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标答: 2013年南平市高中毕业班适应性考试(理科数学(word文档))


2013 年南平市普通高中毕业班质量检查

理科数学试题参考答案及评分标准
说明: 1、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试 题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 2、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分 数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 50 分. 1.D ; 2.D; 3.B; 4.A; 5.A; 6.C; 7.A; 8.B; 9.C; 10.C. 10. 解 析 : 在 区 间 [ 0 , 1 上 , 当 a ? ?1 时 , f ( x) ? e x ? ae? x , 而 又 当 a ? 1 时 , ]

f ?( x) ? e x ? ae?x ? 0 在区间 [0,1] 上恒成立,所以 ? 1 ? a ? 1 ;当 a ? ?1 时, f (x) 在区
间 [0,1] 上不可能单调递增,故选 C. 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 4 分,满分 20 分. 11. 10

9

12. x ? 1 13. 10 14. [? ,3] 15. 4

3 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.解: (Ⅰ)连接 OC ,由已知得 ?ABD 和 ?CBD 是等边三角形, O 为 BD 的中点,

? AO ? BD, CO ? BD, 又边长为 2,? AO ? CO ? 3 ???2 分
由于 AC ? 6 ,在 ?AOC 中,? AO ? CO ? AC
2 2 2

? ?AOC ? 90?,即AO ? OC ? BD ? OC ? O ,? AO ? 平面BCD ???5 分
1 3 ? 2 2 ? 3 ,?V A?BCD ? ? 3 ? 3 ? 1 ???8 分 3 4 A , 连结AE (Ⅲ)解法一:过 O作OE ? BC于E,连接 AE,
(Ⅱ)? S ?BCD ?

? AO ? 平面BCD , ? AE在平面BCD上的射影为 OE ? AE ? BC ? ?AEO为二面角A ? BC ? D的平面角??10 分
D O B E C

3 在RT?AEO中 AO ? 3,OE ? , , 2 AO ? tan ?AEO ? ?2 OE

理科数学试题答案 第 1 页(共 7 页)

? cos?AEO ?

5 ???12 分 5 5 .???13 分 5

即二面角 A ? BC ? D 的余弦值为

解法二:以 O 为原点,如图建立空间直角坐标系,则

O(0,0,0) , B(1,0,0) , D(?1,0,0) , C(0, 3,0) , A(0,0, 3) 显然,平面 BCD 的法向量为

n1 ? (0,0,1) ???10 分
设:平面 ABC 的法向量

z A

n2 ? ( x, y, z) , ? n ? AB ? 0 ? x ? 3 z ? 0 ? 由? 2 ,? , ?n 2 ? BC ? 0 ?? x ? 3 y ? 0 ? ?n2 ? ( 3,1,1)
5 x B ???12 分 cos n1 , n2 ? ? 5 5 5 ∴二面角 A ? BC ? D 的余弦值为 .???13 分 5
17.解: (Ⅰ)由题意得所求切线的斜率 k ? f ?( ) ? cos
O

D y C

1

?

?

4 4 ? 2 2 2 ? 切点 P( , ? (x ? ) , ), 则切线方程为 y ? 2 2 4 4 2 ? 即 x ? 2 y ? 1 ? ? 0 ???4 分 4 1 2 (Ⅱ) g ?(x) ? m ? x 2 (1)当 m ≤0 时, g ?(x ) ≤0,则 g (x) 的单调减区间是 (??,??) ;???6 分
(2)当 m ? 0 时,令 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? ? 2m 或 x ?

?

2 ???2 分 2

2m ,

则 g (x) 的单调减区间是 (??,? 2m ) , ( 2m,??). ???9 分 (Ⅲ)证明:令 h( x) ? x ? sin x, x ? [0,??) , h?( x) ? 1 ? cos x ≥0???11 分 则 h(x) 是 [0,??) 上的增函数 故当 x ? 0 时, h( x) ? h(0) ? 0 即 sin x ? x , f ( x) ? g ( x) ?

x3 ???13 分 6

理科数学试题答案 第 2 页(共 7 页)

18.解: (Ⅰ)由正弦定理得

a b 3 3 sin 30? 3 ? ,即 sin B ? ???2 分 ? sin A sin B 3 2 因为 B 是三角形内角且 B ? A ,则 B ? 60? 或 B ? 120 ? . ???4 分 记 ?ABC 的面积为 S .
当 B ? 60? 时, C ? 90? , S ?

1 1 9 3 ???6 分 ab ? ? 3 ? 3 3 ? 2 2 2 1 1 1 9 3 当 B ? 120 ? 时, C ? 30? , S ? ab sin 30? ? ? 3 ? 3 3 ? ? ???8 分 2 2 2 4 (Ⅱ)证明:因为 B 是钝角,结合(Ⅰ)的结论得 tan(B ? 118?) = tan 2? ???9 分
假设 tan 2? 是有理数,则 tan 4? ?

2 tan 2? 为有理数; 1 ? tan 2 2?

同理可证 tan8?, tan16?, tan32? 为有理数.???11 分

tan 32? ? tan 2? 3 ,等式左边= 为无理数,等式右边为有理数,从而矛 1 ? tan 32? tan 2? 3 盾,则 tan 2? 不可能是有理数,即 tan(B ? 118?) 不可能是有理数.???13 分 tan 30? ?
19.解: (Ⅰ)事件“点 P 转一圈恰能返回到点 A ”记为 M ;事件“投掷两次点 P 就恰 能返回到点 A ”记为 B ;事件“投掷三次点 P 就恰能返回到点 A ”记为 D ;事件 “投掷四次点 P 就恰能返回到点 A ”记为 E 。投掷一次正方体玩具,朝上一面每个 数字的出现都是等可能的,其概率为 P ? 1

2 1 ? ,因为只投掷一次不可能返回到点 6 3
2

A ;若投掷两次点 P 就恰能返回到点 A ,则朝上一面出现的两个数字应依次为:

1 ?1? (1,3)(3,1)(2,2)三种结果,其概率为 P( B) ? ? ? ? 3 ? ;???3 分 , , 3 ? 3?
若投掷三次点 P 恰能返回到点 A ,则朝上一面出现的三个数字应依次为: (1,1,2)(1,2,1)(2,1,1)三种结果,其概率为 P( D) ? ? ? ? 3 ? , ,

?1? ? 3?

3

1 ;???5 分 9

若投掷四次点 P 恰能返回到点 A ,则朝上一面出现的四个数字应依次为: (1,1,1,1) ,其概率为 P( E) ? ? ? ? 所以点 P 恰好返回到点 A 的概率为

?1? ? 3?

4

1 ;???6 分 81

P( M ) ? P( B) ? P( D) ? P( E ) ?

1 1 1 37 ? ? ? .???7 分 3 9 81 81

(Ⅱ)随机变量 ? 的可能取值为 2,3,4. ???8 分 理科数学试题答案 第 3 页(共 7 页)

1 P( BM ) P( B) 27 ; P(? ? 2) ? P( B | M ) ? ? ? 3 ? P( M ) P( M ) 37 37 81 1 P( DM ) P( D) 9 ; P(? ? 3) ? P( D | M ) ? ? ? 9 ? P( M ) P( M ) 37 37 81 1 P( EM ) P( E ) 81 1 P(? ? 4) ? P( E | M ) ? ? ? ? ???11 分 P( M ) P( M ) 37 37 81 即 ? 的分布列为

?
P
所以 E? ? 2 ?

2

3

4

27 37

9 37

1 37

27 9 1 85 85 ? 3? ? 4? ? . 即 ? 的数学期望是 .???13 分 37 37 37 37 37

20. (Ⅰ)解:由题意得 a ? 2,
2
2

a 2 ? b2 2 ???2 分 ? a 2
x2 ? y 2 ? 1 ???4 分 2

解得 b ? 1 ,即所求椭圆方程为 (Ⅱ)证明 : (ⅰ)将直线方程
2

x0 x x2 ? y0 y ? 1 代入椭圆方程 ? y 2 ? 1 , 2 2
2 2 2

整理得 ( x0 ? 2 y0 ) x ? 4x0 x ? 4 ? 4 y0 ? 0 ???6 分 由点 P 在椭圆上得

x0 2 2 ? y0 ? 1 ,故方程可化为: x 2 ? 2 x0 x ? x0 ? 0 2
x0 x ? y0 y ? 1 与椭圆相切???8 分 2

2

2 2 因此判别式 ? ? 4x0 ? 4x0 ? 0 ,则直线

(ⅱ)解法一: 必要性:直线 AB 的斜率与过点 P 的椭圆的切线斜率互为相反数,

理科数学试题答案 第 4 页(共 7 页)

由(ⅰ)知过点 P 的椭圆的切线斜率为 ? (其中 k ? 得

x0 ,则可设直线 AB 方程为 y ? kx ? m 2y0

x2 x0 ? y 2 ? 1 中, ) ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y 2 ) .将 y ? kx ? m 代入 ,A 2 2 y0
4km 2m 2 ? 2 , x1 x2 ? .???9 分 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

(2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx? 2m2 ? 2 ? 0 ,

故 x1 ? x2 ? ?

k PA ? k PB ?
=

y1 ? y0 y ? y 0 kx1 ? m ? y0 kx2 ? m ? y0 = + ? 2 x1 ? x0 x 2 ? x0 x1 ? x0 x 2 ? x0

2kx1 x2 ? (m ? y0 ? kx0 )(x1 ? x2 ) ? 2(m ? y0 ) x0 ( x1 ? x0 )(x2 ? x0 )

2 x0 x0 2 ? 1 ? ? y0 , 考虑分子,并注意到 k ? , 2 2 y0

2k (2m2 ? 2) 4km(kx0 ? y0 ? m) ? ? 2(m ? y0 ) x0 得:分子= 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
=

4ky0 m ? 4k ? 4k 2 x0 y0 ? 2 x0 y0 ? 2m x0 2k 2 ? 1
2m x0 ?
3 2 2 x0 x0 2 x0 x0 ? ? 2 x0 y0 ? 2m x0 ( ? 1) ? 2 x0 y0 y0 y0 y 2 = 0 2 2k ? 1 2k 2 ? 1

= =

? 2 x0 y0 ? 2 x0 y0 ? 0 ,则 k PA ? k PB ? 0 .???11 分 2k 2 ? 1

充分性:设点 A ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y 2 ) ,记直线 PA 的斜率为 k ,则直线 PA 方程为

y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,将其代入

x2 ? y 2 ? 1 中,化简、整理得 2

2 2 (2k 2 ? 1) x2 ? 4(ky0 ? k 2 x0 ) x ? 2k 2 x0 ? 4kx0 y0 ? 2 y0 ? 2 ? 0 ,

故 x1 ? x0 ?

4(k 2 x0 ? ky0 ) 4(k 2 x0 ? ky0 ) ? x0 ,则 x1 ? 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 4(k 2 x0 ? ky0 ) ? x0 2k 2 ? 1

(1)???12 分

因为直线 PA 的斜率与直线 PB 的斜率互为相反数,则可设直线 PB 方程为

y ? y0 ? ?k ( x ? x0 ) ,同理可求 x2 ?

(2)

理科数学试题答案 第 5 页(共 7 页)

(2)-(1)得: x2 ? x1 ? 则 k AB ?

8ky 0 4 x0 k ,又 y2 ? y1? ?k[( x1 ? x2 ) ? 2 x0 ] ? , 2 2k ? 1 2k 2 ? 1

y2 ? y1 x x ? 0 ,易知过点 P 的椭圆切线斜率 k 切 = ? 0 ,故 k AB ? k 切 =0 x2 ? x1 2y0 2 y0

即直线 AB 的斜率与过点 P 椭圆切线斜率互为相反数.???14 分

(ⅱ)解法二:由(ⅰ)知过点 P 的椭圆的切线斜率为 ?

x0 ,设 A ( x1 , y1 ) 、 2y0

x2 ? y2 ? 1得 B ( x2 , y 2 ) ,直线 AB 方程为 y ? kx ? m ,代入 2

(2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx? 2m2 ? 2 ? 0 ,
故 x1 ? x2 ? ?

4km 2m 2 ? 2 , x1 x2 ? .???9 分 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

k PA ? k PB ?
=

y1 ? y0 y ? y 0 kx1 ? m ? y0 kx2 ? m ? y0 = + ? 2 x1 ? x0 x 2 ? x0 x1 ? x0 x 2 ? x0

2kx1 x2 ? (m ? y0 ? kx0 )(x1 ? x2 ) ? 2(m ? y0 ) x0 ( x1 ? x0 )(x2 ? x0 )
2k (2m2 ? 2) 4km(kx0 ? y0 ? m) ? ? 2(m ? y0 ) x0 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

分子=

= = =

4ky0 m ? 2mx0 ? 4k 2 x0 y0 ? 4k ? 2 x0 y0 ???11 分 2k 2 ? 1

4ky0 m ? 2mx0 ? 2(2ky0 ? x0 )(kx0 ? y0 ) 2 2 (其中 x0 ? 2 y0 ? 2, y0 ? 0 ) 2 2k ? 1 2(2ky0 ? x0 )(m ? kx0 ? y0 ) ( 其 中 , 点 ( x0 , y0 ) 不 在 直 线 y ? kx ? m 上 , 2k 2 ? 1

m ? kx0 ? y0 ? 0 )
∴ kPA ? kPB ?

2(2ky0 ? x0 )(m ? kx0 ? y0 ) =0 ? 2ky0 ? x0 =0 (2k 2 ? 1)( x1 ? x0 )( x2 ? x0 )

? k ? (?

x0 ) =0 ? k AB ? k 切 =0 2 y0

∴ kPA ? ?kPB 的充要条件是 k AB ? ? k 切 .???14 分 理科数学试题答案 第 6 页(共 7 页)

21. (1)解: (Ⅰ)设 M ? ? ?c ? 即?

?a b ? ? a b ??1? ?1? ? 4 ? ? ,由题意得 ? ? ? c d ??1? ? 4?1? ? ? 4 ? ?? ? ? ? ? ? d? ? ?? ? ? ? ? ?

?a ? b ? 4 ???1 分 ?c ? d ? 4 ? a b ?? ? 1? ? ? 2 ? ?? a ? b ? ?2 又由题意得 ? ? c d ?? 1 ? ? ? 4 ? ,即 ? ? c ? d ? 4 ???2 分 ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?3 1? 联立以上两个方程,解得 a ? 3, b ? 1, c ? 0, d ? 4 ,故 M ? ? ? 0 4 ? ???4 分 ? ? ? (Ⅱ)设点 ( x, y ) 是直线 l 上任一点,其在矩阵 M 的变换下对应的点的坐标为 ( x' , y ' ) 1 1 ? ?? ? ? x ? 3 x? ? 12 y ? ? 3 1 ?? x ? ? x ?3x ? y ? x 则: ? ???6 分 ? 0 4 ?? y ? ? ? y ? ? 即: ? 4 y ? y ? ? ? ?? ? ? ? 1 ? ? ?? ? ? ? ? y ? y? 4 ? 代入直线 l 的方程后并化简得: x? ? y ? ? 3 ? 0 即 x ? y ? 3 ? 0 ???7 分
(2)解: (Ⅰ)由 ? 由 ? ? ? cos
2

? x ? tant, 得直线 l 的普通方程为 y ? kx ? 1 ???2 分 ? y ? 1 ? k tant

? ? 4 cos? 得 ? 2 ? ? 2 cos2 ? ? 4? cos?, 即x 2 ? y 2 ? x 2 ? 4x

y 2 ? 4x ,曲线 C 的直角坐标方程为: y 2 ? 4 x ???4 分 2 2 2 (Ⅱ)把 y ? kx ? 1 代入 y ? 4 x ,得 k x ? (2k ? 4) x ? 1 ? 0
由 ? ? (2k ? 4) ? 4k ? 0 ???6 分
2 2

解得 k ? 1 ???7 分 (3) 解: (Ⅰ)由柯西不等式得

1 2 3 1 2 3 [( ) 2 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ]( a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? ( ? a ? ? b ? ? c) 2 ???2 分 a b c a b c 1 2 2 2 3 2 2 2 2 即 [( ) ? ( ) ? ( ) ]( a ? b ? c ) ? 36 a b c 1 4 9 36 ∴ 2 ? 2 ? 2≥ 2 ???4 分 ks?..*5u a b c a ? b2 ? c2 1 4 9 2 2 2 (Ⅱ)由已知得 a ? b ? c ? m ? 1, 2 ? 2 ? 2 ? 2m ? 1 a b c 7 ?(m ? 1)(2m ? 1) ? 36, 即2m2 ? 3m ? 35 ≥0,解得 m ≤ ? 或 m ≥5???6 分 2 1 4 9 2 2 2 ? ? ? 2m ? 1 >0 ,?m ≥5 又 a ? b ? c ? m ? 1 ? 0, a2 b2 c2
即实数 m 的取值范围是[5,+∞)???7 分

理科数学试题答案 第 7 页(共 7 页)


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