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2.5.1 从力做的功到向量的数量积(1)


必修四 第二章

编写 蒋兴安

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课题 :§2.5.1 从力做的功到向量的数量积(1)
学习目标:1.掌握平面向量的数量积的定义及其运算律; 2.会利用平面向量数量积的有关运算律进行相关的计算. 学习重点:平面向量的数量积的定义及几何意义. 学习难点:平面向量的数量积的定义及其运算律的理解和平面向量的数量积的应用.

【自主学习】预习教材第 93~95 页,完成下列问题.
1.两向量的夹角与垂直 (1)夹角:已知两个 a 和 b,作=a,=b,则 =θ (0°≤θ≤180°), . . .

叫作向量 a 与 b 的夹角.①范围:向量 a 与 b 的夹角的范围是 ②当 θ=0° 时,a 与 b (2)垂直:如果 a 与 b 的夹角是 2.平面向量数量积 (1)定义: 已知两个非零向量 a 与 b, 它们的夹角为 θ, 我们把数量 内积),记作 a· b,即 a· b= (2)规定:零向量与任一向量的数量积为 . . . ③当 θ=180° 时,a 与 b ,则称 a 与 b 垂直,记作

叫作 a 与 b 的数量积(或

(3)射影:设两个非零向量 a、b 的夹角为 θ,则向量 a 在 b 方向的射影(也叫投影)是 量 b 在 a 方向上的射影是 3.数量积的几何意义 a· b 的几何意义是数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的射影 4.向量数量积的运算律 (1)a· b= (交换律); (2)(λa)· b= (结合律) (3)a· (b+c)= (分配律). 的乘积. .

,向

5.向量数量积的性质 (1)a、b 共线,则 a?b (2) ①e?a= ②a?b ? ; ;当 a 与 b 反向时,a?b = .特别的 a?a = 或 | a |? a ? a ; ; ;

③当 a 与 b 同向时,a?b = ④cos? =

(|a||b|≠0) ;⑤ |a?b|

|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立).

【预习自测】首先完成课本第 95 页练习第 1、2 题,再完成下面的问题.

1、判断下列各题正确与否: ①若 a= 0,则对任一向量 b,有 a·b= 0. ②若 a?0,则对任一非零向量 b,有 a·b ? 0. ③若 a? 0,a·b= 0,则 b = 0.④若 a·b = 0,则 a、b 至少有一个为零. ⑤ 若 a? 0,a·b= a·c,则 b=c.⑥若 a·b= a·c,则 b=c,当且仅当 a?0 时成立. ⑦对任意向量 a,b,c,有(a·b) ·c ? a· (b·c)⑧对任意向量 a,有 a·a= |a| .
2

【合作探究】
探究 1、 已知︱a︱=5,︱b︱=4, a 与 b 的夹角θ =120°,求 a·b.

探究 2、 对任意向量 a,b,求证: (1) (a+b) =a +2a·b+b

2

2

2

; (2) (a+b)·(a-b)= a —b .

2

2

探究 3、 已知 a 与 b 都是非零向量,且 a+3b 与 7a -5b 垂直,a-4b 与 7a-2b 垂直,求 a 与 b 的夹角。

【基础检测】
1、已知|m|=3,|n|=4,且 m·n=-6,则 m 与 n 的夹角为 2、已知|a|=2,|b|=4, a·b=-3,则|a+b|=
. ,|a-b| = .

3、已知:︱a︱=2,︱b︱=3, a 与 b 的夹角θ =120°,求(3a+b ) · (a-2b).


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