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人教A版选修2-2-1.1.2《导数的概念》(2016春)


1.1.2 导数的概念

回顾:高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位:米)与起跳后的时间t(单位:秒) 存在函数关系 h h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?
o t

65 计算运动员在0 ? t ? 这段时间里的平均速度, 49

r />65 h( ) ? h(0) ? 10 49

?h v? ?0 ?t

思考下面问题; 1)运动员在这段时间里是静止的吗?
2)你认为用平均速度描述运动员的状态有什么问题吗?

瞬时速度.
?

在高台跳水运动中,平均速度不一定能反映 运动员在某一时刻的运动状态,需要用瞬 时速度描述运动状态。我们把物体在某一 时刻的速度称为瞬时速度.

又如何求 瞬时速度呢?

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的 变化趋势. ?如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?

h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10

求:从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
?h v? ?t h(2 ? ?t ) ? h(2) ? ? ?13.1 ? 4.9?t ?t

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上 的变化趋势. ?如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?

h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10
2

△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段 △t>0时, 在[2, 2 +△t ]这 时间内 段时间内

v ? ?4.9?t ? 13.1
当△t = – 0.01时, v ? ?13.051
当△t = – 0.001时, v ? ?13.0951
△t = – 0.00001, v

v ? ?4.9?t ? 13.1
当△t = 0.01时, v ? ?13.149 当△t =0.001时, v ? ?13.1049

当△t = –0.0001时, v ? ?13.09951 当△t =0.0001时, v ? ?13.10049

? ?13.099951

△t = 0.00001,

v ? ?13.100049

△t = – 0.000001, v

……

? ?13.0999951 △t =0.000001, v ? ?13.1000049
……

从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度

?h v? ? ?13.1 ? 4.9?t ?t 当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于

2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度 v 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的

瞬时速度是 –13.1.

h(2 ? ?t ) ? h(2) lim ? ?13.1 ?t ?0 ?t
表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 v 趋近于确定值– 13.1”.

探 究:
1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?

h(t0 ? ?t ) ? h(t0 ) lim ?t ?0 ?t 2 ? 4.9(?t ) ? (9.8t0 ? 6.5)?t ? lim ?t ?0 ?t ? lim (?4.9?t ? 9.8t0 ? 6.5)
?t ?0

? ?9.8t0 ? 6.5

定义:

函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是

f ( x0 ? Δx) ? f ( x0 ) ?f lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ? x ?x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ?( x0 )

f ( x ? Δ x ) ? f ( x ) 0 0 ? y | 或 . x ? x0 , 即 f ?( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x
(1). f ?( x0 )与x0的值有关,不同的x0其导数值一般也不相同; f ?( x0 )与?x的具体取值无关。
(2).瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。

定义:

函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是

f ( x0 ? Δx) ? f ( x0 ) ?f lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ? x ?x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ?( x0 )
或 y? | x ? x0 , 即

f ( x0 ? Δx) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim . ?x ?0 ?x

由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: 1. 求函数的改变量 ?f ? f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ); f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? ; 2. 求平均变化率 ?x ?x ?f 3. 求值 f ?( x0 ) ? lim .
?x ?0

?x

一差、二比、三极限

例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑 胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却 和加热 . 如果第 x h时, 原油的温度(单 ? C 位: )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计 算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.

解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是 f ?(2)和 f ?(6).

f (2 ? ?x) ? f (2) 4?x ? (?x) 2 ? 7 ?x ? ? ?x ? 3 ?x ?x ?f lim ? lim (?x ? 3) ? ?3. 所以, f ?(2) ? ? x ?0 ?x ?x ?0 同理可得 f ?(6) ? 5.
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说 明在第2h附近, 原油温度大约以3 ? C / h的速率下降; 在第6h附近, 原油温度大约以5 ? C / h的速率上升.

根据导数的定义,

例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: ? C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. P6练习: 计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率, 并

说明它们的意义.

课堂练习: 如果质点A按规律 s ? 2t 3 则在t=3s 时的瞬时速度为 A.6 B.18 C.54 D.81

练习:

小结
1求物体运动的瞬时速度: (1)求位移增量Δ s=s(t+Δ t)-s(t) ?s (2)求平均速度 v ? ?t ; ?s s(t ? ?t ) ? s (t ) (3)求极限 ? . lim lim
?x ?0

?t

?x ?0

?t

2由导数的定义可得求导数的一般步骤: (1)求函数的增量Δ y=f(x0+Δ t)-f(x0) ?y (2) 求平均变化率 ? x ?y (3)求极限 f ( x ) ? lim ?x
' 0 ?x ? 0


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