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江苏省盐城中学2011—2012学年度第一学期期中考试高二


江苏省盐城中学 2011—2012 学年度第一学期期中考试 高二年级数学试题(2011.11)
命题人:陈健 吴义存 一、填空题: (每小题 5 分,共计 70 分) 1. 命题“存在 x ? R ,使得 x ? x ? 3 ? 0 ”的否定是
2

审核人: 徐文

_▲_____.

2. 设函数 f ( x) ? 2e ? 1 ,则其导函数 f ' ( x) ?
x

_▲_____.

3. 双曲线 2 x ? y ? 1 的渐近线方程是
2 2

_▲_____.

4. “ x ? 1”是“ x ? 1 ”的 _▲_____条件.(从“充分而不必要”“必要而不充分” 、 、 “充要”或“既不充分也不必要”中选择适当的一种填空)
2

5. 过函数 f ( x) ? x ? x 的图象上一点 P 的切线平行于直线 x ? y ? 0 ,则点 P 的坐标
2

为 ▲ . 6. 给出下列三个命题,其中真命题是 _▲_____ (填序号). ①若直线 l 垂直于平面 ? 内两条直线,则 l ? ? ; ②若直线 m 与 n 是异面直线,直线 n 与 l 是异面直线,则直线 m 与 l 也是异面直线; ③若 m 是一条直线, ? , ? 是两个平面,且 ? ∥ ? , m ? ? ,则 m ∥ ? 7. 若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点与双曲线 x ? y ? 2 的右焦点重合, p 的值为 则
2 2 2

__

_▲_____
2

8. 一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t 其中位移 s 的单位是米,时间 t 的单位是秒,那 么物体在 3 秒末的瞬时速度是 _▲_____米/秒 _▲_____. _▲_____.

9. 函数 f ( x) ? x ln x 的单调递增区间为

10. 底面边长为 2,高为 1 的正四棱锥的全面积为

11. 如图,用半径为 2 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒, 那么这个圆锥筒的容积是 _▲_____.
2

(第 11 题图)

12. 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ? ax(a ? 0) 的焦点 F ,且和 y 轴交于点 A,若△ OAF ( O 为坐标原点)的面积为 4,则 a 的值为 13. 以椭圆 _▲_____.

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F (?c,0) 为圆心, c 为半径的圆与椭圆的 a2 b2
_▲_____.

左准线交于不同的两点,则该椭圆的离心率的取值范围是

14. 已知定义在 R 上的可导函数 y ? f (x) 的导函数为 f ' ( x) ,满足 f ' ( x) ? f ( x) ,且

y ? f ( x ? 1) 为偶函数, f (2) ? 1 ,则不等式 f ( x) ? e x 的解集为
二、解答题: (本大题共计 80 分,请写出必要的解题步骤)

_▲_____.

15. (12 分)设命题 p : 函数 f ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? 6 ? 3a 在 ? ??, 0 ? 上是减函数;命题 q :
2

关于 x 的方程 x ? 2ax ? a ? 0 有实数根. 若命题 p 是真命题,命题 q 是假命题,求实数
2

a 的取值范围.

16. (12 分)如图,正方形 ABDE 与等边 ?ABC 所在平面互相垂直, AB ? 2 , F 为 BD 中 点, G 为 CE 中点. (1)求证: FG ∥平面 ABC ; (2)求三棱锥 F ? AEC 的体积. E D

F G

A

B

C

x2 y 2 17. (14 分)椭圆 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的两个焦点分别为 F1 、 F2 ,点 P 在椭圆 C 上, a b
且 PF1 ? F1 F2 , PF1 ?

4 14 , PF2 ? . 3 3
2 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 过圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 0 的圆心 M 交椭圆于 A 、 B 两点,且 M 是 AB 的中点,求直线 l 的方程.

18. (14 分)某地政府为科技兴市,欲在如图所示的矩形错误!未找到引用源。的非农业用 地中规划出一个高科技工业园区(如图中阴影部分) ,形状为直角梯形错误!未找到引用源。 (线段错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。 为两个底边) ,已知错误!未找到引用 源。其中曲线段错误!未找到引用源。是以错误!未找到引用源。为顶点、错误!未找到引用
源。 为对称轴的抛物线的一部分. 分别以直线 AB, AD 为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系.(1)

求曲线段 AF 所在抛物线的方程; 设点 P 的横坐标为 x ,高科技工业园区的面积为 S . (2) 试 求 S 关于 x 的函数表达式,并求出工业园区面积 S 的最大值. D R E F C

Q A 19 .( 14 分 ) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 椭 圆

P B

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的右焦点为 F ,上下顶点分别为 A, B ,直线 BF 交椭圆于 C 点,且 a 2 b2
??? ? ??? ? BF ? 3FC .(1)求椭圆的离心率; (2)若 P 点是椭圆上弧 AC 上动点,四边形 APCB 面积
的最小值为

6?2 ,求椭圆的方程. 3

y

A

P C

O

F

x

B

20. (14 分)已知函数 f ( x) ? a sin x ? x ? b ( a , b 均为正常数) . (1)若 a ? 2 ,求函数 f (x) 在区间 [0, ? ] 上的单调减区间; (2)设函数在 x ?

?
3

处有极值.

π ①对于一切 x ? ?0,π ? ,不等式 f ( x) ? 2 sin x ? 恒成立,求 b 的取值范围; ? 2? 4 ? ?
②若函数 f (x)在区间

? m3? 1 π,2m3?1 π? 上是单调增函数,求实数 m 的取值范围.

? ?

盐城中学 2011-2012 高二年级期中考试 数学答题纸
一、填空题(14×5=70 分) 1、 ?x ? R, x ? x ? 3 ? 0
2

2、 2e

x

3、 y ? ? 2 x 5、 (1,0) 7、4 9、 ( ,?? )

4、充分而不必要 6、③ 8、5

1 e

10、 4 ? 4 2 12、8 14、 (0,??)

11、

3 ? 3 2 ,1) 2

13、 (

二、解答题(共 90 分)

15、 (12 分) 命题 p : a ? ?

1 2

命题 q : a ? ?1或a ? 0 命题非 q : ?1 ? a ? 0 因为 命题 p 是真命题,命题 q 是假命题, 所以 ?

1 ?a?0 2

16、 (12 分)
E D

F G

A

B

C

(1) 略 (2)

2 3 3

17、 (14 分) (1)由已知

2a ? PF1 ? PF2 ? 6 ,所以 a ? 3
2 2 椭圆的焦距为 2c = PF2 ? PF1 ? 2 5

2 所以 c ? 5 , b ? 4

椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 9 4

(2) M (?2,1) 法一: l ? x 轴时,线段 AB 中点是(-2,0)不符 设 l : y ? 1 ? k ( x ? 2) 方程组 ?

? 4 x 2 ? 9 y 2 ? 36 ? y ? 1 ? k ( x ? 2)
2 2 2 2

得: (4 ? 9k ) x ? (36k ? 18k ) x ? 36k ? 36k ? 27 ? 0

x1 ? x2 ? ?

36k 2 ? 18k 8 ? ?4 得: k ? 2 4 ? 9k 9

直线 AB 的方程为: 8x ? 9 y ? 25 ? 0 法二:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )

18、 (14 分)

座位号

D R E

C

F

Q A

P B

(1)设抛物线方程: y ? ax (a ? 0) ,
2

由 F (2, 4) 代入得 a ? 1 所以抛物线方程为 y ? x (2)设 P ( x, x ) , Q(0, x ) 直线 CE 方程: y ? x ? 4 ,所以 R( x, x ? 4)
2 2 2

PQ ? x , QE ? 4 ? x 2 , PR ? x ? 4 ? x 2
面积 S ?
/

1 1 x(?2 x 2 ? x ? 8) ? ? x3 ? x 2 ? 4 x ,定义域: x ? (0, 2) 2 2
2

求导 S ? ?3x ? x ? 4 ? ?(3x ? 4)( x ? 1) 又 x ? (0, 2) ,由 S ? 0 得: x ?
/

4 3

S / 先正后负, S 先增后减
所以, x ?

4 104 时, S 取最大值 3 27

19、 (14 分)
y

A

P C

O

F

x

B

(1)设点 F (c,0) , B(0, ?b) , C ( x, y ) 由 BF ? 3FC ,得: ? c, b ? ? 3 ? x ? c, y ?

??? ?

??? ?

解得: C ( c, b) 代入椭圆方程得:

4 3

1 3

16c 2 1 ? ?1 9a 2 9

所以: e ?

c 2 2 2 ? , a ? 2c , b ? c a 2

(2)由(1)椭圆方程可写为,点 C ( b, b) 直线 AC: x ? 2 y ? 2b ? 0 , S?ABC ?
2 2 2

4 3

1 3

2 5 4 2 b b , AC ? 3 3

设点 P( x, y ) : x ? 2 y ? 2b ,点 P 到直线 AC 距离为

d?

x ? 2 y ? 2b 5
2

?

x ? 2 y ? 2b 5

? x ? 2y?

? x 2 ? 4 y 2 ? 4 xy ? x 2 ? 4 y 2 ? 2( x 2 ? y 2 ) ? 3( x 2 ? 2 y 2 )

? 6b 2 ,所以 d max ?

6 ?2

b

20、 (14 分) (1)单调减区间为 ?
/

?? ? ,? ?3 ? ?

注:写单调增区间也可。

/ (2) f ( x) ? a cos x ? 1 ,由已知得: f ( ) ? 0

?

3

所以 a ? 2 。 f ( x) ? 2sin x ? x ? b

π 不等式 f ( x) ? 2 sin x ? 可化为:

? 4?

sin x ? cos x ? x ? ?b
记函数 g ( x) ? sin x ? cos x ? x , x ? ?0,π ? ? 2? ? ?

g / ( x) ? cos x ? sin x ? 1 ? 2 sin( x ? ) ? 1 4 x ? ?0,π ? ,所以 x ? ? ? ? ? , 3? ? , g / ( x) ? 0
? ? 2? ? 4 ?4 ? 4? ?
函数在 x ? ?0,π ? 上是增函数,最小值为 g (0) ? ?1 ? 2? ? ? 所以: b ? 1, b 的取值范围是 ?1, ?? ? 由

?

? m3? 1 π,2m3?1 π? 得: 2m3?1 π> m3?1 π ,所以 m ? 0
/

f / ( x) ? 2cos x ? 1
由 f ( x) ? 0 ,所以: cos x ?

1 2

? ?? ? x ? ? 2 k? ? , 2 k? ? ? , 3 3? ?
1 ? m ?1 ? 3 ? 2k ? 3 ? 存在整数 k ,使: ? 解得: 6k ? m ? 3k ? 1 2m ? 1 1 ? ? 2k ? ? 3 3 ?
又 m ? 0 ,所以 ? 所以 0 ? m ? 1

1 1 ? k ? ,得 k ? 0 3 3


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