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高中必修五数学数列讲义


第二章
第一节:数列及其通项公式 一.数列的概念 1.数列的定义: 2.表示法: 3.数列的分类: 4.通项公式: 5.递推公式的概念:

数列

; ; ; ; ;

注意:①数列与集合有本质的区别;②项与项数的区别;③ { a n } 与 an 的 区别;④不是每一个数列都有通项公式;⑤ an 是 n 的函数。 二.数列通项公式的求法 1.根据数列的有限项,写出数列的通项公式。 练习 1.已知数列{an }的前几项,写出数列的一个通项公式 (1)1,4,9,16,……;an =
2 4 6 8 , , ……;an = 3 9 27 81 3 1 3 1 3 (3) 1, , , , , ,?? , an = 2 3 4 5 6

; ; ; ; ; ;

(2) , ,

(4)9,99,999,9999,……;an = (5)7,77,777,7777,……;an = (6)7,-77,777,-7777,……;an =
1

(7)0.5,0.55,0.555,0.5555, ……;an = (8)1.-1,1,-1,……;an = (9)1,0,1,0,……;an = (10)11,101,1001,10001,……;an =
1 2 3 4 2 3 4 5 1 3 7 5 (12) , , , ,?? ;an = 2 4 8 16 2 10 17 26 37 (13) , ?1, , ? , , ? ,……;an = 3 7 9 11 13

; ; ; ; ; ; ;

(11) 1 ,2 ,3 ,4 , ……;an =

2.数列 1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,……,中 x,y,z 的值依次是( A 42,41,123 C 24,23,123 B 13,39,123 D 28,27,123 。



3.数列 1,1,2,3,5,8,……;的第 7 项是
1 ? (n为奇数) ? 4.数列 { a n } 中, an ? ? n , ? n ? 2)n ?1 (n为偶数) ( ?

则 { a n } 的前 5 项是 5.已知函数 f ( x) ? (1)求证: an ? 1 ;
x -1 ,设 an ? f (n)(n ? N*) x



(2){an }是递增数列还是递减数列?为什么?

2

2.已知数列的前 n 项和求数列的通项公式 (1) 已知数列{an }的前 n 项和为 Sn ? 2n2 ? n ? 1,求数列{an }的通项公式;

(2) 已知数列{an }的前 n 项和为 Sn ? 2n2 ? n ,求数列{an }的通项公式。

注 意 : 1. 用 数 列 的 前 是: 2. 什 么 时 候 运 用 性: 练习: ;

n

项 和 Sn 求 通 项 an 的 公 式

an=Sn-Sn-1 求 出 的 公 式 具 有 通 用 。

(3) 已知数列{an }的前 n 项和为 Sn ? (?1)n?1 n ,则通项 an = (4)已知数列{an }的前 n 项和为 Sn ? 3 ? 2n ,则通项 an = (5)已知数列{an }的前 n 项和为 Sn ? log 1 (1 ? n) ,则通项 an =
10

; ; ;

( 6 ) 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn ? = ;

1 1 1 ? n ?1 ? ? ? 2 n , 则 通 项 an n 2 2 2

注意: (1)公式表示的是数列的前 n 项和与通项之间的关系。 (2)要注意不要忽视 n=1 的情形,这是大家易出错的地方。 3.用递推公式求数列的通项公式 ( 1 ) 数 列 {an } 中 , a1 ? 2, an ? 是 。
3

an ?1 (n ? 2,3, 4,? ), 则 它 的 前 5 项 1 ? an ?1

(2)数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 2, an?2 ? an?1 ? an , 则 a7 ?



(3)数列 {an } 中,满足 a1 ? 2, an?1 ? an ? 2 ,求数列{an }的通项公式; (4)数列 {an } 中,满足 a1 ? 2, an?1 ? an ? n ,求数列{an }的通项公式; (5)数列 {an } 中,满足 a1 ? 2, an?1 ? 2an ,求数列{an }的通项公式; (6)数列 {an } 中,满足 a1 ? 2, an ?1 ?
n an ,求数列{an }的通项公式; n ?1

第二节:等差数列 一.1.定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常 数,那么这个数列就叫等差数列;这个常数叫做等差数列的公差,公差通常 用字母 d 表示。 2.通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d 或 an ? am ? (n ? m)d 3.等差中项: a, A, b 成等差数列,A 叫 a,b 的等差中项(注:任意两个数都有 等差中项) A ?
a?b 2

4.证明一个数列是等差数列的方法: 一 般 用 an?1 ? an ? d ( 常 数 ) 而 不 用 其 它 等 价 形 式 , 若 确 实 无 法 证 明 ,
an?1 ? an ? d ,有时也可采用证明 an?1 ? an ? an ? an?1 , (n ? 2) 来完成。

5.等差数列的性质: (1) d ? 0 , an 单增; d ? 0 , an 单减; d ? 0 ,是常数列。 (2)等差数列中任意连续的三项也成等差数列,反之亦然。 (3)一个数列是等差数列,则通项公式可写成 an ? kn ? b ( k , b ? R) ,反之亦 然。
4

一个数列是等差数列,则其前 n 项和可写成 S n ? An2 ? Bn ( A, B ? R) ,反 之亦然。 (4)数列 {an } 是等差数列,若 m+n=p+q,则 am ? an ? a p ? aq (5)数列 {an } 是等差数列,项数 m,p,n 成等差数列,那么 am , a p , an 也成等差 数列。 (6)数列 {an } 是等差数列,则 S m , S 2m ? S m , S3m ? S 2m 仍成等差数列。 二.等差数列的前 n 项和:
Sn ? n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 或 Sn ? na1 ? 2 2

练习与应用: 通项公式、前 n 项和公式的基本运算 1. 在等差数列{an}中,a5=10,a12=31,求首项 a1 与公差 d. . .

2.在等差数列{an}中,a2=-5,a6=a4+6,那么 a1= 3.在等差数列{an}中,a15=8,a20=20,则 a25=

4. 在等差数列{an}中,a2+a5+a8=9,a3a5a7= -21,求通项 an. 5.在等差数列{an}中,a15=8,a60=20,则 a75=
S m , S 2m ? S m , S 3m ? S 2m 仍成等差数列

.

6. 在等差数列{an}中,S10=310,S20=1220,求 Sn 与通项 an.

若 m+n=p+q,则 am ? an ? a p ? aq 6.在等差数列{an}中, a3+a4+a5+a6+a7=450,则 a2+a8=
5

.

7.a3,a15 是方程 x2-6x-1=0 的两个根,求 a7+a8+a9+a10+a11= 8.在等差数列 {an } 中, a3 ? 2 ,则该数列的前 5 项和为( (A) 10 (B) 16 (C) 20 )

.

(D) 32

9. 在 等 差 数 列 {an } 中 , S n 表 示 前 n 项 和 , 且 a2 ? a8 ? 18 ? a5 , 则 S9 的 值 为 ( ) (A) 18 (B) 60 (C) 54 (D) 27 )

10.等差数列{an}, S9 ? 18, S n ? 240, an?4 ? 30, (n ? 9) ,则项数 n 为(

11.在等差数列{an}中, 前 4 项的和为 21,后 4 项的和为 67,前 n 项的和 为 286,则项数 n= .

12.在等差数列 {an } 中,S n 表示前 n 项和,且 S12 ? 0, S13 ? 0 ,当 S n 取得最大值时 的 n 值为( (A) 6 ) (B) 7 (C) 12 (D) 不能确定

13. 若 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0 , a23 ? a24 ? 0 , a23 ? a24 ? 0 ,则使前 n 项和
S n ? 0 成立的最大自然数 n 是



) (D) 45

(A)

48

(B) 47

(C) 46

14 ( 04 年 重 庆 卷 . 文 理 9 ) 若 数 列 {an } 是 等 差 数 列 , 首 项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0, a2003.a2004 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大自然数 n 是: ( ) A 4005 B 4006 C 4007 D 4008

15.等差数列{an},{bn}的前 n 项和为 Sn,Tn,且 16.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若

Sn a 7n ? 1 ,求 11 . ? b11 Tn 4n ? 27

a5 5 S ? ,则 9 的值为( a3 9 S5



6

A:

1 2

B:2

C:1

D:-1 .

17.在等差数列{an}中,am=n,an=m,且 m≠n, 则 am+n=

18.已知等差数列 {an } , S n 是其前 n 项和,对于不相等的正整数 m,n,有
S n ? m, S m ? n ,则 S m? n 的值为

.

其奇数项和、偶数项和 1 、 若 等 差 数 列 共 有 偶 数 项 2n 项 ( 奇 数 项 、 偶 数 项 各 n 项 ) 即 :
S 奇 ? a1 ? a3 ? a5 ? ? ? ? ? a2n?1

S 偶 ? a2 ? a4 ? a6 ? ? ? ? ? a2n 则 S 偶 ? S 奇 ? nd , S 偶 ? S奇 ? S 2n

S偶 S奇

?

a n ?1 (中 an

间一对) 2、若等差数列共有奇数项 2n ? 1 项(奇数项比偶数项多 1 项) : 即 S 奇 ? a1 ? a3 ? a5 ? ? ? ? ? a2n?1 ? a2n?1 S 偶 ? a2 ? a4 ? a6 ? ? ? ? ? a2n 则 S奇 ? S偶 ? an?1 ( an?1 为中间项) S 偶 ? S 奇 ? S 2n?1 ,
S偶 S奇 ? n (项数之比) n ?1

19. .等差数列{an}共有 2n-1 项,所有奇数项的和为 132,所有偶数项的和为 120,则 n= .

20. 如果等差数列{an}共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30, 则其公差为 。

21.如果等差数列{an}的项数是奇数, a1 ? 1 ,{an}的奇数项的和是 175,偶 数项的和是 150,求这个等差数列的公差 d。

7

S n 的最值问题

22. 等差数列{an}中,an=2n-10,则 S n 的最小值时 n=

.

23. 等差数列{an}中,an=2n-11,则 S n 的最小值时 n=

.

24.在等差数列{an}中, a1 ? ?25, S3 ? S8 ,则前 n 项和 S n 的最小值为( A:-80 B:-76 C:-75 D:-74



25.已知等差数列 {an } , S n 是其前 n 项和,且 S5 ? S 6 , S 6 ? S 7 , S 7 ? S8 ,则下列 结论错误的是( ) (A) d < 0 (B) a7 ? 0 (C) S9 ? S5 (D) S 6 与 S 7 均为 S n 的最大值.

第三节:等比数列 一。等比数列及其性质 1。定义: (略)
an ?1 ? q(q ? 0) (有既是等差又是等比的数列吗?) an

2。通项公式: an ? a1qn?1 ; an ? amqn?m ) ( 3。等比中项:a,G,b 成等比数列,G 叫 a,b 的等比中项。 注:任意两个实数都有等差中项,但不是任意两个实数都有等比中项,只 有两个实数同号时才有等比中项,等差中项只有一个,但等比中项有两个。 4。证明数列是等比数列的基本方法: 5。有关性质:
8

an ?1 ? q(q ? 0) an

(1)数列 {an } 是等比数列,若 m+n=p+q,则 am ? an ? a p ? aq (2)正项等比数列的对数列是等差数列,等差数列的指数列是等比数列。 ( 3 ) 数 列 {an } 是 等 比 数 列 , 则 a1 ? a2 ? ? ? am , am?1 ? am?2 ? ? ? a2m ,
a2m?1 ? a2m?2 ? ? ? a3m

成等比数列吗? (4)数列 {an } 是等比数列,则 a1a2 ?am , am?1am?2 ?a2m , a2m?1a2m?2 ?a3m 仍是等 比数列。 练习与应用: 1。数列 {an } 是等比数列,则在① {an an?1} ;② {an ? an?1} ;③ {an ? an?1} ;④ {an3} ; ⑤ {nan } ; ⑥ {lg an } 这 是
4 3

6 。

个 数 列 中 仍 成 等 比 数 列 的

2。数列 {an } 是等比数列, a3 ? , a7 ?

16 ,求公比 q。 3

3。等差数列 a,b,c 三项的和为 12,且 a,b,c+2 成等比数列,求 a 的值。

4。数列 {an } 是等比数列, a1a3a5a7 a9 ? 32 ,求 a5

5。数列 {an } 是等比数列, a1 ? , an ? , q ? ,则这个数列的项数为( A3 B4 C5 D6 ) A:5

9 8

1 3

2 3



6。等比数列{an}中,an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则 a3+a5=(
9

B:10

C:15

D:20 ) A: -4 B: ±4 C: -2 D:

7。 等比数列{an}, a5 ? ?16, a8 ? 8, a11 ? ( ±2

8 。 等 比 数 列 {an} , a3 ? a8 ? 124, a4 a7 ? ?512 , 公 比 q 为 整 数 , 则
a10 ?

。 )

9.等比数列{an}中, a1 ? a2 ? 30,a3 ? a4 ? 60, 则 a5 ? a6 ? ( A:90 B:120 C:15 D:80

10。等比数列{an}中, a9 ? a10 ? a,( a ? 0 ),a19 ? a20 ? b, 则 a99 ? a100 ? ( A:
b9 a8



B: ( )9

b a

C:

b 10 a9

D: ( )10

b a

11。 {an}是各项为正数的等比数列, a5 a6 ? 9 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 = ( ) A:12 B:10 C:8 D: 2 ? log3 5

12. 已知数列{an}是各项都为正数的等比数列,设 bn ? log2 an ,求证数列{bn} 是等差数列。

13。已知等比数列 {an } 的 a3 ? 16,且 a1a2 ?a10 ? 265 ,求 {an } 的通项公式.

14 。 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 {an } 中 , 若 a4 ? a7 ? 10 , 则
lg a1 ? lg a2 ? ? ? lg a10 ?


10

15. {an } 为等比数列, (1) q ? 2, S99 ? 77 ,求 a3 ? a6 ? ? ? a99 (2)前 n 项的和为 S n ? 48, 前 2n 项之和 S 2n ? 60 ,求 S 3n

二。等比数列的前 n 项和。
? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? (q ? 1) ? S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ? 1 ? q 1? q ? na1 (q ? 1) ?

1.等比数列{an}中, a6 ? a4 ? 216 , a3 ? a1 ? 8 , Sn ? 40 ,求 q 和 n。

2.等比数列{an}中, a3 ? 4, S3 ? 12 ,求 a1 和 q。

3.等比数列{an}中, Sn ? 49 , S2n ? 112 ,则 S3n = 4.等比数列{an}中, a1 ? 1, an ? ?512, Sn ? ?341, 求 q。



5.求数列 1,3,9, 27,?,3n?1,?的前 n 项和。
11

6.求 1, a2 ?1,(a2 ?1)2 ,?,(a2 ?1)n?1,? 的前 n 项和

22 24 22 n 7.求 , 2 ,?, n ,? ,求前 2k 项的和。 y y y

8.求 1, a, a2 ,?, an?1,? 的前 n 项和。

9.等比数列{an},前 n 项和为 48,前 2n 项和为 60,前 3n 项的和为( A:183 B:108 C:75 D:63

)

10.{an}成等差数列, a1 , a5 , a13 成等比数列,则该等比数列的公比为( A:
1 2



B:2 C:

1 4

D:

1 3

11. {an}成等差数列,{bn}成等比数列, q ? 1,bi ? 0( i ? 1,2,?,n ) ,若 a1 ? b1 ,
a11 ? b11 ,则(

) B: a6 ? b6 C: a6 ? b6 D: a6 ? b6 或 a6 ? b6

A: a6 ? b6

( a1 ? a2 )2 12. x , a1 , a2 , y 成等差数列, x,b1 ,b2 , y 成等比数列,则 的取值范围是 b1b2




12

A: [ 4,?? )

B: (0,4)

C: ( ??,0 ] ? [ 4,?? )

D: ( ??,0 ) ? [ 4,?? )

13.一个项数是偶数的等比数列,它的偶数项的和是奇数项和的 2 倍,又它 的 首 项 为 1 , 且 中 间 两 项 的 和 为 24 , 则 此 等 比 数 列 的 项 数 为 ( ) A.12 B.10 C.8 D.6

第四节 数列的综合应用
一、数列求和 (一) .公式法 1. 求 1,4,7,10,…, (3n-2),…的前 n 项和。

2. 求数列

22 24 22 n , 2 ,?, n ,? ,求前 2k 项的和. y y y

3. 求 S ? 1 ? a ? a 2 ? ? ? a n

(二) .分项求和 1.求和(1+2)+(3+4)+…+(2n-1+2n)

13

2. (x-2)+(x2-2)+…+(xn-2)

3. (a ? 1) ? (a2 ? 2) ? ? ? (an ? n)

4.求和 ( x ? ) ? ( x2 ?

1 y

1 1 ) ? ? ? ( xn ? n ) 2 y y

5. 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n(n ? 1)

6. 1? 3 ? 2 ? 5 ? ? ? n(2n ? 1)

(三) .裂项求和 1.求和 Sn ? 2.
1 1 1 ? ??? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

1 1 1 ? ??? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1)

3..数列{an}成等比数列,各项都为正数,且 q≠1,求证
1 1 1 n ?1 ? ??? ? lg a1 lg a2 lg a2 lg a3 lg an?1 lg an lg a1 lg an
14

4. 5.

1 1 1 ? ??? 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) 1 1 1 ? ??? 3? 5 5? 7 (2n ? 1)(2n ? 3) 1 1 1 ? ??? 1? 4 4 ? 7 (3n ? 2)(3n ? 1)

6. 7. 8.

1 1 1 1 ? ? ??? 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2) 1 1 1 1 ? ? ??? 1? 4 2 ? 5 3 ? 6 n(n ? 3)
1 1 1 ? ??? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ??? n

9.求 1 ?

(四) .错位相减、其它 1. ?
1 2 3 5 2n ? 1 ? 3 ??? n 2 2 2 2

2. 1? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2 n

3. ?

3 2

5 2n ? 1 ??? 2 2 2n

4.求和 x ? 3x2 ? 5x3 ? ? ? (2n ? 1) xn

15

5.1+2×3+3×7+…+n(2n-1)

6.已知数列{an+1}是等比数列, a1 ? 1 , q ? 2 ,求 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan

放缩及其他 1. 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? 992 ? 1002 2.数列
22+ 32+ 42+ 1 1 1 ,2 ,2 ,……的前 2 2- 3- 4- 1 1 1

10 项和为(
43 132

) 。
89 132

(A) 17 3.求和 Sn ?

55

(B)11 11
12

(C)11
???

(D)11

1 1? 2

?

1 2? 3

1 n ? n ?1

4. 求 S ? 1 ?

1 3 ?1

?

1 5? 3

???

1 2n ? 1 ? 2n ? 1

? 5. 求值设 f ( x)

1 2 1998 4x )? f( ) ??? f ( ): ,求 f ( x 1999 1999 1999 4 ?2

6.求证: 1 ?

1 1 1 ? 2 ?? ? 2 ? 2 2 2 3 n

16

1 (n ? 1)2 7. n(n ? 1) ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1) ? 2 2

8. 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ?

1 2

?

1 3

???

1 n

?2 n

二、用已知数列的前 n 项和求数列的通项公式(前文已有) 三、用递推公式求通项 1.已知数列{an },满足,a1=2,an+1=an+2,求{an }的通项公式。

2。已知数列{an },满足,a1=2,an+1=an+2n,求{an }的通项公式。

3。已知数列{an },满足,a1=2,an+1=an+2n,求{an }的通项公式。

4. 已知数列{an },满足,a1=2, an+1=an+

1 ,求{an }的通项公式。 n(n ? 1)

点击: 凡是具有 an+1=an+ f (n) 形式都可运用此法, 其中 f (n) 表示可求和的数 列。 5.已知数列{an },满足,a1=2,an=3an-1,(n≥2)求{an }的通项公式。

6. 已知数列{an },满足,a1=1, an ?1 ?

n an 求{an }的通项公式。 n ?1

17

7.已知数列{an }满足, a1 ? 1 , 2n?1 an ? an?1 (n ? N , n ? 2) ,求{an }的通项公式。 规律: 。

8.已知数列{an },满足,a1=2,an+1=2an+1,求{an }的通项公式。

9.已知数列{an },满足,a1=1,an+1=3an+1,求{an }的通项公式。

点击: an?1 ? kan ? b 型通项公式可用此法。 10*. a1 ? 5, an?1 ? 2an ? n ? 5 ,求{an }的通项公式。

11*. 已知数列{an } a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 2n ,求{an }的通项公式。

12*.已知数列{an } a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 2 n ,求{an }的通项公式。

13*. a1 ? 5, an?1 ? 2an ? n ? 5 ,求{an }的通项公式。

点击: a1 ? 5, an?1 ? kan ? f (n) 型通项公式可用此法。 递推公式的变形 1.已知数列{an },满足,a1= , an?1 ? 2an?1an ? an ? 0 ,求{an }的通项公式。
1 2

2.已知数列{an },满足,a1=1,

an?1 ?
18

5an 求{an }的通项公式。 5 ? an

2 2 3.项为 1 的正项数列, (n ? 1)an?1 ? nan ? an?1an ? 0 ,求数列的通项公式。

四. S n 与 an 的相互转化 1.已知数列{an}满足, a1 ? , an ? ?2Sn Sn ?1 , (n ? 2) , (1)问数列 { } 是否为等 差数列。 (2)求 Sn 和 an.
1 2

1 Sn

2.已知数列{an}满足, S n ? 2an ? n ,求数列{an}的通项公式。

3.已知数列{an},满足 log2 (1 ? Sn ) ? n ? 1,求通项 an.

4.已知数列{an}满足, S1 ? 4 ,当 n ? 2 时, a n ? ( S n ? S n ?1 ) ,求 Sn 和 an.

1 2

5.正数数列{an}, 2 S n ? an ? 1,求数列{an}的通项公式。

a 6. 05, ( 山东) 已知数列{an}, 1 ? 5 , n 项和为 S n , S n?1 ? 2S n ? n ? 5( n ? N * ) , 前 且
19

(1)求数列{an}的通项公式。 (2)求 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan

几个必须熟练掌握的综合题目 1. 已知数列 {an } 是等差数列,前 n 项和为 S n 且 a1 ? a2 ? a3 ? 3 ; a7 ? a9 ? 8 求数列 {an } 的通项公式. (2)设数列 {bn } 满足,bn ?
Tn .
1 ,求数列 {bn } 的前 n 和 Sn

2.(05 济南 2 模)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 是 n 的二次函数,且
a1 ? ?2,a2 ? 2,a3 ? 6 an.

求 Sn 和 an.

3. 已知数列{an}满足, a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? n( n ? 1 )( n ? 2 ) ,求数列{an}的通 项公式。

4.数列数列{an},满足 a1 ? 1 ,当 n ? 2 时, a1a2 a3 ?an ? n 2 ,求数列{an}的通项 公式。
20

5. 设函数 f ( x) ?

x n , 数列{ an }中, 1 ? 1 , ? 2 时, n 项和 S n 满足 S n ? f (S n?1 ) 前 a 2x ? 1

(1) 求数列{ an }的通项公式; (2)设 bn ?

Sn ,求{bn}的前 n 项和 Tn 。 2n ? 1

6.已知点列 Pn (an , bn )(n ? N ? ) 在直线 L : y ? 2 x ? 1 上,且 P1 为 L与 y 轴的交点,数 列 ?an ? 是公差为 1 的等差数列. ( 1 ) 求 数 列 ?an ? , ?bn ? 的 通 项 公 式 ; 2 ) 若 cn ? (
c2 ? c3 ? c4 ? ? ? c20

5 (n ? 2) , 求 n ? P Pn 1

7.在等比数列 {an } 中,a1 ? 1 , 公比 q>0, bn ? log2 an , b1 ? b3 ? b5 ? 6, b1b3b5 ? 0 设 且 (1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) c n ? 若
1 , 求数列 {cn } 的前 n 项和 S n 。 n(bn ? 6)

8.已知数列{an}是等差数列,Sn 是前 n 项和,且 a1 ? a2 ? a3 ? 12, S7 ? 56 , (1) 求数列{an}的通项公式。 (2)令 bn ? an x n ,( x ? R ) ,求数列{bn}的前 n 项和。

21

9.(07 天津文)在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 3n ? 1, n ? N* . (Ⅰ)证明数列 ?an ? n? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; (Ⅲ)证明不等式 Sn?1 ≤ 4Sn ,对任意 n ? N* 皆成立.

10.数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn (n ?N* ) . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项 an ; (Ⅱ)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn .

11.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? … ? 3n ?1 an ? , a ? N* . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项; (Ⅱ)设 bn ?
n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . an

n 3

12. 已知数列 {an } 项和为 S n ,满足 a n ? (3n ? S n ) ( n ? N * ) (1) 证明:数列 {an ? 3} 是等比数列,并求数列 {an } 的通项公式; (2) 设 bn ? a n ,求数列 {bn } 的前 n 项和。
n 3

1 2

22

13. 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn=
1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

14. (2010 上海已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n ? 5a n ?85 , n ? N * (1)证明: ?an ?1?是等比数列; (2)求数列 ?Sn ? 的通项公式,并求出使得 Sn?1 ? Sn 成立的最小正整数 n .

15. (2009 全国卷Ⅱ理) (本小题满分 12 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)设 c n ?
an ,求证数列 {c n } 是等差数列。 2n

(3)求数列 {an } 的通项公式和前 n 项和公式。

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