=10,求S27;
(3)已知前3项和为13,末3项和为32,前n项和Sn=105,求 项数n; (4)若S12=84,S20=460,求S28.

[ 分析]

n?a1+an? (1)(2)(3)化为 求和.(4)先求 a1,d,再由 2

n?n-1? Sn=na1+ 2 d 求和,或由 Sn=an2+bn,先求 a,b,再求 和. [ 解析]

(1)由 an=a1+(n-1)d,

得 994=105+(n-1)×7,解得 n=128. n?a1+an? 128×?105+994? 所以 Sn= = =70 336. 2 2 (2)因为 a14=10,a1+a27=2a14, 27×?a1+a27? 所以 S27= =27a14=270. 2

(3)由已知,得 a1+a2+a3=13, an+an-1+an-2=32. 而 a1+an=a2+an-1=a3+an-2, 所以 3(a1+an)=45,a1+an=15. n?a1+an? 由 Sn= =105,解得 n=14. 2

(4)方法 1:因为{an}是等差数列 n?n-1? 所以 Sn=na1+ 2 d ? ?12a +12×11d=84 2 ? 1 由已知,得? 20×19 ? 20a + 2 d=460 ? ? 1 28×27 所以 S28=28a1+ 2 d 28×27 =28×(-15)+ 2 ×4=1 092.
? ?a1=-15 解得? ? ?d=4

方法 2:设此等差数列的前 n 项和为 Sn=an2+bn, 因为 S12=84,S20=460
2 ? ?a×12 +b×12=84, 所以? 2 ? ?a×20 +b×20=460.

? ?a=2, 解得? ? ?b=-17,

所以 Sn=2n2-17n,所以 S28=2×282-17×28=1 092.

[ 方法总结] 注意哪些技巧:

等差数列前 n 项和公式有何特点,应用时应

(1)由等差数列的前 n 项和公式及通项公式可知, 若已知 a1、 d、n、an、Sn 中的三个便可求出其余的两个,即“知三求二”, “知三求二”的实质是方程思想,即建立方程组求解. (2)在运用等差数列的前 n 项和公式来求和时,一般地若已 n?a1+an? 知首项 a1 及末项 an 用公式 Sn= 较简便;若已知首项 2 n?n-1? a1 及公差 d 用公式 Sn=na1+ 2 d 较好.

n?a1+an? (3)在运用公式 Sn= 求和时,要注意性质“m、n、 2 p、q∈N+且 m+n=p+q?am+an=ap+aq”的运用. (4)第(4)题若根据等差数列前 n 项和 Sn 的特点, 利用待定系 数法,把 Sn 设出,则显得比较简捷.

已知等差数列{an}中, 1 (1)a1=2,S4=20,求 S6; 3 1 (2)a1=2,d=-2,Sn=-15,求 n 及 an; (3)a1=1,d=2,求 an 及 Sn.

[ 解析] ∴d=3.

4?4-1? (1)S4=4a1+ 2 d=4a1+6d=2+6d=20,

6?6-1? 故 S6=6a1+ 2 d=6a1+15d=3+15d=48. 3 n?n-1? 1 (2)∵Sn=n· 2+ 2 (-2)=-15, 整理得 n2-7n-60=0, 解得 n=12 或 n=-5(舍去), 3 1 ∴a12=2+(12-1)×(-2)=-4.

(3)因 a1=1,d=2 ∴an=a1+(n-1)d=2n-1, n?a1+an? 2 Sn=1+3+?+(2n-1)= =n . 2

等差数列前n项和性质的应用 一个等差数列{an}的前n项和为25,前2n项和为 100,求该数列的前3n项的和. [分析] 可利用等差数列的基本公式求解,也可以利用等

差数列前n项和性质求解.

[ 解析]

解法一: 设数列的首项为 a1, 公差为 d, 则由已知,

? ?na +n?n-1?d=25 2 ? 1 得? 2n?2n-1? ? 2na + d=100 ? 2 ? 1

,解得 n2d=50.

? 3n?3n-1? n?n-1? ? ? ? 2 ∴S3n=3na1+ d = 3 + 3 n d=3×25 na + d ? 1 ? 2 2 ? ?

+3×50=225.

解法二:∵数列{an}为等差数列, ∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 也成等差数列, 即 Sn+S3n-S2n=2(S2n-Sn). ∴S3n=3(S2n-Sn)=3×(100-25)=225.

[ 方法总结]

n?a1+an? (1)等差数列前 n 项和 Sn= 与等差数 2

列性质“若 m+n=p+q,m、n、p、q∈N+,则 am+an=ap+ aq”经常结合起来使用,使这类问题的解决更具灵活性. (2)若等差数列的前 n 项和为 Sn, 则 Sn, S2n-Sn, S3n-S2n, ? 仍成等差数列. (3)数列{an}、{bn}为等差数列,Sn、Tn 分别是其前 n 项和, am S2m-1 则有结论b = . T2m-1 m

Sn 两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若T = n 2n an ,求b . 3n+1 n

[ 分析]

既可利用 Sn,Tn 列方程组,建立首项与公差的关

S2n-1 an 系进行求解,也可利用 = 来求解. T2n-1 bn

[ 解析]

解法一:设 an=a1+(n-1)d,

bn=b1+(n-1)e. a1 S1 1 取 n=1,则b =T =2,∴b1=2a1. 1 1 n?n-1? n-1 n d na1+ 2 d a1+ 2 d a1+2d-2 2n Sn ∴T = = = = , n e n?n-1? n-1 3n+1 n 2 a + e - nb1+ 2 e b1+ 2 e 1 2 2 3 2 3 d d 故 en +(4a1-e)n=2dn +(3a1-2d+2)n+a1-2.
2

? 3 ?e=2d, ? 从而?4a1-e=3a1-d, ? d ?a1- =0. 2 ?

? ?d=2a1, 即? ? ?e=3a1.

an 2n-1 ∴b = . 3 n - 1 n

a1+a2n-1 n?a1+a2n-1? 2 2 an 解法二:b = = b1+b2n-1 n?b1+b2n-1? n 2 2 S2n-1 2?2n-1? 2n-1 = = = . T2n-1 3?2n-1?+1 3n-1

等差数列前n项和Sn的函数形式
设{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和, Sn Sn 已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列{ n }的前 n 项和,求数列{ n } 的前 n 项和 Tn.

[ 分析]
2

根据等差数列前 n 项和公式与二次函数的关系,

Sn 可设 Sn=an +bn, 则 n =an+b.由已知条件列方程组可求得 Sn, 进而求解 Tn.

[ 解析]

设等差数列{an}的公差为 d,则 ∵S7=7,S15=75,
? ?a1+3d=1 ,即? ? ?a1+7d=5

1 Sn=na1+2n(n-1)d.
? ?7a1+21d=7 ∴? ? ?15a1+105d=75



解得 a1=-2,d=1. Sn+1 Sn 1 1 1 Sn ∴ n =a1+2(n-1)d=-2+2(n-1),∵ - n =2, n+1 1 Sn ∴数列{ n }是等差数列,其首项为-2,公差为2, 1 2 9 ∴Tn=4n -4n.

[ 方法总结]

一般地,对于等差数列{an},如果 a1,d 是确

n?n-1? d 2 d 定的,那么前 n 项和为 Sn=na1+ 2 d=2n +(a1-2)n,设 d d A=2, B=a1-2, 上式可写成 Sn=An2+Bn.当 A≠0(即 d≠0)时, Sn 是关于 n 的二次函数,那么点(n,Sn)在二次函数 Sn=An2+ Bn 的图像上.因此当 d≠0 时,数列 S1,S2,S3,?,Sn 的图像 是抛物线 Sn=An2+Bn 上一群孤立的点.

等差数列{an}的前n项和为Sn,若S12=84,S20=460,求Sn.
[ 解析] ∵数列{an}为等差数列,

∴设 Sn=An2+Bn,
? 122+12B=84, ?A· ∴? ? 202+20B=460, ?A· ? ?A=2, 解得? ? ?B=-17.

∴Sn=2n2-17n.

易混易错点睛

已知两个等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 a11 Sn 7n+1 Sn、Tn,且T = (n∈N+),求b . 4n+27 n 11

[ 误解]

Sn 7n+1 由T = , 4 n + 27 n

设 Sn=(7n+1)k,Tn=(4n+27)k,k≠0. 则 a11=S11-S10=(7×11+1)k-(7×10+1)k=7k, b11=T11-T10=(4×11+27)k-(4×10+27)k=4k. a11 7k 7 ∴b =4k=4. 11

[ 辨析]

错误的原因是“设 Sn=(7n+1)k,Tn=(4n+27)k,

Sn 7n+1 k≠0”.这种设法虽然可以使T = 成立,但是相对于变 4n+27 n 量 n 来说,k 是常数,故 Sn=(7n+1)k,Tn=(4n+27)k 是 n 的 一次函数,与公差不为零的等差数列的前 n 项和为 n 的二次函 数不符合.

[ 正解]

方法一:由于等差数列{an}的前 n 项和 Sn=an2+

b bn=a· n(n+a), 设 Sn=(7n+1)· kn,Tn=(4n+27)· kn, ∴a11=S11-S10=(7×11+1)· 11k-(7×10+1)· 10k=148k, b11=T11-T10=(4×11+27)· 11k-(4×10+27)· 10k=111k. a11 148k 4 ∴b = 111k =3. 11

21 ?a +a21? a11 2a11 a1+a21 2 1 S21 方法二:b =2b = =21 =T . b + b 11 11 21 1 21 ? b + b ? 21 2 1 S21 7×21+1 148 4 又T = = 111 =3. 4 × 21 + 27 21

本节思维导图

等差数列的? ?数列的前n项和 ? 前n项和 ? ?等差数列的前n项和公式、推导与应用 等差数列前n项 ? ?等差数列前n项和的性质 ? 和的性质及应用? ?等差数列前n项和比值问题


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