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平面直角坐标系与一次函数


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环球雅思学科教师辅导讲义
组长签字: 学员编号: 学员姓名: 授课日期及时段 1.掌握一次函数的概念及性质 教学目标 2.会求一次函数解析式 3.会用一次函数解决简单的实际问题 重点难点 重点:一次函数性质、求一次函数解析式 难点:一次函数与实际问题 教学内容 年 级: 初二 课时数:6 学科教师:赵文娜

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辅导科目:数学

一、导入 二、知识梳理+经典例题
考点一:平面直角坐标系、函数及其图像 【知识梳理】 一、平面直角坐标系 1. 坐标平面上的点与有序实数对构成一一对应; 2. 各象限点的坐标的符号; 3. 坐标轴上的点的坐标特征.

? x轴 ?( a , ? b ) ? ? 4. 点 P(a,b)关于 ? y轴 对称点的坐标 ?( ? a , b ) ?( ? a , ? b ) ?原点 ? ?
5.两点之间的距离

(1)P ,  0),P2 ( x2,  0),  P1P2 =x1 ? x2 1 ( x1 (2)P ,y1 ),P2 (0,y2 ),  P1P2 = y1 ? y2 1 (0
6.线段 AB 的中点 C,若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),C( x0 , y0 ) 则 x0 ? x1 ? x2 , y0 ? y1 ? y2
2 2

二、函数的概念 1.概念:在一个变化过程中有两个变量 x 与 y,如果对于 x 的每一个值,y 都有唯一的值与它对应,那么 就说 x 是自变量,y 是 x 的函数. 2.自变量的取值范围: (1)使解析式有意义 (2)实际问题具有实际意义 3.函数的表示方法; (1)解析法 (2)列表法 (3)图象法 【思想方法】 数形结合 【例题精讲】

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2 中自变量 x 的取值范围是 ; x?2 函数 y ? 2 x ? 3 中自变量 x 的取值范围是 . 例 2.已知点 A(m ? 1 , 3) 与点 B(2,n ? 1) 关于 x 轴对称,则 m ?
例 1.函数 y ?

,n ?



y C O D M B A x

例 3.如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标是(10,0) ,点 B 的坐标为 (8,0),点 C、D 在以 OA 为直径的半圆 M 上,且四边形 OCDB 是平行四边形. 求点 C 的坐标.

例3图

4.如图,在平面直角坐标系中,直线 l 是第一、三象限的角平分线. ⑴由图观察易知 A (0, 2) 关于直线 l 的对称点 A? 的坐标为 (2, 0) , 请在图中分别标明 B(5,3) 、 C(-2,5) 关 于直线 l 的对称点 B? 、 C ? 的位置,并写出他们的坐标: B? 、 C? ;

⑵结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:坐标平面内任一点 P(a,b)关于第一、三象限的角平分线 l 的对称点 P? 的坐标为 点坐标.
C

(不必证明) ;
7 6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1

⑶已知两点 D(1,-3)、E(-1,-4),试在直线 l 上确定一点 Q,使点 Q 到 D、E 两点的距离之和最小,并求出 Q
y l

A A O 1
2
'

B

-1 -2 -3

3

4

5

6

x

E

'

-4 -5 -6

D

'

考点二: 一次函数图象和性质 【知识梳理】 1.正比例函数的一般形式是 y=kx(k≠0),一次函数的一般形式是 y=kx+b(k≠0). 2. 一次函数 y ? kx ? b 的图象是经过( ? 3. 一次函数 y ? kx ? b 的图象与性质
k、b 的符号 图像的大致 位置 k>0,b>0 k>0,b<0 k<0,b>0 k<0,b<0

第 4 题图

(第22题图)

b ,0)和(0,b)两点的一条直线. k

经过象限 性质



象限



象限



象限



象限

y 随 x 的增大 而

y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大 而 而

y 随 x 的增大 而

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中 国 教 育 培 训 领 军 品 牌 【思想方法】数形结合 【例题精讲】 例 1. 已知一次函数物图象经过 A(-2,-3),B(1,3)两点. (1)求这个一次函数的解析式; (2)试判断点 P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上; (3)求此函数与 x 轴、y 轴围成的三角形的面积.

例 2. 已知一次函数 y=(3a+2)x-(4-b),求字母 a、b 为何值时: (1)y 随 x 的增大而增大; (2)图象不经过第一象限; (3)图象经过原点; (4)图象平行于直线 y=-4x+3; (5)图象与 y 轴交点在 x 轴下方.

例 3、 在同一坐标系中画出一次函数 y1=-x+1 与 y2=2x-2 的图象,并根据图象回答下列问题: (1)写出直线 y1=-x+1 与 y2=2x-2 的交点 P 的坐标. (2)直接写出:当 x 取何值时 y1>y2;y1<y2

考点三:一次函数的应用 【例题精讲】 例题 1.某地区的电力资源丰富,并且得到了较好的开发.该地区一家供电公司为了鼓励居民用电,采用分 段计费的方法来计算电费.月用电量 x(度)与相应电费 y(元)之间的函数图像如图所示. ⑴月用电量为 100 度时,应交电费 元; ⑵ 当 x≥100 时,求 y 与 x 之间的函数关系式; ⑶ 月用电量为 260 度时,应交电费多少元?

思考与收

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中 国 教 育 培 训 领 军 品 牌 例题 2. 在一次远足活动中,某班学生分成两组,第一组由甲地匀速步行到乙地后原路返回,第二组由甲 地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回,两组同时出发,设步行的时间为 t(h) ,两组离乙地的距 离分别为 S1(km)和 S2(km),图中的折线分别表示 S1、S2 与 t 之间的函数关系. (1)甲、乙两地之间的距离为 km,乙、丙两地之间的距离为 km; (2)求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少? (3)求图中线段 AB 所表示的 S2 与 t 间的函数关系式,并写出 t 的取值范围. S(km) 8· 6· 4· 2· 0 A 2 t(h) B

例题 3.某加油站五月份营销一种油品的销售利润 y (万元)与销售量 x (万升)之间函数关系的图象如图 中折线所示,该加油站截止到 13 日调价时的销售利润为 4 万元,截止至 15 日进油时的销售利润为 5.5 万 元. (销售利润=(售价-成本价)× 销售量) 请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息,解答下列问题: (1)求销售量 x 为多少时,销售利润为 4 万元; (2)分别求出线段 AB 与 BC 所对应的函数关系式; (3)我们把销售每升油所获得的利润称为利润率,那么,在 OA、AB、BC 三段所表示的销售信息中,哪 一段的利润率最大?(直接写出答案)
1 日:有库存 6 万升,成本 价 4 元/升,售价 5 元/升. 13 日:售价调整为 5.5 元/ 升. 15 日:进油 4 万升,成本 价 4.5 元/升. 31 日: 本月共销售 10 万升.

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例题 4:如图所示,在平面直角坐标系中,直线 针 旋转 90°后得到 .

分别交 轴、

轴于点 A、B,将△AOB 绕点 O 顺时

(1)求直线 (2)若直线

的解析式; 与直线 相交于点 C,求 的面积.

三、随堂检测
1.点 P 在第二象限内, P 到 x 轴的距离是 4,到 y 轴的距离是 3,那么点 P 的坐标为( )

A.(-4,3) B.(-3,-4) C.(-3,4) D.(3,-4) 2.已知点 P(x,y)位于第二象限,并且 y≤x+4 , x,y 为整数,写出一个 符合上述条件的点 P 的坐标: .. . 3.点 P(2m-1,3)在第二象限,则 m 的取值范围是( ) A.m>0.5 B.m≥0.5 C.m<0.5 D.m≤0.5 4.直线 y=2x+8 与 x 轴和 y 轴的交点的坐标分别是_______、_______; 5.一次函数 y1 ? kx ? b 与 y2 ? x ? a 的图象如图,则下列 结论:① k ? 0 ;② a ? 0 ;③当 x ? 3 时, y1 ? y2 中, 正确的个数是( ) A.0 B.1 O C.2 D.3 ) 3 第 5 题图

y

y2 ? x ? a
x

y1 ? kx ? b

6.一次函数 y ? (m ? 1) x ? 5 , y 值随 x 增大而减小,则 m 的取值范围是( A. m ? ? 1 B. m ? ? 1 C. m ? ? 1 D. m ? 1

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中 国 教 育 培 训 领 军 品 牌 7.如图,已知函数 y=3x+b 和 y=ax-3 的图象交于点 P(-2,-5),则根据图象可得不等式 3x+b>ax-3 的解集是 _______________。
y 2 -2 -2 y=3x+b y=ax-3 O 2 x

8.已知函数 y ? kx ? b 的图象如图,则 y ? 2kx ? b 的图象可能是(



第 8 题图 9.已知整数 x 满足-5≤x≤5,y1=x+1,y2=-2x+4 对任意一个 x,m 都取 y1,y2 中的较小值,则 m 的最大值是 ( ) A.1 B.2 C.24 D.-9 )

10.如图,点 A 的坐标为(-1,0),点 B 在直线 y=x 上运动,当线段 AB 最短时,点 B 的坐标为 ( A.(0,0) C.(- B.(
2 2 ,? ) 2 2 2 2 ,- ) 2 2

1 1 ,- ) 2 2

D.(-

11.如图(1),在直角梯形 ABCD 中,动点 P 从点 B 出发,沿 BC,CD 运动至点 D 停止.设点 P 运动的路 程为 x ,△ ABP 的面积为 y,如果 y 关于 x 的函数图象如图(2)所示,则△ BCD 的面积是( ) A.3 B.4 C .5 D.6
y B

D
A O x

C P B O

A

2

5

x 第 12 题图

第 10 题图

图(1) 图(2) 第 11 题图

12.小高从家门口骑车去单位上班, 先走平路到达点 A, 再走上坡路到达点 B, 最后走下坡路到达工作单位, 所用的时间与路程的关系如图所示.下班后,如果他沿原路返回,且走平路、上坡路、下坡路的速度分别 保持和去上班时一致,那么他从单位到家门口需要的时间是( ) A.12 分钟 B.15 分钟 C.25 分钟 D.27 分钟

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中 国 教 育 培 训 领 军 品 牌 13、如图,直线 y=2x+3 和直线 y=-2x-1 分别交 y 轴于点 A、B,两直线交于点 C. (1)求两直线交点 C 的坐标; (2)求△ABC 的面积; (3)在直线 y=-2x-1 上能否找到点 P,使得 S△APC=6,若能,请求出点 P 的坐标,若不能请说明理由.

四、课后作业
一、选择题: 1.(2008 贵阳)对任意实数 x,点 P(x,x2-2x)一定不在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知点 A(2a+3b,-2)和点 B(8,3a+2b)关于 x 轴对称,那么 a+b=( A.2 B.-2 C .0 D.4 ) y

3.(2009 威海)如图,A,B 的坐标为(2,0) , (01)若将线段 AB 平移至 A1B1 ,则 a+b 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 )

B1 (a, 2)
B(0, 1)
O

A1 (3,b)
A(2, 0)
x

第 3 题图 4.一次函数 y=2x-2 的图象不经过 的象限是( ...

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.若正比例函数 y=(1-2m)x 的图象经过点(x1,y1)和点(x2,y2)当 x1<x2 时,y1>y2 ,则 m 的取值 范围是( ) A.m<0 B.m>0 1 C.m< 2 ) y 2 D.m> 1 2

6.关于函数 y=-2x+1,下列结论正确的是( A.图象必经过点(﹣2,1) C.当 x>

B.图象经过第一、二、三象限 D.y 随 x 的增大而增大

1 ,时 y<0 2

7.一次函数 y ? kx ? b ( k, b 是常数, k ? 0 )的图象如图所示, 则不等式 kx ? b ? 0 的解集是( A . x ? ?2 B. x ? 0 ) D. x ? 0

C. x ? ? 2

?2

0 第 7 题图

x

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中 国 教 育 培 训 领 军 品 牌 8..某航空公司规定, 旅客乘机所携带行李的质量 x (kg)与其运费 y (元)由如图所示的一次函数图 象确定,那么旅客可携带的免费行李的最大质量为( A.20kg B.25kg C.28kg D.30kg )
900 300 O
3

y

(元)

(kg)

9、.由于干旱,某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降.若该水库的蓄水量 V(万米 )与干旱 的时间 t(天)的关系如图所示, V /万米3 1200 则下列说法正确的是( ) 1000 800 A.干旱开始后,蓄水量每天减少 20 万米 3 600 B.干旱开始后,蓄水量每天增加 20 万米 3 400 200 3 C.干旱开始时,蓄水量为 200 万米 O 10 20 30 40 D.干旱第 50 天时,蓄水量为 1 200 万米 3 第 11 题图

第 8 题图

30

50

x

50 t /天

10.如图,某电信公司提供了 A、B 两种方案的移动通讯费用 y(元)与通话时间 x(元)之间的关系,则 以下说法错误 的是( ) A 方案 y(元) .. A.若通话少于 120 分钟,A 方案比 B 便宜 20 元 B.若通话超过 200 分钟,B 方案比 A 便宜 12 元 C.若通讯费用为 60 元, B 方案比 A 的通话时间多 D.若两方案通讯费用相差 10 元,则通话时间是 145 分或 185 分 二、填空题:
70 50 30
120 170200 250

B 方案

x(分)

第 12 题图

1.已知点 A(m2+1,n2-2)与点 B(2m,4n+6)关于原点对称,则 A 关于 x 轴的对称点的坐标为_____, B 关于 y 轴的对称点的坐标为______. 2.在如图的直角坐标系中,△ ABC 的顶点都在网格点上,A 点 坐标为(2,-1) ,则△ ABC 的面积为_______平方单位. 3.在直角坐标系中,已知点 A(-5,0) ,B(-5,-5) , ∠OAB=90° ,有直角三角形与 Rt△ ABO 全等并以 BA 为公共 边,则这个三角形未知顶点的坐标是_______. 4.已知 m 为整数,且点(12-4m,19-3m)在第二象限,则 m2+2005 的值为______. 5 .若一次函数的图象经过点 (1 ,- 3) 与 (2 , 1) ,则它的解析式为 _________ ,函数 y 随 x 的增大而 ____________. 6.一次函数 y=2x-3 的图象可以看作是函数 y=2x 的图象向__________平移________个单位长度得到的. 7.如图,是一个正比例函数的图像,把该图像向左平移一个单位长度,得到的 y 函数图像的解析式为 . 2 第 2 题图

-1 8.已知关于 x 、 y 的一次函数 y ? ? m ?1? x ? 2 的图象经过平面直角坐标系中的 第一、三、四象限,那么 m 的取值范围是 全力以赴 赢在环雅 .

O

x

第 7 题图

8

中 国 教 育 培 训 领 军 品 牌 y 9.如图所示的是函数 y ? kx ? b 与 y ? mx ? n 的图象, 4 求方程组 ?

? y ? kx ? b 的解是 ? y ? mx ? n

. O 3 x

10、如图,一次函数 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 的图象相交于 A(3,2),则不等式 (k2-k1)x +b2-b1>0 的解集为 __________.

y A x

y1 y2

O
第 10 题图 三、解答题

1、.如图所示,在直角坐标系中,矩形 ABCD 的边 AD 在 x 轴上,点 A 在原点,AB=3,AD=5,矩形以每 秒 2 个单位长度沿 x 轴正方向做匀速运动.同时点 P 从 A 点出发以每秒 1 个单位长度沿 A─B─C─D 的路 线做匀速运动.当 P 点运动到 D 点时停止运动,矩形 ABCD 也随之停止运动. (1)求 P 点从 A 点运动到 D 点所需的时间; (2)设 P 点运动时间为 t(s) ; ①当 t=5 时,求出点 P 的坐标; ②若△ OAP 的面积为 S,试求出 S 与 t 之间的函数关系式(并写出相应的自 变量 t 的取值范围) . 第 1 题图

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2.作出函数 y=

1 2

x ? 4 的图象,并根据图象回答问题:

⑴当 x 取何值时,y>0? ⑵当-1≤x≤2 时,求 y 的取值范围.

第 3 题图

3.已知一次函数 y= kx+b 的图象经过点(-1,1)和点(1,-5) ,求: (1)函数的解析式; (2)将该一次函数的图象向上平移 3 个单位,直接写出平移后的函数解析式.

4、如图所示,直线 y=kx+b 与两坐标轴分别相交于 A(-1,0) 、B(0,2)两点. (1)求直线 AB 的函数解析式; (2)过点 C(3,0)的直线 l 与直线 AB 相交于点 P,若△APC 的面积等于 6,求点 P 的坐标.

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中 国 教 育 培 训 领 军 品 牌 5.甲、乙两车同时从 A 地出发,以各自的速度匀速向 B 地行驶.甲车先到达 B 地,停留 1 小时后按原路以 另一速度匀速返回,直到两车相遇.乙车的速度为每小时 60 千米.下图是两车之间的距离 y (千米)与 乙车行驶时间 x (小时)之间的函数图象. (1)请将图中的( )内填上正确的值,并直接写出甲车从 A 到 B 的行驶速度; (2)求从甲车返回到与乙车相遇过程中 y 与 x 之间的函数关系式,写出自变量 x 范围. (3)求出甲车返回时行驶速度及 A 、 B 两地的距离.

6、已知:如图,平面直角坐标系 xOy 中,点 A、B 的坐标分别为 A(4,0) ,B(0,-4) ,P 为 y 轴上 B 点下方一点,PB=m (m>0) ,以 AP 为边作等腰直角三角形 APM,其中 PM=PA,点 M 落在第四象限. (1)求直线 AB 的解析式; (2)用 m 的代数式表示点 M 的坐标; (3)若直线 MB 与 x 轴交于点 Q,判断点 Q 的坐标是否随 m 的变化而变化,写出你的结论并说明理由.

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