当前位置:首页 >> 数学 >>

惠州市2016届高三模拟考试(理数)


惠州市 2016 届高三模拟考试 数学(理科)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将自 己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答

案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。
2 1.设集合 M ? x x ? x? , N ? x lg x ?0? ,则 M ? N ? (

?

?

) (D) ? ??,1?

(A) ?0,1? 2.已知复数 z ? (A) ?1 ? i

(B) ? 0,1?

(C) ?0,1? )

2 ? 2i ,则 z 的共轭复数是( 1? i
(B) 1 ? i

(C) 1 ? i
1

(D) ?1 ? i

3.已知函数 f ( x) 是偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x 3 ,则在区间 (?2,0) 上,下列函数中与

f ( x) 的单调性相同的是(
(A) y ? ? x ? 1
2

) (C) y ? e
x

(B) y ? x ? 1

(D) y ? ?

?2 x ? 1, x ? 0
3 ? x ? 1, x ? 0

4.已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, ? ? 在一个周期内的图象如图所示,则 f ( ) ? (

?
2



y
2

?

4

) (D) ?

(A) 1

(B)

1 2

(C) ? 1

1 2

O ?
?2

5? 6

x

12

1

5.下列四个结论: ①若 p ? q 是真命题,则 ? p 可能是真命题; ②命题“ ?x0 ? R, x02 ? x0 ?1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? x ?1 ? 0 ”; ③“ a ? 5 且 b ? ?5 ”是“ a ? b ? 0 ”的充要条件; ④当 a ? 0 时,幂函数 y ? xa 在区间 ? 0, +? ? 上单调递减. 其中正确结论的个数是( (A)0 个 ) (C)2 个 (D)3 个 )

(B) 1 个

6.过点 A(3,1) 的直线 l 与圆 C : x2 ? y 2 ? 4 y ? 1 ? 0 相切于点 B ,则 CA ? CB ? ( (A) 0 (B) 5 (C) 5 (D)

50 3

7.下列表格所示的五个散点,原本数据完整,且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回 归直线方程为 ? y ? 0.8x ?155 ,后因某未知原因第 5 组数据的 y 值模糊不清,此位置数 据记为 m (如下表所示) ,则利用回归方程可求得实数 m 的值为( )

x
y

196 1

197 3

200 6

203 7

204

2 1 1 正视图 侧视图

m
(D) 8 )

(A) 8.3

(B) 8.2

(C) 8.1

8.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积等于( (A) 2 (B)1 (C)

2 3

(D)

2 2 3
) (D)17

俯视图
开始

9.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是( (A)14 (B)15 (C)16

?x ? y ? 1 ? 0 ? 10.若实数 x , y 满足的约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,将一颗骰子投掷 ?y ?1 ? 0 ?
两次得到的点数分别为 a , b ,则 z ? 2ax ? by 在点 (2,?1) 处 取得最大值的概率为( (A) )

S ? 0, n ? 1
S ? S ? log 2 n ?1 n?2

n ? n ?1

S ? ?3?



5 6

(B)

2 5

(C)

1 5

n 输出n
(D)



1 6 结束

2

11.如图所示,已知 ?EAB 所在的平面与矩形 ABCD 所在的平面互相

? 3 , AD ? 2 , ?AEB ? 60? , 则 多 面 体 垂 直 , E A? E B
E ? ABCD 的外接球的表面积为(


E B A D

16? (A) 3
(C) 16?
3

C

(B) 8? (D) 64?
2

12.已知方程 x ? ax ? bx ? c ? 0 的三个实根可分别作为一椭圆、一双曲线、一抛物线的 离心率,则 a ? b 的取值范围是(
2 2



(A) ( 5 ,??)

(B) ? 5, ??

?

?

(C) ?5,10)

(D) (5,??)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题,每个考生都必须做答。 第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。 13.若随机变量 ? ~ N (2,1) ,且 P(? ? 3) ? 0.158 ,则 P(? ? 1) = 14.在二项式 ( x ? .

1 n ) 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大, x
2

则展开式中含 x 项的系数是
2

. (请用数字作答)

15.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上一点 M ?1, m ? ?m ? 0 ? 到其焦点的距离为 5, 双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的左顶点为 A ,若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行, a


则实数 a ?

16.已知平面四边形 ABCD 为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在直线, 其余各边均在此直线的同侧) ,且 AB ? 2 , BC ? 4 , CD ? 5 , DA ? 3 , 则平面四边形 ABCD 面积的最大值为 .

3

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知公差不为 0 的等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 Sn , S7 ? 70 且 a1 , a2 , a6 成等比数列。 (Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

2 S n ? 48 ,数列 ?b n ? 的最小项是第几项,并求出该项的值。 n

18.(本小题满分 12 分) 2016 年 1 月 1 日起全国统一实施全面两孩政策。为了解适龄民众对放开生育二胎政策 的态度,某市选取 70 后和 80 后作为调查对象,随机调查了 100 位,得到数据如下表: 生二胎 70 后 80 后 合计 30 45 75 不生二胎 15 10 25 合计 45 55 100

(Ⅰ)以这 100 个人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率,若从该市 70 后公民中随机抽取 3 位,记其中生二胎的人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望。 (Ⅱ)根据调查数据,是否有 90% 以上的把握认为“生二胎与年龄有关”,并说明理由。

参考公式: K ?
2

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

参考数据:

P( K 2 ? k )
k

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

4

19.(本小题满分 12 分) 如图,已知长方形 ABCD 中, AB ? 2 2 , AD ? 沿 AM 折起,使得平面 ADM ? 平面 ABCM . (Ⅰ)求证: AD ? BM ; (Ⅱ)若点 E 是线段 DB 上的一动点,问点 E 在何位置时,二面角 E ? AM ? D 的余 弦值为

2 ,M 为 DC 的中点.将 ?ADM

5 . 5 D

M

D

C
E M B

C

A

B

A

20. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, F 1、F2 分别为椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦 a 2 b2

点, B 为短轴的一个端点, E 是椭圆 C 上的一点,满足 OE ? OF1 ? 长为 2( 2 ? 1) . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

2 OB ,且 ?EF 1 F2 的周 2

(Ⅱ)设点 M 是线段 OF2 上的一点,过点 F2 且与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆 C 于

P、Q 两点,若 ?MPQ 是以 M 为顶点的等腰三角形,求点 M 到直线 l 距离的
取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ?x? ? ?x ? 1? ? a?ln x ? x ? 1? (其中 a ? R ,且 a 为常数) .
2

(Ⅰ)若对于任意的 x ? ?1,??? ,都有 f ?x ? ? 0 成立,求 a 的取值范围; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若方程 f ?x ? ? a ? 1 ? 0 在 x ? ?0,2? 上有且只有一个实根, 求 a 的取值范围.

5

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题计分,答题 时请写清题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, 已知圆 O 是 ?ABC 的外接圆,AB ? BC ,AD 是 BC 边 上的高, AE 是圆 O 的直径.过点 C 作圆 O 的切线交 BA 的延长线 于点 F . (Ⅰ)求证: AC ? BC ? AD ? AE ; (Ⅱ)若 AF ? 2, CF ? 2 2 ,求 AE 的长.

F

A

O ?
B E D

C

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) .以原点为极 3 ?y ? t ? ? 2
点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的方程为 ? ? 2 3 sin ? . (Ⅰ)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若点 P 的直角坐标为 ?1,0 ? ,圆 C 与直线 l 交于 A, B 两点, 求 | PA | ? | PB | 的值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ?

1 (a ? 0) . a

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (Ⅱ)证明: f ( m) ? f ( ?

1 ) ? 4. m

6

数学(理科)参考答案
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 A 5 B 6 C 7 D 8 C 9 C 10 A 11 C 12 D

2 1.【解析】由 M ? x x ? x? = ?0,1? , N ? x lg x ?0? = ? 0,1? ,

?

?

得 M ? N ? ?0,1? ? ? 0,1? = 2.【解析】由已知 z ?

?0,1? .故选 A.

2 ? 2i ? 1 ? i ,则 z 的共轭复数是 z ? 1 ? i ,选 B . 1? i
3 5? ? 3? ?? ? ? ,则周期 ? ? ? ,所以 ? ? 2 . 4 6 12 4

3.【解析】由已知得 f ( x ) 在 (?2, 0) 上单调递减函数,所以答案为 C . 4.【解析】由图知, ? ? 2 ,且 因为 f ? 故f?

?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ,则 2 ? ? ? ? ,从而 ? ? .所以 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? , 3? 3 12 2 ? ? 12 ?

5? ?? ? ? 1 ,选 A. ? ? 2sin 6 ?4?

5.【解析】①若 p ? q 是真命题,则 p 和 q 同时为真命题, ? p 必定是假命题; ②命题“ ?x0 ? R, x02 ? x0 ?1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ”; ③“ a ? 5 且 b ? ?5 ”是“ a ? b ? 0 ”的充分不必要条件; ④ y ? x ? y' ? a? x
a a ?1

,当 a ? 0 时, y ' ? 0 ,所以在区间 ? 0, +? ? 上单调递减. 选 B.

6. 【解析】由圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 y ? 1 ? 0 得 C ? 0,2? ,半径 r ? 5 . ∵过点 A ? 3,1? 的直线 l 与圆 C : x ? y ? 4 y ? 1 ? 0 相切于点 B ,∴ BA ? CB ? 0
2 2

??? ? ??? ?

∴ CA ? CB ? CB ? BA ? CB ? CB ? 5 ,所以选 C. 另:本题可以数形结合运用向量投影的方法可求得结果。 7.【解析】 x ?

??? ? ??? ?

?

??? ? ??? ? ??? ?

?

??? ?2

196 ? 197 ? 200 ? 203 ? 204 1 ? 3 ? 6 ? 7 ? m 17 ? m ? 200 , y ? ? 5 5 5

由回归直线经过样本中心,

17 ? m ? 0.8 ? 200 ? 155 ? m ? 8 .故选 D. 5

8. 【解析】由三视图知:几何体是三棱柱削去一个同高的三棱锥,其中三棱柱的高为 2,底 面是直角边长为 1 的等腰直角三角形, 三棱锥的底面是直角边长为 1 的等腰直角三角形, ∴几何体的体积 V ?

1 1 1 2 × 1× 1× 2? × × 1× 1× 2= .故选 C. 3 3 2 2
7

9.【解析】由程序框图可知,从 n ? 1 到 n ? 15 得到 S ? ?3 ,因此将输出 n ? 16 .
? 1), B(?2, ?1),C (0,1) , 10.【解析】约束条件为一个三角形 ABC 及其内部,其中 A(2,

要使函数 z ? 2ax ? by 在点 (2,?1) 处取得最大值,需满足 ?

2a ? ?1 ? b ? 2a , b

将一颗骰子投掷两次共有 36 个有序实数对 (a, b) , 其中满足 b ? 2a 有 6+6+5+5+4+4=30 对,
30 5 = . 选 A. 36 6 11.【解析】将四棱锥补形成三棱柱,设球心 O ,底面重心 G ,则 ?OGD 为

所以所求概率为

E B A

直角三角形,OG ? 1 , DG ? 3 , ∴ R ? 4 , ∴多面体 E ? ABCD 的
2

O
D

G
C

外接球的表面积为 4? R ? 16? .故选 C.
2

12.【解析】设 f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? b ,由抛物线的离心率为 1,知 f (1) ? 1 ? a ? b ? c ? 0 , 故 c ? ?1 ? a ? b , 所以 f ( x) ? ( x ?1)[ x2 ? (1 ? a) x ? a ? b ? 1] , 另外两根分别是一椭圆、 一双曲线的离心率, 故 g ( x) ? x2 ? (1 ? a) x ? a ? b ? 1 有两个分别属于 (0,1) 和 (1, ??) 的 零点,故有 g (0) ? 0 且 g (1) ? 0 ,即 a ? b ? 1 ? 0 且 2a ? b ? 3 ? 0 ,运用线性规划知识 可求得 a2 ? b2 ? (5, ??) .故选 D . 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。 13.0.842 14. ?56 15.

1 9

16. 2 30

, 13. 【解析】∵随机变量 ? ? N ? 21 ? ,∴正态曲线关于 x ? 2 对称,
∵ P(? ? 3) ? 0.158 ,∴ P(? ? 1) ? P(? ? 3) ? 1 ? 0.158 ? 0.842 . 14. 【解析】因为二项式 ( x -

1 n ) 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大,所以展开式有 x

k 8?k 9 项,即 n ? 8 ,展开式通项为 Tk ?1 ? C8 x (?1)k x?k ? (?1)k C8k x8?2k ,令 8 ? 2k ? 2 ,
3 得 k ? 3 ;则展开式中含 x 2 项的系数是 (?1)3 C8 ? ?56 .

15. 【解析】因为抛物线的准线为 x ? ?

p p ,则有 1 ? ? 5 ,得 p ? 8 ,所以 m ? 4 , 2 2

又双曲线的左顶点坐标为 ? a , 0 ,则有

?

?

4 1 1 ? ,解得 a ? . 9 1? a a

16. 【解析】设 AC= x ,在 ?ABC 中由余弦定理有

x 2 ? 2 2 ? 4 2 ? 2 ? 2 ? 4 cos B ? 20 ? 16cos B
8

同理,在 ?ADC 中,由余弦定理有: x ? 3 ? 5 ? 2 ? 3 ? 5 cos D ? 34 ? 30cos D ,
2 2 2

即 15 cos D ? 8 cos B ? 7 ①, 又 平 面 四 边 形

ABCD







S?

1 1 1 ? 2 ? 4 sin B ? ? 3 ? 5 sin D ? (8 sin B ? 15 s D) , i 2 2 2
即 8 sin B ? 15 sin D ? 2S ②. ①②平方相加得

n

64 ? 225? 240(sin B sin D ? cosB cosD) ? 49 ? 4S 2 ? 240cos(B ? D) ? 4S 2 ? 240
, 当 B ? D ? ? 时, S 取最大值 2 30 . 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ)设公差为 d ,则有 ?

?7a1 ? 21d ? 70
2 ?a2 ? a1a6

,……………………2 分

即?

?a1 ? 3d ? 10
2

?a ? 1 ?a ? 10 (舍) ,………4 分 ?? 1 或? 1 d ? 0 d ? 3 ( a ? d ) ? a ( a ? 5 d ) ? ? ? 1 1 1

? an ? 3n ? 2 …………………………………………………………6 分
(Ⅱ) Sn ?

n 3n2 ? n [1 ? (3n ? 2)] ? ,……………………………………7 分 2 2

3n2 ? n ? 48 48 48 ?bn ? ? 3n ? ? 1 ? 2 3n ? ? 1 ? 23 ,…………9 分 n n n
当且仅当 3n ?

48 即 n ? 4 时取 ? 号.……………………………10 分 n

数列 ?b n ? 的最小项是第 4 项, b4 ? 23 .……………………12 分 18.(本小题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ)由已知得 70 后“生二胎”的概率为 所以 P( X ? k ) ? C3 ( ) ( )
k k

2 2 ,并且 X ~ B(3, ) ,………1 分 3 3

2 3

1 3

3? k

(k ? 0,1, 2,3) …………………………2 分

其分布列如下

X
P

0

1

2

3

1 27

2 9

4 9

8 27

(每算对一个结果给 1 分)
9

所以, EX ? 3 ? (Ⅱ) K 2 ?

2 ? 2 .…………………………………………7 分 3

n(ad ? bc)2 100 ? (30 ?10 ? 45 ?15)2 ………9 分 ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 75 ? 25 ? 45 ? 55
100 ? 3.030 ? 2.706 33
………………………………………11 分

?

所以有 90% 以上的把握认为“生二胎与年龄有关”。…………………12 分 19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:∵长方形 ABCD 中, AB ? 2 2 , AD ? 2 , M 为 DC 的中点, ∴ AM ? BM ? 2 ,∴ AM ? BM .………1 分 ∵平面 ADM ⊥平面 ABCM , 平面 ADM ∩平面 ABCM = AM , BM ?平面 ABCM ∴ BM ⊥平面 ADM ∵ AD ?平面 ADM ∴ AD ⊥ BM ; ………………………5 分 (Ⅱ)建立如图所示的直角坐标系,则平面 ADM 的一个法向量 n ? (0,1,0) ,…………6 分 设 DE ? ? DB , ME ? MD ? ? DB ? (1 ? ?, 2?,1 ? ? ), AM ? (?2,0,0) , 设平面 AME 的一个法向量为 m ? ( x, y, z), ………………3 分

?

????

??? ?

????

???? ?

??? ?

???? ?

??

z

?2 x ? 0 ? ?2? y ? (1 ? ? ) z ? 0
所以 m ? (0,1,

取 y ? 1 ,得 x ? 0, y ? 1, z ?

2? , 1? ?

D E M B
y

2? ) ,………………………9 分 1? ? ?? ?? ? 1 m?n 5 ? ? 因为 cos ? m, n ?? ?? ,求得 ? ? ,……11 分 2 | m|?| n | 5 ??
所以 E 为 BD 的中点.………………………12 分

O

C

A

x

20.(本小题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ)由已知 F1 (?c,0) ,设 B(0, b) ,即 OF 1 ? (?c,0),OB ? (0, b) ∴ OE ? (?c,

2 2 b) 即 E (?c, b) 2 2

………………………………1 分
10



2 c2 1 c 2 2b ①………………………………………2 分 ? ? 1 得: ? 2 2 a b a 2

2a ? 2c ? 2 ? 2 2 ② ………3 分 又 ?PF 1 F2 的周长为 2( 2 ? 1) ,∴
又①②得: c ? 1, a ?

2

∴b ?1

∴所求椭圆 C 的方程为:

x2 ? y 2 ? 1 ………5 分 2

(Ⅱ)设点 M (m,0)(0 ? m ? 1) ,直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ………………6 分 由?

? y ? k ( x ? 1) 消去 y ,得: (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 2 2 ?x ? 2 y ? 2

设 P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 ) , PQ 中点为 N ( x0 , y0 ) 则 x1 ? x2 ? ∴ x0 ? 即 N(

4k 2 1 ? 2k 2

∴ y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ? 2) ?

? 2k 1 ? 2k 2

x1 ? x2 2k 2 ? 2 1 ? 2k 2

y0 ?

y1 ? y 2 ?k ? 2 1 ? 2k 2

2k 2 ?k , ) ………………………………………………………8 分 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
∴ MN ? PQ 即

∵ ?MPQ 是以 M 为顶点的等腰三角形

k2 ? ?1 m(1 ? 2k 2 ) ? 2k 2

∴m ?

k2 1 1 ? ? (0, ) ………………………………………10 分 2 1 2 1 ? 2k 2? 2 k

设点 M 到直线 l : kx ? y ? k ? 0 距离为 d , 则d2 ?
2 2 2 1 k 2 (m ? 1) 2 k 2 (k 2 ? 1) 1 1 4 (k ? k ? 1) ? ? ? ∴ d ? (0, ) 2 2 2 2 2 2 4 k ?1 (1 ? 2k ) (1 ? 2k )

即点 M 到直线距离的取值范围是 (0, ) 。………………………………12 分
2 另解: k ?

1 2

k 2 (m ? 1) 2 1 m 2 ? m(1 ? m) ? ∴d ? 2 1 ? 2m 4 k ?1

法 2:∵ ?MPQ 是以 M 为顶点的等腰三角形 ∴ (MP ? MQ) ? PQ ? 0 ∵

MP ? ( x1 ? m, y1 ), MQ ? ( x2 ? m, y2 ), PQ ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )

∴ ( x1 ? x2 ? 2m)(x2 ? x1 ) ? ( y1 ? y2 )( y2 ? y1 ) ? 0 又 y2 ? y1 ? k ( x2 ? x1 ? 2), y2 ? y1 ? k ( x2 ? x1 )
11

∴ ( x2 ? x1 ? 2m) ? k 2 ( x1 ? x2 ? 2) ? 0 ∴(

4k 2 4k 2 2 ? 2 m ) ? k ( ? 2) ? 0 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

∴m ?

k2 1 ? 2k 2

以下同解法一。

21.(本小题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ) f ??x ? ? 2?x ? 1? ? a?

? 1 ? ?x ? 1??2 x ? a ? …………… …1 分 ? 1? ? x ?x ?

当 a ? 2 时,? f ??x ? ? 0 对于 x ? ?1,??? 恒成立,? f ?x ? 在 ?1,??? 上单调递增

? f ?x ? ? f ?1? ? 0 ,此时命题成立;………………………… …3 分
当 a ? 2 时,? f ?x ? 在 ?1, ? 上单调递减,在 ?

? a? ? 2?

?a ? ,?? ? 上单调递增, ?2 ?

a? ?当 x ? ? ?1, ? 时,有 f ?x ? ? f ?1? ? 0 .这与题设矛盾. ? 2?
故 a 的取值范围是 ?? ?,2?……………………………………………………5 分 (Ⅱ)依题意 a ? ?? ?,2?,设 g ?x ? ? f ?x ? ? a ? 1 , 原题即为若 g ?x ? 在 ?0,2? 上有且只有一个零点,求 a 的取值范围. 显然函数 g ?x ? 与 f ?x ? 的单调性是一致的. ?当 a ? 0 时,因为函数 g ?x ? 在区间 ?0,1? 上递减, ?1,2? 上递增, 所以 g ?x ? 在 ?0,2? 上的最小值为 g ?1? ? a ? 1,

a ?1? ?1 ? 由于 g ? 2 ? ? ? 2 ? 1? ? 2 ? 1 ? 0 ,要使 g ?x ? 在 ?0,2? 上有且只有一个零点, ?e ? ?e ? e
需满足 g ?1? ? 0 或 g ?2? ? 0 ,解得 a ? ?1 或 a ? ? ?当 a ? 2 时,因为函数 g ?x ? 在 ?0,2? 上单调递增, 且g e

2

2 ;………………………… …7 分 ln 2

? ? ? e1 ? e4 ? 2 ? 0, g ?2? ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,
?4 8 4

所以此时 g ?x ? 在 ?0,2? 上有且只有一个零点;………………………… …9 分 ?当 0 ? a ? 2 时 , 因为函数 g ?x ? 在 ? 0, ? 上单调递增 ,在 ? ,1? 上单调递减 ,在 ?1,2? 上单调 递增,

? ?

a? 2?

?a ? ?2 ?

12

又因为 g ?1? ? a ? 1 ? 0 ,所以当 x ? ?
? 2a?2 a

?a ? ,2 时,总有 g ?x ? ? 0 , ?2 ? ?

?e

2a?2 2a?2 ? ? ? ? 2 aa? 2 ? ? ? 2a?2 ? ? ? ? ? e a ?e a ? ?a ? 2?? ? ? a ln e a ? 2a ? 2 ? ? 0 , ? 1 ? a ? 2? g? e ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

所以 g ?x ? 在 ? 0, ? 上必有零点,又因为 g ?x ? 在 ? 0, ? 上单调递增, 从而当 0 ? a ? 2 时, g ?x ? 在 ?0,2? 上有且只有一个零点.………………………… …11 分 综上所述,当 0 ? a ? 2 或 a ? ?

? ?

a? 2?

? ?

a? 2?

2 或 a ? ?1 时, ln 2
…………………… …12 分

方程 f ?x ? ? a ? 1 ? 0 在 x ? ?0,2? 上有且只有一个实根.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题计分,答题 时请写清题号。 22.(本小题满分 10 分) (I)证明:连结 BE ,由题意知 ?ABE 为直角三角形. ………1 分 因为 ?ABE ? ?ADC ? 900 , ?AEB ? ?ACB , ?ABE ∽ ?ADC ,………2 分 所以

AB AE ? ,…………………………………………………………3 分 AD AC

即 AB ? AC ? AD ? AE .……………………………………………………4 分 又 AB ? BC ,所以 AC ? BC ? AD ? AE . ………………………………5 分

(Ⅱ)因为 FC 是圆 O 的切线,所以 FC 2 ? FA ? FB ,………………………6 分 又 AF ? 2, CF ? 2 2 ,所以 BF ? 4, AB ? BF ? AF ? 2 ,………………7 分 因为 ?ACF ? ?FBC ,又 ?CFB ? ?AFC ,所以 ?AFC ∽ ?CFB . ………8 分 所以

AF AC AF ? BC ? ? 2 ,得 AC ? FC BC CF

cos?ACD ? ? AE ?

2 14 ,? sin ?ACD ? ? sin ?AEB, ………………………9 分 4 4

AB 4 14 ……………………………………………10 分 ? sin ?AEB 7

23.(本小题满分 10 分) (I)消去参数得直线 l 的普通方程为 3x ? y ? 3 ? 0 ,………2 分 由 ? ? 2 3 sin ? 得圆 C 的直角坐标方程 x2 ? y 2 ? 2 3 y ? 0 ………5 分 (Ⅱ)由直线 l 的参数方程可知直线过点 P ,………………………………6 分
13

把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程 x2 ? y 2 ? 2 3 y ? 0 , 得 (1 ?

1 2 3 t ) ? ( t ? 3)2 ? 3 ,…………7 分 2 2
2

化简得 t ? 4t ? 1 ? 0 ,因为 ? ? 12 ? 0 , 故设 t1 , t2 是上述方程的两个实数根,所以 t1 ? t2 ? 4, t1t2 ? 1 ,…………8 分

A, B 两点对应的参数分别为 t1 , t2 ,
所以 | PA | ? | PB |?| t1 | ? | t2 |? t1 ? t2 ? 4 24.(本小题满分 10 分) (I) 当 a ? 2 时, f ( x) ? x ? 2 ? x ?

………………9 分 ………………10 分

1 ,原不等式等价于 2

1 1 ? ? ?2 ? x ? ? x?? ? x ? ?2 ? ? ? ? ? 2 2 ,或 ? ,或 ? ……3 分 ? 1 1 1 ?x ? 2 ? x ? ? 3 ? ? ? x +2 ? x ? ? 3 x +2 ? x ? ? 3 ? 2 ? ? ? 2 ? 2
解得 x ? ?

11 1 或?或x ? 4 4 11 1 或x ? } 4 4

……………………………4 分 …………………………………5 分

不等式的解集为 {x | x ? ? (Ⅱ) f (m) ? f (?

1 1 1 1 1 ) ? m?a ? m? ? ? ?a ? ? ? m a m m a

……6 分

? m?a ? ?
? 2(| m | ?

1 1 1 1 1 ? a ? m ? ? ? ? ? 2 m ? ………………………8 分 m a m a m

?m ? ?1 1 ) ? 4 ,当且仅当 ? 时等号成立。……………………10 分 |m| ?a ? 1

14


相关文章:
惠州市2016届高三模拟考试(理数)
惠州市2016届高三模拟考试(理数)_数学_高中教育_教育专区。惠州市 2016 届高三模拟考试 数学(理科)注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)...
广东省惠州市2016届高三模拟考试理科数学试题
惠州市 2016 届高三模拟考试 数 学(理科) 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(...20 ? 16cos B 同理,在 ?ADC 中,由余弦定理有: x ? 3 ? 5 ? 2 ? ...
惠州市2016届高三第三次调研考试(理数)参考答案
惠州市2016届高三第三次调研考试(理数)参考答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。惠州市 2016 届高三第三次调研考试 数题号 答案 1 D 2 A 学(理科)参考...
惠州市2016届高三模拟考试(文数)
惠州市2016届高三模拟考试(数)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。惠州市 2016 届高三模拟考试 数学(文科) 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(...
惠州市2016届高三模拟考试文科数学
惠州市2016届高三模拟考试文科数学_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三数学模考卷 惠州市 2016 届高三模拟考试 数 学(文科) 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(...
惠州市2016届高三模拟考理科数学
惠州市2016届高三模拟考理科数学_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016年理科数学模考卷 惠州市 2016 届高三模拟考试 数 学(理科) 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ...
惠州市2016届高三模拟考试理科数学试题
惠州市2016届高三模拟考试理科数学试题_数学_高中教育_教育专区。惠州市2016届高三模拟考试理科数学试题 惠州市 2016 届高三模拟考试 数 学(理科) 注意事项: 1.本...
惠州市2016届高三模拟考试理科数学试题答案
惠州市 2016 届高三模拟考试 数题号 答案 1 A 2 B 3 C 学(理科)参考答案与评分标准 4 A 5 B 6 C 7 D 8 C 9 C 10 A 11 C 12 D 一.选择题...
广东省惠州市2016届高三4月模拟考试数学(理)试卷(解析版)
广东省惠州市2016届高三4月模拟考试数学(理)试卷(解析版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。惠州市 2016 届高三模拟考试 数 学(理科) 2016.4 注意事项: 1....
更多相关标签:
2016高三语文模拟试卷 | 2016高三语文模拟试题 | 2016高三地理模拟试题 | 2016高三英语模拟试题 | 2016高三政治模拟试题 | 2016高三理综模拟试题 | 2016高三文综模拟试题 | 2016届高三语文模拟题 |