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普陀区2014年高三数学一模试卷


2013 学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷
2013.12 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填 写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 若集合 A ? {x | x ? 2 x ? 0} , B ? {x || x ? 1 |? 2} ,则 A ? B ?
2

.

2. 设 e1 、 e 2 是平面内两个不平行的向量,若 a ? e1 ? e 2 与 b ? me1 ? e2 平行,则实数

m?

.

3. 在△ ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若 a ? 2 , c ? 2 3 , C ? 则b ?
n

?
3



. .

4. 在 ( x ? 3) 的展开式中,若第 3 项的系数为 27 ,则 n ?

* 2 2 5. 若 圆 x ? ( y ? 1) ? 1 的 圆 心 到 直 线 l n : x ? ny ? 0 ( n ? N ) 的 距 离 为 d n , 则

lim d n ?
n ??

.
?1

6. 函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 1) (1 ? x ? 2) 的反函数 f 7. 已知椭圆

( x) ?

.

x2 y 2 ? ? 1 的左、右两个焦点分别为 F1 、 F2 ,若经过 F1 的直线 l 与椭圆相交于 4 3
. .

A 、 B 两点,则△ ABF2 的周长等于
8. 数列 {an } 中, a1 ? 1 ,an ? an ?1 ? 若

1 * ( n ? N ) 则 lim (a1 ? a 2 ? ? ? a 2 n ) ? , n n ?? 2 5 1 9. 若函数 f ( x) ? x ? ,则不等式 2 ? f ( x) ? 的解集为 . x 2

10. 【文科】 如图, 正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面边长 AB ? 2 , 若异面直线 A1 A 与 B1C 所成的角的大小为 arctan

1 ,则正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的侧面积为 2

.
第 10 题

【理科】 如图, 正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面边长 AB ? 2 , 若直线 B1C 与底面 ABCD 所成的角的大小为 arctan 2 ,则正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的侧面积为 .

11. 【文科】在数列 {a n } 中, a1 ? 2 , a n ? 4a n ?1 ? 3 ( n ? 2 ) ,则数列 {a n } 的前 n 项和

Sn ?

.
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【理科】 数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , a n ? 1 ? n cs 若 o

n? * ( n ? N ) 则 S 2014 ? , 2

.

12. 已 知 全 集 U ? {1,2,3,4,5,6,7,8} , 在 U 中 任 取 四 个 元 素 组 成 的 集 合 记 为

A ? {a1 , a2 , a3 , a4 } , 余 下 的 四 个 元 素 组 成 的 集 合 记 为 CU A ? {b1 , b2 , b3 , b4 } , 若

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ,则集合 A 的取法共有
13. 【文科】若函数 f ( x) ? 1 ? x cos

种. .

??x
2

,则 f (1) ? f (2) ? ? ? f (100 ) ?

【理科】正三角形 ABC 的三个顶点都在半径为 2 的球面上,球心 O 到平面 ABC 的距离 为 1 , D 是线段 BC 的中点, D 作球 O 的截面, 点 过 则截面面积的最小值为 .

?2 x ? a , x ? 0 14.已知函数 f ( x ) ? ? , 若方程 f ( x) ? x ? 0 有 ? f ( x ? 1), x ? 0
且仅有两个解,则实数 a 的取值范围是 .

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且
第 13 题

只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答 案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.若 f (x) 和 g (x) 都是定义在 R 上的函数,则“ f (x) 与 g (x) 同是奇函数或偶函数”是 “ f ( x) ? g ( x) 是偶函数”的????????????????????????( )

(A) 充分非必要条件. (C ) 充要条件.

(B) 必要非充分条件. (D ) 既非充分又非必要条件


16. 若 a 和 b 均为非零实数,则下列不等式中恒成立的是???????????(

|a?b| (A) ? 2

| ab | .

b a (B) ? ? 2 . a b
(D )

1 1 (C ) (a ? b)( ? ) ? 4 . a b
17.将函数 y ? f (x) 的图像向右平移
2

a2 ? b2 a?b 2 ?( ) . 2 2

? 个单位, 再向上平移 1 个单位后得到的函数对应的表达 4


式为 y ? 2 sin x ,则函数 f (x) 的表达式可以是???????????????(

(A) 2 sin x .

(B) 2 cos x .

(C ) sin 2 x .

(D ) cos 2x .

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18. 若 Ai ( i ? 1,2,3,?, n )是 ?AOB 所在的平面内的点,且 OAi ? OB ? OA ? OB . 给出下列说法: ① | OA1 |?| OA2 |? ? ?| OAn |?| OA | ; ② | OAi | 的最小值一定是 | OB | ;

A

O
③点 A 、 Ai 在一条直线上; ④向量 OA 及 OAi 在向量 OB 的方向上的投影必相等.

B
第 18 题

其中正确的个数是????????????????????????????(



(A) 1 个.

(B) 2 个.

(C ) 3 个.

(D ) 4 个.

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 已知点 P(2, 0) ,点 Q 在曲线 C : y ? 2 x 上.
2

(1)若点 Q 在第一象限内,且 | PQ |? 2 ,求点 Q 的坐标; (2)求 | PQ | 的最小值.

20. (本题满分 14 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x (1) 【文科】求函数 f (x) 的值域,并写出函数 f (x) 的单调递增区间; 【理科】 求函数 f (x) 的最大值, 并指出取到最大值时对应的 x 的值; (2)若 0 ? ? ?

?
6

,且 f (? ) ?

4 ,计算 cos 2? 的值. 3

21.(本题满分 14 分) 本大题共有 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. 如图所示,一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液 时,滴管内匀速滴下球状液体,其中球状液体的半径 r ? 3 10 毫米,滴管 内液体忽略不计. (1)如果瓶内的药液恰好 156 分钟滴完,问每分钟应滴下多少滴?
第 21 题

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(2)在条件(1)下,设输液开始后 x (单位:分钟) ,瓶内液面与进气管的距离为 h (单位: 厘米) ,已知当 x ? 0 时, h ? 13 .试将 h 表示为 x 的函数.(注: 1cm ? 1000 mm )
3 3

22. (本题满分 16 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分 ,第 3 小题满分 6 分.
* 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , an ?1 ? an ? 3 ? 2 , n ? N .
n
n (1)证明数列 an ? 2 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式;

?

?

(2)在数列 ?an ? 中,是否存在连续三项成等差数列?若存在,求出所有符合条件的项;若不 存在,请说明理由; (3)若 1 ? r ? s 且 r , s ? N ,求证:使得 a1 , ar , a s 成等差数列的点列 ? r , s ? 在某一直
*

线上.

3.(本题满分 18 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分 ,第 3 小 题满分 8 分. 定义在 ? 0, ?? ? 上的函数 f ? x ? ,如果对任意 x ? ? 0, ?? ? ,恒有 f ? kx ? ? kf ? x ? ( k ? 2 ,

k ? N * )成立,则称 f ? x ? 为 k 阶缩放函数.
(1)已知函数 f ? x ? 为二阶缩放函数,且当 x ? ?1, 2? 时, f ? x ? ? 1 ? log 1 x ,求 f 2 2 的
2

?

?

值; (2) 【文科】已知函数 f ? x ? 为二阶缩放函数,且当 x ? ?1, 2? 时, f ? x ? ? 函数 y ? f ? x ? ? x 在 (1, 8) 上无零点; 【理科】已知函数 f ? x ? 为二阶缩放函数,且当 x ? ?1, 2? 时, f ? x ? ? 函数 y ? f ? x ? ? x 在 ?1, ?? ? 上无零点; (3) 已知函数 f ? x ? 为 k 阶缩放函数, 且当 x ? ?1, k ? 时, f ? x ? 的取值范围是 ? 0,1? , f ? x ? 求
n ?1 在 0, k ? ( n ? N )上的取值范围. ?

2 x ? x 2 ,求证:

2 x ? x 2 ,求证:

?

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2013 学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷评分标准
一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填 写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. (?3, 0) ; 2. ? 1; 不给分) ; 7. 8 ; 8. 3. 4 ;4. 3 ; 5. 1 ; 6. f
?1

( x) ? 1 ? 2 x ( x ? 0) (不标明定义域

2 ; 3

9. ( , 2)

1 2

10.32; 11.【文科】 4 ? n ? 1( n ? N ) 【理 ;
n *

科】1006; 12.31;

13.【文科】150; 【理科】

9? ; 4

14. a ? 2 ;

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 题号 答案 15 A 16 D 17 C 18 B

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 【解】设 Q( x, y ) ( x ? 0, y ? 0 ), y ? 2 x
2

(1)由已知条件得 | PQ |?
2

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2 ??????????2 分

2 将 y ? 2 x 代入上式,并变形得, x ? 2 x ? 0 ,解得 x ? 0(舍去)或 x ? 2 ?????

4分 当 x ? 2 时, y ? ?2 只有 x ? 2, y ? 2 满足条件,所以点 Q 的坐标为 (2, 2) ??????6 分 (2) | PQ | ?

( x ? 2) 2 ? y 2 其中 y 2 ? 2 x ??????????7 分

| PQ | 2 ? ( x ? 2) 2 ? 2 x ? x 2 ? 2 x ? 4 ? ( x ? 1) 2 ? 3 ( x ? 0 )????10 分
当 x ? 1时, | PQ | min ? (不指出 x ? 0 ,扣 1 分)
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3 ??????????????12 分

20. (本题满分 14 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 【解】 (1) f ( x) ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2 sin(2 x ? 【文科】由于 ? 2 ? 2 sin(2 x ? 由?

?
6

) ??????2 分

?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?

6

) ? 2 ,所以函数 f (x) 的值域为 [?2, 2] ???4 分 )?

?
2

6

? 2k? 得 ?

?
?
3

? k? ? x ?

?
6

? k?

所以函数 f (x) 的单调的增区间为 [k? ?

3

, k? ?

?
6

] , k ? Z ???6 分

(文科不写 k ? Z ,不扣分;不写区间,扣 1 分) 【理科】由 0 ? x ?

?
2

得,

?
6

? 2x ?

?
6

?

所以当 2 x ?

?
6

?

?

7? ???4 分 6

2

时, f ( x) max ? 2 ,此时 x ?

?
6

???6 分

(2)由(1)得, f (? ) ? 2 sin(2? ? 其中

?
6

)?

?
6

? 2? ?

?
6

?

?
2

得 cos(2? ?

?
6

4 ? 2 ,即 sin(2? ? ) ? ?????8 分 6 3 3

) ? 0 ??????10 分

所以 cos(2? ?

?
6

)?

5 ?????11 分 3

cos 2? ? cos[(2? ?
?

?

) ? ] ??????13 分 6 6

?

5 3 2 1 15 ? 2 ? ? ? ? ??????14 分 3 2 3 2 6

21. (本题满分 14 分) 本大题共有 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. 【解】 (1)设每分钟滴下 k ( k ? N )滴,??????1 分
*

则瓶内液体的体积 V1 ? ? ? 4 ? 9 ? ? ? 2 ? 3 ? 156? cm ??????3 分
2 2

3

4 40 k k? cm 3 ??????5 分 mm 3 ? k 滴球状液体的体积 V2 ? k ? ? ? ? 10 ? 3 3 75 k? 所以 156? ? ? 156 ,解得 k ? 75 ,故每分钟应滴下 75 滴。??????6 分 75
(2)由(1)知,每分钟滴下 ? cm 药液??????7 分
3

x ,此时 0 ? x ? 144 ???10 分 16 x 2 2 当 1 ? h ? 4 时, x? ? ? ? 4 ? 9 ? ? ? 2 ? (4 ? h) ,即 h ? 40 ? ,此时 144 ? x ? 156 ??? 4
当 4 ? h ? 13 时, x? ? ? ? 4 ? (13 ? h) ,即 h ? 13 ?
2

13 分
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x ? ?13 ? 16 , 0 ? x ? 144 ? 综上可得 h( x) ? ? ??????14 分 ?40 ? x , 144 ? x ? 156 ? 4 ?
22. (本题满分 16 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分 ,第 3 小题满分 6 分. 解: (1)将已知条件 an ?1 ? an ? 3 ? 2 变形为 an ?1 ? 2
n
n ?1

? ? ? an ? 2n ? ??1 分

由于 a1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 ? 0 ,则 即数列 an ? 2
n

a n ?1 ? 2 n ?1 ? ?1 (常数)??3 分 an ? 2 n

?

n

? 是以1为首项,公比为 ?1的等比数列??4 分
n ?1

所以 a n ? 2 ? 1 ? (?1)

? (?1) n ?1 ,即 a n ? 2 n ? (?1) n ?1 ( n ? N * ) 。??5 分

(2)假设在数列 ?an ? 中存在连续三项成等差数列,不妨设连续的三项依次为 ak ?1 ,ak ,ak ?1 (k ? 2,k?N ) ,由题意得, 2a k ? a k ?1 ? a k ?1 ,
*

将 a k ? 2 ? (?1)
k

k ?1

, a k ?1 ? 2

k ?1

? (?1) k ? 2 , a k ?1 ? 2 k ?1 ? (?1) k 代入上式得??7 分

2[2 k ? (?1) k ?1 ] ? [2 k ?1 ? (?1) k ?2 ] ? [2 k ?1 ? (?1) k ] ??????8 分
化简得, ? 2
k ?1

? 4 ? (?1) k ?2 ,即 2 k ?1 ? 4 ? (?1) k ?1 ,得 (?2) k ?1 ? 4 ,解得 k ? 3

所以,存在满足条件的连续三项为 a 2 , a 3 , a 4 成等比数列。??10 分 (3)若 a1 , a r , a s 成等差数列,则 2ar ? a1 ? as 即 2[2 ? (?1)
r r ?1

] ? 3 ? 2 s ? (?1) s ?1 ,变形得 2 s ? 2 r ?1 ? 2 ? (?1) r ?1 ? (?1) s ?1 ? 3 ??11 分
*

由于若 r , s ? N 且 1 ? r ? s ,下面对 r 、 s 进行讨论: ① 若 r , s 均为偶数,则 2 ? 2
s r ?1

? 0 ,解得 s ? r ? 1,与1 ? r ? s 矛盾,舍去;
r ?1

② 若 r 为奇数, s 为偶数,则 2 ? 2
s

? 0 ,解得 s ? r ? 1; ? 0 ,解得 s ? r ? 1,与1 ? r ? s 矛盾,舍去;

③ 若 r 为偶数, s 为奇数,则 2 ? 2
s

r ?1

④ 若 r , s 均为奇数,则 2 ? 2
s

r ?1

? 0 ,解得 s ? r ? 1,与 1 ? r ? s 矛盾,舍去;??15 分

综上①②③④可知,只有当 r 为奇数, s 为偶数时, a1 , a r , a s 成等差数列,此时满足条
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件点列 ? r , s ? 落在直线 y ? x ? 1 (其中 x 为正奇数)上。??16 分(不写出直线方程扣 1 分) 23. (本题满分 18 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分 ,第 3 小题满分 8 分. 解: (1)由 2 ? (1, 2] 得, f ( 2 ) ? 1 ? log 1
2

2?

1 ??????2 分 2

1 ? 1 ????????4 分 2 x i i ?1 (2) 【理科】当 x ? (2 ,2 ] ( i ? N )时, i ? ?1, 2? ,依题意可得: 2
由题中条件得 f (2 2 ) ? 2 f ( 2 ) ? 2 ?

?x? f ? x ? ? 2 f ? ? ? 22 ?2?


? x ? f ? 2 ? ? ? ? 2i ?2 ?

? x f? i ?2

x ? x? ? i i ?1 2 ? ? 2 2 ? i ? ? i ? ? 2 x ? x ??6 2 ?2 ? ?

2

方 程 f ( x) ? x ? 0 ?

2i ?1 x ? x 2 ? x ? x ? 0 或 x ? 2i , 0 与 2 i 均 不 属 于

(2 i ,2 i ?1 ] ??8 分
当 x? 2 ,2
i

?

i ?1

? ( i ? N )时,方程 f ? x ? ? x ? 0 无实数解。 ?

0 1 1 2 i i?1 注意到 ?1, ?? ? ? 2 , 2 ? ? 2 , 2 ? ??? 2 , 2 ? ?? ? ? ?

?

?

?

所以函数 y ? f ? x ? ? x 在 ?1, ?? ? 上无零点。??10 分 【文科】当 x ? (2 ,2
i i ?1

] (i ? 0,1,2) 时,

x ? ?1, 2? ,依题意可得: 2i
2

x ? x? ?x? ? x ? ? x? f ? x ? ? 2 f ? ? ? 22 f ? 2 ? ? ? ? 2i f ? i ? ? 2i 2 ? i ? ? i ? ? 2i ?1 x ? x 2 。 ?? 2 ?2 ? ?2? ?2 ? ?2 ?
6分 方程 f ( x) ? x ? 0 ? ( (i ? 0,1,2) )??8 分 当 x? 2 ,2
i

2i ?1 x ? x 2 ? x ? x ? 0 或 x ? 2i , 0 与 2 i 均不属于 (2 i ,2 i ?1 ]

?

i ?1

? ( (i ? 0,1,2) )时,方程 f ? x ? ? x ? 0 无实数解。 ?

0 1 1 2 2 3 注意到 (1,8) ? (2 ,2 ] ? (2 ,2 ] ? (2 ,2 ) , 所以函数 y ? f ? x ? ? x 在 (1,8) 上无零点。 ?

10 分

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(3)当 x ? k , k
j

?

j ?1

x ? , j ? Z 时,有 j ? ?1, k ? ,依题意可得: ? k
? x ? j ? 2 ? ?? ? k f k ? ? ? x ? ? j? ?k ?

? x? f ? x ? ? kf ? ? ? k 2 f ?k?

当 x ? ?1, k ? 时, f ? x ? 的取值范围是 ? 0,1? ?12 分 所以当 x ? k , k
j

?

j ?1

? , j ? Z 时, f ? x ? 的取值范围是 ?0, k j ? 。?14 分 ? ?

由于 (0, k

n ?1

] ? (k n , k n?1 ] ? (k n?1 , k n ] ? ? ? (k 0 , k ] ? (k ?1 , k 0 ] ? ??16 分

n ?1 所以函数 f ? x ? 在 0, k ? ( n ? N )上的取值范围是: ?

?

[0, k n ) ? [0, k n?1 ) ? ? ? [0, k 0 ) ? [0, k ?1 ) ? ? ? [0, k n ) 。?18 分

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