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2012届高三武汉市武昌区5月调研考试数学试卷(理科)


武昌区 2012 届高三年级五月调研考试 理 科 数 学 试 卷
本试卷共 5 页,共 22 题,其中第 15、16 题为选考题。满分 150 分。考试用时 120 分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码贴在答 题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2.选

择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3.填空题和解答题的作答:用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、 草稿纸上无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1.已知 i 是虚数单位,复数 z ? A. 1 B. 2

? 1 ? 2i 2 ? ,则 z ? 2?i 1? i
C.

5

D. 2 2

2.设 A, B 是非空集合,定义 A ? B ={ x x ? A ? B 且 x ? A ? B },己知集合 A ? x 0 ? x ? 2 ,

?

?

B ? ?y y ? 0?,则 A ? B 等于
A. ?0?? ?2,??? B. ?0,1? ? ?2,??? C. ?0,1? ? ?2,??? D. ?0?? ?2,???

3.下列选项中,说法正确的是 A.命题“ ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 0 ”
2
2

B.命题“ p ? q 为真”是命题“ p ? q 为真”的充分不必要条件 C.命题“若 am ? bm ,则 a ? b ”是假命题
2 2

D.命题“若 sin x ? sin y ,则 x ? y ”的逆否命题为真命题 4.等边三角形 ABC 的边长为 1 ,如果 BC ? a, CA ? b, AB ? c, 那么 a ? b ? b ? c ? c ? a 等于 A. ?

??? ?

? ??? ?

? ??? ? ?
C. ?

? ? ? ? ? ?

1 2

B.

1 2
2

3 2

D.

3 2

5.已知随机变量 X 服从正态分布 N

??,? ? ,且 P?? ? 2? ? X ? ? ? 2? ? ? 0.9544,
C.0.2716
第 1 页 (共 5 页)

P?? ? ? ? X ? ? ? ? ? ? 0.6826,若 ? ? 4, ? ? 1 , 则 P?5 ? X ? 6? ?
A.0.1358 B.0.1359
理科数学试卷

D.0.2718

6.已知 ?ABC , A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,且 ac sin A ? BA ? BC ,则 A. ?ABC 是钝角三角形 C. ?ABC 可能为钝角三角形,也可能为锐角三角形 D.无法判断 B. ?ABC 是锐角三角形

??? ??? ? ?

7.如图,直线 l 和圆 C,当 l 从 l0 开始在平面上绕点 O 按逆时针方 向匀速转动(转动角度不超过 90 )时,它扫过的圆内阴影部分的 面积 S 是时间 t 的函数,这个函数的图象大致是 O
?

l
C

l0
S

S

S

S

O

t
A.

O
B.

tO
C.

t

O
D.

t

8.平面区域 D 由以点 A(1,3), B(5,2), C (3,1) 为顶点的三角形内部及边界组成,若在 D 上有无穷多个点

t
( x, y ) 使目标函数 z ? x ? my 取得最大值,则 m ?
A. 4 B. ?2 C. ?

1 1 或 2 4

D. ?2 或 4

9.设 A1、A2 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点,若在椭圆上存在异于 A1、A2 的点 P ,使 a 2 b2

得 PO ? PA2 ? 0 ,其中 O 为坐标原点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是

??? ???? ? ?

A. (

2 ,1) 2

B. [

2 ,1) 2

C. (0, )

2 2

D. (0, ]

2 2

x 2 x3 x 4 x 2013 x 2 x3 x 4 x 2013 10.已知函数 f ( x) ? 1 ? x ? ? ? ? ??? ? , g ( x) ? 1 ? x ? ? ? ????? ,设函数 2 3 4 2013 2 3 4 2013 F ( x) ? f ( x ? 3) ? g ( x ? 4) ,且函数 F ( x) 的零点均在区间 [a, b](a ? b, a, b ? Z) 内,则 b ? a 的最小值为 A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题 号的位置上.答错位置,书写不清,摸棱两可均不得分. (一)必考题(11—14 题) 11. 下图给出的是计算

1 1 1 1 ? ? ? ? ? 的值的一个程序框图, 其中判断框内应填入的条件是________. 2 4 6 18

理科数学试卷

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中点 3 4 正视图

中点

4 侧视图

俯视图

12. 一个空间几何体的三视图如上图所示,则这个几何体的体积为 13. 已知 (2 x ? xlg x )8 的展开式中,二项式系数最大的项的值等于 1120 ,则实数 x 的值为

. .

14. 为美化环境,某地决定在一个大型广场建一个同心圆形花坛,花坛分为两部分,中间小圆部分种植草 坪,周围的圆环分为 n?n ? 3, n ? N? 等份种植红、黄、蓝三色不同的花. 要求相邻两部分种植不同颜色的 花. 如图①,圆环分成的 3 等份分别为 a1 , a2 , a3 ,有 6 种不同的种植方法. (1)如图②,圆环分成的 4 等份分别为 a1 , a2 , a3 , a4 ,有 种不同的种植方法; 种不同的种植

(2)如图③,圆环分成的 n?n ? 3, n ? N? 等份分别为 a1 , a2 , a3 ,? , an , 有 方法.

a1 a2

a1 a4


a2
……

a1

a2
a3
… ③

a3


a3

an

(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后 的方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果记分.) E 15. (选修 4—1:几何证明选讲) 如图,已知 AB 是⊙ O 的直径, AC 是⊙ O 的弦, ?BAC 的平分 C D 线 AD 交⊙ O 于 D ,过点 D 作 DE ? AC 交 AC 的延长线于点 E , F AC 3 AF OE 交 AD 于点 F .若 ? ,则 的值为 . AB 5 FD B A O 16. (选修 4—4:坐标系与参数方程) 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建极坐标系,两种坐标

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系取相同的单位长度. 已知曲线 C : ? sin 2 ? ? 2a cos? (a ? 0) ,过点 P(?2, ?4) 的直线 l 的参数方程为

? ? x ? ?2 ? ? ? ? y ? ?4 ? ? ?


2 t, 2 直线 l 与曲线 C 分别交于 M 、N .若 | PM | 、MN | 、PN | 成等比数列,则实数 的值 | | a 2 t. 2
.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ?x ? ? 2 cos2 x ? sin ? 2 x ?

? ?

7? ? ?. 6 ?

(Ⅰ)求函数 f (x) 的最大值,并写出 f (x) 取最大值时 x 的取值集合; (Ⅱ)已知 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 若 f ( A) ?

3 , b ? c ? 2. 求实数 a 的最小值. 2

18. (本小题满分 12 分)

?x ? 2 y ? 0 不等式组 ? 确定的平面区域为 V . ? y 2 ? 4 确定的平面区域为 U , x ? 3y ? 0 ? (Ⅰ)定义横、纵坐标为整数的点为“整点”. 在区域 U 任取 3 个整点,求这些整点中恰有 2 个整点在区 .. .. .. ..
在平面 xoy 内, 不等式 x
2

域 V 的概率; (Ⅱ)在区域 U 每次任取1 个点,连续取 3 次,得到 3 个点,记这 3 个点在区域 V 的个数为 X ,求 X 的 . . . 分布列和数学期望. 19. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? ,?bn ? 满足:a1 ? 3 , n ? 2 时,an?1 ? an ? 4n ; 当 对于任意的正整数 n ,b1 ? 2b2 ? ?

? 2 n?1 bn ? nan .设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n .
(Ⅰ)计算 a2 、 a3 ,并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求满足 13 ? S n ? 14 的正整数 n 的集合. 20. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , PA ? AD ,

AB ? 2 AD , E 是线段 PD 上的点, F 是线段 AB 上的点,且
(Ⅰ)当 ? ? 1 时,证明 DF ? 平面 PAC ;

PE BF ? ? ? (? ? 0). ED FA P
?

(Ⅱ)是否存在实数 ? ,使异面直线 EF 与 CD 所成的角为 60 ? 若存在,试求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.
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E A F B C D

21. (本小题满分 13 分) 如图,已知抛物线 C : y 2 ? 4x ,过点 A(1, 2) 作抛物线 C 的弦 AP , AQ . (Ⅰ)若 AP ? AQ ,证明直线 PQ 过定点,并求出定点的坐标; (Ⅱ)假设直线 PQ 过点 T (5, ?2) ,请问是否存在以 PQ 为底边的
A


P

等腰三角形 APQ ? 若存在,求出 ?APQ 的个数?如果不存在,请说明理由.


T
Q



22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

px ? p ? ln x ( p ? 0) .

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 在定义域内为增函数,求实数 p 的取值范围; (Ⅱ)当 n ? N 时,试判断

2k ? 1 与 2ln(n ? 1) 的大小关系,并证明你的结论; k k ?1 n 1 ? (Ⅲ) 当 n ? 2 且 n ? N 时,证明: ? ? ln n . k ? 2 ln k
?

?

n

武昌区 2012 届高三 5 月供题训练
理科数学参考答案及评分细则
一、选择题: 1.C 2.D 3.C 二、填空题: 11. i ? 9? 14.18 ; 2 ? 2 ? (?1)
n n?3

4.A

5.B

6.A

7.D

8.D

9.A

10.C

12. 8?

13. x ? 1或x ? 16.1

1 10

(n ? 3 且 n ? N )

15.

8 5

理科数学试卷

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三、解答题: 17.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? 2 cos x ? sin(2 x ?
2

7? 7? 7? ) ? (1 ? cos 2 x) ? (sin 2 x cos ? cos 2 x sin ) 6 6 6

? 1+

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1+sin(2 x ? ) .∴函数 f (x) 的最大值为 2 .要使 f (x) 取最大值, 2 2 6

则 sin(2 x ?

?
6

) ? 1, ? 2 x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

(k ? Z ) ,解得 x ? k? ?

?
6

,k ?Z .

故 x 的取值集合为 ? x x ? k? ?

? ?

?

? ,k ?Z? . 6 ?

……………………………………………(6 分)

(Ⅱ)由题意, f ( A) ? sin(2 A ?

?
6

) ?1 ?

?2A ?

? ? 13? ? 5? ?( , ) , ∴ 2A ? ? , ∴ A ? . 在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 3 6 6 6 6 6 ? b?c 2 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos ? (b ? c) 2 ? 3bc .由 b ? c ? 2 ,知 bc ? ( ) ? 1 ,即 a 2 ? 1 . 3 2 ∴当 b ? c ? 1 时,实数 a 取最小值 1 . ………………………………………………(12 分)

?

3 ? 1 ,化简得 sin(2 A ? ) ? . ? A ? ?0, ? ? , 2 6 2

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)依题可知平面区域 U 的整点为: (0,0),(0, ?1),(0, ?2),(?1,0),(?2,0),(?1, ?1) 共有 13 个, 上述整点在平面区域 V 的为: (0,0),(1,0),(2,0) 共有 3 个, ∴ P ?
1 C32C10 15 ? . …………(4 分) 3 C13 143

(Ⅱ)依题可得,平面区域 U 的面积为 ? ? 22 ? 4? ,平面区域 V 与平面区域 U 相交部分的面积为

1 1 ? 1 ? 2 2 3 ? 1, 得 ? ? ? , ? ? ? 2 ? (设扇形区域中心角为 ? , tan ? ? . . 则 也可用向量的夹角公式求 ? ) 1 1 8 2 4 1? ? 2 3 ? 1 ? ,随机变量 X 的可能取值为: 0,1, 2,3 . 在区域 U 任取 1 个点,则该点在区域 V 的概率为 8? 8 1 343 1 1 147 1 P( X ? 0) ? (1 ? )3 ? P( X ? 1) ? C3 ? ( )(1 ? ) 2 ? , , 8 512 8 8 512 1 1 21 1 1 3 P( X ? 2) ? C32 ? ( ) 2 (1 ? ) ? P ( X ? 3) ? C3 ? ( )3 ? , , 8 8 512 8 512 ∴ X 的分布列为

X
P

0

1

2

3

343 147 21 1 512 512 512 512 343 147 21 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? . ………………………(12 分) ∴ X 的数学期望: E ( X ) ? 0 ? 512 512 512 512 8

理科数学试卷

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(或者: X ~ B? 3, ? ,故 E ( X ) ? np ? 3 ?

? 1? ? 8?

1 3 ? ). 8 8

19.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)在 an?1 ? an ? 4n 中,取 n ? 2 ,得 a1 ? a2 ? 8 ,又 a1 ? 3 ,故 a 2 ? 5. 得 a3 ? 7.

同样取 n ? 3 ,可

数项和偶数项各自成等差数列,公差为 4 ,而 a2 ? a1 ? 2 ,故 ?an ? 是公差为 2 的等差数列,

由 an?1 ? an ? 4n 及 an?1 ? an ? 4(n ? 1) 两式相减,可得 an?1 ? an?1 ? 4 ,所以数列 ?an ? 的奇 ……………………………………………… (6 分)

? an ? 2n ? 1.

(注:猜想 an ? 2n ? 1而未能证明的扣 2 分;用数学归纳法证明不扣分.) (Ⅱ)在 b1 ?2b2 ? ? ? 2 n?1 bn ? nan 中,令 n ? 1 ,得 b1 ? a1 ? 3. 由 b1 ?2b2 ? ? ? 2n?1 bn ? 2n bn?1 ? ?n ? 1?an?1 与 b1 ? 2b2 ? L ? 2n?1bn ? nan (n ? 2) 两式相减,可得

2 n bn?1 ? (n ? 1)an?1 ? nan ? (n ? 1)(2n ? 3) ? n(2n ? 1) ? 4n ? 3 ,
4n ? 3 4n ? 1 . 即当 n ? 2 时, bn ? n ?1 . 经检验 b1 ? 3 也符合该式,所以 ?bn ? 的通项公式为 n 2 2 4n ? 1 1 1 bn ? n ?1 .∴ S n ? 3 ? 7 ? ? ? ? ?4n ? 1? ? ( ) n ?1 . 2 2 2 1 1 1 2 1 n ?1 1 S n ? 3 ? ? 7 ? ( ) ? ? ? ?4n ? 5? ? ( ) ? ?4n ? 1?( ) n . 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 n ?1 1 n 两式相减,得 S n ? 3 ? 4[ ? ( ) ? ? ? ( ) ] ? ?4n ? 1?( ) . 利用等比数列求和公式并化简,得 2 2 2 2 2 4n ? 7 27 31 S n ? 14 ? n ?1 . 可见,对 ?n ? N ? , S n ? 14 .经计算, S 5 ? 14 ? ? 13, S 6 ? 14 ? ? 13 , 2 16 32
化简,得 bn ?1 ? 注意到数列 ?bn ? 的各项为正,故 S n 单调递增,所以满足 13 ? S n ? 14 的正整数 n 的集合 为 n n ? 6, n ? N .

?

?

……………………………… (12 分)

20.(本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)当 ? ? 1 时,则 F 为 AB 的中点. 又 AB ? ∴在 Rt?FAD 与 Rt?ACD Rt ? ACD 中, tan ?AFD ?

2 AD , AF ?
AD 2 AD 2

1 AB 2

AD ? AF

? 2,

tan?CAD ?

CD ? AD

2 AD ? ? 2 , AFD ? ?CAD , AC ? DF . ∴ AD

又∵ PA ? 平面 ABCD ,DF ?

平面 ABCD ,∴ PA ? DF . ∴ DF ? 平面 PAC (Ⅱ)设 PA ? AD ? 1 , 则 AB ? PD ?

……………… (6 分)

2 .连结 AE ,则 FA ? 面 APD .∴ FA ? AE .
第 7 页 (共 5 页)

理科数学试卷



PE BF 1 ? ? ? ? (? ? 0) ,∴ AF ? 2 , PE ? 2. ED FA 1? ? 1? ?
在 ?APE 中, AE ? PA ? PE ? 2PA ? PE cos 45 ? 1 ? (
2 2 2 0

?

1? ?

2)2 ? 2 ?1?

?
1? ?

2?

2 , 2

设异面直线 EF 与 CD 所成的角为 60 ,则 ?AFE ? 60 ,∴
0

0

AE ? tan 60 0 , ∴ AE 2 ? 3AF 2 . AF

∴1 ? (

?

1? ?

2)2 ? 2 ?1?
?

?
1? ?

2?

2 2 . 解得 ? ? 5 . ∴存在实数 ? ? 5 ,使异面直线 EF ?3 (1 ? ? )2 2

与 CD 所成的角为 60 . ……………………………… (12 分) 方法二: (坐标法)以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系. ( Ⅰ ) 当 ? ? 1 时 , 则 F 为 AB 的 中 点 , 设 PA ? AD ? 1 , 则 AB ? PD ?

0, 2 , 则 A( 0, 0,)

) , , C ( 2,1,0) P(0, 0,1 , D(0,1, 0)F (

???? ??? ? ??? ? 2 2 . , 0, 0)? DF ? ( , 1, 0) , AC ? ( 2, , AP ? (0,0,1) . ? 1,0) 2 2

???? ??? ? ???? ??? ? ? ???? ??? ???? ??? ? ? DF ? AC ? 0, ? AP ? 0 ,? DF ? AC, DF ? AP . ∴ DF ? 平面 PAC .……………………(6 分) DF
(Ⅱ)设 PA ? AD ? 1 , 则 AB ? PD ? , 2 ,∴ A(0, 0, 0) P E A F B x ∴? ? 5 . C D z

PE BF ? ? ? (? ? 0) , ) , .∵ C ( 2,1,0) P(0, 0,1 , D(0,1, 0) ED FA
∴ F(

? 1 2 , ) , . , 0, 0) E (0, 1? ? 1? ? ? ?1
??? ? 2 ? 1 , , , )CD ? (? 2,0,0) . 1? ? 1? ? 1? ?

y

??? ? ? FE ? (?

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 2 1 FE ? CD 1 2 ? FE ? CD ? , 依题意, = cos ? FE , CD ?? ??? ??? , ? ? 0 , 有 ∴ ? , ? ? ∵ 2 1? ? 2 2 FE CD ? ?3
∴存在实数 ? ? 5 使异面直线 EF 与 CD 所成的角为 60 .
?

……………………………… (12 分)

21.(本小题满分 13 分) 证明(Ⅰ)设直线 PQ 的方程为 x ? my ? n ,点 P 、 Q 的坐标分别为 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) . 由?

? x ? my ? n
2 ? y ? 4x

2 消 x ,得 y ? 4my ? 4n ? 0 . 由 ? ? 0 ,得 m ? n ? 0 , y1 ? y2 ? 4m, y1 ? y2 ? ?4n .
2

∵ AP ? AQ ,∴ AP ? AQ ? 0 ,∴ ( x1 ?1)( x2 ?1) ? ( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? 0 . ? x1 ?

??? ???? ?

y12 y2 , x2 ? 2 4 4

∴ ( y1 ? 2)( y2 ? 2)[( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? 16] ? 0 ,∴ ( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? 0 或 ( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? 16 ? 0 .
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∴ n ? 2m ? 1 或 n ? 2m ? 5 ,∵ ? ? 0 恒成立. ∴ n ? 2m ? 5 . ∴直线 PQ 的方程为 x ? 5 ? m( y ? 2) , ∴直线 PQ 过定点 (5, ?2) . ………………………………(6 分) (Ⅱ)假设存在以 PQ 为底边的等腰三角形 APQ ,由第(Ⅰ)问可知,将 n 用 2m ? 5 代换得 直线 PQ 的方程为 x ? my ? 2m ? 5 .设点 P 、 Q 的坐标分别为 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) . 由?

? x ? my ? 2m ? 5 ? y ? 4x
2

消 x ,得 y 2 ? 4my ? 8m ? 20 ? 0 . ∴ y1 ? y2 ? 4m,

y1 ? y2 ? ?8m ? 20 .

∵ PQ 的中点坐标为 (

2 x1 ? x2 y1 ? y2 y 2 ? y2 y1 ? y2 ( y1 ? y2 )2 ? 2 y1 y2 , ) ,即 ( 1 , ) ,∵ ? 2m 2 ? 2m ? 5 , 2 2 8 2 8

∴ PQ 的中点坐标为 (2m2 ? 2m ? 5, 2m) .由已知得

2m ? 2 ? ?m ,即 m3 ? m2 ? 3m ? 1 ? 0 . 2m ? 2m ? 5 ? 1
2

设 g (m) ? m3 ? m2 ? 3m ?1 ,则 g ?(m) ? 3m2 ? 2m ? 3 ? 0 ,? g (m) 在 R 上是增函数. 又 g (0) ? ?1 ? 0, g (1) ? 4 ? 0 ,? g (m) 在 (0,1) 内有一个零点. 函数 g ( m) 在 R 上有且只有一个零点,即 方程 m ? m ? 3m ? 1 ? 0 在 R 上有唯一实根.所以满足条件的等腰三角形有且只有一个.
3 2

……………………………………………………… (13 分) 22. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) p ? 0 ,函数 f ( x) ? 依题意,

px ? p ? ln x 的定义域为 [1, ??) . f ?( x) ?

p 1 ? . 2 px ? p x

4( x ? 1) p 1 在 x ? (1, ??) 恒成立. ? 在 x ? (1, ??) 恒成立,? p ? x2 2 px ? p x 4( x ? 1) 1 1 1 ? ? 4[?( ? ) 2 ? ] ? 1 ,? p ? 1 ,∴ p 的取值范围为 [1, ??) . ……………… (4 分) 2 x x 2 4 n 2k ? 1 * ? 2ln(n ? 1) . (Ⅱ)当 n ? N 时, ? k k ?1

2k ? 1 2k ? 1 ? 2ln(n ? 1) ,只需证 ? 2[ln(k ? 1) ? ln k ](k ? N * ) . k k k ?1 1 ? ) 由(Ⅰ)可知:取 p ? 1 ,则 f (x) ? f ( ) ( x 1 ,而 f ?1? ? 0 ,? x ?1 ? ln x (当 x ? 1 时,等号成立).
证明:当 n ? N 时,欲证
*

?

n

用( ∴

x ?1 2 x ?1 2 x ?1 2 2x ?1 ) 代换 x ,得 ( ? 2[ln( x ? 1) ? ln x]( x ? 0) , ) ? 1 ? ln( ) ( x ? 0) ,即 x x x x

?
k ?1

n

2k ? 1 ? 2[ln(k ? 1) ? ln k ](k ? N * ) . 在 上式中 分别取 k ? 1, 2,3,?, n , 并将 同向不 等式相 加,得 k n 2k ? 1 2k ? 1 ? 2ln(n ? 1) . …………… (9 分) ? 2ln(n ? 1) .∴当 n ? N * 时, ? k k k ?1
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知 x ? 1 ? ln x ( x ? 1 时,等号成立).而当 x ? 2 时: x ?1 ?

x ?1 ,∴ 当 x ? 2 时,

x ? 1 ? ln x .
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1 x ?1 ? ,∴ g ( x) 在 (0,1) 上递减,在 (1, 2) 上递增, x x ∴ g ( x) ? g (1) ? 0 ,即 x ? 1 ? ln x 在 x ? (0, 2) 时恒成立. 故当 x ? (0, ??) 时, x ? 1 ? ln x (当且仅当 x ? 1 时,等号成立). …… ① 用 x 代换 x ? 1 得: x ? ln(1 ? x) (当且仅当 x ? 0 时,等号成立). …… ② 1 1 ? 当 k ? 2, k ? N * 时,由①得 k ? 1 ? ln k ? 0 ,? . ln k k ? 1 1 1 1 ? ln(1 ? ). 当 k ? 2, k ? N * 时,由②得 k ? ln(1 ? k ) ,用 代换 k ,得 k ?1 k ?1 k ?1 1 1 1 ? ln(1 ? ) ,即 ? ln k ? ln(k ? 1) . 在上式中分别取 k ? 2,3, 4,?, n , ∴当 k ? 2, k ? N * 时, ln k k ?1 ln k n n 1 1 并将同向不等式相加,得 ? ? ln n ? ln1 .故当 n ? 2 且 n ? N * 时, ? ? ln n . ……(14 分) k ? 2 ln k k ? 2 ln k
设 g ( x) ? x ? 1 ? ln x, x ? (0, 2) ,则 g ?( x) ? 1 ?

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