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2.1.2空间中直线与直线的位置关系


新课标实验教材:人教版

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复习与准备:平面内两条直线的位置关系

相交直线
平行直线

a o b

a b
平行直线 (无公共点)

>相交直线 (有一个公共点)

D
B

A
两路相交

C

立交桥

立交桥中, 两条路线AB, CD 既不平行,又不相交
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六角螺母

D C A B

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NEXT

练习1:在教室里找出几对异面直线的例子

合作探究一
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面? 答:不一定:它们可能异面,可能相交,也可能平行。

b a

a

M

b

a

b

?

?

?
BACK

?

?

?

a与b是异面直线

a与b是相交直线
NEXT

a与b是平行直线

1.异面直线的定义:
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。

注1
两直线异面的判别一 : 两条直线不同在任何一个平面内.

两直线异面的判别二 : 两条直线 既不相交、又不平行.
注意:在不同平面内的两条直线不一定异面

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2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
相交直线 同在一个平面内 按平面基本性质分 不同在任何一个平面内: 异面直线 平行直线

有一个公共点: 按公共点个数分 无 公 共 点

相交直线 平行直线 异面直线

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2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现

b a
(1)

它们不共面的特点。常借
助一个或两个平面来衬托.

A

?

如图:

a

?
?
b
(3)
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a

?

b
(2)

合作探究二
如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB ,

CD , EF , GH 这四条线段所在直线是异面直线的有
答:共有三对

对?

A
H

D F (B) (C) G

C G

A D B

H

E F

E
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我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,
那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系?

a

b

c

d

e

a∥ b ∥ c ∥ d ∥ e ∥ …

公理4:在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行.
———平行线的传递性

推广:在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行.
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例2: 在空间四边形ABCD中,E,F,G, H分别是AB,BC,CD,DA的中点。 求证:四边形EFGH是平行四边形。
分析: 欲证EFGH是一个平行四边形 只需证EH∥FG且EH=FG E A H D G

连结BD,只需证: 1 EH ∥BD且EH = BD

2 1 FG ∥BD且FG = BD 2

B

F

C

E,F,G,H分别是各边中点

例2: 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA的中点。 求证:四边形EFGH是平行四边形。
证明: 连结BD
∵ EH是△ABD的中位线 1 ∴EH ∥BD且EH = BD 2 1 同理,FG ∥BD且FG = BD E D G A H

2

∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形

B

F

C

变式一:
在例2中,如果再加上条件AC=BD,那 么四边形EFGH是什么图形? A

菱形
分析: 在例题2的基础上 我们只需要证明平行四 边形的两条邻边相等。
B

E

H
D F G C

变式:四边形ABCD是空间四边形,E、 H分别是AB,AD的中点 ,F、G分别是 CF CG 2 ? ? CB,CD上的点,且
CB CD 3

A H
D

求证:四边形EFGH是梯形。

E B F C G

A

证明:连结BD。
∵EH是?ABD的中位线,
CF CG 2 又∵在?BCD中, , ? ?
B

H E D G F C

1 ∴ EH∥B D,EH= BD。 2

∴ FG∥BD,FG=

CB 2 CD

3

3

BD。

即 EF∥FG。
又∵FG>EH, ∴四边形EFGH是梯形。

例3.如图:在长方体ABCD-A1B1C1D1中, 已知E,F分别是AB , BC 的中点, 求证:EF∥A1C1
D1

证明:连结AC.
在△ABC中,E,F分别是AB,BC 的中点 所以 EF ∥ AC 又因为 AA1∥BB1 且 AA1 = BB1 BB1∥CC1 且 BB1 = CC1 所以 A1 D A


C1 B1


C

F

E

B

AA1∥CC1 且 AA1∥CC1 即四边形AA1C1C是平行四边形

所以

AC∥A1C1

从而

EF∥A1C1

练一练, P48页练习1,2题。
例4: 如图,A 是平面 BCD 外的一点 G , H 分别是 ?ABC , ?ACD 的重心, A 求证:GH // BD 。 证明:连结 AG, AH 分别交 BC, CD G H MN M , N 于 ,连结 , D B ∵G,H分别是⊿ABC,⊿ACD的重 N M C 心,∴M,N分别是BC,CD的中点, ∴MN//BD, 又∵ AG ? AH ? 2
AM AN 3

∴ GH//MN,由公理4知GH//BD.

在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的 两边分别平行,那么这两个角相等或互补 ”.空间中这一结 论是否仍然成立呢?
观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 ,

∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小
关系如何? D1 A1 D A 那么这两个角相等或互补.
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C1 B1 C

答:从图中可看出, ∠ADC=∠A1D1C1,
∠ADC +∠A1B1C1=180O

B

定理(等角定理):空间中,如果两个角的两边分别对应平行,

3.异面直线所成的角
(1)复习回顾 在平面内,两条直线相交成四 个角, 其中不大于90度的角称为它 们的夹角, 用以刻画两直线的错开 程度, 如图. (2)问题提出 在空间,如图所示, 正方体 ABCD-EFGH中, 异面直线AB

O

H E F

G

与HF的错开程度可以怎样来刻
画呢?
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D A
B

C

(3)解决问题
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角 (或夹角).
o o

异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ]
如果两条异面直线 a , b 所成的角为直 角,我们就称这两 条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b

思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位
置不同时, 这一角的大小是否改变?

b b′

a′ ″

?
O

BACK

NEXT

思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小
是否改变?

解答: 如图

答: 这个角的大小与O点的位置无关.

设a ′与 b ′相交所成的角为∠1, a ″与 b 所成的角为∠2 ,
∵ a′∥a , a″ ∥a∴ a′∥ a″ (公理4), 同理 b′∥b″, ∴ ∠1 = ∠2 (等角定理)

b

b′

a″ a

?
∠2

a′
O
∠1

BACK

NEXT

在求作异面直线所成的角时,O点 常选在其中的一条直线上 (如线段的端点,线段的中点等)

4.例题选讲
例1 下图长方体中 (1)说出以下各对线段的位置关系?
① EC ② BD ③BH

点击 旋转长方体

H E D A B F

G

和BH是 和FH是 和DC是

相交 平行 异面

直线 直线 直线

C

(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 4 条?
分别是 :CG、HD、GF、HE

课后思考:

这个长方体的棱中共有多少对异面直线?
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例2

如图,正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求 (1)BE与CG所成的角? (2)FO与BD所成的角?

解: (1)如图: ∵BF∥CG,∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的角,
o o 又 ? BEF中∠EBF =45 , 所以BE与CG所成的角是45

(2)连接FH, ∵HD = EA,EA = FB ∴HD = FB
∥ ∥ ∥

H
E
O

G F

∴四边形BFHD为平行四边形,∴HF∥BD ∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角

连接HA、AF, 则AH=HF=FA ∴ △AFH为等边△ o 依题意知O为AH中点 , ∴∠HFO=30 所以FO与BD所成的夹角是30o
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D

C

A

B

求异面直线所成的角的步骤是:
一作(找):作(或找)平行线 二证:证明所作的角为所求的异

面直线所成的角。
三求:在一恰当的三角形中求出 角

BACK

NEXT

5.课堂练习
如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = 2 (1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度? 解答: (1)∵GF∥BC 2 E
2 3 D 2 3

3 , AD = 2 3 , AE = 2
H G

F
C B

∴∠EGF(或其补角)为所求.
Rt△EFG中,求得∠EGF = 45 (2) ∵BF∥AE
o

A

∴∠FBG(或其补角)为所求,
Rt△BFG中,求得∠FBG = 60o
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6.课堂小结
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线 异面直线 异面直线的画法 异面直线所成的角 用平面来衬托 平移,转化为相交直线所成的角

公理4: 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行. 空间中,如果两个角的两边分别对应平行, 等角定理:

那么这两个角相等或互补.
一作(找)二证三求

异面直线的求法: 作业:

P56:4,6
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