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2016福建华南女子职业学院高职招考数学模拟试题(附答案解析)


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2016 福建华南女子职业学院高职招考数学模拟试题(附答 案解析)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合 P={(x,y)|y= A.(-∞,1) D.(-∞,+∞) 2.已知 sinθ =- A.- ,θ ∈(- B. ,0),则 cos(θ - )的值为 C.- ,Q={(x,y)|y=ax+ B.(-∞, ,且 P∩Q= ,那么 k 的取值范围是

C.(1,+∞)

D. 3.双曲线 kx2+5y2=5 的一个焦点是(0,2),则 k 等于 A. B.- C.

D.- 4.已知 a=(2,1),b=(x,1),且 a+b 与 2a-b 平行,则 x 等于 A.10 B.-10 D.-2 5.数列 1 A.n2+1- ,3 ,5 ,7 ,…,(2n-1)+ 的前 n 项之和为 Sn,则 Sn 等于

C.2

B.2n2-n+1-

C.n2+1-

D.n2-n+1- 6.已知非负实数 x,y 满足 2x+3y-8≤0 且 3x+2y-7≤0,则 x+y 的最大值是 B. C.3 D.2 7.一个凸多面体的面数为 8,各面多边形的内角总和为 16π ,则它的棱数为 A.24 B.22 C.18 D.16 8.若直线 x+2y+m=0 按向量 a=(-1,-2)平移后与圆 C:x2+y2+2x-4y=0 相切,则实数 m 的值等于 A.3 或 13 B.3 或-13 C.-3 或 7 D.-3 或-13 A.

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9. 设 F1 、 F2 为椭圆 · A.0 的值为 B.1 C.2 +y2=1 的两个焦点, P 在椭圆上,当△ F1PF2 面积为 1 时,

D. 10.显示屏有一排 7 个小孔,每个小孔可显示 0 或 1,若每次显示其中 3 个孔,但相邻 的两孔不能同时显示,则该显示屏能显示信号的种数共有 A.10 B.48 C.60 D.80 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 11.锐角△ABC 中,若 B=2A,则 的 取值范围是___________. 12.一个正方体的六个面上分别标有字 母 A、B、C、D、E、F,右图是此正方体 的两种不同放置,则与 D 面相对的面上的 字母是_________. 13.随机抽取甲、乙两位同学在平时数 学测验中的 5 次成绩如下: 88 92 85 94 91 甲 92 87 85 86 90 乙 从以上数据分析,甲、乙两位同学数学成绩较稳定的是_________同学. 14.给出以下命题: ①已知向量 =| , , 满足条件 + + =0,且| |=| |

|=1,则△P1P2P3 为正三角形; ②已知 a>b>c,若不等式 恒成立,则 k∈(0,2);

③曲线 y= x3 在点(1, )处切线与直线 x+y-3=0 垂直;④若平面α ⊥平面γ ,平面β ∥平面γ ,则α ∥β . 其中正确命题的序号是___________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 12 分) 甲、乙两名篮球运动员,投篮的命中率分别为 0.7 与 0.8. (1)如果每人投篮一次,求甲、乙两人至少有一人进球的概率; (2)如果每人投篮三次,求甲投进 2 球且乙投进 1 球的概率.

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16.(本小题满分 12 分) 已 知 向 量 a=(cos ,sin ),b=(cos , - sin ), 且 x ∈ [ ,

]. (1)求 a·b 及|a+b|; (2)求函数 f(x)=a·b-|a+b|的最小值.

17.(本小题满分 13 分) 如图,已知直三棱柱 ABC—A1B1C1,AB=AC,F 为 BB1 上一点,D 为 BC 的中点,且 BF=2BD. (1)当 为何值时,对于 AD 上任意一点总有 EF⊥FC1; ,当 在(1)所给的值

(2)若 A1B1=3,C1F 与平面 AA1B1B 所成角的正弦值为 时,求三棱柱的体积.

18.(本小题满分 13 分) 一条斜率为 1 的直线 l 与离心率为 点,直线 l 与 y 轴交于 R 点,且 · 的双曲线 =-3, =3 =1(a>0,b>0)交于 P、Q 两 ,求直线与双曲线的方程.

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19.(本小题满分 14 分) 已知点 B1(1,y1),B2(2,y2),…,Bn(n,yn),…(n∈N*)顺次为直线 y= + 上的点,点 A1 (x1,0),A2(x2,0),…,An(xn,0)顺次为 x 轴上的点,其中 x1=a(0<a<1).对于任意 n∈N*,点 An、Bn、An+1 构成以 Bn 为顶点的等腰三角形. (1)求数列{yn}的通项公式,并证明它为等差数列; (2)求证:xn+2-xn 是常数,并求数列{xn}的通项公式. (3)上述等腰△AnBnAn+1 中是否可能存在直角三角形,若可能,求出此时 a 的值;若不 可能,请说明理由.

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)= x3+ (b-1)x2+cx(b、c 为常数). (1)若 f(x)在 x=1 和 x=3 处取得极值,试求 b、c 的值. (2)若 f(x)在 x∈(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递增且在 x∈(x1,x2)上单调递减,又满足 x2-x1>1, 求证:b2>2(b+2c); (3)在(2)的条件下,若 t<x1,试比较 t2+bt+c 与 x1 的大小,并加以证明.

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参考答案及解析
一 1.B 2.A 3.B 4.C 5.A 6.C 7.D 8.D 9.A 10.D 二 11.( , ) 12.B 13.乙 14.①③ 三 15.设甲投中的事件记为 A,乙投中的事件记为 B, (1)所求事件的概率为: P=P(A· )+P( ·B)+P(A·B) =0.7×0.2+0.3×0.8+0.7×0.8 =0.94. 6分 (2)所求事件的概率为: P=C 0.72×0.3×C 0.8×0.22 =0.042336. 12 分 16.(1)a·b=cos =cos cos ) 2分 a+b=(cos +cos ,sin -sin ) 3分 = 5分 ∵x∈[ ],∴|a+b|=-2cosx. 6分 (2)f(x)=a·b-|a+b|=cos2x-(-2cosx)=cos2x+2cosx=2cos2x+2cosx-1 =2(cosx+ )2- . 10 分 ∵x∈[ , ],∴-1≤cosx≤0, 时,[f(x)]min=- . , = -sin cos sin +sin (-sin )

=cos( + =cos2x.

∴|a+b|= =2|cosx|.

∴当 cosx=-

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12 分 17.(1)由三垂线定理得 C1F⊥DF,易证 Rt△BDF≌Rt△B1FC1, ∴B1F=BD= BF,∴ =2. 6分 (2)在平面 A1B1C1 中,过 C1 作 C1G⊥A1B1 于 G,连 FG, 易证∠C1FG 就是 C1F 与侧面 AA1B1B 所成的角, 8分 则有 = ,C1G= C1F, △ A1B1C1 中 , 取 B1C1 的 中 点 D1 , 连 A1D1 , 设 B1F=x, 由 C1G·A1B=B1C·A1D1, 解得 x=1,∴BB1=3, 10 分 ∴V = B1G·A1D1·BB1=6 . 13 分

18.∵e= ,∴b=2a2, ∴双曲线方程可化为 2x2-y2=2a2, 2分 设直线方程为 y=x+m, 得 x2-2mx-m2-2a2=0.

由 4分 ∵Δ =4m2+4(m2+2a2)>0, ∴直线一定与双曲线相交, 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 则 x1+x2=2m,x1x2=-m2-2a2, ∵ =3 ,

6分

∴xR= ,x1=-3x2, ∴x2=-m,-3x22=-m2-2a2, 消去 x2 得,m2=a2, 8分 · =x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m) =2x1x2+m(x1+x2)+m2 =m2-4a2 =-3, 10 分 ∴m=±1,a2=1,b2=2,直线方程为 y=x±1, 双曲线方程为 x2- =1.

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13 分 19.(1)yn= n+ ,yn+1-yn= ∴数列{yn}是等差数列, , 4分 (2)由题意得, = n, ∴xn+xn+1=2n, xn+1+xn+2=2(n+1), ①、②相减,得 xn+2-xn=2, ∴x1,x3,x5,…,x2n-1,…成等差数列; x2,x4,x6,…,x2n,…成等差数列, 6分 ∴x2n-1=x1+2(n-1)=2n+a-2, x2n=x2+(n-1)·2=(2-a)+(n-1)·2 =2n-a,

① ②

∴xn= 7分 (3)当 n 为奇数时,An(n+a-1,0),An+1 (n+1-a,0) 所以|AnAn+1|=2(1-a); 当 n 为偶数时,An(n-a,0),An+1 (n+a,0), 所以|AnAn-1|=2a, 作 BnCn⊥x 轴于 Cn,则|BnCn|= n+ . 要使等腰三角形 AnBnAn+1 为直角三角形,必须且只须|AnAn+1|=2|BnCn|. 分 所以,当 n 为奇数时,有 2(1-a)=2( 即 12a=11-3n,(*) 当 n=1 时,a= ; n+ ),

12

当 n=3 时,a= ; 当 n≥5 时,方程(*)无解. 当 n 为偶数时,12a=3n+1,同理可求得 a= 综上,当 a= .

,或 a= 或 a= 时,存在直角三角形. 16 分 20.(1)f′(x)=x2+(b-1)x+c, 由题意得,1 和 3 是方程 x2+(b-1)x+c=0 的两根,

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解得

4分 (2)由题得, 当 x∈(-∞,x1),(x2,+∞)时,f′(x)>0 x∈(x1,x2)时,f′(x)<0, ∴x1,x2 是方程 x2+(b-1)x+c=0 的两根, 则 x1+x2=1-b,x1x2=c, 7分 ∴b -2(b+2c)=b -2b-4c =[1-(x1+x2)]2-2[1-(x1+x2)]-4x1x2 =(x1+x2)2-4x1x2-1 =(x2-x1)2-1, ∵x2-x1>1, ∴(x2-x1)2-1>0, ∴b2>2(b+2c). 9分 (3)在(2)的条件下,由上一问知 x2+(b-1)x+c=(x-x1)(x-x2), 即 x2+bx+c=(x-x1)(x-x2)+x, 12 分 所以,t2+bt+c-x1=(t-x1)(t-x2)+t-x1, =(t-x1)(t+1-x2), 14 分 ∵x2>1+x1>1+t,∴t+1-x2<0, 又 0<t<x1,∴t-x1<0, ∴(t-x1)(t+1-x2)>0, 即 t2+bt+c>x1. 16 分
2 2


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