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指数和指数函数知识要点和例题精讲与练习


指数和指数函数
(1)根式的概念 ① n a 叫做根式,这里 n 叫做___________, a 叫做____________. ②当 n 为奇数时, a 为____________;当 n 为偶数时, . a _____________ ③根式的性质:a c 当 n 为偶数时, (2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是: a ? n a m (a ? 0

, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的正分数指数幂等于 0. ②正数的负分数指数幂的意义是: a
m ? n
m n

奇偶性 单调性 函数值的 变化情况 在 R 上是减函数

a 变化对
图象的影 响 例题和练习题 1.比较大小 ①比较大小的常用方法有:作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等.②对于含有参数的 大小比较问题,有时需要对参数进行讨论. 例 1 已知函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且 f (0) ? 3 ,则 f (b x ) 与 f (c x ) 的大小关系是
_____

_______ b 当 n 为奇数时, __________=

________

______________________.

1 1 ? ( ) ? n ( )m (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的负分数指数 a a

m n

幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数.
(3)分数指数幂的运算性质 ①

ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? R)



(ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? R)



练习 1.比较下列各组数的大小: (1) ( 3) _______ ( 3) (3) ( )
m

(ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? R)
(4)指数函数 函数名称 定义
x

0.2

2 5

;

3 3 ?0.6 (2) ( ) _______ ( ) 4 4
(4) (

?

3 4



指数函数 函数 y ? a (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数

4 5

?

1 3

_______ ( )
n

5 4

0.3



3 0.5 ) _______ ( 2 ) 2 2 5

a ?1

0 ? a ?1
y ? ax

2. 已知 0.8 ? 0.8 ? 1 ,则 m 、 n 、0 的大小关系为___________. 3.

y
图象

y ? ax

a ? 0.80.7 , b ? 0.80.5 , c ? 1.30.8 , 则 a 、 b 、 c 的大小关系为___________.


y
4.下列关系式中正确的是 (
1 1 2 2 1 1 2

y?1
(0,1)

y?1

(0,1)

2 ? 1 ?3 A. ? 2?1.5 ? ? ? 3 ?2?

? 1 ?3 ? 1 ?3 B. ? ? ? ? ? ? 2? ? 2?

C. 2

?1.5

? 1 ?3 ? 1 ?3 ?? ? ?? ? ?2? ?2?

D.2

?1.5

? 1 ?3 ? 1 ?3 ?? ? ?? ? ? 2? ?2?

O
定义域 值域 过定点

1

x 0

O

1

x 0

5.若 A.



,下列不等式成立的是() B. C. D.



1

6.按从小到大排列下列各数:

3.求定义域及值域问题 利用指数函数的单调性求值域时,要注意定义域对它的影响 例3 求函数 y ? 1 ? 6x?2 的定义域和值域.














1. 函数

y?

1 的定义域是___________,值域是___________ 2x ?1
? x 2 ? 2 x ?8

2.求解有关指数不等式 利用指数函数的单调性解不等式, 需将不等式两边都凑成底数相同的指数式, 并判断底数与 1 的大 小,对于含有参数的要注意对参数进行讨论。 例2 已知 (a ? 2a ? 5)
2 3x

2. 函数

y?2

的定义域是___________,值域是___________

? (a ? 2a ? 5)
2

1? x

3. 函数 f ( x ) 的定义域为[1,4],则函数 f (2? x ) 的定义域为___.

,则 x 的取值范围是___________

1 x 1、若 3 ? ( ) ? 27 ,则( ) 3 A、 ?1 ? x ? 3 B、 x ? ?1 或 x ? 3
2.若 3.设 3 ?
x

1
4. 求函数 y=

C、 ?3 ?

x ? ?1

D、 1 ?

x?3
5.已知

5

x 1? x

?1

的定义域.

,则

的取值范围为_________ ) B、 ?3 ?

,求函数

的值域

1 ,则( 7

A、 ?2 ?

x ? ?1

x ? ?2
,则

C、 ?1 ?

x?0

D、 0 ?

x ?1

4.最值问题
, 上有最大值 14,则 a 的值是_______ 例 4 函数 y ? a2 x ? 2a x ? 1(a ? 0且a ? 1) 在区间 [?11]

4.当 5.已知

时,

的取值范围是__________ 1 函数 的最小值为___________ ( 且 ) 时, 的取值范围是__________2.已知函数

,当其值域为

6.设有两个函数 x 的取值范围.



,要使(1)

;(2)

,求 (1)求
x

的最小值; (2)若

,求

的取值范围 ( )

若指数函数 y ? a 在[-1,1]上的最大值与最小值的差是1,则底数a等于

A.

?1? 7 不等式 ? ? ?3?
?1? 8 不等式 ? ? ? 2?

x 2 ?8

5 ?1 2

B.

5 ?1 2
x+1 x

C.

5 ?1 2

D.

1? 5 2

? 3 ? 2 x 的解集是
x 2 ? ax

3.已知-1≤x≤2,求函数 f(x)=3+2·3 -9 的最大值和最小值

?1? ?? ? ? 2?

2 x?a ?2

恒成立,则 a 的取值范围是



2

4.已知 9 -10.3 +9≤0,求函数 y=(

x

x

1 x-1 1 x ) -4· ( ) +2 的最大值和最小值 4 2

1.若



,则函数

的图象一定在()

A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、二、四象限 5.解指数方程 例 5 解方程 3x ? 2 ? 32? x ? 80 . 2.函数 ( )的图象是()

1.解方程:

(1)

; (2)

3.函数



的图象大致是( ).

2.若 x4 ? 16, 且 x ? R ,则 x ? _________________ 3.已知 x
? 2 3

? 4 ,则 x =___
的方程 有两个实数解,则实数 的取值范围是_________. 4.当 时,函数 与 的图象只可能是()

4.已知关于 5 两解?

x 函数 y ?| 3 ? 1 | 的图象,并利用图象回答:k为何值时,方程|3x-1|=k无解?有一解?有

6 方程 a

| x|

? x 2 (0 ? a ? 1) 的解的个数为
B. 1 个 C. 2 个 D. 0 个或 1 个



) 5. 在下列图象中,二次函数 与指数函数 的图象只可能是()

A. 0 个 6.图象变换及应用问题

例 6 为了得到函数 y ? 9 ? 3x ? 5 的图象,可以把函数 y ? 3x 的图象( A.向左平移 9 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度 B.向右平移 9 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度 C.向左平移 2 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度 D.向右平移 2 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度

) .

6.

时,

的图象过定点________ .

3

7. 若

,则函数

的图象一定不在第_____象限. , 和 的图象,则

① 这个指数函数的底数是 2; ② 第 5 个月时,浮萍的面积就会超过 30m 2 ; y/m2 8 ③ 浮萍从 4m 蔓延到 12m 需要经过 1.5 个月; ④ 浮萍每个月增加的面积都相等; ⑤ 若浮萍蔓延到 2m2 、 3m2 、 6m2 所经过的时间
2 2

8.曲线 分别是指数函数 与 1 的大小关系是 ( ).

( 7.单调性与奇偶性问题 例 7 求函数

4 分别为 t1 、 t 2 、 t3 ,则 t1 ? t2 ? t3 . 其中正确的是 单调区间 1 某工厂从 年到 . 2 1 t/月

y?2

? x 2 ? 2 x ?8

0 1 2 3 年某种产品的成本共下降了 19%,若每年下降的百分率相等,

求每年下降的百分率

1.求函数 2.函数

的单调减区间为__________. 的单调递增区间是____________
? x2 ? x?2

2.计算机成本不断降低,若每隔 3 年计算机价格降低 格为( ). A.2400 元 B.900 元 C.300 元 D.3600 元

,现在价格为 8100 元的计算机,则 9 年后的价

1 3.函数 y ? ( ) 2
A. (??,?1] 4.已知 f ( x) ?

得单调递增区间是 B. [2,??)



) 3 某厂 2004 年的产值为 a 万元,预计产值每年以 5%递增,该厂到 2016 年的 产值是( ) A、 a(1 ? 5%) 万元
13

1 C. [ , 2 ] 2


1 D. [ ?1, ] 2

e x ? e?x ,则下列正确的是 ( 2

B、 a(1 ? 5%) 万元
12

C、 a(1 ? 5%) 万元
11

D、

10 (1 ? 5%)12 万元 9

A.奇函数,在 R 上为增函数 C.奇函数,在 R 上为减函数

B.偶函数,在 R 上为增函数 D.偶函数,在 R 上为减函数

5.已知 A.奇函数





,则

是() 有关

B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.奇偶性与

6.已知 f ( x ) ?

2 ? m 是奇函数,求常数 m 的值 3 ?1
x

8 应用问题 例 8 .如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积( m )与时间 t (月)的关系: y ? a ,有以下叙述:
2

t

4


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