当前位置:首页 >> 数学 >>

6极坐标与参数方程测试题(有详解答案)


极坐标与参数方程测试题
1、在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,曲线 C 的参数方程为
? ? x ? 3cos? (? 为参数) ? y ? sin ? ? ? .
(I) 已知在极坐标 (与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位, 且以原点 O 为极点, 以x轴 正 半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4,<

br />
? ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2

(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

? x ? 5cos ? 2、在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 方程为 ? (? 为参数) ? y ? 3sin ?
(Ⅰ)求过椭圆的右焦点,且与直线 ?

? x ? 4 ? 2t (t 为参数)平行的直线 l 的普通方程。 ?y ? 3?t

(Ⅱ)求椭圆 C 的内接矩形 ABCD 面积的最大值。

3、坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与 x 轴非负半轴重

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 ( t 为参数) ? ? 4 cos? . 合. 直线 l 的参数方程为: , 曲线 C 的极坐标方程为: ? 1 ?y ? t ? 2 ?
(1)写出曲线 C 的直角坐标方程,并指明 C 是什么曲线; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 P, Q 两点,求 PQ 的值.

4、在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程是 ?

?x ? t (t为参数) ,在极坐标系(与直 ? y ? 2t ? 1

角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的极 坐标方程是 ? ? 2cos ? (I)求圆 C 的直角坐标方程; (II)求圆心 C 到直线 l 的距离。
1

5、在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知
点 M 的极坐标为 ? 4 2,

? ?

??

? ? x ? 1 ? 2 cos ? , ( ? 为参数) . ? ,曲线 C 的参数方程为 ? 4? ? ? y ? 2 sin ? ,

(1)求直线 OM 的直角坐标方程;(2)求点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值.

6、以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知点 P 的极坐标
为 ? 2,

? ?

??
4?

? ,直线 l 过点 P ,且倾斜角为

2? x2 y 2 ? ? 1 所对应的切线经过伸缩变 ,方程 3 36 16

? ? 1 x ? x ? ? 3 换? 后的图形为曲线 C .(Ⅰ)求直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标系方程 1 ? y? ? y ? ? 2
(Ⅱ)直线 l 与曲线 C 相交于两点 A, B ,求 PA ? PB 的值。

7、在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线

C : ? sin 2 ? ? 2a cos? (a ? 0) ,已知过点 P(?2,?4) 的直线 l 的参数方程为:
? 2 x ? ?2 ? t ? ? 2 ,直线 l 与曲线 C 相交于 MN 两点. ? ? y ? ?4 ? 2 t ? 2 ? (Ⅰ)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程曲; (Ⅱ)若 PM,NM,PN 成等比数 列,求 t 的值.

8、在直接坐标系 xoy 中,直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,曲线 C 的参数方程为

? x ? 3 cos? ( ? 为参数), ? ? y ? sin ?
(I)已知在极坐标(与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以

? x 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为 (4, ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2
(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.
2

? 2 t ?x ? ? 2 (t是参数) ,圆 C 的极坐标方程为 9、已知直线 l 的参数方程是 ? 2 ? y? t?4 2 ? 2 ?

? ? ? 2 cos(? ? ) .
4
(1)求圆心 C 的直角坐标; (2)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值.

? x ? 2cos ? 10、已知曲线 C1 的参数方程式 ? ( ? 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正 ? y ? 3sin ?
半轴为极轴建立坐标系,曲线 C2 的极坐标方程式 ? ? 2 .正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,

?? 且 A, B, C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 ? ? 2, ? . ? 2?
(I)求点 A, B, C , D 的直角坐标; (II)设 p 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围.
2 2 2 2

试卷答案
P (4, ) 2 化为直角坐标,得 P(0,4) 1.解: (I)把极坐标系下的点 。
因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 , 所以点 P 在直线 l 上, (II)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 ( 3 cos ? ,sin ? ) , 从而点 Q 到直线 l 的距离为

?

| 3 cos ? ? sin ? ? 4 | d? ? 2

2 cos(? ? ) ? 4 ? 6 ? 2 cos(? ? ) ? 2 2 6 2 ,

?

3

cos(? ?
由此得,当

?
6

) ? ?1

时,d 取得最小值,且最小值为 2.

2.(1)由已知得椭圆的右焦点为 ? 4, 0 ? ,已知直线的参数方程可化为普通方程:
x ? 2 y ? 2 ? 0 ,所以 k ?
1 ,于是所求直线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 。 2

(2) S ? 4 xy ? 60sin ? cos ? ? 30sin 2? , 当 2? ?

?

2

时,面积最大为 30

3.解: (1)? ? ? 4 cos? ,? ? 2 ? 4? cos? ,由? ? 2 ? x 2 ? y 2 , x ? ? cos? ,得

x 2 ? y 2 ? 4x ,所以曲线 C 的直角坐标方程为 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 ,它是以 (2,0) 为圆心,
半径为 2 的圆.

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 2 (2)把 ? 代入 x 2 ? y 2 ? 4 x ,整理得 t ? 3 3t ? 5 ? 0 ,---6 分 ?y ? 1 t ? 2 ?
设其两根分别为 t1 , t 2 , 则 t1 ? t 2 ? 3 3, t1t 2 ? 5 , 所以 PQ ? t1 ? t 2 ?

7 .----10 分

4.(1)圆 C 的直角坐标方程是 x2 +y 2 -2 x=0 ;
(2)圆心 C 到直线 l的距离d =

3 5 。 5
π? ? ,得点 M 的直角坐标为(4,4), 4?

? 5.解: (Ⅰ)由点 M 的极坐标为 ? 4 2, ?

所以直线 OM 的直角坐标方程为 y ? x .
? x ? 1 ? 2 cos ? , ? (Ⅱ)由曲线 C 的参数方程 ? ( ? 为参数), ? ? y ? 2 sin ?
2 2 化成普通方程为: ( x ? 1) ? y ? 2 ,圆心为 A(1,0),半径为 r ?

2.

由于点 M 在曲线 C 外,故点 M 到曲线 C 上的点的距离最小值为

| MA | ?r ? 5 ? 2 .
1 ? x ? 1? t ? ? x ? 3x? 2 ? 6、解: (I) P 的直角坐标为 (1,1) ,所以 l 的参数方程为 ? ,由 ? ,得 ? y ? 2 y 3 ? ?y ? 1? t ? 2 ?
4

(3x ?) 2 (2 y ?) 2 x? 2 y ? 2 ? ? 1 ,整理得 ? ? 1 ,所以 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 4 ; 36 16 4 4

1 ? x ? 1? t ? 2 ? (II)把 ? 代入 x 2 ? y 2 ? 4 得: t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 ,设该方程的两个 ?y ? 1? 3 t ? 2 ?
根为: t1 , t 2 ,则 t1 ? t 2 ? 3 ? 1 , t1 ? t 2 ? ?2 ,所以 | PA | ? | PB |?| t1 ? t 2 |? 2 .

7、 (Ⅰ) y 2 ? 2ax, y ? x ? 2 .
? ? x ? ?2 ? ? (Ⅱ)直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?4 ? ? ? 2 t 2 ( 为参数), t 2 t 2

代入 y 2 ? 2ax , 得到 t 2 ? 2 2 (4 ? a)t ? 8 (4 ? a) ? 0 , 则有 t1 ? t2 ? 2 2 (4 ? a), t1 ? t2 ? 8 (4 ? a) . 因为 | MN |2 ? | PM | ? | PN | ,所以 (t1 ? t2 )2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1 ? t2 ? t1 ? t2 . 解得
a ?1.

8、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
解: (I)把极坐标系下的点 P (4,

?
2

) 化为直角坐标,得 P (0, 4)

因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 ,所以点 P 在直线 l 上, (II)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 ( 3 cos ? ,sin? ) , 从而点 Q 到直线 l 的距离为,

d?

3 cos ? ? sin ? ? 4 2

?

2cos(? ? 2

?
6

)?4

? 2 cos(? ?

?
6

)? 2 2

由此得,当 cos(? ?

?
6

) ? ?1 时, d 取得最小值,且最小值为 2 ……10 分

9、解: (I)? ? ? 2 cos ? ? 2 sin? ,? ? 2 ? 2? cos ? ? 2? sin? ,

5

?圆C的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 ,
即 (x ?

2 2 2 2 2 2 ) ? (y ? ) ? 1 ,?圆心直角坐标为 ( ,? ). 2 2 2 2

(II)方法 1:直线 l 上的点向圆 C 引切线长是

(

2 2 2 2 2 t? ) ?( t? ? 4 2 ) 2 ? 1 ? t 2 ? 8t ? 40 ? (t ? 4) 2 ? 24 ? 2 6 , 2 2 2 2

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 2 6 , 方法 2:?直线l的普通方程为 x ? y ? 4 2 ? 0 ,圆心 C 到 直线l 距离是

|

2 2 ? ?4 2| 2 2 ? 5 ,∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 52 ? 12 ? 2 6 . 2
见 2012 新课标卷 23

10.

高中数学参数方程经典综合试题
三、解答题: 17. (本小题满分 10 分) 求直线 l1 : ?

? ?x ? 1? t (t为参数) 和直线 l2 : x ? y ? 2 3 ? 0 的交点 P 的坐标,及点 P ? ? y ? ?5 ? 3t

与 Q(1, ?5) 的距离. 18. (本小题满分 12 分) 过点 P (

10 , 0) 作倾斜角为 ? 的直线与曲线 x2 ? 12 y2 ? 1 交于点 M , N , 2

求 | PM | ? | PN | 的值及相应的 ? 的值. 19. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 中, A(?2,0), B(0, 2), C (cos ? , ?1 ? sin ? ) ( ? 为变数), 求 ?ABC 面积的最大值. 20. (本小题满分 12 分)已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程. (2)设 l 与圆 x ? y ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积.
2 2

?
6



21. (本小题满分 12 分)
6

1 ? x ? (et ? e ? t ) cos ? ? ? 2 分别在下列两种情况下,把参数方程 ? 化为普通方程: ? y ? 1 (et ? e ? t ) sin ? ? ? 2
(1) ? 为参数, t 为常数; (2) t 为参数, ? 为常数. 22. (本小题满分 12 分) 已知直线 l 过定点 P ( ?3, ? ) 与圆 C : ?

3 2

? x ? 5cos ? (? 为参数) 相交于 A 、 B 两点. ? y ? 5sin ?

求: (1)若 | AB |? 8 ,求直线 l 的方程; (2)若点 P ( ?3, ? ) 为弦 AB 的中点,求弦 AB 的方程. 答案与解析: 17.解:将 ?

3 2

? ?x ? 1? t ,代入 x ? y ? 2 3 ? 0 ,得 t ? 2 3 , ? ? y ? ?5 ? 3t
(2 3) 2 ? 62 ? 4 3 .

得 P(1 ? 2 3,1) ,而 Q(1, ?5) ,得 | PQ |?

? 10 ? t cos ? ?x ? 18.解:设直线为 ? (t为参数) ,代入曲线 2 ? y ? t sin ? ?
3 3 2 2 2 并整理得 (1 ? sin ? )t ? ( 10 cos ? )t ? ? 0 ,则 | PM | ? | PN |?| t1t2 |? , 2 1 ? sin 2 ? ? 3 ? 2 所以当 sin ? ? 1 时,即 ? ? , | PM | ? | PN | 的最小值为 ,此时 ? ? . 2 4 2
19.解:设 C 点的坐标为 ( x, y ) ,则 ?
2 2

? x ? cos ? , ? y ? ?1 ? sin ?

即 x ? ( y ? 1) ? 1 为以 (0, ?1) 为圆心,以 1 为半径的圆.∵ A(?2,0), B(0, 2) , ∴ | AB |? 4 ? 4 ? 2 2 ,且 AB 的方程为 则圆心 (0, ?1) 到直线 AB 的距离为

x y ? ? 1 ,即 x ? y ? 2 ? 0 , ?2 2

| ?(?1) ? 2 | 12 ? (?1)2
3 2, 2

?

3 2. 2

∴点 C 到直线 AB 的最大距离为 1 ? ∴ S?ABC 的最大值是

1 3 ? 2 2 ? (1 ? 2) ? 3 ? 2 . 2 2

7

? ? ? 3 x ? 1 ? t cos x ? 1? t ? ? ? ? 6 2 , 20.解: (1)直线的参数方程为 ? ,即 ? ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1? 1 t ? ? 6 ? ? 2 ? 3 x ? 1? t ? ? 2 (2)把直线 ? ,代入 x 2 ? y 2 ? 4 , ? y ? 1? 1 t ? ? 2
得 (1 ?

3 2 1 t ) ? (1 ? t )2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 , 2 2

t1t2 ? ?2 ,则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2 .
21.解: (1)当 t ? 0 时, y ? 0, x ? cos ? ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; 当 t ? 0 时, cos ? ?

x 1 t ?t (e ? e ) 2
x2

,sin ? ?

y 1 t ?t (e ? e ) 2
? 1;



而 x ? y ? 1,即
2 2

1 t (e ? e ? t ) 2 4

?

y2 1 t ?t 2 (e ? e ) 4

(2)当 ? ? k? , k ? Z 时, y ? 0 , x ? ?

1 t (e ? e ? t ) ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; 2 ? 1 t ?t 当 ? ? k? ? , k ? Z 时, x ? 0 , y ? ? (e ? e ) ,即 x ? 0 ; 2 2

2x 2x 2y ? t ?t ? t e ? e ? 2 e ? ? ? ? k? ? ? cos ? cos ? sin ? , k ? Z 时,得 ? 当? ? ,即 ? , 2 y 2 x 2 y 2 t ? t ? t ?e ? e ? ? 2e ? ? ? ? sin ? cos ? sin ? ? ?
得 2e ? 2e
t ?t

?(

2x 2y 2x 2y x2 y2 ? )( ? ) ,即 ? ?1. cos ? sin ? cos ? sin ? cos 2 ? sin 2 ?

22.解: (1)由圆 C 的参数方程 ?

? x ? 5cos ? ? x2 ? y 2 ? 25 , ? y ? 5sin ?

? x ? ?3 ? t cos ? ? (t为参数) , 将 参 数 方 程 ① 代 入 圆 的 方 程 设直线 l 的参数方程为① ? 3 y ? ? ? t sin ? ? ? 2

x2 ? y 2 ? 25 ,得 4t 2 ?12(2cos ? ? sin ? )t ? 55 ? 0 ,
8

∴△ ? 16[9(2cos ? ? sin ? ) ? 55] ? 0 ,所以方程有两相异实数根 t1 、 t 2 ,
2
2 2 ∴ | AB |?| t1 ? t2 |? 9(2 cos ? ? sin ? ) ? 55 ? 8 ,化简有 3cos ? ? 4sin ? cos ? ? 0 ,

解之 cos ? ? 0 或 tan ? ? ?

3 ,从而求出直线 l 的方程为 x ? 3 ? 0 或 3x ? 4 y ? 15 ? 0 . 4

(2)若 P 为 AB 的中点,所以 t1 ? t2 ? 0 ,由(1)知 2cos ? ? sin ? 故所求弦 AB 的方程为 4 x ? 2 y ? 15 ? 0( x2 ? y 2 ? 25) . 备用题: 1.已知点 P( x0 , y0 ) 在圆 ?

? 0 ,得 tan ? ? ?2 ,

? x ? 3 ? 8cos ? 上,则 x0 、 y0 的取值范围是( ? y ? ?2 ? 8sin ?
B. 3 ? x0 ? 8, ?2 ? y0 ? 8 D.以上都不对

) .

A. ?3 ? x0 ? 3, ?2 ? y0 ? 2 C. ?5 ? x0 ? 11, ?10 ? y0 ? 6

1、C 由正弦函数、余弦函数的值域知选 C. 2.直线 ? A.

? x ? 1 ? 2t (t为参数) 被圆 x 2 ? y 2 ? 9 截得的弦长为( ?y ? 2 ?t
12 5
B.

) .

12 5 5

C.

9 5 5

D.

9 10 5

2、B

? x ? 1 ? 5t ? ? x ? 1 ? 2 t ? ? ?? ? ?y ? 2 ?t ? y ? 1 ? 5t ? ? ?

2 ? x ? 1 ? 2t 5 ,把直线 ? 代入 1 ?y ? 2 ?t 5

x 2 ? y 2 ? 9 得 (1 ? 2t )2 ? (2 ? t )2 ? 9,5t 2 ? 8t ? 4 ? 0 ,
12 8 16 12 5. | t1 ? t2 |? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? (? ) 2 ? ? ,弦长为 5 | t1 ? t2 |? 5 5 5 5

? x ? 2 pt 2 3.已知曲线 ? (t为参数,p为正常数) 上的两点 M , N 对应的参数分别为 t1和t2, , ? y ? 2 pt
且t1 ? t2 ? 0 ,那么 | MN |? _______________.
3. 4 p | t1 | 显然线段 MN 垂直于抛物线的对称轴, 即 x 轴, | MN |? 2 p | t1 ? t2 |? 2 p | 2t1 | .

4.参数方程 ?

? x ? cos ? (sin ? ? cos ? ) (? 为参数) 表示什么曲线? ? y ? sin ? (sin ? ? cos ? )

9

4、解:显然

y y2 1 1 ? tan ? ,则 2 ? 1 ? , cos 2 ? ? 2 , 2 y x x cos ? ?1 x2

x?co2 s? ? s i?n

1 c? o? s 2

1 即x? ? 2

y x y2 1? 2 x 2

1 2 ta ?n s? i? n 2 2 ?c ? os ? ? 2 2 1 ? ta ? n y ?1 y2 y 1 x x (1 ? ) ? ?1 , , ? ? 2 2 2 x x y y 1? 2 1? 2 x x

2

? cos ,

得x?

y2 y ? ? 1 ,即 x2 ? y2 ? x ? y ? 0 . x x

5.已知点 P( x, y ) 是圆 x 2 ? y 2 ? 2 y 上的动点, (1)求 2 x ? y 的取值范围; (2)若 x ? y ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 5.解: (1)设圆的参数方程为 ?

? x ? cos ? , ? y ? 1 ? sin ?

2x ? y ? 2cos? ? sin ? ?1 ? 5 sin(? ? ? ) ?1,∴ ? 5 ? 1 ? 2x ? y ? 5 ? 1.
(2) x ? y ? a ? cos ? ? sin ? ? 1 ? a ? 0 , ∴ a ? ?(cos ? ? sin ? ) ? 1 ? ? 2 sin(? ?

?
4

) ? 1 恒成立,即 a ? 2 ? 1 .

10

极坐标与参数方程单元练习
三、解答题

?? ? 1、求圆心为 C ? 3, ? ,半径为 3 的圆的极坐标方程。 ? 6?

2、已知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程。

?
6



(2)设 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交与两点 A、B,求点 P 到 A、B 两点的距离之积。

3、求椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点P与定点( 1 , 0)之间距离的最小值。 9 4

4、已知直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? (1)化直线 l 的方程为直角坐标方程; (2)化圆的方程为普通方程; (3)求直线 l 被圆截得的弦长.

?

? x ? 10cos ? ) ? 6 ,圆 C 的参数方程为 ? . 3 ? y ? 10sin ?

5、已知直线 l 和参数方程为 ?

? x ? 4 ? 2t x2 P ? y 2 ? 1 上任意一点,求 , 是椭圆 (t为参数) 4 ? y ?t ?2
π ),半径 R= 5 ,求圆 C 的极坐标方程. 3

点 P 到直线 l 的距离的最大值 6、在极坐标系中,已知圆 C 的圆心坐标为 C (2,

7、求经过极点 O (0, 0), A(6,

?
2

), B(6 2,

9? ) 三点的圆的极坐标方程. 4

?? ? 8、若两条曲线的极坐标方程分别为 ? ? 1 与 ? ? 2 cos?? ? ? ,它们相交于 A, B 两点,求线 3? ?
段 AB 的长. 9、圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ? ? 4cos ?,? ? ? sin ? .

11

(1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过圆 O1 ,圆 O2 两个交点的直线的直角坐标方程.

10. 求直线?

?x ? 2 ? t (t为参数)被双曲线 x 2 ? y 2 ? 1上截得的弦长。 y ? 3 t ?

11.已知方程



(1)试证:不论 如何变化,方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线; (2) ? 为何值时,该抛物线在直线 x=14 上截得的弦最长?并求出此弦长。

12.已知椭圆 ?

? x ? 4 cos? 上两个相邻顶点为 A、C,又 B、D 为椭圆上的两个动点,且 B、D ? y ? 5 sin ?

分别在直线 AC 的两旁,求四边形 ABCD 面积的最大值。

13.已知过点 P(1,-2),倾斜角为

? 的直线 l 和抛物线 x 2 ? y ? m 6

(1)m 取何值时,直线 l 和抛物线交于两点?

(2)m 取何值时,直线 l 被抛物线截下的线段长为

4 3?2 . 3

12

坐标系与参数方程试题答案
三、解答题 1 、 1 、 如 下 图 , 设 圆 上 任 一 点 为 P ( ? ,? ), 则
P A C

? OP? ? ?,?POA ? ? ?

?
6

, ? OA? ? 2 ? 3 ? 6

Rt?OAP中, ?OP? ? ?OA? ? cos ?POA

2 ?? ? ? ? ? 6 cos ? ? ? ? 而点 O (0, ? ) 6? 3 ?

A (0,

?
6

) 符合

O

x

? 3 x ? 1? t, ? ? 2 (t是参数) 2、解: (1)直线的参数方程是 ? ? y ? 1 ? 1 t; ? 2 ?
(2)因为点 A,B 都在直线 l 上,所以可设它们对应的参数为 t1 和 t2,则点 A,B 的坐标分别 为

A(1 ?

3 1 3 1 t1 ,1 ? t1 ), B(1 ? t 2 ,1 ? t 2 ) , 以 直 线 L 的 参 数 方 程 代 入 圆 的 方 程 2 2 2 2


x 2 ? y 2 ? 4 整理得到 t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0

因为 t1 和 t2 是方程①的解,从而 t1t2=-2。所以|PA|·|PB|= |t1t2|=|-2|=2。 3、 (先设出点 P 的坐标,建立有关距离的函数关系)

设P ? 3cos ?, 2sin ? ?,则P到定点( 1, 0)的距离为 d ?? ? ?

? 3cos? ? 1? ? ? 2sin ? ? 0 ?
2

2

3 ? 16 ? ? 5cos 2 ? ? 6cos ? ? 5 ? 5 ? cos ? ? ? ? 5? 5 ?

2

3 4 5 。 当cos ? ? 时,d ?? )取最小值 5 5
4、解: (1)由 ? sin(? ?

?

) ? 6 得, ? sin(? ? ) ? 6 ,? y ? 3x ? 12 ,即 3 3

?

3x ? y ? 12 ? 0
(2) x ? y ? 100
2 2

(3)? d ? 6 且 r ? 10 ,所以弦长等于 16 5.解: 直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 2t ( t 为参数)故直线 l 的普通方程为 x ? 2 y ? 0 ? y ?t ?2

13

因为 p 为椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上任意点,故可设 P(2 cos? , sin ? ) 其中 ? ? R 。 4
| 2 cos? ? 2 sin ? | 12 ? 2 2 2 2 | sin(? ? 5

?
4

因此点 P 到直线 l 的距离是 d ?

?

)|

所以当 ? ? k? ?

?
4

, k ? z 时, d 取得最大值

2 5 。 5

6.解法一:设 P(ρ ,θ )是圆上的任意一点,则 PC= R= 5 . 由余弦定理,得ρ +2 -2×2×ρ cos(θ - 化简,得 ? ? 4 ? cos( ? ?
2
2 2

π )=5. 3

?
3

) ? 1 ? 0 ,此即为所求的圆 C 的方程.

解法二:将圆心 C (2,

π )化成直角坐标为(1, 3 ),半径 R= 5 , 3
2 2

故圆 C 的方程为 ( x?) ? ( y ? 3) ? 5 . 再将 C 化成极坐标方程,得(ρ cosθ -1) +(ρ cosθ - 3 ) =5. 化简,得 ? ? 4 ? cos( ? ?
2
2 2

?
3

) ? 1 ? 0 ,此即为所求的圆 C 的方程.

7.解:将点的极坐标化为直角坐标,点 O, A, B 的直角坐标分别为 ? 0,0? , ? 0,6? , ? 6,6? , 故 ?OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形,圆心为 ? 3,3? ,半径为 3 2 , 圆的直角坐标方程为 ? x ? 3? ? ? y ? 3? ? 18 ,即 x2 ? y 2 ? 6 x ? 6 y ? 0 ,
2 2

将 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 代入上述方程,得 ? ? 6? ? cos? ? sin ? ? ? 0 ,
2

即 ? ? 6 2 cos ? ? ?

? ?

??

?. 4?

8.解:由 ? ? 1 得 x 2 ? y 2 ? 1, 又

? ? ? 2 cos(? ? ) ? cos ? ? 3 sin ? ,? ? 2 ? ? cos ? ? 3? sin ?
3

? x2 ? y 2 ? x ? 3 y ? 0 ,

14

? x2 ? y 2 ? 1 1 3 ? 由? 得 A(1, 0), B(? , ? ), 2 2 2 2 x ? y ? x ? 3 y ? 0 ? ?
2 3? ? 1? ? . ? AB ? ?1 ? ? ? ? 0 ? ? ? ? 3 2 ? 2? ? ? ? 2

9.解:以有点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长 度单位. (1) x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,由 ? ? 4cos ? 得 ? 2 ? 4? cos? . 所以 x 2 ? y 2 ? 4 x . 即 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 为圆 O1 的直角坐标方程. 同理 x2 ? y 2 ? y ? 0 为圆 O2 的直角坐标方程.

? x2 ? y 2 ? 4x ? 0 ? (2)由 ? 2 2 ? ?x ? y ? y ? 0
相减得过交点的直线的直角坐标方程为 4 x ? y ? 0 .

1 ? x ? 2 ? t ? 2 ? (t 为参数) 10.解:把直线参数方程化为标准参数方程 ? ?y ? 3 t ? 2 ?
1 ? ? 3 ? 代入x ? y ? 1,得: t ?2 ? t ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?
2 2 2

? ? ?1 ? ?

2

2 整 理 , 得 t: ? 4t ? 6 ? 0

设其二根为 t1 ,t 2 ,则
从而弦长为AB ? t1 ? t 2 ?

t1 ? t 2 ? 4,t1 ?t 2 ? ?6

?t1 ? t 2 ?2 ? 4t1 t 2
2

? 4 2 ? 4?? 6? ? 40 ? 2 10

11、 (1)把原方程化为 ? y ? 3sin ? ? ? 2( x ? 4 cos? ) ,知抛物线的顶点为 ?4 cos? ,3 sin ? ?

x2 y2 ? ? 1 上; 它是在椭圆 (2)当 16 9
12、 20 2 13、(1)m>

时,弦长最大为 12。

23 ? 4 3 , (2)m=3 12

15


相关文章:
6极坐标与参数方程测试题(有详解答案)
6极坐标与参数方程测试题(有详解答案)_数学_高中教育_教育专区。极坐标与参数方程测试题 1、在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,曲线...
极坐标与参数方程测试题(有详解答案)
极坐标与参数方程测试题(有详解答案)_数学_高中教育_教育专区。高中数学 ...( ? y ? 2 ? 3t 1 A.-6 B. ? 1 6 C.6 D. 1 6 ) B. x2 ...
极坐标与参数方程测试题(有详解答案)
极坐标与参数方程测试题(有详解答案)_数学_高中教育_教育专区。极坐标与参数...6 4 ? 4.把点 M (? 3,?1), N (0,?3), P( 2, 0) 的直角坐标...
极坐标与参数方程经典练习题含答案
极坐标与参数方程经典练习题含答案_数学_高中教育_...高中数学选修 4-4 经典综合试题(详细答案)一、...解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出...
极坐标与参数方程测试题带答案
极坐标与参数方程测试题答案_数学_高中教育_教育专区。极坐标与参数方程测试题答案高二文科数学第 8 周周末练习 班级___ 姓名___ 一、选择题(共 10 小题...
极坐标和参数方程习题及答案
极坐标和参数方程习题答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2013 年全国各地...t ( t 为参 3 y ? t ? ? . 6. (2013 年北京高考理科 9) 在极坐标...
极坐标和参数方程测试题1(含答案)
极坐标和参数方程测试题1(含答案)_数学_高中教育_教育专区。极坐标和参数方程...C.一条直线和一个圆 请把选择题答案写在下表 2 3 4 5 D.一个圆 6 ?...
经典练习题极坐标与参数方程含答案
经典练习题极坐标与参数方程含答案_数学_高中教育_...高中数学选修 4-4 经典综合试题(详细答案)一、...解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出...
极坐标与参数方程测试题及答案(文科)
极坐标与参数方程测试选择题( 选择题(每小题 4 分) 2π 化为直角坐标为( ...( 试卷答案: 试卷答案: 一、 选择题 1.C 2.B 3. A 4.B 5.C 6.B ...
更多相关标签:
极坐标与参数方程 | 极坐标系与参数方程 | 极坐标与参数方程大题 | 极坐标与参数方程公式 | 极坐标与参数方程视频 | 极坐标和参数方程 | 极坐标与参数方程教案 | 极坐标参数方程高考题 |