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数学·必修2(苏教版)课件:第1章1.2-1.2.3直线与平面的位置关系


第1章

立体几何初步

1.2

点、线、面之间的位置关系 直线与平面的位置关系

1.2.3

[情景导入] 当你每天推开教室的门踏进教室,教室 的门绕着门轴转动时, 是否思考过另一边与门扇有怎样的 位置关系? 当你每一次站在学校的操场上面对冉冉升起的五星 红旗时, 你是否想过旗杆与操场之间是怎样的一种位置关 系?旗杆与操场上的跑道之间是怎样的一种位置关系?

[ 学习目标 ]

1. 理解空间中直线与平面的位置关系

(重点).2.掌握线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理 (重点、难点).

1.直线与平面的位置关系: (1)直线 a 在平面 α 内:直线 a 和平面 α 有无数个公 共点,记作 a?α; (2)直线 a 与平面 α 相交:直线 a 和平面 α 有且只有 一个公共点,记作 a∩α=A; (3)直线 a 与平面 α 平行:直线 a 和平面 α 有 0 个公 共点,记作 a∥α.

2.直线与平面平行的判定定理: (1)文字语言:如果平面外一条直线和这个平面内的 一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.该定理 常表述为:“线线平行,则线面平行.” (2)符号语言:若 l?α,m?α,且 l∥m,则 l∥α.

3.线面平行的判定定理的作用:证明线面平行.用 该定理判断直线 l 和平面 α 平行时,必须具备三个条件: ①直线 l 不在平面 α 内,即 l?α;②直线 m 在平面 α 内, 即 m?α;③两直线 l、m 平行,即 l∥m.三个条件缺一 不可.

4.直线和平面平行的性质定理: (1)文字语言:如果一条直线和一个平面平行,经过 这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线 平行.简称为:“若线面平行,则线线平行”. (2)符号语言:若 l∥α,l?β,α∩β=m,则 l∥m.

(3)直线和平面平行的性质定理中有三个条件:①直 线 l 和平面 α 平行, 即 l∥α; ②平面 α 和平面 β 相交于直 线 m,即 α∩β=m;③直线 l 在平面 β 内,即 l?β.这三个 条件是缺一不可的条件. 5.直线与平面垂直的定义:如果一条直线 a 与一个 平面 α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 a 与平 面 α 互相垂直.

6.从平面外一点引平面的垂线,这个点和垂足间的 距离,叫作这个点到这个平面的距离. 7.直线与平面垂直的判定定理: (1)文字语言:如果一条直线和一个平面内的两条相 交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面. (2)符号语言:若 l⊥m,l⊥n,m∩n=B,m?α,n? α,则 l⊥α.

8.直线和平面垂直的性质定理: (1)文字语言:如果两条直线垂直于同一个平面,那 么这两条直线平行.即垂直于同一个平面的两条直线平 行. (2)符号语言: 已知直线 a, b 和平面 α, 若 a⊥α, b ⊥α , 那么 a∥b.

9.一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点 到这个平面的距离相等. 10. 一条直线与一个平面相交, 但不和这个平面垂直, 这条直线叫作这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫斜 点.斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜 线段.

11.直线和平面所成角:平面的一条斜线与它在这个 平面内的射影所成的锐角, 叫作这条直线与这个平面所成 的角. 特别地: ①当一直线垂直于平面, 所成的角是直角; ②当一直线平行于平面或在平面内,所成角为 0°;③直 线和平面所成角的范围是 0°≤α≤90°;④直线和平面 所成角是斜线与该平面内直线所成角的最小值.

一、直线和平面的位置关系 空间的直线与平面有如下三种位置关系:①直线在平面 内——有无数个公共点;②直线与平面相交——有一个公共 点;③直线与平面平行——没有公共点.为便于掌握三者间 的从属关系可分类为:
? ? ?直线与平面相交:有且只有一个公共点 ?直线在平面外? ? ? ?直线与平面平行:没有公共点 ? 直线在平面内:有无数个公共点 ?

同学们在学习时要借助于直线与平面的三种位置关 系的画法和符号表示加强理解和掌握.判断直线在平面 内的常用方法是:①公理 1;②反证法.判断直线和平面 相交的常用方法是:①证明直线和平面有且只有一个公 共点;②反证法.

二、直线与平面平行的判定定理 直线与平面平行的判定定理告诉我们“证明线面平 行的实质是证明线和平面内的一条直线平行”.请同学 们谨记:线线平行具有传递性,但线面平行却没有传递 性,即命题“a∥b,b∥α?a∥α”是假命题. 直线与平面平行的判定方法:①依定义采用反证法; ②判定定理;③利用公理 4.

三、直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和已知平面平行,经过这条直线的平 面和已知平面相交, 那么这条直线和交线平行, 简称“若 线面平行,则线线平行”.该定理的实质是由线面平行 推出线线平行,常用于证明线线平行问题.但要谨记 “线”的特殊性 ——是过已知直线的平面与已知平面的 “交线”.虽然由线面平行,能得到线与平面内的无数 条直线平行,

但并不是和平面内的每一条直线都平行,若直线和 平面平行,则这条直线与平面内的直线的位置关系包括 平行和异面.

四、直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直, 那么这条直线垂直于这个平面. 该定理是证明线面垂直的重要方法,应用时要谨记 “两条相交直线”这一条件.定理体现了“直线与平面 垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.

五、直线和平面垂直的性质定理 如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线 平行.即垂直于同一个平面的两条直线平行. 定理的证明运用了“反证法”,同学们要在老师的 指导下完成定理的证明并由此掌握反证法的使用条件及 操作过程.该定理给出了证明线线平行的又一方法.因 此,利用该定理即可以证明线线垂直,也可以证明线线 平行.

六、直线和平面所成的角 直线和平面所成的角包括 0°角、直角、锐角,因此 直线和平面所成角的范围是 0°≤α≤90°.求斜线与平面 所成的角一般步骤:①找出斜线在给定平面内的射影; ②指出并论证斜线与平面所成的角;③在含有斜线与平 面所成的角的三角形中,利用平面几何或三角函数知识 求出这个角.

直线和平面所成角是通过其相应的平面角的大小来 表示的,教材中由直线与平面垂直的定义及斜线和射影 来定义直线和平面所成的角,在学习直线与平面垂直的 定义时要区分“任意”与“无数”两个词的不同含义, 命题“如果直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直, 则直 线 l 与平面 α 互相垂直”是假命题.

题型 1 直线与平面的位置关系 [典例 1] 下列命题中正确的命题的个数为_______.

①如果一条直线与一平面平行,那么这条直线与平 面内的任意一条直线平行; ②如果一条直线与一平面相交,那么这条直线与平 面内的无数条直线垂直;

③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行; ④一条直线上有两点到一个平面的距离相等,则这 条直线平行于这个平面.

解析:对于①,直线与平面平行,只是 说明直线与平面没有公共点,也就是直线与 平面内的直线没有公共点,没有公共点的两 条直线其位置关系除了平行之外,还有异面,如图所示.

正方体 ABCD-A1B1C1D1,A1B1∥平面 ABCD,A1B1 与 BC 的位置关系是异面, 并且容易知道, 异面直线 A1B1 与 BC 所成的角为 90°,因此命题①是错误的.对于③, 如图所示,因为 A1B1∥AB,A1D1∥AD 且 AD,AB?平面 ABCD, A1D1, A1B1?平面 ABCD, 所以 A1B1∥平面 ABCD, A1D1∥平面 ABCD.

可以说明过平面外一点不只有一条直线与已知平面 平行,而是无数多条.可以想象,经过面 A1B1C1D1 内一 点 A1 的任一条直线,与平面 ABCD 的位置关系都是平行 的.所以命题③也是错误的.

对于④,我们可以继续借用正方体 ABCD-A1B1C1D1 来举反例. 如图所示, 分别取 AD, BC 的中点 E, F, A1D1, B1C1 的中点 G,H,连接 EF,HG.因为 E,F,H,G 分 别为 AD,BC,B1C1,A1D1 的中点,

所以可以证明 EFHG 为正方形,且该截面恰好把正 方体一分为二.A,D 两个点到该截面的距离相等, 且 AD∩平面 EFHG=E,所以命题④也是错误的. 对于②, 把一直角三角板的一直角边放在桌面内, 让 另一直角边抬起,即另一直角边与桌面的位置关系是相 交,

可以得出在桌面内与直角边所在的直线平行的直线 与另一直角边垂直. 所以正确命题的个数只有 1 个. 答案:1 个

规律总结 正方体(或长方体)是立体几何中的一个重要的,又是 最基本的模型, 而且立体几何的直线与平面的位置关系都 可以在这个模型中得到反映. 因而人们给它以“百宝箱” 之称. 本例中的命题①③④就是利用这个“百宝箱”来判 定它们的真假的.

[变式训练] 1.下列说法中正确的是________(填序号). ①直线 l 平行于平面 α 内无数条直线,则 l∥α; ②若直线 a 在平面 α 外,则 a∥α; ③若直线 a∥b,直线 b?α,则 a∥α; ④若直线 a∥b,直线 b?α,那么直线 a 就平行于平 面 α 内的无数条直线.

解析:对于①,因为直线 l 虽然与平面 α 内无数条直 线平行,但 l 有可能在平面 α 内,所以 l 不一定平行于 α. 所以①错误. 对于②, 因为直线 a 在平面 α 外, 包括两种情况: a∥α 和 a 与 α 相交,所以 a 和 α 不一定平行.所以②错误.

对于③,因为直线 a∥b,直线 b?α,则只能说明 a 和 b 无公共点, 但 a 可能在平面 α 内, 所以 a 不一定平行 于 α.所以③错误. 对于④,因为 a∥b,b?α,那么 a?α 或 a∥α,所以 a 能与平面 α 内的无数条直线平行,从而填④. 答案:④

题型 2 直线与平面平行的判定定理 [典例 2] 如图所示,平行四边形 EFGH

的顶点分别在空间四边形 ABCD 的各边上, 求证:BD∥平面 EFGH.

分析:要证 BD∥平面 EFGH,由线面平行的判定定 理只要证明 BD∥EH.而由已知 EH∥FG,

所以由线面平行的判定定理可得到 EH∥平面 BCD, 再由线面平行的性质定理即可得 BD∥EH. 证明: 因为 EH∥FG, EH?平面 BCD, FG?平面 BCD, 所以 EH∥平面 BCD. 又 EH?平面 ABD,平面 BCD∩平面 ABD=BD,所 以 EH∥BD.

又 EH?平面 EFGH,BD?平面 EFGH, 所以 BD∥平面 EFGH.

规律总结 性质 判定 判定 由线线平行 ――→ 线面平行 线线平行 线面 平行,体现了转化思想的应用.

[变式训练] 2.如图所示,两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所 在平面相交于 AB,M∈AC,N∈FB,且 AM=FN.求证: MN∥平面 BCE.

证明:如图所示,作 MP⊥BC, NQ⊥BE,P,Q 为垂足, 则 MP∥AB,NQ∥AB. 所以 MP∥NQ.又因为 AM=NF,AC=BF, 所以 MC=NB,∠MCP=∠NBQ=45°. 所以 Rt△MCP≌Rt△NBQ.

所以 MP=NQ, 故四边形 MPQN 为平行四边形, 所以 MN∥PQ. 因为 PQ?平面 BCE,MN 在平面 BCE 外, 所以 MN∥平面 BCE.

题型 3 直线与平面平行的性质定理 [典例 3] 如图所示,A,B 分别是异面

直线 a,b 上的两点,自 AB 的中点 O 作平 面 α 与 a,b 分别平行,M,N 分别是 a,b 上 的任意两点,MN 与 α 交于点 P. 求证:P 是 MN 的中点.
分析: 利用线面平行的性质定理, 通过三角形的中位 线进行过渡.

证明:连接 AN 交 α 于点 Q,连接 OQ,PQ,如图所 示. 因为 b∥α,平面 ABN∩α=OQ, 所以 b∥OQ.同理 PQ∥a. 在△ABN 中,O 是 AB 的中点, OQ∥BN,

所以 Q 是 AN 的中点. 又因为 PQ∥a,所以点 P 是 MN 的中点.

规律总结 利用线面平行的性质定理解题的步骤: ①确定(或寻 找)一条直线平行一个平面; ②确定(或寻找)过这条直线且 与这个平行平面相交的平面; ③确定交线; ④由定理得出 结论.

[变式训练] 3.如图所示,四边形 ABCD 是平行四边形,点 P 是 平面 ABCD 外一点,M 是 PC 的中点, 在 DM 上取一点 G,过点 G 和 AP 作平面 交平面 BDM 于 GH.求证:AP∥GH.

证明:如图所示,连接 AC 交 BD 于点 O,连接 MO, 因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以 O 是 AC 的中点.

又 M 是 PC 的中点,所以 AP∥OM. 根据直线和平面平行的判定定理, 则 PA∥平面 BMD. 因为平面 PAHG∩平面 BMD=GH, 根据直线和平面平行的性质定理,所以 PA∥GH.

题型 4 直线与平面垂直的判定定理 [典例 4] 如图所示,在△ABC 中,∠ABC=90°,

D 是 AC 的中点,S 是△ABC 所在平面外一点,且 SA= SB=SC. (1)求证:SD⊥平面 ABC; (2)若 AB=BC,求证:BD⊥平面 SAC.

分析:

在平面内找两条相交 直线与已知直线垂直



由线面垂直的判定 定理得线面垂直

证明: (1) 因为 SA = SC , D 是 AC 的中点,所以 SD⊥AC. 在 Rt△ABC 中,AD=BD,又 SA=SB,SD=SD, 所以△ADS≌△BDS,所以 SD⊥BD. 又 AC∩BD=D,所以 SD⊥平面 ABC.

(2)因为 AB=BC,D 为 AC 的中点,所以 BD⊥AC. 由(1)知 SD⊥BD,又 SD∩AC=D,所以 BD⊥平面 SAC.

规律总结 判定直线与平面垂直的方法: 1. 定义法: 一条直线垂直于平面内的任意一条直线, 则该直线与这个平面垂直.
2.利用直线与平面垂直的判定定理:若一条直线垂 直于平面内的两条相交直线,则这条直线和这个平面垂 直.符号表示:a⊥m,a⊥n,m?α,n?α,m∩n=A?a⊥α.

3.如果两平行直线中的一条垂直于一个平面,那么 a∥ b ? ??b⊥α. 另一条也垂直于这个平面.符号表示: a⊥α ?

[变式训练] 4.已知直线 a∥直线 b,a⊥平面 α.求证:b⊥α.
证明:如图所示,在平面 α 内作 两条相交直线 m,n. 直线 a⊥α,根据直线与平面垂直的 定义知 a⊥m,a⊥n. 又 a∥b,所以 b⊥m,b⊥n.

又 m?α,n?α,m,n 是两条相交直线,所以 b⊥α.

题型 5 直线与平面垂直的性质定理 [典例 5] 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,

M,N 分别是 AC,A1D 上的点,且 MN⊥AC,MN⊥A1D. 求证:

(1)MN⊥平面 AB1C; (2)MN∥BD1. 分析:本题第(1)问证明线面垂直,已知 MN⊥AC, 只需证 MN⊥B1C,而由已知条件易得;第(2)问证明线线 平行,可转化为证明两条直线均垂直于同一平面.

证明:(1)因为 MN⊥A1D,B1C∥A1D, 所以 MN⊥B1C. 又因为 MN⊥AC,所以 MN⊥平面 AB1C. (2)连接 BD. 因为四边形 ABCD 是正方形,所以 AC⊥BD. 因为 D1D⊥平面 ABCD,所以 AC⊥D1D.

所以 AC⊥平面 BDD1,所以 AC⊥BD1. 同理可证 B1C⊥BD1.所以 BO1⊥平面 AB1C, 所以 MN∥BD1.

规律总结 1.线面垂直的性质定理、公理 4 及线面平行的性质 定理都是证明线线平行的依据, 至于线面平行、 面面平行, 归结到最后还是要先证明线线平行. 2.要证线线垂直,只需证线面垂直,再利用线面垂 直的性质即可得到线线垂直.

[变式训练] 5.如图所示,已知平面 α∩平面 β=l,EA⊥α 于点 A,EB⊥β 于点 B,a?α,a⊥AB.求证:a∥l.

EA⊥α,EB⊥β? l⊥EA? ? ? ?? ??l⊥平面 EAB. 证明: ? α∩β=l l⊥EB? ? ? 又因为 a?α,EA⊥α,所以 a⊥EA. 又因为 a⊥AB,所以 a⊥平面 EAB. 所以 a∥l.

题型 6 直线与平面所成角 [典例 6] 如图所示,在正方体

ABCD-A1B1C1D1 中,求 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角. 分析:本题只需要找出(或作出)A1B 在平面 A1B1CD 上的射影即可,但图形中没有现成的,所以可以连接 BC1 与 B1C 即可作出.

解:如图所示,连接 BC1 与 B1C,相交于点 M, 连接 A1M,则 BC1⊥B1C. 因为 A1B1⊥平面 BCC1B1, BC1?平面 BCC1B1, 所以 A1B1⊥BC1. 因为 A1B1∩B1C=B1,

所以 BC1⊥平面 A1B1CD, 即 BM⊥平面 A1B1CD. 所以 A1M 是 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影. 所以∠BA1M 就是 A1B 与平面 A1B1CD 所成角. 2 设棱长 AB=1,则 BM= ,A1B= 2, 2

BM 1 所以 sin∠BA1M= = , A1B 2 故 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角为 30°.

规律总结 求平面的斜线和平面所成的角的一般步骤: ①找出或 作出斜线在给定平面上的射影; ②证明它符合意义; ③利 用平面几何或三角函数知识求出这个角.

[变式训练] 6.已知长方体 ABCD-A1B1C1D1. (1)求证:B1D1∥平面 BC1D; (2)若 BC=CC1, 求直线 BC1 与平面 ABCD 所成的角.

(1)证明:易知 BB1∥DD1 且 BB1=DD1, 则四边形 BDD1B1 是平行四边形,所以 BD∥B1D1. 又因为 BD 在平面 BC1D 内,而 B1D1 不在平面 BC1D 内, 所以由线面平行的判定定理可得:B1D1∥平面 BC1D.

(2)解:因为 CC1⊥平面 ABCD,所以斜线 BC1 在平面 ABCD 内的射影是 BC,则∠C1BC 是 BC1 与平面 ABCD 所成的角. 在 Rt△BCC1 中,BC=CC1,即△BCC1 是等腰直角三 角形,
所以易得∠C1BC=45°, 即直线 BC1 与平面 ABCD 所 成角的大小为 45°.


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