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正余弦定理(公开课)


正弦定理和余弦定理 复习

会考对本章的考查
一、考查形式:以选择、填空题为主 2013年1月第11,14两小题,共6分; 12月第12小题,共3分 2014年6月第14小题,共3分; 12月第17小题,共3分; 2015年6月第15,18两小题,共6分 2015年12月、、、、、、

二、考查内容:
1.用正弦定理、

余弦定理解三角形.(重点) 2.运用正弦定理、余弦定理解决与三角形 有关的其他问题.(难点)

基本知识复习
( 一)正弦定理
(1)正弦定理:

a b c ? ? sin A sin B sin C

? 2R

(其中R为该三角形外接圆的半径)

(2)常见变形公式: a ? 2 R sin A (边化角)

a sin A ? (角化边) 2R a : b : c ? sin A : sin B : sin C (比例)
问题1:△ABC中,A> B<=>a>b是否正确? 问题2:△ABC中,sinA>sin B<=>A>B 是否正确?

(二) 余弦定理

(1)余弦定理:

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b ? c ? a ? 2ca cos B
2 2 2

c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

(2)常见变形公式:

b ?c ?a cos A ? 2bc
2 2

2

(边角互化,求角,判别角)

问题一:三角形中的边角运算(解三角形) 问题二:三角形的形状判断 问题三:三角形的面积求解

(一) 三角形中的边角运算
1、在△ABC中,已知b=12,A=300,B=1200,

则 a=

4 3。
,B=600,c=1, D. 不确定

2、在△ABC中,b= 3

则此三角形有( A) A. 一解 B. 两解 C. 无解

c? 3、在△ABC中,若a=3,b=4,
则这个三角形中最大角为

37 ,

1200 。

4、已知△ABC中,a=4,b=6,C=600, 则 c=

2 7。

可归纳出——
解斜三角形的类型: 1、已知两角和任一边,求其他两边和一角,用正弦 定理 2、已知三边求三角,用 余弦 定理。 4、已知两边和一边的对角,求第三边和其他两角, 用 正弦或余弦 定理。 要数形结合,画图分析边角关系,合理使用公式。 要注意根据“大边对大角”确定三角形解的个数

3、已知两边和它的夹角,求第三边和其他两个角,用余弦 定理

(二) 三角形的形状判断
1、在△ABC中,bcosA=acosB,判断三角形的形状。

思路:转化成单一的角关系或边长的关系
2、在△ABC中,a=5,b=6,c=8,△ABC的形状是(C ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 都有可能

a 2 ? b2 ? c 2 判断:(1)在△ABC中, , 则△ ABC为钝角 三角形

(2)在△ABC中, a 2 ? b2 ? c 2 ,则△ ABC为锐角 三角形

(三)三角形的面积求解
S ?ABC
S ?ABC

1 ? ? 底?高 2

1 1 1 ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2

2011年高考新课标全国卷
o ? ?ABC中, B=120,AC=7,AB=5,求 ?ABC的面积

AC AB 7 5 解析:(1) (法一)由正弦定理,有sin B=sin C,即sin 120° = , sin C 5sin 120° 5 3 所以 sin C= = . 7 14 ?5 3?2 11 2 ? = , 所以 cos C= 1-sin C= 1-? 14 ? 14 ? 又因为 A+B+C=180° ,所以 A+C=60° . 3 11 1 所以 sin A=sin(60° -C)=sin 60° cos C-cos 60° sin C= × - 2 14 2 5 3 3 3 × = . 14 14 1 1 3 3 15 3 所以 S△ABC= AB· ACsin A= ×5×7× = . 2 2 14 4

(法二)设 BC=x(x>0),由余弦定理,有 52+x2-72 cos 120° = ,整理得 x2+5x-24=0, 10x 解得 x=3 或 x=-8(舍去),即 BC=3, 1 1 1 3 所以 S△ABC= AB· BC sin B= ×5×3×sin 120° = × 5× 3× = 2 2 2 2 15 3 . 4

1、在△ABC中,已知sinA:sinB:sinC=5:7:8, 则B=

60

0

2、?ABC中,若a, b, c成等比数列,且c ? 2a, 则cos B ? (ddd )

B

1 A. 4

3 B. 4

2 C. 4

2 D. 3

3、(2011· 安徽卷) 已知△ABC的一个内角为120°, 并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面 积为_ _____. 15 3

小结
熟记:正、余弦定理及其变形,三角形面积公式,合
理采用公式(求边、外接圆半径、角、面积等)

活用:灵活运用定理,实现边角转化(判别三角形形状等)

注重:数形结合与转化思想

请拿出学业水平测试资料练习
2014年6月14题, ? 12月17题 ? 2015年6月15题,18题
?

思考题
在△ABC中,内角A,B,C所对边的边长分别是a,b,c

已知 c=2,C=

? .若△ABC的面积等于 3 ,求a,b; 3

学业水平考试真题演练
? ?

1.(2013年)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是 a,b,c, 若b=2csinB,则sinC等于 1 3 2 A.1 B. 2 C. 2 D.
2

2.(2013)在 ?ABC 中,角A,B,C的对边分别 是a,b,c,已知 a ? 1, b ? 2, C ? 1200 ,则c等于 () A.2 B. 5 C. 7 D4.

?

?
?

3.(2012) 在 ?ABC中, sin A ? sin B ? cos A ? cos B ? 0, 则这个三角形一定是 (A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形

5.(2011)在△ABC中,已知 b2 ? c2 ? a 2 ? bc . 则角A等于 .

6 在△ABC中,若 a ? 7, b ? 3, c ? 8 ,则其面 积等于( )


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