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立体几何解答题练习题1


1.如图,四边形 ABCD 为梯形,AB∥CD, PD ? 平面 ABCD, ?BAD=?ADC=90o , DC ? 2 AB ? 2a, DA ? 3a ,E 为 BC 中点.

O 是 BD 中点,点 E 是棱 AA1 上任意一点. 3.在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,底面 A 1B 1C1D 1 是正方形,
D A E

O
B

C

D1 A1
(1)求证:平面 PBC ? 平面 PDE; (2)线段 PC 上是否存在一点 F,使 PA//平面 BDF?若有,请找出具体位置,并进行证明;若无,请分析说明理由.

C1 B1

(1)证明: BD ? EC1 ; (2)若 AB ? 2, AE ? 2, OE ? EC1, 求 AA1 的长

2.如图,已知四边形 ABCD 是正方形, PD ? 平面 ABCD,CD=PD=2EA,PD//EA,F,G,H 分别为 PB,BE,PC 的中点.

4.如图,在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是等腰梯形, AB ? 2 ,

BC ? CD ? 1 AB ∥ CD ,顶点 D1 在底面 ABCD 内的射影恰为点 C .
D1 A1 C1 B1

(1)求证:GH//平面 PDAE; (2)求证:平面 FGH ? 平面 PCD.

D A

C B

(Ⅰ)求证: AD1 ? BC ; (Ⅱ)在 AB 上是否存在点 M ,使得 C1M ∥平面 ADD1 A1 ?若存在,确定点 M 的位置;若不存在,请说明理由.

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5.已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 是 ?A ? 60? 、边长为 a 的菱形,又 PD ? 底面ABCD ,且 PD=CD,点 M、N 分别是 棱 AD、PC 的中点.
P

7.如图,在矩形 ABCD 中,点 E 为边 AD 上的点, 点 F 为边 CD 的中点, AB ? AE ? 边折至 ?PBE 位置,且平面 PBE ? 平面 BCDE .

2 AD ? 4 ,现将 ?ABE 沿 BE 3

P
N

A

E

D

E F

D

D M A B

C

B

C

B

C

(1)证明:DN//平面 PMB; (2)证明:平面 PMB ? 平面 PAD; (3)求点 A 到平面 PMB 的距离.

(Ⅰ)求证:平面 PBE ? 平面 PEF ; (Ⅱ)求四棱锥 P ? BCFE 的体积.

6.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,E、F 分别为 A1C1 和 BC 的中点.

8. 三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 侧棱与底面垂直,?ABC ? 90 ,AB ? BC ? BB1 ,M 是 A1B1 的中点,N 是 AC1 与 AC 1 的交点.

B1

M

A1 C1

N

(1)求证:平面 ABE⊥平面 B1BCC1; (2)求证:C1F//平面 ABE.

A B
C

(Ⅰ)求证: MN / / 平面 BCC1B1 ; (Ⅱ)求证: MN ? 平面 ABC1 .

9.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD / / BC , ?ADC ? 90 ,平面 PAD ? 底面 ABCD ,
0

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O 为 AD 中点, M 是棱 PC 上的点, AD ? 2 BC .

(1)求证:平面 POB ? 平面 PAD ; (2)若点 M 是棱 PC 的中点,求证: PA / / 平面 BMO .

(Ⅰ)求证:AF⊥平面 CBF; (Ⅱ)设 FC 的中点为 M,求证:OM∥平面 DAF; (Ⅲ)设平面 CBF 将几何体 EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为 VF ? ABCD ,VF ?CBE ,求 VF ? ABCD : VF ?CBE .

10 . 如 图 , 矩 形 ABCD 中 , AD ? 平面ABE , AE ? EB ? BC ? 2 , G 是

AC 中 点 , F 为 CE 上 的 点 , 且

BF ? 平面ACE .
D G F A E (1)求证: AE ? 平面BCE ; (2)求三棱锥 C ? BGF 的体积. B C

12.一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥,且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上,如图, 3 已知圆锥底面面积是这个球面面积的 16 ,设球的半径为 R ,圆锥底面半径为 r .

B

O
O1

R
r

A (1)试确定 R 与 r 的关系,并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比; (2)求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比.

11.如图,AB 为圆 O 的直径,点 E、F 在圆 O 上,AB∥EF,矩形 ABCD 所在的平面和圆 O 所在的平面互相垂直,且 AB=2, AD=EF=1.

13.如图,设四棱锥 E ? ABCD 的底面为菱形,且 ?ABC ? 60 , AB ? EC ? 2 , AE ? BE ? 2 .

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E

A

D

B

C

(1)证明:平面 EAB ? 平面 ABCD ; (2)求四棱锥 E ? ABCD 的体积. (Ⅰ)若点 E 是 PC 的中点,求证: PA / / 平面 BDE ; (Ⅱ)若点 F 在线段 PA 上,且 FA ? ? PA ,当三棱锥 B ? AFD 的体积为

4 时,求实数 ? 的值. 3

14.如图所示,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E、F 分别是棱 DD1、C1 D1 的中点. A1 B1 F C1 A B C E D D1

16.如图几何体中,四边形 ABCD 为矩形, AB ? 3BC ? 6, BF ? CF ? DE ? 2, EF ? 4, EF / / AB ,G 为 FC 的中点,M 为线段 CD 上的一点,且 CM ? 2 .

(Ⅰ)证明:平面 ADC1B1 ? 平面 A1 BE ; (Ⅱ)证明: B1 F //平面 A1 BE ; (Ⅲ)若正方体棱长为 1,求四面体 A1 ? B1BE 的体积.

(Ⅰ)证明:AF//面 BDG; (Ⅱ)证明:面 BGM ? 面 BFC; (Ⅲ)求三棱锥 F ? BMC 的体积 V.

15.如图,四棱锥 P ? ABCD 中, ?PAB 是正三角形,四边形 ABCD 是矩形,且平面 PAB ? 平面 ABCD , PA ? 2 , PC ? 4 .

17.如图, AB 为圆 O 的直径, E 是圆 O 上不同于 A , B 的动点,四边形 ABCD 为矩形,且 AB ? 2, AD ? 1 ,平面

ABCD ? 平面 ABE .

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A1 F

D

C

D

C

A
(1)求证: BE ? 平面 DAE . (2)当点 E 在 AB 的什么位置时,四棱锥 E ? ABCD 的体积为

E

B

E

B

3 . 3

(1)求证: BF // 面A 1DE ; (2)求证:面 A1DE ? 面 DEBC ; (3)求二面角 A1 ? DC ? E 的正切值.

18.已知三棱柱 ??C ? ?1?1C1 中,侧棱垂直于底面, ?? ? 5 , ?C ? 4 , ? C ? 3 , ??1 ? 4 ,点 D 在 ?? 上.

20. 如图, 多面体 ABCDEF 中, 底面 ABCD 是菱形,?BCD ? 60 , 四边形 BDEF 是正方形, 且 DE ? 平面 ABCD .

E F

D A B

C

(Ⅰ)求证: CF // 平面 AED ; (1)若 D 是 ?? 中点,求证: ?C1 // 平面 ?1CD ; (2)当 (Ⅱ)若 AE ? 2 ,求多面体 ABCDEF 的体积 V .

?D 1 ? 时,求三棱锥 ? ? CD?1 的体积. ?? 5

21.如图,在三棱柱 A1B1C1 中,四边形 ABB1 A 1和ACC1 A 1 都为矩形.

?DAB ? 60 ,E 为 AB 的中点, 19. 已知平行四边形 ABCD ,AB ? 4 ,AD ? 2 , 把三角形 ADE 沿 DE 折起至 A 1DE
o

位置,使得 AC ? 4 , F 是线段 AC 1 1 的中点.

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(1)证明: DC1 ? 平面 BDC ; (I)设 D 是 AB 的中点,证明:直线 BC1 / / 平面 A 1 DC ; (II)在 ?ABC 中,若 AC ? BC ,证明:直线 BC ? 平面 ACC1 A 1. (2)若 AA 1 ? 2 ,求三棱锥 C ? BDC1 的体积.

22.在四棱锥 P ? ABCD中,AB / /CD, AB ? AD, AB ? 2, AD ? 2 , CD ? 1, PA ? 平面 ABCD,PA=2.

?C//?D 且 ?C ? 4 , ?? ? 平面 ?? CD , ?? ? ?? ? ?D ? 2 , 24. 如图, 在四棱锥 ? ? ??CD 中, 四边形 ?? ? ?D , 点 ? 为 ? C 中点.

(I)设平面 PAB ? 平面 PCD ? m ,求证: CD / / m ; (II)设点 Q 为线段 PB 上一点,且直线 QC 与平面 PAC 所成角的正切值为

?1? 求证:平面 ?D? ? 平面 ?? C ;
PQ 2 ,求 的值. PB 2

? 2 ? 求点 ? 到平面 ?D? 的距离.

?ACB ? 90? , AC ? BC ? 23.如图,三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,侧棱垂直底面,

1 AA1 ,D 是棱 AA1 的中点. 2

25.如图所示,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 2 , BC ? 2 , CC1 ? 4 , M 为棱 CC1 上一点.

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A1 B1 C1 M

D1

A B C

D

(I)求证:平面 PBC ? 平面 PDE; (II)线段 PC 上是否存在一点 F,使 PA//平面 BDF?若有,请找出具体位置,并进行证明;若无,请分析说明理由.

(1)若 C1M ? 1 ,求异面直线 A1M 和 C1 D1 所成角的正切值; (2)若 C1M ? 2 ,求证 BM ? 平面 A1 B1M .

26.如图,四边形 ACDF 为正方形,平面 ACDF ? 平面 BCDE,平面 ACDE ? 平面 ABC,BC=2DE,DE//BC, M 为 AB 的中 点.

28.在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PA ? 底面 ABCD , PA ? EF ? PC 交 PC 于 F .

AB ,点 E 是 PD 的中点,作

(I)证明: BC ? AD ; (II)证明:EM//平面 ACDF.

27.如图,ABCD 为梯形, PD ? 平面 ABCD,AB//CD, ?BAD=?ADC=90 DC ? 2 AB ? 2a, DA ? 3a, PD ? 3a ,E
o

(Ⅰ)求证: PB ∥平面 EAC ; (Ⅱ)求证: PC ? 平面 AEF ; (Ⅲ)求二面角 A ? PC ? D 的大小. 29.如图(1) , ?ABD 为等边三角形, ?BCD 是以 C 为直角顶点的等腰直角三角形且 CD ? 2 , E 为线段 CD 中点, ? ABD BD 将 沿 折起(如图 2) ,使得线段 AC 的长度等于 2 ,对于图二,完成以下各小题:

为 BC 中点

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C E


为平行四边形,且 DC ? 平面 ABC .

B

D

A (图 1) (图 2) (1)证明: AC ? 平面 BCD ; (2)求直线 AE 与平面 ABD 所成角的正弦值; (3)线段 AB 上是否存在点 P ,使得平面 CPE 与平面 ABD 垂直?若存在,请求出线段 BP 的长度;若不存在,请说明 理由。 (1)求证: GH ∥平面 ACD ; (2)若 AB ? 2, BC ? 1 , tan?EAB ?

3 ,试求该几何体的 V. 2

30. 如图, 一简单几何体的一个面 ABC 内接于圆 O , G , H 分别是 AE, BC 的中点,AB 是圆 O 的直径, 四边形 DCBE

试卷第 8 页,总 8 页

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参考答案

1. (1)证明详见解析; (2)当点 F 位于 PC 三分之一分点(靠近 P 点)时, PA // 平面 BDF . 【解析】 试题分析: (1)证面面垂直,首先考虑证明其中一个平面内的一条直线于另一个平面.在本题中,由 PD ? 平面 A

可得 BC ? PD ;然后在梯形 ABCD 中,利用平面几何的知识可证得 BC ? DE ,从而使问题得证.(2) 连结 A

交于 O 点,在 ?CPA 中,过点 O 作 PA 的平行线交 PC 于点 F,则 PA // 平面 BDF .在梯形 ABCD 中,利用平面几 识可确定 O 点的位置,从而可确定点 F 在 PC 上的位置. 试题解析: (1)连结 BD

?BAD ? ?ADC ? 90

AB ? a, DA ? 3a
所以 BD ? DC ? 2a E 为 BC 中点 所以 BC ? DE 又因为 PD ? 平面 ABCD , 所以 BC ? PD 因为 DE PD ? D 所以 BC ? 平面 PDE 因为 BC ? 平面 PBC ,所以平面 PBC ? 平面 PDE (2)当点 F 位于 PC 三分之一分点(靠近 P 点)时, PA // 平面 BDF

P
F

D

C
O

E B

A

连结 AC , BD 交于 O 点

AB // CD ,所以 ?AOB 相似于 ?COD 1 1 又因为 AB ? DC ,所以 AO ? OC 2 2 1 从而在 ?CPA 中, AO ? AC ??10 分 3 1 而 PF ? PC 3 所以 OF // PA 而 OF ? 平面 BDF PA ? 平面 BDF 所以 PA // 平面 BDF
答案第 1 页,总 14 页

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∵ AA1 ⊥平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ∴ AA1 ⊥ BD 由于 AA1 ∩ AC = A ,所以 BD ⊥平面 AAC 1 1C

BD ⊥ EC1 再由 EC1 ? 平面AAC 1 1C 知
(2)设 AA1 的长为 x ,连结 OC1 , 在 Rt ?AOE 中, AE ?

2 , AO ? 2 ,∴ OE ? 2

Rt?EAC 1 1 中, A 1E ? x ? 2 , AC 1 1 ?2 2
∴ EC12 ? x ? 2

?

? ? ?2 2 ?
2

2

Rt?OCC1 中, OC ? 2 , CC1 ? x , OC12 ? x2 ?
又∵ OE ⊥ EC ∴ OE 2 ? EC12 ? OC12 ∴4+ x ? 2

? 2?

2

?

? + ?2 2 ? = x
2 2

2

? 2 ,∴ x ? 3 2

故 AA1 的长为 3 2

考点:1.线面平行的判定;2.利用法向量求二面角; 4. (1)证明见解析; (2)存在点 M 是 AB 的中点,证明见解析. 【解析】 试题分析: (1)解决立体几何的有关问题,空间想象能力是非常重要的,但新旧知识的迁移融合也很重要,在 何的基础上,把某些空间问题转化为平面问题来解决,有时很方便; (2)证明线线垂直时,要注意题中隐含的 系,如等腰三角形的底边上的高,中线和顶角的角平分线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角 垂直、直角三角形等等; (3)证明线面平行常用方法:一是利用线面平行的判定定理,二是利用面面平行的性质 三是利用面面平行的性质. 试题解析: (Ⅰ)证明:连接 D1C ,则 D1C ? 平面 ABCD , ∴ D1C ? BC 在等腰梯形 ABCD 中,连接 AC ∵ AB ? 2 , BC ? CD ? 1 , AB ∥ CD ∴ BC ? AC ∴ BC ? 平面 AD1C ∴ AD1 ? BC (Ⅱ)设 M 是 AB 上的点 ∵ AB ∥ CD ∴ AM ∥ D1C1 6分

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a ?a 5 5 2 DH ? ? a. 所以点 A 到平面 PMB 的距离为 a. 5 5 5 a 2

12 分

考点:1、直线与平面平行的判定;2、平面与平面垂直的判定;3、点到平面的距离. 6. (1)见解析; (2)见解析. 【解析】 试题分析: (1)要证明面面垂直,关键是用到面面垂直的判定定理,只要证明面 EAB 内的直线 AB⊥平面 B1BCC1 了; (2)取 AC 的中点 G,连结 C1G、FG,只要证明平面 C1GF//平面 EAB, 就可以得到 C1F//平面 EAB. 试题解析:证明: (1)∵BB1⊥平面 ABC AB ? 平面 ABC ∴AB⊥BB1 又 AB⊥BC,BB1∩BC=B ∴AB⊥平面 B1BCC1 而 AB ? 平面 ABE ∴平面 ABE⊥平面 B1BCC1 (2)取 AC 的中点 G,连结 C1G、FG ∵F 为 BC 的中点 ∴FG//AB 又 E 为 A1C1 的中点 ∴C1E//AG,且 C1E=AG ∴四边形 AEC1G 为平行四边形 ∴AE//C1G ∴平面 C1GF//平面 EAB 而 C1F ? 平面 C1GF ∴C1F//平面 EAB. 考点:面面垂直的判定定理和线面平行的判定定理. 7. (Ⅰ)见解析(Ⅱ)

28 2 3

【解析】 试题分析:对于第一问要证明面面垂直,关键是把握住面面垂直的判定定理,在其中一个平面内找出另一个平 线即可,而在找线面垂直时,需要把握住线面垂直的判定定理的内容,注意做好空间中的垂直转化工作,对于第 注意在求棱锥的体积时,注意把握住有关求体积的量是多少,底面积和高弄清楚后就没有问题. 试题解析: (Ⅰ)证明:在 RtΔDEF 中 Q ED ? DF , ??DEF ? 45 ,
o

在 RtΔABE 中, Q AE ? AB, ??AEB ? 45 ,
o

??BEF ? 90o ,? EF ? BE .
平面 PBE ? 平面 BCDE ,且平面 PBE ? EF ? 平面 PBE ,

3分 平面 BCDE ? BE

答案第 3 页,总 14 页

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又因为 MN ? 平面 BCC1B1 , B1C ? 平面 BCC1B1 所以 MN / / 平面 BCC1B1 5分

(Ⅱ)因为 BB1 ? 底面 ABC ,所以 AB ? BB1 又 AB ? BC ,所以 AB ? 平面 BB1C1C , AB ? B1C 由正方形 BB1C1C ,可知 B1C ? C1B 8分 10 分 7分

由(Ⅰ)知 MN / / B1C ,所以 MN ? AB , MN ? C1B 因为 AB, C1B ? 平面 ABC1 , AB 所以 MN ? 平面 ABC1

C1B ? B
12 分

考点:线面平行,线面垂直的判定. 9. (1)见解析; (2)见解析 【解析】 试题分析: (1) 要证明平面 POB ? 平面 PAD , 则须先证明平面 POB 内一直线 OB ? 平面 PAD ; (2) 要证明平面 平面 BMO ,则须先证明 PA / / 平面 BMO 内一直线,依题连接 AC 交 BO 于点 E ,连接 EM ,易得 EM / / PA 试题解析: (1)证明: ∵ O 为 AD 中点,且 AD ? 2 BC , ∴ DO ? BC 又 AD / / BC , ?ADC ? 900 , ∴ 四边形 BCDO 是矩形, ∴ BO ? OD ,又平面 PAD ? 平面 ABCD ,且平面 PAD 平面 ABCD ? OD , BO ? 平面 ABCD ,

∴ BO ? 平面 PAD ,又 BO ? 平面 POB , ∴ 平面 POB ? 平面 PAD 。 (2)如下图,连接 AC 交 BO 于点 E ,连接 EM ,

E

由(1)知四边形 BCDO 是矩形, ∴ OB / / CD ,又 O 为 AD 中点, ∴ E 为 AC 中点,又 M 是棱 PC 的中点, ∴ EM / / PA ,又 EM ? 平面 BMO , PA ? 平面 BMO , ∴ PA / / 平面 BMO
答案第 4 页,总 14 页

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∴FG⊥平面 ABCD,∴ VF ? ABCD ? ∵CB⊥平面 ABEF,∴ VF ?CBE ∴ VF ? ABCD : VF ?CBE ? 4 :1

1 2 S ABCD ? FG ? FG , 3 3 1 1 1 1 ? VC ?BFE ? S?BFE ? CB ? ? EF ? FG ? CB ? FG , 3 3 2 6

考点:1.线面垂直.2.线面平行.3.棱锥的体积公式. 12. (1) r ? 【解析】 试题分析:(1)根据题意,得小圆的面积是大圆面积的

3 3:8. R V : V ? h : h ? 3:1 ; (2) 2 , 大 小 大 小

3 3 ,半径之比为 ,再求出球心到小圆截面的距离,确 4 2

圆锥的高,进而求出两者体积之比; (2)利用圆锥与求的体积公式进行求解.
2 试题解析: (1)解: ? r ?

3 3 ? 4? R 2 , r ? R ; V大 : V小 ? h大 : h小 ? 3:1 ; 16 2

1 2 1 2 4 r 2 h小 3 3 2 3 ? . (2)解: (V大 ? V小 ) : V球 ? ( ? r h大 ? ? r h小 ) : ? R ? r h小 : R ? 2 ? 3 3 3 R R 8
考点:1.圆锥与球的组合体;2.圆锥与球的表面积与体积. 13. (1)详见解析; (2)

2 3 . 3

【解析】 试题分析: (1)取 AB 的中点 O ,连结 EO , CO ,根据条件可证得 ?ABC 是等边三角形,由此能证明平面 EA 面 ABCD ; (2)根据棱锥的体积计算公式可知, VE ? ABCD ?

1 S 3

ABCD

? EO ,结合已知条件中给出的数据,求得菱形 ABCD

积与 EO 的长,即可求得棱锥 E ? ABCD 的体积.

试题解析: (1)取 AB 的中点 O ,连结 EO , CO ,由 AE ? BE ? 2 , AB ? 2 ,知 ?AEB 为等腰直角三角

EO ? AB , EO ? 1 ,又∵ AB ? BC , ?ABC ? 60 ,则 ?ABC 是等边三角形,从而 CO ? 3 ,
又∵ EC ? 2 ,∴ EC ? EO ? CO ,∴ EO ? CO ,又∵ EO ? AB , CO
2 2 2

AB ? O ,∴ EO ? 平面 ABC

∵ EO ? 平面 EAB ,故平面 EAB ? 平面 ABCD ; (2) VE ? ABCD ?

8分 12 分

1 S 3

ABCD

1 2 3 . ? EO ? ? 2 ? 2 ? sin 60 ?1 ? 3 3

答案第 5 页,总 14 页

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A1 F B1 C1 A B C

D1

E D



AB1

A1B ? O ,

1 1 C1 D = C1 D BO BO 2 则 1 // 2 且 1 ,
所以 EF // 所以四边形 又因为

B1O 且 EF =B1O , B1OEF 为平行四边形. 所以 B1F // OE .
9分

B1F ? 面A1BE , OE ? 面A1BE .
11 分

所以 B1 F //面 A1 BE

(Ⅲ)

VA1 ? B1BE ? VE ? A1B1B ?

1 1 S ?A1B1B ? B1C1 ? 3 6

14 分

考点:面面垂直判定定理,线面平行判定定理,棱锥体积 15. (Ⅰ)证明见解析; (Ⅱ) . 【解析】

2 3

试题分析: (Ⅰ) 将证明线面平行转化为线线平行, 通过做辅助线可证明出 EQ // PA , 线面平行的判定定理可证出 平面 BDE ; (Ⅱ)如图所示作辅助线,通过题意可先分 VB ? AFD ? VF ? ABD ?

1 4 ? S ?ABD ? FM ? 将问题转化为求 3 3

由 面 面 垂 直 的 性 质 定 理 得 PO ? 平 面 ABCD , 进 而 FM ? 平 面 ABCD , 得 到 BC ? 平 面 PAB

2 3 FM FA 2 2 3 BC ? PC 2 ? PB 2 ? 2 3 ,进而确定 FM ? = =? ? 3 =? ? ? = ,再由 PO PA 3 3 3
试题解析: (Ⅰ)如图,连接 AC ,设 AC

BD ? Q ,又点 E 是 PC 的中点,

答案第 6 页,总 14 页

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因为点 G 为 CF 中点,所以 OG 为 ?AFC 的中位线,所以 OG // AF , AF ? 面 BDG , OG ? 面 BDG , 5分 ? AF // 面 BDG (Ⅱ)连接 FM , BF ? CF ? BC ? 2 , G 为 CF 的中点, ? BG ? CF , CM ? 2 ,? DM ? 4 , EF / / AB , ABCD 为矩形, 7分 ? EF / / DM ,又 EF ? 4 ,? EFMD 为平行四边形, 8分 ? FM ? ED ? 2 ,??FCM 为正三角形 ? MG ? CF , MG BG ? G ? CF ? 面 BGM ,

2分

CF ? 面 BFC ,? 面 BGM ? 面 BFC . 10 分 1 1 (Ⅲ) VF ? BMC ? VF ? BMG ? VC ? BMG ? ? S BMG ? FC ? ? S BMG ? 2 , 3 3 1 因为 GM ? BG ? 3 , BM ? 2 2 ,所以 S BMG ? ? 2 2 ? 1 ? 2 , 2
所以 VF ? BMC ?

2 2 2 . ? SBMC ? 3 3

12 分

考点: (1)线面平行的判定; (2)面面垂直; (3)几何体的体积 17. (1)详见解析 (2)点 E 在 AB 满足 ?EAB ?

?
6

或 ?EAB ?

?
3

时,四棱锥

E ? ABCD 的体积为
【解析】

3 . 3

AB 的什么位置时,四棱锥 E ? A 试题分析:第(1)问先证明线线垂直,再证明线面垂直;第(2)问探求点 E 在 ?
的体积为

3 ,从研究 ?BAE ? ? 的大小着手思考,通过体积建立关系求出 ? 的大小. 3

试题解析: (1)因为四边形 ABCD 为矩形,所以 DA ? AB , 又平面 ABCD ? 平面 ABE , 且平面 ABCD I 平面 ABE ? AB , 所以 DA ? 平面 ABE , 而 BE ? 平面 ABE ,所以 DA ? BE . 又因为 AB 为圆 O 的直径, E 是圆 O 上不同于 A , B 的动点,所以 AE ? BE . 因为 DA I AE ? A ,所以 BE ? 平面 DAE . (2)因为平面 ABCD ? 平面 ABE ,过点 E 作 EH ? AB 交 AB 于点 H ,则 EH ? 平面 ABCD . 在 Rt △BAE 中,记 ?BAE ? ? ( 0 ? ? ?

?

2 因为 AB ? 2 ,所以 AE ? 2 cos ? , HE ? AE ? sin ? ? 2cos ? sin ? ? sin 2? , 1 1 2 所以 VE ? ABCD ? S ABCD ? HE ? ? 2 ? 1? sin 2? ? sin 2? . 3 3 3

) ,

答案第 7 页,总 14 页

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∴ VB ?CDB1 ? VB1 ? BCD ?

1 1 6 8 S?BCD ? BB1 ? ? ? 4 ? 3 3 5 5

考点:线面平行的性质与判定、棱锥体积公式. 19. (1)证明见解析; (2)证明见解析; (3)2. 【解析】

G, 试题分析: (1) 此题将线面平行转化为线线平行问题, 可取 DA 连接 FG、GE 构造辅助线, 得到 EB 1 的中点

进而证明出 BF // 平面 A (2) 此题将面面垂直问题转化为线面垂直问题, 可取 DE 的中点 H , 连接 A1H、 1 DE ;

造辅助线,借助于余弦定理,得出 A 1 HC 为 直 角 三 角 形 , 由 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 , 证 1H ? HC , 即 ?A

A1H ? 面DEBC ,根据面面垂直的判定定理得出面 A1DE ? 面 DEBC ;
(3) 构造辅助线过 H 作 HO ? DC 于 O , 连接 AO 证明出 DC ? 面A1 HO , 则 ?A O 1 、HO , 1H 的平面角,计算即可求得. 试题解析: (1) 如图

是二面角 A1 ? D

A1 G D F C

E

B

G ,连接 FG、GE 证明:取 DA 1 的中点

F 为 AC 1 中点
1 2 E 为平行四边形 ABCD 边 AB 的中点 1 ? EB // DC ,且 EB ? DC 2 ? EB // GF ,且 EB ? GF ?四边形 BFGE 是平行四边形 ? BF // EG

? GF // DC ,且 GF ? DC

EG ? 平面 A1DE , BF ? 平面 A1DE

? BF // 平面 A1DE

4分

答案第 8 页,总 14 页

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?面 A1DE ? 面 DEBC
(3)过 H 作 HO ? DC 于 O ,连接 AO 1 、HO

10 分

A1H ? 面DEBC ? A1H ? DC
又A 1H

HO ? H

? DC ? 面A1HO ? DC ? AO 1 , DC ? HO
是二面角 A1 ? DC ? E 的平面角 ? ?AOH 1
o 在 Rt ?A 1HO 中, A 1H ? 3 , HO ? DH ? sin 60 ? 1?

3 3 3 ,故 tan ?A1OH ? ? ?2 2 2 3 2
14 分

所以二面角 A1 ? DC ? E 的正切值为 2 考点:1、线面平行;2、面面垂直;2、求二面角的三角函数值. 【答案】 (1)见解析,(2)

3 3

【解析】 试题分析:由于证明线面平行,直接寻找线线平行较难,所以可寻求面面平行较容易一些,从题目已知看图形

现,BC 与 AD 平行,BF 与 DE 平行,可证平面 BCF // 平面 AED ,进而说明线面平行;第二步求多面体的体积 化为两个四棱锥体积之和, 由于点 A 和点 C 到平面 ABCD 的距离相等, 所以棱锥 A ? BDEF 与棱锥 C-BDEF 体积 DE ? ABCD A ? BDEF 求出 的体积乘以 2 即可,由于 平面 ,则 平面 ABD ? 平面 BDEF ,四边形 ABCD 为菱形,连接 AC 交 BD 于 O,则 AO ? BD ,所以根据面面垂直的性质 出 AO ? 平面 BDEF ,有了棱锥的高,再计算体积就可以了; 试题解析:(Ⅰ)证明:? ABCD 是菱形,? BC // AD .又 BC ? 平面 ADE , AD ? 平面 ADE ,? BC // 平面 又 DE ? 平 面 A B C D. BDEF 是 正 方 形 , ? BF // DE . BF ? 平 面 A D E , DE ? 平 面 A D E , ? BF A D E . BC ? 平面 BCF , BF ? 平面 BCF , BC BF ? B ,? 平面 BCF // 平面 AED .由于 CF ? 平面 B 知 CF // 平面 AED . (Ⅱ)连接 AC ,记 AC

BD ?O .? ABCD 是菱形,? AC ? BD ,且 AO ? BO .由 DE ? 平面 ABCD , BD ? D ,

DE ? 平面 BDEF , BD ? 平面 BDEF , DE ? AC ? 平面 BDEF 于 O ,即 AO 为四棱锥 A ? BDEF 的高.

平面 ABCD , DE ? AC .

由 ABCD 是菱形,?BCD ? 60 ,则 ?ABD 为等边三角形,由 AE ? 2 ,则 AD ?DE ? 1 , AO ?

3 ,S BDE 2

答案第 9 页,总 14 页

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z P

A C

D y

B x

设 Q(x,y,z) ,直线 QC 与平面 PAC 所成角为θ . 所以 PQ ? ? PB , 所以即 Q(2 ? ,0,-2 ? +2) 所以 6分 7 分 AP ? (0,0,2), AC ? (1, 2 ,0) 9分

CQ ? (2? ? 1,? 2,?2? ? 2)

平面 PAC 的一个法向量为 n ? ( 2 ,?1,0) .

n ? CQ 3 ? 2 ? cos? ? 3 ? tan? ? n ? CQ 2 ,

?? 解得
所以

7 12 ∈

11 分

7 PQ = 12 . PB
1 3

考点:1.线面平行的判定与性质;2.空间向量在立体几何中的应用. 23. (1)见解析 (2)

【解析】 试题分析:对应第一问,关键是要掌握线面垂直的判定,把握线线垂直的证明方法,第二问注意椎体的体积公 用. 试题解析:(1)由题设知 BC ? CC1 , BC ? AC , AC ∴ BC ? 平面 ACC1 A 1. (2 分)

CC1 ? C ,

又∵ DC1 ? 平面 ACC1 A 1 ,∴ DC1 ? BC . (3 分)
o o 由题设知 ?ADC ? ?A 1DC1 ? 45 ,∴ ?CDC1 ? 90 ,即 C1 D ? DC .

(4 分) (6 分)

∵ DC

BC ? C ,∴ DC1 ? 平面 BDC .
答案第 10 页,总 14 页

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25. (1) tan?B1 A1M ? 【解析】

5 , (2)证明略, 2

试题分析:第一步首先找到异面直线 A1M 和 C1 D1 所成角,由于 A1B1 // C1D1 ,则锐角 ?B1 A1M 为异面直线 A1M 和 所成角, 在直角三角形 A1 B1M 中求出 tan ?B1 A1M ?

B1M 5 , 当然也可以建立空间直角坐标系, 用向量的方法 ? B1 A1 2

第二步证明线面垂直,先寻求线线垂直,首先 BM ? A1B1 ,而证明 BM ? B1M 可采用数据计算,看是否满足

理, C1M ? 2 ,, BB 1 ? 4, BM ? 2 2 , B 1M ? 2 2 ,恰好满足勾股定理,当然本部证明若使用空间向量更简单. 试题解析: (1) 由题意,C1M ? 1, B 1C1 ? BC ? 2 ,B1C1 ? C1M , 得 B1M ? 5 所 成 角 即 为 A1M 和 A1B1 所 成 角 , 长 方 体 ABCD ? A1B1C1D1 中 ,

所以异面直线 A1M 和 A1 B D, 1 / /C 1 1

, ? A1 B1 ? 面 B1 B A1 B1 ? B1 C, ? B1 B 1 A 1B 1

? A1B1 ? B1M ,故可得 ?B1 A1M 为锐角且 tan ?B1 A1M ?

B1M 5 ? B1 A1 2

(2)由题意, BC ? B1C1 ? 2 ,C1M ? 2 ,CC1 ? 4 ? CM ? 2 又由 A1 B1 ? 面 B1 BCC1 可得 A1 B1 ? BM ,故 BM ? 平面 A1 B1M .

BB12 ? BM 2 ? B1M 2 ,??BMB1 ? 90 ,即 BM ?

考点:1.异面直线所成的角;2.线面垂直; 26. (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)详见解析 【解析】 试题分析: (Ⅰ)首先根据面面垂直的性质定理,可得 AC⊥平面 BCDE,进而得到 AC⊥BC,同理可得 DC⊥平面 A 可得到 DC⊥BC,再利用面面垂直的判定定理,即可证明结论. (Ⅱ) (法一)取 BC 的中点为 N,连结 MN,EN,由中位线定理,可得 MN∥AC,又 DE∥BC,且 DE =

1 BC= CN, 2

边形 CDEN 为平行四边形,即可得到 EN∥DC,平面 EMN∥平面 ACD, 利用面面平行的性质定理即可证明结论.( 取 AC 的中点 P, 连结 PM, PD 在△ABC 中, P 为 AC 的中点, M 为 AB 的中点, ∴PM∥BC, 且 PM= ∴ PM //DE, PM =DE ,根据线面平行的判定定理即可证明结论. 试题解析:证明: (Ⅰ)∵平面 ACDF⊥平面 BCDE,平面 ACDF∩平面 BCDE= DC, 又正方形 ACDF 中,AC⊥DC,∴AC⊥平面 BCDE, ∴AC⊥BC. 又∵平面 ACDF⊥平面 ABC,平面 ACDF∩平面 ABC =AC,DC⊥AC, ∴DC⊥平面 ABC,∴DC⊥BC. 又∵AC∩DC =C,∴BC⊥平面 ACDF, 而 AD ? 面 ACDF, ∴BC⊥AD.
答案第 11 页,总 14 页

1 BC, 又∵DE∥BC,DE 2

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F
C

?BAD ? ?ADC ? 90 , AB ? a, DA ? 3a
所以 BD ? DC ? 2a , E 为 BC 中点 所以 BC ? DE 3分 又因为 PD ? 平面 ABCD , 所以 BC ? PD 因为 DE PD ? D 4分 所以 BC ? 平面 PDE 5分 因为 BC ? 平面 PBC ,所以平面 PBC ? 平面 PDE 6分 (Ⅱ)当点 F 位于 PC 三分之一分点(靠近 P 点)时, PA // 平面 BDF 连结 AC , BD 交于 O 点, AB // CD ,所以 ?AOB ? ?COD

7分

AB ?

1 DC 2 1 AC 3
10 分

所以 ?CPA 中, AO ?

1 PC 3 所以 OF // PA 而 OF ? 平面 BDF PA ? 平面 BDF 所以 PA // 平面 BDF
而 PF ?

11 分

12 分

考点:空间几何的位置关系.

28. (Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ) 60 ? . 【解析】 试题分析: (Ⅰ) 连结 BD , 与 AC 交于 G .由中位线可得 EG ∥ PB .根据线面平行的判定定理可证得 PB ∥平面 (Ⅱ)由 PA ? 底面 ABCD 可证得 PA ? CD , 又因为 ABCD 是正方形 , 根据线面垂直判定定理可证得 CD PAD ,从而可得 CD ? AE .根据等腰三角形中线即为高线可得 AE ? PD ,根据线面垂直判定定理可证得 AE PCD , 从而可得 AE ? PC 又 EF ? PC 可得 PC ? 平面 AEF . (Ⅲ)以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标 AB ? 1 ,可得各点的坐标,从而可得各向量坐标.根据向量垂直数量积为 0 可得面 APC 和面 DPC 的法向量.根 积公式可得两法向量夹角的余弦值,可得两法向量夹角. 两法向量夹角与二面角相等或互补.由观察可知所求二 锐角. 试题解析:解: (Ⅰ)连结 BD ,与 AC 交于 G , ∵ ABCD 是正方形,∴则 G 为 BD 的中点 ∵ E 是 PD 的中点, ∴ EG ∥ PB ∵ EG ? 平面 EAC , PB ? 平面 EAC
答案第 12 页,总 14 页

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15 (2) 15
(3) 故线段 AB 上存在点 P,此时线段 BP 的长度为 2

【解析】 试题分析:关于线面垂直的证明问题,注意把线面垂直的判定定理的内容记熟,对于线线、线面垂直的转化要 注意线面角的求法,并且第一步求出的直接结果就是线面角的正弦值,要看清要求的结果是谁,关于是否存在类 注意一般步骤,要先下结论,之后求解,能求出来就说明有,退出矛盾,就说明没有. 试题解析: (1)∵ CD ? CB ? 2, AB ? BD ? AD ? 2 2
2 2 2 又∵ AC ? 2, ∴ AC ? CB ? 8 ? AB

∴ AC ? CB

同理可证 AC ? CD 则 AC ? 平面 BCD

故 AC 垂直面 BCD 内两条相交直线 3分

(2) 由(1)知 AC ? CB , AC ? CD ,又有 CD ? CB 故可建如图所示建立空间直角坐标系 C-xyz. ∴ C (0,0,0), A(0,0,2), B(2,0,0), D(0,2,0), E (0,1,0) ∴ AB ? (2,0,?2) , AD ? (0,2,?2) , AE ? (0,1,?2) , CE ? (0,1,0) 设平面 ABD 的一个法向量为 m ? ( x, y, z) , 4分

? ? ?m ? AB ? 0 ?2 x ? 2 z ? 0 ?? ?? ?m ? AD ? 0 ?2 y ? 2 z ? 0 则? ,取 x ? 1 ,得 m ? (1,1,1) .
设直线 AE 与平面 ABD 所成角为θ ,

6分

sin ? ?| cos ? m, AE ?|?


| m ? AE | | m || AE

?

1 5? 3

?

15 15



7分

15 ∴设直线 AE 与平面 ABD 所成角的正弦值为 15 .

8分

(3)假设存在符合条件的点 P,并设 BP ? ? BA ? ?(?2,0,2) ? (?2?,0,2?) ( ? ? [0,1] ) 则 CP ? CB ? BP ? (2,0,0) ? (?2?,0,2?) ? (2 ? 2?,0,2?) 设平面 CPE 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,

答案第 13 页,总 14 页

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V ? VE ? ABC ? VE ? ACD
1 1 1 1 VE ? ACD ? S ?ACD ? DE ? ? ? 3 ? 3 ?1 ? . 3 3 2 2 1 1 1 1 VE ? ACB ? S ?ACB ? EB ? ? ? 3 ?1? 3 ? 3 3 2 2 1 1 ∴ V ? VE ? ABC ? VE ? ACD ? ? ? 1 2 2
法二:∵ DC ? 平面 ABC 又∵ AC ? BC ∵ AB ? 2, BC ? 1 . ∴ VA? BCDE ? ∴ DC ? AC

∴ AC ? 平面 BCDE ∵ tan ?EAB ?

3 2

∴ BE ? 3, AC ?

AB2 ? BC2 ? 3

1 1 ? S矩形BCDE ? AC ? ?1? 3 ? 3 ? 1 3 3

考点:1.直线和平面平行的判定定理;2.椎体的体积.

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