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湖北省黄冈市2013届高三4月调研考试数学理试题 扫描版含答案


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黄冈市 2013 年高三年级 4 月份质量检测 数学试题参考答案(理)
一、选择题(共 50 分) 1—5 BCBCA 6—10 DBDCD 二、填空题(25 分) 3 11、2 3 12、70 13、2 三、解答题(共 75 分) 17、 (

12 分) (Ⅰ) f ( x ) ? m ? n ? 4 s in ( ? x ?
?? ?

14、0,

64 7

15、5

16、2

?
3

) cos ? x ?
2

3

? 2 sin ? x co s ? x ? 2 3 co s ? x ? ? sin 2 ? x ?
? 2 s in ( 2 ? x ? T ? 2? 2? ??

3

3 co s 2 ? x

?
3

)

?? ?1
? 2x ?

? f ( x ) ? 2 sin ( 2 x ?

?
3

) …………………………4 分

由 2k? ?

?
2

?
3

? 2k? ? 5? 12

?
2

(k ? z ) 得 k? ?

5? 12

? x ? k? ?

?
12

? 单调递增区间是 [ k ? ?

, k? ?

?
12

]( k ? z ) …………………………………………8 分 ? [ 4 ? ? 3 ,

(Ⅱ)? x ? [ ?

5? 6

,

?
12

]

? 2x ?

?
3

?
2

]

? s in ( 2 x ?

?
3

) ? [ ? 1,1]

? f ( x ) ? [ ? 2, 2 ]

即 f ( x ) 的值域是 [ ? 2, 2 ] …………………………………12 分

18、 (12 分) (Ⅰ)15 天中空气质量达到一级的有 5 天, 则恰有一天空气质量达到一级的概率 P ?
C 5C 10 C 15
3 1 2

?

45 91

………………………………4 分

(Ⅱ)15 天中空气质量超标的天数为 5 天,? ? ? 0,1, 2, 3
P (? ? 0 ) ? C 10 C15 P (? ? 2 ) ? C 5 C 10 C 15
3 2 1 3 3

?

24 91 20 91

P ( ? ? 1) ?

C 5C 10 C 15
3

1

2

?

45 91 2

?

P ( ? ? 3) ?

C5
3

3

?

………………………………8 分

C 15

91

? 分布列为

?

0

1

2

3

-5-

24
P

45 91 ? 3? 2 91

20 91

2 91

91 ? 2? 20 91

? E? ? 0 ?

24 91

? 1?

45 91

? 1 …………………………………………12 分
2

19、 (12 分) (Ⅰ) S n ? ?
2

1 2

n ? kn ? ?
2

1 2

(n ? k ) ?
2

k

2

? 当 n ? k 时 ( S n ) m ax ?
1 2

k

? 8,? k ? 4 …………………………………………………3 分
7 2 9 2

2
a1 ? S 1 ? 9 2
m

? Sn ? ?

n ? 4n
2

当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ? 1 ?

?n

? 数列 { a n } 的通项公式为 a n ?

? n …………………………………………………6 分 ?2
m m

(Ⅱ)依题意有 ? 4 ?
m

9 2

? n ? ?2 9 2 )? 4
m
m

?

9 2

? n ? 4

m

?

9 2

? bm ? ( 4

m

?

9 2

) ? (2

m

?

? 2 …………………………………………………9 分
m ?1

? Tm ?

4 (1 ? 4 )
m

1? 4

?

2 (1 ? 2 ) 1? 2

?

4

?2 3

m ?1

?

2 3

………………………………12 分

20、 (12 分) (Ⅰ)以 D A、 D C 、 D E 分别为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系 则 A ( 2, 0, 0 ), B ( 2, 2, 0 ), C (0, 4, 0 ), E (0, 0, 2 ), M (0, 2,1)
???? ? ???? ? B M ? ( ? 2, 0,1), 面 A D E F 的一个法向量 D C ? (0 , 4 , 0 )

???? ???? ? ???? ? ???? ? B M ? D C ? 0 ,? B M ? D C 。即 B M // 面 A D E F ……………………………4 分

(Ⅱ)依题意设 M (0 , t , 2 ?

t

2 ????? ? ???? ? t 则 D B ? n ? 2 x ? 2 y ? 0 , D M ? n ? ty ? ( 2 ? ) z ? 0 2 ?? ? ?? ? 2t ) ,面 A B F 的法向量 n 2 ? (1, 0 , 0 ). 令 y ? ? 1 ,则 n1 ? (1, ? 1, 4?t ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? | n ? n2 | 1 6 ? ? ?| c o s ? n 1 , n 2 ? | ? ?? 1 ?? ? ? ,解得 t ? 2 6 4?2 | n1 | ? | n 2 | 2? 2 (4 ? t)

?? ? )(0 ? t ? 4 ) ,设面 B D M 的法向量 n1 ? ( x , y , z )

? M (0, 2,1) 为 EC 的中点, S ? D E M ?
? V M ? BDE ? 1 3 ? S ?DEM ? h ? 4 3

1 2

S ? C D E ? 2 , B 到面 D E M 的距离 h ? 2

…………………………………………………………8 分

-6-

21、 (13 分) (Ⅰ)设 M ( x , y ) ,则 k M A ? k M B ?

y x? y
2

? 3

y x? 3

? ?

2 3

(x ? ?

3)

化简

x

2

?

y

2

?1

? 轨迹 C 的方程为

x

2

?

? 1( x ? ?

3 ) ……………………4 分

3

2

3

2

(Ⅱ)设 l : x ? m y ? 1 , O 到 l 的距离 d ?

1 1? m
2

,?| P Q | ? 2 5 ?

1 1? m
2

? [ 4 ,1 9 ]

? 0 ? m ? 3 ,将 x ? m y ? 1 代入轨迹 C 方程并整理得: ( 2 m ? 3) y ? 4 m y ? 4 ? 0
2

2

2

设 P ( x1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ) ,则 y 1 ? y 2 ? ?
?| y 1 ? y 2 | ? ( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2 ?
2

4m 2m ? 3
2

, y1 y 2 ? ?
? 16 2m ? 3
2

4 2m ? 3
2

16m
2

2 2

( 2 m ? 3)
2

? S? ?

1 2

| y1 ? y 2 | ? | F F ? |? 4

3( m ? 1) ( 2 m ? 3)
2 2

设 m ? 1 ? t ? [1, 4 ] ,则 f ( t ) ? 4 t ? 在 [1, 4 ] 上递增,? f ( t ) ? [5,
2

1 t

65 4

]

? S? ? 4

3t ( 2 t ? 1)
2

?

4 3 1 4 ? (4t ? ) t
4 3 3

? S m in ?

8 3 9

, S m ax ?

…………………………………………………………13 分
2 3 2 3 4

2 22、 (14 分) (Ⅰ) f ? ( x ) ? ? 3 x ? 2 x ? 0 , x ? 0 或

, f ( x ) 在 ( ? ? , 0 ) ? , (0 , ) ?

(

2 3

, ? ? ) ? ,? f ( x ) 极 小 ? f (0 ) ? 0, f ( x ) 极 大 ? f ( ) ? ………………………4 分 3 27
3 2

2

(Ⅱ) f ( x ) ? g ( x ) ? ? x ? ( a ? 2 ) x 化 为 a (ln x ? x ) ? 2 x ? x
x ? 2x
2

易知 ln x ? x ,? a ?

x ? ln x

,设 ? ( x ) ?

x ? 2x
2

x ? ln x
2 x
2

? ?( x ) ?

( x ? 1)( x ? 2 ? 2 ln x ) ( x ? ln x )
2

,设 h ( x ) ? x ? 2 ? 2 ln x , h ? ( x ) ? 1 ?

? h ( x ) 在 (1, 2 ) ? , ( 2, ? ? ) ? ,? h ( x ) m in ? h ( 2 ) ? 4 ? 2 ln

? 0

? ? ? ( x ) ? 0 ,? ? ( x ) 在 [1, ? ? ) 上是增函数, ? ( x ) m in ? ? (1) ? ? 1

-7-

? a ? ? 1 ……………………………………………………………………………………9 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知: a ln x ? ( a ? 2 ) x ? x ? 0 对 x ? 1 恒成立,
2

令 a ? ? 1, 则 ln x ? x ? x ,?
2

1 ln x

?

1 x ( x ? 1)

?

1 x ?1

?

1 x

取 x ? n ? 1, n ? 2 ,? , n ? 2 0 1 3 得
1 ln ( n ? 1) ? 1 n 1 ln ( n ? 1) ? 1 1 ? 1 n ?1 ? 1 n?2 1 ln ( n ? 2 0 1 3) 1 n 1 n ? 2013 1 ln ( n ? 2 0 1 3) 1 n 1 n ?1 ? 1 n ? 2012 1 n ?1 ? 1 n ? 2013

n ? 1 ln ( n ? 2 ) 1 ln ( n ? 2 )

,

,? ,

相加得:

?

?? ?

? (

?

)?(

?

1 n?2

)

?? ? (

1 n ? 2012

?

1 n ? 2013

)?

?

?

2013 n ( n ? 2 0 1 3)

…………………14



命题人:武穴中学 张在先 何 琴 审题人:武穴中学 吴友祥 卢 平 黄冈市教科院 丁明忠 黄州区一中 杨安胜

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