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第二章 2.1.2(一)椭圆的简单几何性质(一)基础过关训练 新人教A版选修1-1


2.1.2
一、基础过关

椭圆的简单几何性质(一)

1.已知点(3,2)在椭圆 2+ 2=1 上,则 A.点(-3,-2)不在椭圆上 B.点(3,-2)不在椭圆上 C.点(-3,2)在椭圆上 D.无法判断点(-3,-2)、(3,-2)、(-3,2)是否在椭圆上

x2 y2 a b

(



)

2.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为 ( A.(±13,0) C.(0,±13) 3.椭圆 x +4y =1 的离心率为 3 3 2 A. B. C. 2 4 2
2 2

)

B.(0,±10) D.(0,± 69) ( 2 D. 3 )

4.过椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为右焦点,若∠F1PF2 =60°,则椭圆的离心率为 5 3 1 A. B. C. 2 3 2
2 2

x2 y2 a b

( 1 D. 3 (

)

5.椭圆 x +my =1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值是 1 1 A. B. C.2 D.4 4 2

)

x2 y2 x2 y2 6.椭圆 2+ 2=1 和 2+ 2=k (k>0,a>0,b>0)具有 a b a b
( ) B.相同的离心率 A.相同的顶点 C.相同的焦点

D.相同的长轴和短轴 1 7.已知椭圆的中心在原点,焦点在 y 轴上,若其离心率为 ,焦距为 8,则该椭圆的方程是 2 ______________. 8.分别求适合下列条件的椭圆的标准方程: 2 (1)离心率是 ,长轴长是 6. 3 (2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为 6. 二、能力提升 9.若椭圆 x +my =1 的离心率为
2 2

3 ,则 m=________. 2

10.设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等 腰直角三角形,则椭圆的离心率是________.
1

11.已知椭圆 x +(m+3)y =m (m>0)的离心率 e= 焦点坐标、顶点坐标.

2

2

3 ,求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、 2

12.已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的左焦点为 F1(-c,0),A(-a,0),B(0,b)是两个顶点,如 果 F1 到直线 AB 的距离为 三、探究与拓展 13.已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0),A(2,0)为长轴的一个端点,过椭圆的中心 O 的直线交椭圆 → → → → → → 于 B、C 两点,且AC?BC=0,|OC-OB|=2|BC-BA|,求此椭圆的方程.

x2 y2 a b

b
7

,求椭圆的离心率 e.

x2 y2 a b

2

答案 1.C 2.D 3.A 4.B 5.A 6.B [不妨设 a>b,则椭圆 2+ 2=k 的离心率

7. + =1 64 48

ka2-kb2 = ka2 x2 y2 而椭圆 2+ 2=1 的离心率 e1= a b 2 2 y x e2= x2 y2 x2 x2 y2

x2 y2 a b 2 a -b2 . a2

a2-b2 ,故 B 正确.] a2

8.(1) + =1 或 + =1 9 5 5 9 (2) + =1 18 9 1 9. 或 4 4 10. 2-1 11.解 椭圆方程可化为 +

y2

x2 m

y2 =1, m

m+3 m m? m+2? m- = >0, m+3 m+3 m m 2 2 ∴m> ,即 a =m,b = , m+3 m+3 m? m+2? 2 2 ∴c= a -b = . m+3 3 m+2 3 由 e= ,得 = ,解得 m=1, 2 m+3 2 y2 2 ∴椭圆的标准方程为 x + =1,
1 4 1 3 ∴a=1,b= ,c= , 2 2 ∴椭圆的长轴长为 2,短轴长为 1, 3 ? ? 两焦点坐标分别为 F1?- ,0?, ? 2 ?

F2?

? 3 ? ,0?, ?2 ?
b a

1? ? ? 1? 顶点坐标分别为 A1(-1,0),A2(1,0),B1?0,- ?,B2?0, ?. 2? ? ? 2? 12.解 由 A(-a,0),B(0,b),得直线 AB 的斜率为 kAB= , 故 AB 所在的直线方程为 y-b= x, 即 bx-ay+ab=0. 又 F1(-c,0),由点到直线的距离公式可得

b a

3

d=

|-bc+ab| b = , a2+b2 7
2 2 2 2 2 2 2

∴ 7?(a-c)= a +b , 又 b =a -c ,整理,得 8c -14ac+5a =0, 即 8? ? -14 +5=0, ∴8e -14e+5=0, 1 5 ∴e= 或 e= (舍去). 2 4 1 综上可知,椭圆的离心率为 e= . 2 → → → → 13.解 ∵|OC-OB|=2|BC-BA|, → → ∴|BC|=2|AC|. → → 又AC?BC=0,∴AC⊥BC. ∴△AOC 为等腰直角三角形. ∵|OA|=2, ∴C 点的坐标为(1,1)或(1,-1), 1 1 4 2 ∵C 点在椭圆上,a=2,∴ + 2=1,b = . 4 b 3 ∴所求椭圆的方程为 + =1. 4 4 3
2

?c?2 ?a?

c a

x2 y2

4


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