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2.5.2 从力做的功到向量的数量积(2)


必修四 第二章

编写 蒋兴安

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课题 :§2.5.2 从力做的功到向量的数量积(2)
学习目标:1.掌握平面向量的数量积的定义及其运算律; 2.会利用平面向量数量积的有关运算律进行相关的计算. 学习重点:平面向量的数量积的定义及几何意义. 学习难点:平面向量的数量积的定义及其运算律的理解和平面向量的数量积的应用.

【自主学习】预习教材第 95~97 页,完成下列问题.
1.平面向量数量积 (1)定义: 已知两个非零向量 a 与 b, 它们的夹角为 θ, 我们把数量 内积),记作 a· b,即 a· b= (2)规定:零向量与任一向量的数量积为 . . ,向 叫作 a 与 b 的数量积(或

(3)射影:设两个非零向量 a、b 的夹角为 θ,则向量 a 在 b 方向的射影(也叫投影)是 量 b 在 a 方向上的射影是 2.数量积的几何意义 a· b 的几何意义是数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的射影 3.向量数量积的性质 (1)a、b 共线,则 a?b= (2) ①e?a= ; ; ②a?b ? ; .特别的 a?a = 的乘积. .

③当 a 与 b 同向时, a?b = ④cos? =

; 当 a 与 b 反向时, a?b =

或 | a |? a ? a ;

(|a||b|≠0) ;⑤ |a?b|

|a||b|(当且仅当 a ∥ b 时等号成立).

【预习自测】完成课本第 95 页练习第 1、2 题.
1. 若|a|=1,|b|= 2 ,且 a,b 反向,则 a?b= 。

2. 若向量 a,b 满足|a|= 2,|b|=1,a· (a+b)=1,则向量 a,b 的夹角的大小为__________.

3. 已知|b|=3,a 在 b 方向上的射影为2,求 a?b.

3

4. 已知向量 a、b,满足|a|=1,|b|= 4,且 a?b.=2,求 a 与 b.的夹角.

【合作探究】
探究 1、 在?ABC 中,设边 BC,CA.AB 的长度分别为 a,b.c,证明:

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ; b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ; c 2 ? a 2 ? b2 ? 2abcosC .

探究 2、 已知单位向量 e1、e2 的夹角为3 ,求向量 a=e1+e2b = 2e2-e1 的夹角的余弦值.

π

探究 3、 用向量的方法证明:等腰三角形底边上的中线垂直于底边.

【基础检测】
1.若|a|=5,|b|=6, 〈a,b〉=60° ,则 a· b=( ). A.15 B.15 3 C.15 2 D.10 2.已知|a|=4 ,|b|=3,a· b=-6,则 a 与 b 的夹角为( ). A.150° B.120° C.60° D.30° 3.已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( ). A.a∥b B.a⊥b C.|a|=|b| D.a+b=a-b 4.若|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60° ,则|a+3b|=__________. 5.已知两个非零向量 a,b,夹角 θ=120° ,且(a-3b)⊥(7a+ 5b),问是否存在实数 λ,满足(a-4b)⊥(λa -b)?


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